Continuité des fonctions positivement homogène sur la boule unité

[Dio22]

Bonjour,
J'ai un devoir de topologie et calcul différentielle et je bloque sur une question vraiment bête je pense...

On se donne E un espace vectoriel réel, , une fonction f:E\{0}->R et l'ensemble des fonctions positivement homogène de degrés et une norme sur E.


On a montré à la question précédente que si f appartient à alors .


On doit montrer maintenant que est continue sur E\{0} si et seulement si est continue, les ensembles étant munis de la distance induite par celle de la norme. (donc valeur absolue pour l'image de f sur R et la norme définie sur E pour le reste si je ne me trompe pas?)

Pour le sens direct de l'équivalence, il est clair que la restriction à la boule unité est continue car une restriction préserve la continuité mais il reste le problème en 0 que je ne sais pas comment traiter... J'ai essayé de montrer que la fonction est lipschitzienne mais cela ne doit pas être la bonne piste.

Pour le sens indirect, je prends beaucoup de précautions car nous n'avons aucune indication sur la linéarité de f, on ne peut donc pas trop jouer avec la normes pour avoir la continuité, puis je sent également qu'il y a 2/3 gros pièges dans lesquels ne pas tomber.

Merci d'avance pour l'aide et bonne soirée!
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[Tryss2]

Quel problème en 0?

Si f est continue sur E/{0}, alors elle est continue sur sa restriction à la sphère unité, dans ce sens là, il n'y a aucune raison de s'intéresser à ce qui se passe en 0

Le sens interessant c'est "si f continue sur la sphère unité, alors elle est continue sur E/{0}. Pour ce faire, tu peux montrer que si tend vers dans E/{0}, alors tend vers . On peut écrire que , avec et

[Dio22]

Je me disais que étant donné que 0 appartient à la boule unité, il pouvait y avoir un problème car le domaine de définition de f est E\{0} mais en effet j'ai inventé un problème car on prend juste la restriction sans s'intéresser à 0.
Merci beaucoup je vais essayer dans ce sens ça devrait aller je pense, bonne journée.

[Dio22]

Re-Bonjour,
En essayant dans ce sens, je bloque à 2 doigts de la fin...

On suppose comme f est continue sur la boule unité on a donc

Mais je ne sais pas comment me débarasser de la norme de x dans le f, pour pouvoir conclure, et en essayant de poser comme vous m'avez indiqué j'arrive à un terme encore moins proche de notre f(x) voulu.. Est-ce que je peux directement ne pas me soucier de la norme de x dans le f et le considérer comme un scalaire donc dire que c'est en fait équivalent à f(x)?

Merci d'avance pour votre aide et bonne soirée.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tryss2]

Avec mes notations,

Si tu arrives à justifier que et , alors tu va pouvoir facilement montrer que (rappel, les y_n et y appartiennent à S(0,1) )