[SUITE] Construction des Entiers relatifs (Z)

[Lyrane]

Bonjour à tous,
tout d'abord merci à PlaneteF et g00 qui mont aidé à trouver le 1)

Voilà mon problème, je cherche à construire l'ensemble des entiers relatifs (Z).
Pour ce faire j'ai un énoncé qui me donne les étapes clés :

Considérons l’ensemble E = N × N. On définit dans E la relation R suivante :
∀(n, m) ∈ E, ∀(n',m') ∈ E, (n, m) R (n',m') ⇐⇒ n + m' = m + n'

1. Vérifier que la relation R est une relation d’équivalence dans E. On définit alors Z comme étant le quotient de N × N par R. Les éléments de Z sont appelés entiers relatifs.

1]Pour montrer que R est une relation d'équivalence dans E, (fait via l'aide du forum sur un autre topic)
je doit montrer les caractéristiques suivantes:

-(1) réflexivité
-(2) symétrie
-(3) transitivité

(1) ∀ n,n',m,m' ∈ E ((n,m)R(n,m))
démonstration : On a n+m = m+n Ce qui est instantané

E est bien réflexive

(2) ∀ n,n',m,m' ∈ E ((n,m)R(n',m')) ==> ((n',m')R(n,m))
démonstration:
On a n+m' = m+n' ==> n'+m = m'+n Ce qui est instantané

E est bien symétrique.

(3) ∀ n, n', m, m' ∈ E ((n,m)R(n',m') et (n',m')R(n'',m'')) ==> (n,m)R(n'',m'')
démonstration:
On a n+m' = m+n' et n'+m'' = m'+n'' ==> n+m'' = m+n''
n+m'=m+n'
m''+n+m'=m''+m+n'
or n'+m'' = m'+n''
donc m''+n+m'=m'+n''+m (en retirant m' de chaque côté)

E est bien transitive

Le relation R est bien une relation d'équivalence dans E.
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Passons maintenant au 2.

Déterminer C(0, 0), C(1, 0) et C(0, 1).

Ici je ne sais pas ce que signifie C... la première idée qui m'est venu est que cela correspond a des coordonnées qui permettent
de visualiser les nombres dans un plan... je ne voit pas trop comment cela va m'aidé a avancer dans le problème.

Voila ce que j'ai produit pour le moment sur le 2.)

Soit n,n', m, m' ∈ E,

n=m=0 C(n,m)
n'=m'=1 C(n',m) C(m',m)

Si vous pouviez me donner un tout petit indice sur la signification et l'utilité de C, peut-être que cela me donnera une idée pour continuer mon travail.

Merci pour votre temps, pardon pour les fautes
-----

[Lyrane]

Après plusieurs minutes à regarder la question d'un air menaçant, voila ce que j'ai trouvé comme 2ième idée :

Considérons (n,m) comme étant n-m,
de cette manière, (0,0) est l'élément neutre
(0,1) = 0-1 = -1
(1,0) = 1-0 = 1
un opposé a tout entier relatif est instantané,
Si (n,m) + (n',m') <==> (0,0).
Alors (n',m') est l'opposé de (n,m)

[PlaneteF]

Bonjour,

Passons maintenant au 2.

Déterminer C(0, 0), C(1, 0) et C(0, 1).

Ici je ne sais pas ce que signifie C...

Tu viens de démontrer que est une relation d'équivalence ... Donc la suite intuitivement logique de cette histoire c'est de parler de classes d'équivalence qui vont te permettre de définir les entiers relatifs.

Donc à 95% (voire plus ) ... je dirais que signifie la classe d'équivalence de


Cordialement

[gg0]

Bonjour.

J'interprète C comme "classe de", C(0,0) est la classe de (0,0) pour le relation d'équivalence R. C'est donc un ensemble de couples d'entiers naturels, tous ceux qui sont en relation avec (0,0) : C(0,0)={(0,0), ... }.

