Bonjour,
J'ai un devoir de topologie et calcul différentielle et je bloque sur une question vraiment bête je pense...
On se donne E un espace vectoriel réel,, une fonction f:E\{0}->R et
l'ensemble des fonctions positivement homogène de degrés
et une norme
sur E.
On a montré à la question précédente que si f appartient àalors
.
On doit montrer maintenant queest continue sur E\{0} si et seulement si
est continue, les ensembles étant munis de la distance induite par celle de la norme. (donc valeur absolue pour l'image de f sur R et la norme définie sur E pour le reste si je ne me trompe pas?)
Pour le sens direct de l'équivalence, il est clair que la restriction à la boule unité est continue car une restriction préserve la continuité mais il reste le problème en 0 que je ne sais pas comment traiter... J'ai essayé de montrer que la fonction est lipschitzienne mais cela ne doit pas être la bonne piste.
Pour le sens indirect, je prends beaucoup de précautions car nous n'avons aucune indication sur la linéarité de f, on ne peut donc pas trop jouer avec la normes pour avoir la continuité, puis je sent également qu'il y a 2/3 gros pièges dans lesquels ne pas tomber.
Merci d'avance pour l'aide et bonne soirée!
-----