Orbites et trajectoires courbes en relativité générale

[mach3]

Formalisons un peu plus.

La métrique s'exprime sous la forme générale :
(somme implicite sur mu et nu, c'est la notation dite d'Einstein)
Cela donne 16 termes, qui se réduisent à 10 car la métrique est un tenseur symétrique.

Les sont les coordonnées que l'on a choisi pour exprimer la métrique (c'est un choix arbitraire, non physique, mais en général on choisit soit quelque chose qui facilite les calculs, soit quelque chose qui est lié à des mesures physiques, mais on peut très bien choisir n'importe quoi, chacun est libre de se compliquer la vie). Les sont les coefficients de la métrique dans le système de coordonnées choisis. Ces coefficients ne donnent pas la courbure. Par exemple, l'expression de la métrique suivante :



correspond à un espace-temps plat alors qu'elle est différente de l'expression de la métrique de Minkowski en coordonnées de Lorentz qui s'écrit :



L'expression de la métrique dépend bien plus du système de coordonnées qu'on a choisi que de la courbure de l'espace-temps et il ne faut pas chercher trop de sens, a priori, aux coefficients de la métrique (ici pour la première expression, on a choisi un système de coordonnées qui typiquement va plus nous compliquer la vie qu'autre chose, mais on a le droit de le faire).

Dans un repère orthonormé portant les coordonnées t,x,y,z sur ses axes (retirer au moins l'un des 3 pour faire une représentation graphique visualisable...), une ligne d'univers d'équation (avec vx, vy et vz des coefficients constants) est représentée par une droite, mais elle n'est pas nécessairement une géodésique, et inversement, les géodésiques ne seront pas forcément représentées par des droites. Dans le cas particulier de coordonnées de Lorentz en espace-temps plat, on aura l'équivalence stricte géodésique = ligne droite dans la représentation, mais pour des coordonnées autres, on aura généralement pas cette équivalence et cela peu importe la courbure de l'espace-temps. Pour être une géodésique, une ligne d'univers devra respecter l'équation suivante, dite équation des géodésiques :

(une équation par valeur de mu, donc 4 au total, sommation implicite sur alpha et beta)

Elle nous dit que pour qu'une ligne d'univers soit une géodésique, les composantes de la 4-accélération exprimées dans le système de coordonnées choisi (le premier terme) doit être précisément reliée aux composantes de la 4-vitesse dans le système de coordonnées choisi par les coefficients dits symboles de Christofell :

(somme implicite sur rho, et )

qui, comme on le voit, dépendent des dérivées premières des coefficients de la métrique par rapport aux coordonnées choisies. Il y en a 64, mais dans le cas d'une base dite holonomique (qui dérive d'un système de coordonnées) leur nombre se réduit à 40 car il y a une symétrie.

Si les dérivées premières des coefficients de la métrique s’annulent comme c'est le cas en coordonnées de Lorentz en espace-temps plat, alors on a simplement : , et les géodésiques sont représentées par des droites dans le repère orthonormé portant les coordonnées t,x,y,z sur ses axes. Sinon, on se retrouve avec des géodésiques représentées par des courbes, mais cela n'est pas signe d'une courbure de l'espace-temps.

Pour cette dernière, il faut aller un cran plus loin et calculer le tenseur de Riemann (256 composantes, mais seulement 20 sont indépendantes) :



qui peut se réécrire



Il dépend des dérivées secondes des coefficients de la métrique par rapport aux coordonnées choisies. Si celles-ci sont nulles ou si elles sont liées d'une certaine manière, le tenseur de Riemann est nul et il n'y a pas de courbure. On peut vérifier (à la main, si on a le courage et le temps à perdre, sinon en utilisant un logiciel de calcul formel, comme maxima, ou encore, si on est futé, trouver le simple changement de variable qui va nous ramener à des coordonnées de Lorentz) que pour la première expression donnée plus haut, le tenseur de Riemann est bien nul et qu'il n'y a donc aucune courbure malgré des coefficients de la métrique plutôt biscornus.

Se baser uniquement sur les coefficients dans l'expression de la métrique ne permet pas de savoir si l'espace-temps est courbé ou pas. Il faut aller plus loin pour statuer. Du coup ça :

Et il est écrit que le coefficient de la métrique spatiale correspond à la courbure spatiale, ce qui me paraît logique. Les coefficients de la métrique sont responsables de la courbure, donc le coef sur le temps correspond à la courbure temporelle et le coef sur l'espace à la courbure spatiale.

c'est un résumé beaucoup trop rapide et trompeur.