Par contre, je ne comprends rien à ta preuve de la transitivité :
"démonstration:
On a n+m' = m+n' et n'+m'' = m'+n'' ==> n+m'' = m+n'' (1)
n+m'=m+n'
m''+n+m'=m''+m+n'
or n'+m'' = m'+n''
donc m''+n+m'=m'+n''+m (en retirant m' de chaque côté) (2)

E est bien transitive"
Tu as vraiment du mal avec le français !!
(1) "On a" veut dire que c'est établi, c'est déjà démontré (reprise d'hypothèses, ...). Or ce que tu écris, c'est ce qu'il faut démontrer !!
(2) "en retirant" veut dire que c'est ce qu'on obtient une fois qu'on a retiré !!! Or tu n'as pas encore retiré m'

Ta démonstration devrait avoir la forme :
"démonstration:
On a n+m' = m+n' et n'+m'' = m'+n''
n+m'=m+n'
m''+n+m'=m''+m+n'
or n'+m'' = m'+n''
donc m''+n+m'=m'+n''+m
et, en retirant m' de chaque côté
n+m'' = m+n'' et là il devient clair qu'on a bien démontré que n+m' = m+n' et n'+m'' = m'+n'' ==> n+m'' = m+n''

E est bien transitive"
Pour éviter les ennuis : Ne jamais écrire la conclusion au début. Tu l'apprends en français aussi, la conclusion vient à la fin. Si tu as besoin de la traduire, tu l'écris au brouillon. Mais dans ta preuve, elle arrive à la fin, d'abord traduite si nécessaire, puis écrite pour la première fois (en dehors de l'énoncé).

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Lyrane]

Très bien, je vais me renseigner sur les classes d'équivalence dans ce cas.
Je vais essayé de faire attention à ma manière de rédiger.

Merci de votre aide

[Lyrane]

Via mes recherches, j'ai pour faire ceci : pour C(0,0)

déterminer tous les couples (n,m) tels que (n,m)R(0,0) Mais.

(n,m)R(0,0) <==> n=0 (grâce a la partie 1)

Il faut donc n=0 et m quelconque.
la classe d'équivalence pour (0,0) pour la relation d'équivalence R est
{(0,m) ; m∈N}

[PlaneteF]

(n,m)R(0,0) <==> n=0 (grâce a la partie 1)

Non, c'est faux ... Applique correctement la définition de

[Lyrane]

Oui je me suis trompé dans l'équivalence de R ça fait 5minutes que j'essaye de modifier mon message sans succés

[Lyrane]

déterminer tous les couples (n,m) tels que (n,m)R(0,0) Mais

(n, m) R (n', m') ⇐⇒ n + m' = m + n'
(n, m) R (0, 0) ⇐⇒ n + 0 = m + 0

Donc on obtient n = m

la classe d'équivalence pour (0,0) pour la relation d'équivalence R est
{n=m; (n,m)∈N}

[gg0]

Toujours des problèmes d'écriture ! Tu ne fais pas attention à ce que tu écris.
{n=m; (n,m)∈N} est l'ensemble des égalités n=m pour n et m entiers. Or la classe de (0,0) est, par définition un ensemble de couples d'entiers. Lequel ?
C(0,0) = { (a,b) / .... }

[PlaneteF]

la classe d'équivalence pour (0,0) pour la relation d'équivalence R est
{n=m; (n,m)∈N}

Ecriture confuse (et c'est un euphémisme )

De mon côté, j'écrirais : C(0,0) = {(n,n), n€N}

[Lyrane]

g00 --> C(0,0) = {(a,b)/(a,b)} ? Dans ce cas...

C(0,0)={(n,m)€E/(n,m)R(0,0)} =

C(0,0)={(n,m)€E/n=m}

[gg0]

Voilà. Ou L'écriture de PlaneteF, plus précise. Ou encore de façon détaillée mais imprécise :
C(0,0)={(0,0),(1,1),(2,2), ...,(n,n), ...}

[Lyrane]

D'accord merci a vous deux,
finalement je trouve pour la partie 2]

C(0,0)
déterminer tous les couples (n,m) tels que (n,m)R(0,0) Mais

(n, m) R (n', m') ⇐⇒ n + m' = m + n'
(n, m) R (0, 0) ⇐⇒ n + 0 = m + 0

Donc on obtient n = m

C(0,0)={(n,m)€E/n=m} ou encore C(0,0)={(n,n)}

C(1,0)
déterminer tous les couples (n,m) tels que (n,m)R(1,0)

(n, m) R (1, 0) ⇐⇒ n + 0 = m + 1

Donc on obtient n = m + 1

C(1,0)={(n,m)€E/n=m+1}

C(0,1)
déterminer tous les couples (n,m) tels que (n,m)R(0,1)

