Les Quaternions et l'espace-temps

[Trictrac]

Bonjour,

Les quaternions ont été inventés par Hamilton pour modéliser les rotations de l'espace.
Dans cette représentation le temps est réel (scalaire) et l'espace est vectoriel (imaginaire)
Cette représentation diffère de celle purement vectorielle de Minkowski ou encore de celle équivalente à Minkowski et qui repose sur un temps imaginaire et un espace réel.

La multiplication quaternionique fait apparaître implicitement le produit scalaire et le produit vectoriel naturel d’une composante « spatiale », qu’on peut séparer naturellement d’une composante « temporelle ». Ainsi, tandis que le corps est un « plan algébrique », l’algèbre est en quelque sorte un « espace-temps algébrique », intrinsèquement mathématique. https://reglecompas.fr/quaternions-hamilton

Tout comme les nombres complexes fonctionnent avec deux termes, les quaternions appartiennent à un système de nombre basé sur quatre termes. Hamilton a passé des années à travailler avec trois termes, un pour chaque dimension de l’espace, mais ne pouvait les faire tourner dans un plan. Finalement, Hamilton eut l'idée de passer à un paramètre de plus, et créa ainsi une quatrième dimension, avec les Quaternions. Quand il ajouta la quatrième dimension, il obtint la rotation en trois dimensions qu'il cherchait. Cependant il eut du mal à définir ce que ce terme supplémentaire pouvait signifier. Dans la préface de ses conférences sur les Quaternions (Lectures on Quaternions) de 1853, il a ajouté une note : "Il me semblait (et me semble encore) naturel de connecter cet appareil extra-spatiale avec la conception du temps. " (Citation d’origine: "It seemed (and still seems) to me natural to connect this extra-spatial unit with the conception of time.")
https://alice-au-pays-des-mathematiq...lespace-temps/

2) Une question de géométrie : pourquoi, pour s’orienter dans un espace vectoriel 3D, vaut-il mieux recourir à une quatrième dimension (d’un autre type : numérique), apte à paramétrer et synthétiser l’ensemble ?
On examinera la parenté de ce problème avec la pseudo-métrique de l’espace-temps « dx2+dy2+dz2-c2dt2 » par Minkowski (1907).
http://www.entretemps.asso.fr/Nicola...umentaire.html

Mais une autre règle de calcul vérifiée pour les nombres réels ou complexes cesse d’être valable pour les quaternions : la multiplication n’est plus commutative, comme le montre déjà la relation ij=−ji. D’ailleurs Hamilton explique que le désir de définir une multiplication commutative pour les triplets est ce qui l’a longtemps bloqué.
H est le premier exemple historique d’algèbre unitaire, associative, non-commutative sur R. Mais H est de plus un corps (comme il est non-commutatif, on dit aussi qu’il s’agit d’un anneau à division) : tout élément non-nul admet un inverse.
https://analysis-situs.math.cnrs.fr/...ibrations.html

En fait l'analyse vectorielle n'a conservé que la partie vectorielle des quaternions. Mais lorsqu'on a cherché à lier le temps à l'espace en 1905 pourquoi a-t-on créé une 4e dimension vectorielle alors qu'une solution était déjà toute trouvée avec les quaternions ? Parce que ça paraissait plus simple j'imagine ou que les quaternions étaient déjà oubliés.

L’électromagnétisme, et en grande partie Maxwell, va populariser l’utilisation des vecteurs en physique. Mais le formalisme des quaternions va vite être perçu comme un obstacle (Quel sens donner au produit de deux Quaternions ? Au signe - devant la partie scalaire d’un produit de vecteur ?), c’est alors que l’américain J.W. Gibbs (1839-1903) et l’anglais Heaviside (1850-1925) vont mettre, indépendamment au point l’analyse vectoriel moderne, en extrayant du produit de quaternions purs le produit scalaire (en enlevant le - ) et le produit vectoriel. Vector Analysis (1901) présentant le système de Gibbs et le chapitre 3 d’ Electromagnetic theory (1893) d’Heaviside utilisent exactement les mêmes notations que celles qui sont utilisées actuellement.
Ce qui unit les démarches de Gibbs et D’Heaviside est ce scepticisme envers l’utilisation directe des Quaternions :
«[...] where Quaternion notations are considerably used, I became convinced that to master those subjects, it was necessary for me to commence by mastering those methods. At the same time I saw, that although the methods were called quaternionic, the idea of the quaternion was quite foreign to the subject. I saw that there were two important functions (or products) called the vector part & the scalar part of the product, but that the union of the two to form what was called the (whole) product did not advance the theory as an instrument of geometric investigation.» (J.W Gibbs, lettre à V.Schlegel, 1988)
Heaviside, auto-didacte et physicien de génie, avait une sainte horreur de la complexité des Quaternions, et l’exprime très clairement au chapitre 3 de son Electromagnetic Theory (1893)
«But I came later to see that, so far as the vector analysis I required was concerned, the quaternion was not only not required, but was a positive evil of no inconsiderable magnitude ; and that by its avoidance the establishment of vector analysis was made quite simple and its working also simplified, and that it could be conveniently harmonised
with ordinary Cartesian work.»
«Clearly, then, the quaternionic is an undesirable way of beginning the subject, and impedes the diffusion of vectorial analysis in a way which is as vexatious and brain-wasting as it is unnecessary.»
Si les systèmes de Gibbs et de Heaveaside se sont finalement imposés, la fin du 19ème siècle à été marquée par une lutte entre les partisans des différentes méthodes (Hamilton, Gibbs-Heaviside et Grassmann), donnant lieu à des correspondances passionné, qui demanderait de nombreuses pages pour être couvertes exhaustivement.
Par exemple, P.Tait, à propos du système de Gibbs :
«Even Prof. Willard Gibbs must be ranked as one of the retarders of quaternionic progress, in virtue of his pamphlet on Vector Analysis, a sort of hermaphrodite monster, compounded of the notations of Hamilton and Grassmann.»
https://hal.science/hal-01618257v1/f...uvement%20.pdf