Je n'ai plus de temps, mais nous allons ensuite examiner la différence entre Newton et Schwarzschild en terme d'équation des géodésiques pour comprendre d'où vient la différence entre les deux.

m@ch3
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[mach3]

Chez Newton, on obtient les équations suivantes pour le mouvement orbital avec le corps central à l'origine :

En coordonnées cartésiennes




En coordonnées sphériques, en considérant le mouvement dans le plan perpendiculaire à z ()



Ces deux dernières équations ressemblent furieusement à l'équation des géodésiques. On peut les réécrire d'une manière encore plus semblable :
(on impose que le temps propre et le temps coordonnée sont proportionnels, pour tout mouvement -->temps absolu, défini à constante multiplicative près, c'est à dire l'unité de mesure).



On peut identifier des termes à des coefficients de Christofell (ceux de la connexion de Newton-Cartan) :




Chez Schwarzschild maintenant, la métrique s'exprime, en coordonnées de Schwarzschild :
(on a fixé pour simplifier l'expression, pratique courante)

Et l'équation des géodésiques, si on se limite aux mouvements dans le plan perpendiculaire à z () est :




On peut déjà contempler certaines similarités entre Newton et Schwarzschild, notamment l'équation en phi qui est identique, et des termes qui se ressemblent dans l'équation en r, surtout si on néglige 2M devant r (à grande distance de l'astre central donc) et qu'on remplace G par 1.

Il reste cependant une étape avant de pouvoir comparer proprement : il nous faut les dérivées non pas par rapport au temps propre, mais par rapport au temps coordonnée. La suite au prochain post.

m@ch3

[mach3]

Donc reprenons, par application de la règle de la chaine, on remplace les dérivées par rapport au temps propre par les dérivées par rapport à la coordonnées temporelle:



Chez Newton on revient simplement, en prenant G=1 et c=1 à :


est un terme centripète, alors que est un terme centrifuge. Vu dans ces coordonnées sphériques, il y a donc un terme attractif, lié uniquement à la masse centrale et à la distance à cette masse et un terme répulsif, lié à la vitesse angulaire. Pour une vitesse angulaire faible, on aura augmentation de r, ralentissement puis diminution de plus en plus rapide (un aphélie), alors que pour une vitesse angulaire forte, r va diminuer puis augmenter de nouveau (un périhélie).

Chez Schwarzschild, on obtient (sauf erreur) :


On peut réécrire la première équation d'un manière plus évocatrice :

on a les termes newtonniens usuels, , corrigés d'un facteur (1-2M/r) et un nouveau terme centrifuge lié à la vitesse radiale, .

Pour l'avance du périhélie de Mercure, le nouveau terme centrifuge est de peu d'importance car la vitesse radiale est faible (il a une importance beaucoup plus grande quand il s'agit de calculer la déviation de la lumière par un astre). C'est le facteur (1-2M/r) qui joue. Il réduit l'effet centripète par rapport à ce qui est attendu chez Newton quand l'astre est autour de l'aphélie et il réduit l'effet centrifuge par rapport à ce qui est attendu chez Newton quand l'astre est autour du périhélie. L'astre met donc plus de temps coordonnée à atteindre et à repartir de l'aphélie et du périhélie, l'effet étant plus marqué au périhélie car la distance plus faible, et pendant ce temps là, sa position angulaire progresse comme si de rien n'était (l'équation des géodésiques pour l'angle est la même chez Newton et Schwarzschild), donc les positions angulaires du périhélie et de l'aphélie avancent.

La dernière étape à régler est de voir d'où vient exactement ce facteur (1-2M/r) qui affaibli les termes newtoniens quand r devient petit.

m@ch3

[Deedee81]

Salut,

Très très bel effort. Bravo et merci

[Gilgamesh]

Je dirais même plus, bravo mach !

[externo]

Il ne me reste qu'à comprendre tout ça si je veux continuer à argumenter sur le sujet, sinon je ne serai plus crédible

[mach3]

Donc, d'où vient le facteur (1-2M/r) qui corrige les termes newtonniens ?

Reprenons l'équation des géodésiques en r avec des dérivées par rapport au temps coordonnée :



Développons la somme implicite sur alpha et beta en ne gardant que les termes non nuls :



Réarrangeons :



On a , c'est notre terme newtonnien corrigé de (1-2M/r)

En effet, et

Le facteur (1-2M/r) vient donc de ces deux symboles de Christofell. Regardons comment ils sont construits. On ne va faire que le premier, mais c'est similaire pour le second :



la métrique est diagonale donc est simplement l'inverse de , donc . est nul, ainsi que sa dérivée, ne reste que la dérivée de par rapport à r :



Le facteur (1-2M/r) est donc , l'inverse de .