(n,m) R (0,1) ⇐⇒ n + 1 = m + 0

Donc on obtient m = n + 1

C(0,1)={(n,m)€E/m=n+1}

[PlaneteF]

C(1,0)={(n,m)€E/n=m+1}

Je trouve que l'on voit mieux la forme des solutions en écrivant : C(1,0) = {(n+1,n), n€N}

C(0,1)={(n,m)€E/m=n+1}

Idem ici en écrivant : C(0,1) = {(n,n+1), n€N}

[Lyrane]

Oui je suis d'accord ! merci beaucoup pour votre aide encore une fois

[Lyrane]

Maintenant que la partie 1] et 2] sont clairs,
Passons à la partie 3]

Soient pi : N × N → Z l’application canonique et *Z* = {(n, 0), n ∈ N} ∪ {(0, n), n ∈ N}. Montrer
que l’ensemble *Z* est un système de représentants de Z.


On note Z₊ = {x ∈ Z/∃n ∈ N, pi(n, 0) = x} et Z₋ = {x ∈ Z/∃n ∈ N, pi(0, n) = x}.
On a Z = Z₊ ∪ Z− et Z₊ ∩ Z₋ = {pi(0, 0)}. L’ensemble Z₊ est appelé ensembles des entiers
positifs et l’ensemble Z₋ est appelé ensembles des entiers négatifs.

Je ne vois pas pourquoi pi vient nous embêter ici...
De ce que j'ai pu comprendre grâce aux résultats précédents, c'est que :
{(n, 0), n ∈ N} correspond a un entier qu'on ne modifie pas. (+)
{(0, n), n ∈ N} correspond a un entier dont on prend l'opposé. (-)

L'union de ces parties nous donne bien l'ensemble Z

comment le prouver ? une idée pourrait être de calculer ces deux parties et de voir le résultat,
allons-y, avec n € N, {(n, 0), n ∈ N} ∪ {(0, n), n ∈ N} on obtient : (j'utilise la définition de R)

n+n=0+0
n= 0 Or 0=-0
donc n = -n (j'ai le droit de faire ça ???)

de la même manière qu'avec l'exercice 2 si vous pouviez me donner un tout petit indice sa m'aiderais surement à trouver des idées plus intéressantes que 0=-0

D'ailleurs je ne sais pas si utiliser R est le bienvenu dans cette partie.

Merci pour votre temps.

[Tryss2]

Edit : petit problème de mon coté

[gg0]

Je n'ai pas vu moi non plus pourquoi l'énoncé parle de l'application canonique. Peut-être pour la suite ? En tout cas, ce qu'on te demande, c'est de prouver qu'il y a bijection entre Z et *Z*; l'application est assez évidente, reste à montrer qu'elle est bijective. Et tu as raison, on continuera à noter n le représentant (0,n) de la classe C(0,n) et -n le représentant (n,0) de la classe C(n,0).

[Lyrane]

C'est pourtant la dernière question... quoi qu'il en soit je vois bien la bijection.
Elle saute aux yeux même je pense ne pas trop dire de bêtise en écrivant ceci (même si sa na rien de rigoureux)
*Z* = {N} U {-N}
De cette manière il est évident que *Z*=Z (l'ensemble relatif)

[gg0]

Heu ... tu n'as pas défini d'application donc je ne sais pas ce qui saute aux yeux. *Z* = {N} U {-N} n'a aucun sens, on ne sait pas qui est -N, et même en lui donnant le sens "l'ensemble des entiers avec pour chacun un signe - devant", ça donnerait seulement 2 éléments dans *Z*, qui a été défini comme un ensemble infini. Toujours tes difficultés à faire attention à ce que tu écris. Les notations des ensembles sont simples, il faut simplement faire attention à écrire ce qu'on veut, pas autre chose. {u} est un ensemble à un élément; {f,*} un ensemble à deux éléments, ...

Par contre, n'ayant pas l'énoncé exact et complet sous les yeux, j'aimerais bien savoir qui est Z : ça ne peut pas être l'ensemble des entiers relatifs, on est en train de le construire); ça n'est pas { ...-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} qui est *Z*. D'ailleurs sans les opérations habituelles, c'est très peu utile. Cet exercice fait peut-être allusion à un cours sur les relations d'équivalence et les classes d'équivalence qui définit "l'application canonique", et dans ce cas, Z serait défini par cette notation ??