Les quaternions ont donc été écartés car ils étaient un obstacle à l'analyse vectorielle.
Mais l'analyse vectorielle ne s'occupe pas du temps et c'est pourquoi la composante scalaire était alors un obstacle.
Quand est venu le moment d'inclure le temps dans tout cela on a choisi la voie de le modéliser comme une 4e dimension vectorielle, en trahissant ainsi l'oeuvre de Hamilton. Qui sait si on n'a pas trahi aussi la réalité ?
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[Trictrac]

En fait je pense qu'on peut dire ceci.

Le représentation de Minkowski est mathématiquement strictement équivalente à celle d'Hamilton.
D'ailleurs, quand on utilise une signature négative pour l'espace c'est qu'on prend l'espace pour la partie imaginaire et donc vectorielle.
La différence est seulement dans l'interprétation physique du phénomène, et aussi dans la définition de l'espace-temps. Car d'un côté on a un espace-temps de Minkowski et de l'autre un espace-temps euclidien.

En fait on peut simuler la contraction des longueurs soit par une rotation hyperbolique de Minkowski soit par une contraction physique de l'espace type gravitation.
En RR on a choisi la rotation hyperbolique et en RG la contraction physique. Pourquoi ?
Pourquoi ne pas avoir en RG opté pour un changement de simultanéité de l'espace comme en RR, ou alors pourquoi en RR ne pas avoir opté pour une contraction physique comme en RG ?
En effet on aurait pu imaginer que l'objet en mouvement se contracte façon gravitation ou que l'espace dans un champ de gravitation est en chute libre et donc change sa simultanéité façon diagramme de Minkowski.
En fait j'ai l'impression que la théorie est hybride, on utilise une modélisation en RR et une autre en RG pour des phénomènes (contraction) qui d'après le principe d'équivalence ont la même origine. (l'accélération cinématique et la gravitationnelle homogène sont la même chose)
Enfin bref, ça a été fait comme ça...
Voilà je pense que j'ai fait le tour de la question.

[mach3]

J'ai pas lu tout le pavé, mais si on pouvait se servir des quaternions pour faire de la physique relativiste, on le ferait.
Ce n'est pas la bonne structure, ça ne reproduit pas les observations.
Par contre il y a des algèbres de Clifford qui sont utilisées pour ça, comme le space-time algebra ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra ), qui présente des choses communes avec les quaternions, mais qui est plus riche.
Il y a aussi l'algèbre de l'espace physique ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alge...physical_space ).

m@ch3

[Trictrac]

J'ai pas lu tout le pavé, mais si on pouvait se servir des quaternions pour faire de la physique relativiste, on le ferait.
Ce n'est pas la bonne structure, ça ne reproduit pas les observations.
Par contre il y a des algèbres de Clifford qui sont utilisées pour ça, comme le space-time algebra ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra ), qui présente des choses communes avec les quaternions, mais qui est plus riche.
Il y a aussi l'algèbre de l'espace physique ( https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alge...physical_space ).

m@ch3

Les quaternions c'est 3 dimensions vectorielles et une dimension scalaire.
Je ne maîtrise pas mais j'ai l'impression que toutes ces modélisations avec l'algèbre de Clifford ne sont que des bis repetita de Minkowski, c'est à dire de l'univers bloc et du temps représenté comme une dimension vectorielle.
Déjà l'article commence comme ça :

The spacetime algebra may be built up from an orthogonal basis of one time-like vector and three space-like vectors,

puis ça continue en parlant de la métrique de Minkowski.
Or dans les quaternions le temps est scalaire, ce qui veut dire qu'il n'y a pas d'univers-bloc, que la géométrie n'a que 3 dimensions vectorielles et que la contraction de Lorentz n'est pas interprétée par l'observateur immobile comme un changement de simultanéité de la part de l'objet en mouvement mais plutôt comme un échec de simultanéité.

