Energie gravitationnelle d'une boule homogène et densité critique

[stefjm]

Bonjour,
Suite à cette réponse de Yves, je me suis posé une question toute bête!

Un petit ajout concernant les ordres de grandeur :
Aujourd'hui, en utilisant les densités réduites d'énergie , telles que la somme des vaut 1 dans un modèle d'espace-temps de courbure spatiale nulle,



[...]

L'énergie gravitationnelle d'une boule homogène est

et en tenant compte de la relation de densité critique (espace-temps plat ou rayon de S.) :

on obtient




Certes, il n'y a pas le pouillème pour , mais c'est quand même curieux et précis pour un calcul à la serpe.

Un début d'explication pour cette concordance?

Cordialement
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[stefjm]

Les sources :
https://fr.wikipedia.org/wiki/%C3%89..._homog%C3%A8ne
https://fr.wikipedia.org/wiki/Rayon_de_Schwarzschild

[Deedee81]

Salut,

Je pense que ce n'est pas un hasard, le lien est la compacité : https://fr.wikipedia.org/wiki/Compac...9_(astronomie)

Mais c'est à confirmer/détailler. Un des experts va forcément passer

[stefjm]

Ah merci,
La page sur la compacité s'est bien étoffée depuis la dernière fois que je l'avais lu!
Cool.

[A voir en vidéo sur Futura]

[yves95210]

Salut,

L'énergie gravitationnelle d'une boule homogène est

et en tenant compte de la relation de densité critique (espace-temps plat ou rayon de S.) :

on obtient




Certes, il n'y a pas le pouillème pour , mais c'est quand même curieux et précis pour un calcul à la serpe.

Un début d'explication pour cette concordance?

La relation Ω_m+Ω_r+Ω_Λ ≈ 1 est due au fait que dans un modèle d'espace-temps "plat" (i.e. dont les sections spatiales à temps cosmologique constant sont euclidiennes), correspondant aux observations du CMB, la densité totale d'énergie est égale à la densité critique. Or les Ω sont par définition des paramètres sans dimension, rapport entre les densités d'énergie des différents types (matière, rayonnement, constante cosmologique aka "énergie du vide") et la densité critique.

C'est donc par définition que, selon l'équation de Friedmann, leur somme vaut 1 lorsque la courbure spatiale est nulle. Mais ce n'est qu'un cas particulier de la solution de Friedmann-Lemaître. Dans le cas général, l'équation de Friedmann réduite (i.e. dont tous les termes sont divisés par H²) s'écrit
Ω_m + Ω_r + Ω_Λ + Ω_k = 1
en introduisant (un peu abusivement) un paramètre de "densité d'énergie" de la courbure, Ω_k = -kc²/(H²a²) ,
correspondant au terme -kc²/a² de l'équation de Friedmann non réduite (avec k=-1, 0 ou 1 selon le signe de la courbure spatiale). Le rayon de courbure est alors a, le facteur d'échelle (remarque : lorsque la courbure spatiale est nulle, a peut être défini arbitrairement et on a l'habitude de définir a(t₀)=1 à t₀=aujourd'hui. Mais ce n'est évidemment pas le cas lorsque la courbure est non nulle.)

Mais la relation que tu y vois avec l'énergie gravitationnelle d'une boule homogène est une coïncidence. La valeur de Ω_m évolue avec le temps et ce n'est qu'à l'époque actuelle qu'elle est proche de 0,3 (mais pas régale : elle est estimée à 0,315 ±0,07).

En ne gardant que les termes en ρ_m (densité de matière) et en Λ (constante cosmologique) de l'équation de Friedmann (puisque les autres sont négligeables), et ρ_m étant proportionnelle à a^-3 alors que Λ est constante, ces termes qui sont aujourd'hui dans un rapport 0,3/0,7 ne seront plus que dans un rapport (0,3/2³)/0,7 ~ 0,05/0,95 lorsque a aura doublé, dans quelques milliards d'années.

Ou inversement, à l'époque de l'émission du CMB et dans le milliard d'années suivant, Ω_Λ était encore négligeable (et Ω_r l'était déjà) devant Ω_m, qui valait donc pratiquement 1.

[Deedee81]

Désolé, j'étais franchement à coté de la plaque. Merci Yves

[stefjm]

J'avoue que je préfère la compacité d'une boule homogène à la variation sur un milliard d'année.

Je trouve curieux que l'argument de la compacité ne soit valable qu'aujourd'hui.