[Lyrane]

Voici l'énoncé complet :

Considérons l’ensemble E = N × N. On définit dans E la relation R suivante :
∀(n, m) ∈ E, ∀(n',m') ∈ E, (n, m) R (n',m') ⇐⇒ n + m' = m + n'

Après ça, la question 1 et 2 sont demandés qu'on a déjà traité.

La question 3:
Soient pi : N × N → Z l’application canonique et Z = {(n, 0), n ∈ N} ∪ {(0, n), n ∈ N}. Montrer
que l’ensemble Z est un système de représentants de ℤ.


On note ℤ+ = {x ∈ ℤ/∃n ∈ N, pi(n, 0) = x} et Z− = {x ∈ ℤ/∃n ∈ N, pi(0, n) = x}.
On a ℤ = ℤ+ ∪ ℤ− et ℤ+ ∩ ℤ− = {pi(0, 0)}. L’ensemble ℤ+ est appelé ensembles des entiers
positifs et l’ensemble ℤ− est appelé ensembles des entiers négatifs.

[gg0]

Heu ... il y a deux fois Z, ou bien c'est (comme au message #17} "Soient pi : N × N → Z l’application canonique et *Z* = {(n, 0), n ∈ N} ∪ {(0, n), n ∈ N}. Montrer que l’ensemble *Z* est un système de représentants de ℤ " ? Je vais supposer que c'est ça.

Donc Z est défini comme l'ensemble des classes d'équivalence (par la donnée de l'application canonique). Un "système de représentants de ℤ" est un ensemble d'éléments de l'ensemble de départ de pi qui contient un représentant et un seul de chaque classe, donc qui est en bijection avec l'ensemble des classes, mais qui est composé de couples.
A toi de justifier cela.

[Lyrane]

ℕxℕ → ℤ l’application canonique et Z = {(n, 0), n ∈ ℕ} ∪ {(0, n), n ∈ ℕ}. Montrer que l’ensemble Z est un système de représentants de ℤ
Voila, j'avais noté *Z* pour le différencier de l'ensemble Z (et forcement je me suis planté en recopiant...)

[gg0]

Désolé, je ne comprends plus rien à ton énoncé.

[Lyrane]

Tenez j'aurais du le faire depuis longtemps : https://foad.univ-rennes1.fr/pluginf...rcices3%20.pdf (si on ne peut pas l'ouvrir je vais faire une capture d'écran)
Il s'agit de l'exercice 4

[gg0]

A priori, il faut un compte pour ouvrir.

[Lyrane]

https://www.noelshack.com/2020-49-5-...6840-oh-no.png

[Lyrane]

Voilà une autre idée :

Tout d'abord je note
Z1={(n,0),n€N}
Z2={(0,n),n€N}

Avec ceci je cherche a obtenir

∀ n € N, ∀ x € Z ==> n=x

avec n = |x|

Si x > 0, en utilisant Z1, on trouve n=x
Si x < 0, en utilisant Z2, on trouve n=x

Je pense bien que ce que je raconte n'est pas suffisant / pas attendu mais c'est un manière de présenter mon raisonnement

[gg0]

OK, je viens de lire ton énoncé, il y a bien deux ensembles différents :
* , le quotient de par la relation , donc l'ensemble des classes de couples d'entiers naturels. C(0,0) est un élément de .
* , qui s'écrit différemment, et qui est défini comme un ensemble de couples. C(0,0) n'est pas un élément de . (0 , 5) est un élément de , mais pas une classe. Donc pas un élément de .

Deux autre choses :
* cet exercice est une partie d'un exercice plus long (*), mais repris tel quel; ce qui explique qu'on y parle d'une application canonique qui ne sert pas.
* La question 3 comporte 2 lignes. Pas plus. Les trois dernières lignes sont indépendantes, et tu n'as rien à faire avec.

Il va te falloir enfin te décider à montrer que pour tout élément de , c'est à dire toute classe, il y a un et un seul élément qui est dans , qui représente la classe. Pour t'aider : qui représente la classe C(2,27) ? La classe C(8,2) ? La classe C(9,9) ? Et inversement (mais c'est très évident) que tout élément de représente une classe.

Cordialement

(*) qui continue peut-être par l'exercice 5.