Il est donc vrai que pour on n'aurait pas d'avance du périhélie (mais il n'est pas sûr à ce stade que ce serait la seule différence, par exemple on pourrait avoir absence d'avance du périhélie mais présence d'une autre bizarrerie, cela demanderait investigation).

Là où cela devient plus discutable, c'est de prétendre que l'avance du périhélie est due "à la courbure de l'espace". Certes, la partie spatiale de la métrique de Schwarzschild décrit bien un espace courbe (si on se restreint à , on obtient le paraboloïde de Flamm), ou dit autrement, les coupes à temps coordonnée de Schwarzschild sont bien des espaces courbes. Mais ce n'est qu'un espace choisi arbitrairement parmi plein d'autres. Donc ce n'est pas dû à la courbure de L'Espace, mais à la courbure d'un espace, celui qui a été considéré comme pertinent pour l'étude.
Le temps coordonnée de Schwarzschild a la particularité de permettre une symétrie par translation et inversion, comme le fait le temps absolu. Utiliser une autre coordonnée temporelle compliquerait inutilement la comparaison. C'est une raison suffisante pour choisir celui-ci, et ça implique des coupes spatiales courbées, mais ce n'est pas la raison "physique" de l'avance du périhélie.

m@ch3

[externo]

Mais ce n'est qu'un espace choisi arbitrairement parmi plein d'autres

Logiquement, l'espace et le temps dont il est question sont ceux d'un observateur immobile par rapport à l'objet massif et hors du champ gravitationnel. C'est la seule manière permettant de déterminer comment le champ déforme l'espace et le temps. Il me semble que tout autre point de vue ne peut que polluer les mesures.
Quand je parle de courbure de l'espace c'est la déformation de l'espace perçue par cet observateur immobile et hors du champ.

[Deedee81]

Salut,

Logiquement, l'espace et le temps dont il est question sont ceux d'un observateur immobile par rapport à l'objet massif et hors du champ gravitationnel. C'est la seule manière permettant de déterminer comment le champ déforme l'espace et le temps. Il me semble que tout autre point de vue ne peut que polluer les mesures.
Quand je parle de courbure de l'espace c'est la déformation de l'espace perçue par cet observateur immobile et hors du champ.

Il faudrait que tu précises deux choses :
- Pourquoi selon-toi seul un tel observateur (***) peut mesurer ça sans "pollution" ??? D'autant que tu disais "logiquement" donc tu dois avoir un argument théorique fort et immédiat pour dire ça. (*)
- Comment fait-il pour "percevoir" à distance ??? (**)

(**) La question n'est pas si banale car s'il y a une théorie où la localité est un pilier central, c'est la relativité générale. Tout processus physique ne peut s'imaginer que localement et de proche en proche. Une mesure comme une distance par exemple, ça n'a vraiment rien de trivial en RG ! Et choisir un observateur "hors du champ" peut singulièrement compliquer les mesures (et les "polluer").

(*) Ma question est fondée car contrairement à la métrique, les composantes du tenseur de Riemann-Christoffel ont une signification physique intrinsèque immédiate (pour le tenseur métrique, outre les changements de coordonnées bien entendu, il y a une invariance de jauge, on peut modifier la métrique de certaines manières sans changer la variété). Elles sont reliées à la déviation géodésique (forces de marées), la dilatation du temps gravitationnelle, la contraction des longueurs, etc. Donc peu importe qui fait la mesure. Si celle-ci se fait correctement, on aura le même résultat quel que soit l'observateur.

(***) Et la question est importante car en physique on essaie, au moins au niveau théorique, d'avoir des formulations indépendantes des observateurs. Et ça va très loin en RG où on a aussi une indépendance aux systèmes de coordonnées et même (c'est encore plus fort) une invariance sous les transformations par difféomorphismes. Alors bien entendu, pour des raisons pratiques on peut adopter tel ou tel point de vue (par exemple, je vais pas calculer mon trajet Charleroi-Namur dans le système héliocentrique, ce serait stupide). Mais cela ne change pas la théorie. Le fait de se débarrasser des artefacts dû à des choix arbitraires et humains permet d'avoir une vue bien plus profonde sur ce que révèle la théorie sur le monde physique.

EDIT mais prend peut-être bien le temps de lire ce que mach3 a écrit avant de me répondre, ça devrait t'aider

[mach3]

Logiquement, l'espace et le temps dont il est question sont ceux d'un observateur immobile par rapport à l'objet massif et hors du champ gravitationnel. C'est la seule manière permettant de déterminer comment le champ déforme l'espace et le temps. Il me semble que tout autre point de vue ne peut que polluer les mesures.
Quand je parle de courbure de l'espace c'est la déformation de l'espace perçue par cet observateur immobile et hors du champ.