Après, ça ne va pas changer ma vie dans le prochain milliard d'année...

[stefjm]

Bonjour Yves,

Comment se fait-il qu'une bête analyse dimensionnelle à la serpe, qui utilise les hypothèses de base du domaine (homogénéité et densité critique) arrive à tomber par coïncidence sur la valeur actuelle?

Je suis bien conscient que l'AD donne un résultat approximatif qu'on peut toujours affiner en tenant compte d'autres données.

Si les données et hypothèses de départ sont correctes, c'est un résultat qui interpelle.

Il me semble que Jean Claude Pecker y avait été sensible en son temps.

Cordialement

[Deedee81]

Salut,

Comment se fait-il qu'une bête analyse dimensionnelle à la serpe, qui utilise les hypothèses de base du domaine (homogénéité et densité critique) arrive à tomber par coïncidence sur la valeur actuelle?

Parce que parmi de nombreuses AD possibles il y en a forcément qui "marchent presque" ? Parce que beaucoup de formules en physique sont simples et avec de petits coefficients ?
Difficile à dire !
Regarde la coïncidence du diamètre apparent de la Lune et du Soleil : ça colle super bien et même de manière excellente. Et pourtant ce n'est vrai qu'à notre époque.
Parfois on ne peut que constater, il n'y a pas toujours d'explications causales si je peux dire.

Je connais mieux Woody wood Pecker (non je rigole évidemment).

Si tu veux on peut déplacer en discussion libre ? (je doute qu'en pédagogie on puisse creuser plus le sujet)

[yves95210]

Salut,

Soit une boule de rayon a(t)R contenant des particules comobiles dans un espace homogène dont le facteur d'échelle est a(t), le taux d'expansion H(t) et la densité en tout point est ρ(t) = ρ₀a₀³/a³(t).
Sa masse est M = (4π/3)a³R³ρ, constante.

Son énergie gravitationnelle est E_g = -(3/5)GM²/(aR)

Son énergie cinétique dans le référentiel du centre de la boule, dans lequel la vitesse d'une particule comobile vaut H.r, est
Ec = (1/2) ∫₀^(aR) 4π r²ρ H²r² dr = (2π/5)a⁵ R⁵ ρ H² = (3/10)M a²R² H²

Si ρ(t) était égale à la densité critique, l'équation de Friedmann donnerait H² = (8π/3)G ρ= 2GM/(a³R³)
donc E_c = (3/5)GM²/(aR) = -E_g.

Mais aujourd'hui (en t₀₎ on mesure H₀ ~ 70 km/s/Mpc ~ 2,3.10^-18 s^-1, ce qui donne une densité critique
ρ_c(t₀) = 3 H_0²/ (8π G) ≈ 9,3.10^-27 kg/m³
alors que la densité totale de matière (baryonique + noire) est estimée à environ 3.10^-27 kg/m³ ≈ 0,3 ρ_c

Donc il manque quelque-chose... Ce quelque-chose peut-être la constante cosmologique (qu'autorise l'équation d'Einstein) ou une courbure spatiale négative, proportionnelle à a^-2(t), dans la solution de Friedmann-Lemaître (unique solution de l'équation d'Einstein pour un espace-temps spatialement homogène et isotrope), où
H² = (8π/3)G ρ + kc²/a² + c²Λ/3

Mais dans les deux cas le rapport ρ/ρ_c ne peut pas être constant, puisque ρ(t) est proportionnelle à a^-3(t). Donc c'est bien une coïncidence si aujourd'hui ρ ≈ 0,3 ρ_c.

D'autre part les observations du CMB, compatibles avec une courbure spatiale nulle avec une marge d'erreur très faible, indiquent que la courbure doit encore être négligeable aujourd'hui (même si le terme de courbure décroit moins vite que le terme de densité d'énergie de la matière), du moins si l'univers est bien décrit par le modèle de Friedmann-Lemaître. Il ne reste donc que la constante cosmologique...

[stefjm]

@Deedee : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jean-Claude_Pecker

@Yves : Dans le cas de variation, que représente cette grandeur estimée par AD? Ou dit autrement, quelle hypothèse de départ de cette AD est fausse?
C'est très curieux de ne pas tomber sur le bon ordre de grandeur avec une AD simple.

Cordialement

[Deedee81]

Salut,

wikipedia Jean-Claude_Pecker

Oui j'avais été voir

Je déplace en discussions libres car on s'écarte nettement de l'explication de choses connues.

