Bonjour,
J'aimerai savoir s'il est numériquement possible de tirer aléatoirement des points avec une distribution uniforme sur la boule unité de(d, choisi quelconque). Si oui, pourriez vous m'orienter vers un algorithme le faisant ?
Merci d'avance
Benarrs
Suffit de tirer un échatillon issu d'une variable aléatoire uniforme sur l'intervalle [-0.5;0.5] x [-0.5;0.5] x ... x [-0.5;0.5] (d fois) et de vérifier que la norme sur Rd est inférieure à 1.
Sauf erreur de ma part, l'hypercube
La méthode de rejet avec l'hypercube
Erreur de ma part, en effet, plutôtEnvoyé par Benarrs
Sauf erreur de ma part, l'hypercube
La méthode de rejet avec l'hypercube
Tend à l'infini pour d tendant vers l'infini, oui.
Mais dans le cas d=15 ou d=20 ce n'est pas infini...
Juste que la probabilité de tirer un aléa issu de l'hypercube et appartenant à l'hyper-sphère est très faible, et tend vers 0 pour d=infini.
Ok, donc mis à part cette méthode (qui devient très mauvaise dés que d est grand), n'y a-t-il rien d'autre ?
ps: pour d=15, les résultats sont déjà catastrophiques.
Sinon raisonner en coordonnées polaires, c'est-à-dire tirer dans une loi uniforme chaque coordonnées.
Ici dans ton espace à d dimensions, tu tires le rayon r et les angles a1 ... a2 ... ad. Puis tu passes en coordonnées rectangulaires pour avoir les angles x1 ... x2 ... xd.
Sinon une méthode connue et reconnue, assez efficace : http://en.wikipedia.org/wiki/Von_Mis...r_distribution
En tirant au hasard d variables gausienne de même paramètre et qu'on normalise ensuite le vecteur obtenue on obtiens un point aléatoire sur la sphère. (selon une loi uniforme)
il ne reste plus qu'à tirer un rayon selon la bonne loi (qui est facile à calculer : la probabilité que r soit entre a et b est le volume de la courone de rayon a,b divisé par le volume de la sphère...
Merci Ksilver,
Bien vu pour l'invariance par rotation de la densité gaussienne.
Sinon concernant la dernière réponse de Hal, j'ai l'impression que les points tirés de cette façon, vont se concentrer au centre de la boule (pour les petits rayons).
réponse tardive mais si ça peut servir
on peut facilement générer des variables aléatoires selon une distribution gaussienne en dimension d quelconque (http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale#Simulation)
La somme carrée de variables aléatoires gaussiennes suivent une loi du chi2 à d degrés de liberté.
Ainsi, avec la fonction de répartition F de la loi du chi2, on a :
un exemple d'implémentation sous octave/matlab:
Code:d=3;%dimension n=1000;%nombre de points r=1;%rayon de la boule mu=0;%moyenne de la gaussienne et=1;%ecart-type de la gaussienne distrib_0=mu+et*randn(nout,d);%distribution des points initiaux distrib_1=zeros(nout,d);%distrib des points finaux (dans la boule) for i=1:size(distrib_0,1) x=distrib_0(i,:); nx=norm(x,2); z=chi2cdf(nx^2,d);%fonction de repartition de la loi du chi2 avec d ddl; utilisation de gammainc avec matlab r1=z^(1/d);%prise en compte de la dimension distrib_1(i,:)=x/nx*r1*r;%normalisation end b=1.5*r;%juste pour 'affichage plot(distrib_1(:,1),distrib_1(:,2),"+4");%affichage selon les 2 premiers axes=>essayer avec les 3 premiers avec plot3d, meshgrid ... axis([-b b -b b],"square"); figure; plot(distrib_0(:,1),distrib_0(:,2),"+"); axis([-b b -b b],"square");