Plusieurs objections, de différentes natures :

-historiquement les mesures effectuées pour déterminer les mouvements des corps célestes l'ont été par des observateurs mobiles et relativement proches de la masse centrale (les humains sur Terre...), pas par des observateurs immobiles et arbitrairement lointains qui de toutes façons n'existent pas en pratique.

-il y a une infinité de couples d'espace et de temps qui peuvent être considérés comme "ceux d'un observateur immobile par rapport à l'objet massif et hors du champ gravitationnel". Le couple d'espace et de temps exhibé par les coordonnées de Schwarzschild n'est que l'un d'entre-eux. Celui obtenus par les coordonnées de Gullstrand-Painlevé convient tout autant par exemple. La seule exigence (encore que...) c'est l'orthogonalité entre l'espace et le temps de l'observateur au niveau de l'observateur. Notons que l'espace et le temps exhibés par les coordonnées de Schwarzschild sont ceux d'observateurs se maintenant constamment à une position fixe quelconque par rapport à l'astre central et ayant trafiqué leurs horloges pour compenser exactement le décalage d'Einstein (plus l'observateur est près, plus il doit accélérer son horloge).

-un observateur ne perçoit pas la déformation de l'espace, il ne fait que percevoir ce qui est sur son cône de lumière passé au moment de l'observation. Il va ensuite reconstruire un modèle de l'espace-temps à partir de ces observations (attribuer des dates et des positions aux évènements), reconstruction basée sur des choix arbitraires (souvent implicites). C'est dans la reconstruction que l'observateur constatera forcément des déformations par rapport à ce qu'il attend intuitivement car habitué à un espace euclidien et à un temps absolu. Mais ces déformations dépendront des choix qu'il aura fait pour reconstruire et il n'y a pas de choix qui permette une reconstruction sans une déformation quelque part (sinon c'est que l'espace-temps est plat). Par exemple si je choisi un Gullstrand-Painlevé au lieu de Schwarzschild afin d'avoir un espace euclidien plutôt que courbé (on supprime la déformation de l'espace), je me retrouve avec des corps qui mettent plus de temps à aller du périhélie à l'aphélie que pour aller de l'aphélie au périhélie (ou l'inverse, selon si j'ai choisi les coordonnées dites entrantes ou sortantes).

Il n'y a pas de "pollution" des mesures car aucun point de vue n'est objectivement meilleur qu'un autre (ce serait peut-être le cas si l'espace et le temps étaient absolus). Le choix n'est que pratique et subjectif (facilité des calculs notamment).

m@ch3

[leopold 11]

Je ne vous suis (suivre) plus ... parce que => Ais-je tort de penser que c ne creuse pas l'espace-temps? Que plus la vitesse de la masse tend vers c , plus elle se dégage de l'espace-temps. Certains disent que la masse augmente en raison de c, mais d'autres disent que c'est de la mauvaise vulgarisation.

Que l'énergie du vide fait pression sur la membrane de l'espace-temps pour servir d'accélérant à l'expansion en aplanissant de plus en plus. Donc accélération de la masse.

C'est pas clair.

[Deedee81]

Salut,

Ais-je tort de penser que c ne creuse pas l'espace-temps? Que plus la vitesse de la masse tend vers c , plus elle se dégage de l'espace-temps.

Oui tu as tort : ça ne veut tout simplement rien dire.

Certains disent que la masse augmente en raison de c, mais d'autres disent que c'est de la mauvaise vulgarisation.

Il y a plusieurs notions différentes de masse. Ca a changé au cours du temps (hélas, ça peut conduire à des confusions). Actuellement on utilise une définition de la masse qui est conservée et invariante.

Et oui, la vulgarisation est souvent imprécise, imprudente.... Méfiance.

Que l'énergie du vide fait pression sur la membrane de l'espace-temps pour servir d'accélérant à l'expansion en aplanissant de plus en plus. Donc accélération de la masse.

La "membrane" de l'espace-temps ça ne veut rien dire. Et l'accélération de l'expansion due à l'énergie du vide, oui, c'est une des nombreuses hypothèses sur l'origine de cette accélération.

C'est pas clair.

Non, en effet, tu n'est pas clair et en plus tu es fortement hors sujet. Désolé, mais ça c'est quand même un manque de respect envers externo. Pourquoi viens-tu perturber sa discussion avec tes propres interrogations ?

[leopold 11]

Merci Deedee d'avoir clarifié ma perception de l'information.

[Deedee81]

Merci Deedee d'avoir clarifié ma perception de l'information.

Tu ne parlais pas d'information !!!!!
(franchement, parfois tu est TRES difficile à suivre)