Merci,

[pm42]

Oui j'avais été voir

L'article est bizarre : "Les hypothèses émises, comme celle de la lumière fatiguée sont en effet critiquées – sinon totalement ignorées – par les cosmologistes actuels"

Ce n'est pas ignoré, c'est juste que cela ne colle pas aux observations notamment de COBE (ce qui a été sanctionné par un Nobel) : https://fr.wikipedia.org/wiki/Lumière_fatiguée

[Deedee81]

Je n'avais pas vu ce passage mais qu'il ait défendu cette idée à une époque où ce n'était pas confirmé n'est sans doute pas si bizarre que ça. Juste un "mauvais cheval"
Par contre la lettre ouverte en question, là, oui il s'est clairement entêté alors que c'était invalidé. C'est bien malheureux. Enfin, bon, il était plus qu'en fin de carrière à ce moment là.

cela ne colle pas aux observations notamment de COBE

Et aussi des chandelles supernovae (la dilatation du temps apparente, non relativiste, due à l'éloignement colle parfaitement. Il serait surprenant qu'un effet inconnu altère deux phénomènes totalement indépendant : Doppler (cosmologique ici) et durée de la courbe de luminosité d'une SN, exactement de la même manière). Mais c'est venu après COBE.

[yves95210]

@Yves : Dans le cas de variation, que représente cette grandeur estimée par AD? Ou dit autrement, quelle hypothèse de départ de cette AD est fausse?
C'est très curieux de ne pas tomber sur le bon ordre de grandeur avec une AD simple.

La même AD effectuée par un physicien il y a quelques milliards d'années ou dans quelques milliards d'années ne donnerait pas "le bon ordre de grandeur".

J'ai détaillé le calcul dans le cas particulier d'un espace-temps "plat" où de plus, seule la densité d'énergie de la matière intervient dans l'équation de Friedmann (rayonnement négligeable, constante cosmologique nulle ou négligeable), et montré que ton facteur (3/10)M intervient dans l'expression de l'énergie cinétique de la boule homogène en expansion.

Cette énergie cinétique est égale au (3/10)Mc² que donne ton AD lorsque le rayon a(t)R de la boule est égal au rayon de Hubble c/H(t). Mais pour une valeur quelconque de R cela n'arrive que lorsque a(t)H(t) = c/R, donc lorsque (2/3)a₀ t^-1/3t₀^-2/3 = c/R .

De plus le rayon de Hubble n'est qu'une grandeur caractéristique. Il ne correspond à rien de physique (d'observable) : si H était constant, ce serait la distance (constante aussi) à laquelle la vitesse de récession des galaxies serait égale à c. Mais H n'est pas constant.

[Nicophil]

Bonjour,

Cet article date de 2002 mais je crois que les modèles "linear coasting" ont toujours des partisans :
https://arxiv.org/abs/astro-ph/0209209

[stefjm]

Avec une ressetion exponentielle, c'est assez normale d'avoir une force proportionnelle à la distance.
Une force est de dimension M L T^-2, ce qui confirme l'expression la plus simple.

[stefjm]

La même AD effectuée par un physicien il y a quelques milliards d'années ou dans quelques milliards d'années ne donnerait pas "le bon ordre de grandeur".

J'ai détaillé le calcul dans le cas particulier d'un espace-temps "plat" où de plus, seule la densité d'énergie de la matière intervient dans l'équation de Friedmann (rayonnement négligeable, constante cosmologique nulle ou négligeable), et montré que ton facteur (3/10)M intervient dans l'expression de l'énergie cinétique de la boule homogène en expansion.

Cette énergie cinétique est égale au (3/10)Mc² que donne ton AD lorsque le rayon a(t)R de la boule est égal au rayon de Hubble c/H(t). Mais pour une valeur quelconque de R cela n'arrive que lorsque a(t)H(t) = c/R, donc lorsque (2/3)a₀ t^-1/3t₀^-2/3 = c/R .

De plus le rayon de Hubble n'est qu'une grandeur caractéristique. Il ne correspond à rien de physique (d'observable) : si H était constant, ce serait la distance (constante aussi) à laquelle la vitesse de récession des galaxies serait égale à c. Mais H n'est pas constant.

Merci pour les explications.
Je vois le rayon de Hubble comme correspondant à la distance où le décalage spectral vaut 100% : C'est quand même assez physique comme définition. Non?