Tu connais la soi-disant métrique d'Epstein ? Applique là aux quaternions qui contiennent d'ailleurs par essence déjà cette métrique, et le problème qui se pose avec elle quand tu considères le temps comme une dimension vectorielle devrait disparaître et la métrique fonctionner dans tous les cas. Les points qui ne font pas jonction dans un espace avec le temps vectoriel feront toujours jonction si le temps n'est qu'un scalaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Trictrac]

Alors là j'ai trouvé un truc et ça devrait aussi intéresser Mailou.
https://arxiv.org/pdf/2106.06394.pdf
On y trouve cos teta = 1/gamma et sin teta = beta
Le tout modélisé avec les quaternions, qui seraient donc compatibles, comme je le pense, avec la relativitée modélisé à l'aide d'une métrique euclidienne (Epstein).

[yves95210]

Salut,

Une réponse détaillée à la question "Can quaternion math be used to model spacetime?" a été apportée sur physics.stackexchange. Je te suggère de la lire.

[Trictrac]

Salut,

Une réponse détaillée à la question "Can quaternion math be used to model spacetime?" a été apportée sur physics.stackexchange. Je te suggère de la lire.

J'ai vu.

So to answer your question, yes you could use quaternions to model spacetime -- though there'd be a lot of useless baggage floating around. But extrapolating the motivation for your question, I might rephrase it as "Can we use the special properties of quaternions to get any computational advantage or philosophical insight in relativity?" To that, the answer is no; they don't have anything useful to say about spacetime since they're really just about space.

L'idée des quaternions est justement que le temps est une dimension auxiliaire de l'espace, l'espace-temps n'ayant que 3 dimensions vectorielles. Si les quaternions ne parlent que de l'espace, pourquoi Hamilton a-t-il dit que la dimension scalaire était à son avis le temps ? La citation ci-dessus revient à dire que si l'espace-temps n'est pas l'univers bloc ce n'est pas l'espace-temps.

Even though they have four degrees of freedom, quaternions really do "live in" a physical space of three dimensions.
This bears repeating: Quaternions shouldn't be thought of as vectors in 4-d; they should be thought of as operators acting on vectors in 3-d.

Oui et bien justement c'est le but. Jusqu'à preuve du contraire l'espace physique a 3 dimensions. Le temps est du mouvement.

[Trictrac]

Il y aurait :

1-L'algèbre de l'espace temps (STA)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Spacetime_algebra
https://arxiv.org/pdf/1411.5002.pdf
Ceci serait lié à l'espace entièrement vectoriel de Minkowski est n'est pas ce que je cherche.

2-L'algèbre de l'espace physique (APS)
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Alge...physical_space
qui semble bien contenir 3 vecteurs et un scalaire.
https://www.researchgate.net/publica...for_Relativity

Because of the Minkowski space-time metric that paravector space inherits from the underlying Euclidean space R3,it is natural to represent space-time vectors by paravectors. Indeed, this is the choice that enables APS to treat relativistic problems, but it has the disadvantage that the time component of a space-time vector is simply a scalar, even though it transforms differently from a Lorentz scalar, and a vector element can either be the vector part of a paravector or a biparavector that contains the time axis.

Tout cela est obscur. J'ai l'impression qu'au lieu d'être dans un espace avec 3 dimensions physiques et une scalaire on créé des choses appelés paravecteurs qui sont à la fois des vecteurs et des scalaires.
Quel est ce jargon ?

Instead of viewing the linear space of APS as a real 8-dimensional space, it can be considered the 4-dimensional real paravector space span {1,e1,e2,e3} over the complex field formed by the pair {1, I}. Alternatively, to relate APS more directly to complex quaternions, we can consider the linear space of APS to be the real quaternion space span {1,e3e2,e1e3,e2e1} over the complexfield of {1, I}

3-Une utilisation directe des quaternions pour modéliser l'espace-temps :
https://arxiv.org/pdf/2106.06394.pdf

Previously, bi-quaternions were applied to special relativity [14] and showed initial promise in developing a unified field theory [15]. However unlike real quaternions, bi-quaternion mathematics is not a division algebra and therefore can not be relied upon in our opinion. In this work, we use real quaternions, which form a division algebra giving confidence in the validity of the resulting mathematical methods.

C'est cela que je recherche.

