[Topologie] homéomorphisme et boule unité

[Tiky]

Bonjour à tous,

J'ai un exercice de topologie qui est en apparence très simple mais que je ne parviens pas du tout à résoudre convenablement. L'énoncé exact est le suivant :
Montrer que dans l'espace vectoriel normé où est la distance euclidienne, la boule unité (euclidienne) est homéomorphe à l'espace tout entier.

Je cherche donc homéomorphisme entre et . L'idée immédiate étant d'utiliser la distance à un ensemble que je note d.

J'avais donc pris l'application avec S la sphère unité mais f n'est pas injectif :/.

J'ai donc essayé de corriger le défaut d'injectivité de la manière suivante :
lorsque
lorsque

Il y a évidemment deux problèmes avec cette application. Déjà il faut déterminer son inverse.

Je pose pour un certain x de E. Alors :
- soit y est dans la boule unité fermée de centre 0 et de rayon 1/2. Son antécédent est donc 2y.
- soit y est entre cette boule unité fermée et la boule ouverte de rayon 1. Alors on sait déjà que et ont
même direction. Il reste à déterminer la distance à l'aide de .
On sait que , donc
Et je trouve pour antécédent de y,

Le second problème est qu'il faut montrer que ces deux applications sont continues et j'ai un doute fort là-dessus.
-----

[invite57a1e779]

Tout simplement : où est une bijection continue et croissante de dans .

On cherche donc une fonction très simple donc le tableau des variations soit :

[Médiat]

Bonjour,

Est-ce que la fonction définie pas

ne fonctionne pas ?

[EDIT] Grillé, dans la même minute

[Tiky]

Ok, donc je mettais pris la tête pour rien. En plus ma "solution" à la défaut de ne fonctionner qu'avec la norme euclidienne il me semble. Merci à vous deux.

[A voir en vidéo sur Futura]