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The finding of 1924 that in quantum mechanics the spin of an electron and other matter particles (known as spinors) can be described using quaternions (in the form of the famous Pauli spin matrices) furthered their interest; quaternions helped to understand how rotations of electrons by 360° can be discerned from those by 720°

https://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion
https://fr.wikipedia.org/wiki/Quaternion

Pour y comprendre quelque chose peut-être faut-il parcourir ces pavés, car cela va au-delà de la représentation de l'espace-temps, il est question des matrices de Dirac et du spin des particules.
https://hal.science/hal-00907848v1/document
http://geocalc.clas.asu.edu/pdf/SpacetimePhysics.pdf

What is the difference between the Algebra of Physical Space (APS) and the Spacetime Algebra (STA), and why do we need them both?
https://www.physicsforums.com/thread...lgebra.445964/

[Trictrac]

En créant l'analyse vectorielle Gibbs et Heaviside ont dépouillé l'espace de sa 4ieme dimension (le temps d'après Hamilton), trouvant qu'elle était encombrante et inutile.
Pourtant, quelques années plus tard cette dimension a été réintroduite sous une forme vectorielle dans l'espace de Minkowski.
Mais en quoi le temps serait-il vectoriel ? Il s'agit d'une mesure de la quantité de vieillissement, c'est à dire une mesure de l'âge, ce qui est une valeur scalaire.

Ces études montreraient que l'espace euclidien des quaternions réels représenterait naturellement l'espace-temps de la relativité restreinte :
https://arxiv.org/abs/1801.03393
https://arxiv.org/pdf/1706.04837.pdf
https://arxiv.org/pdf/2106.06394.pdf

[pm42]

Ce ne sont pas des études mais des articles en preprint, tous par la même personne qui n'est pas un physicien théorique mais a une formation en électricité/micro-électronique, travaille sur l'Internet des objets et donne des cours en physique des semiconducteurs.
Et ces travaux à titre personnel ne semblent pas vraiment avoir convaincu la communauté.

[MissJenny]

Les quaternions c'est 3 dimensions vectorielles et une dimension scalaire.

qu'est-ce à dire?

[pm42]

qu'est-ce à dire?

Oui je n'ai pas relevé mais effectivement, vu que le temps est à une dimension, la différence avec un scalaire et pourquoi cela serait un problème devraient être précisés.

[Trictrac]

On sait que l'espace possède une courbure et on peut imaginer qu'il se courbe dans une 4e dimension euclidienne. C'est en fait de cette 4e dimension euclidienne dont il est question dans ce fil. Le temps de Hamilton n'est donc pas le même que celui de Minkowski. Celui de Minkowski est le vieillissement, et c'est aussi celui d'Einstein. Celui de Hamilton est censé être une véritable dimension spatiale. Pour un corps immobile, les deux se confondent puisque dS² = dt² - 0 = dt² + 0, mais dès qu'il entre en mouvement l'un décrit le vieillissement tandis que l'autre décrit la géométrie quadridimensionnelle de l'espace euclidien. Par exemple, le corps contracté peut être représenté par une géométrie euclidienne comme étant orienté dans cette 4e dimension scalaire de telle sorte que sa (longueur propre)² = (longueur contractée)² + (décalage de temps)²
De même, le plongement du paraboloïde de Flamm se fait dans cette 4e dimension spatiale euclidienne, qui est la dimension avec 0 degré de liberté.

[Trictrac]

Du nouveau.

Les équations de Maxwell ont été formulées en 1873 par Maxwell à l'aide des quaternions.
Et il s'avère que la formulation de l'espace-temps que j'avais en tête dans ce fil est simplement celle de Maxwell.
Le potentiel scalaire (électrique) est associé au temps de Hamilton et le potentiel vecteur (magnétique) à l'espace.
Il se trouve donc que le champ électromagnétique était déjà unifié en un objet unique dans l'écriture quaternionique.
Ainsi la relativité peut être réécrite en termes des quaternions de Hamilton, et non seulement la relativité restreinte mais certainement aussi la relativité générale.

Cependant les quaternions en tant que métrique de l'espace-temps ne supportent pas l'équivalence des référentiels et ne peuvent pas être associés à la relativité d'Einstein car leur métrique est euclidienne. Ils sont toutefois compatibles avec la relativité de Lorentz et modélisent l'espace comme ayant une base de trois vecteurs associés au temps scalaire qui n'a pas de vecteur associé. La relativité d'Einstein/Minkowski, de son côté, associe au temps un 4e vecteur de signature opposée aux 3 autres.
Les résultats mathématiques sont identiques mais la géométrie est différente et la version quaternionique inclus un milieu de propagation, qui serait, en géométrie de Minkowski, associé à un référentiel particulier et représenterait donc l'espace physique.
Dans ce formalisme, la transformation de Lorentz n'est plus une rotation hyperbolique dans la dimension du temps mais une rotation euclidienne.

Voici une étude que j'ai trouvée qui traite de cette géométrie dans le cadre de la mécanique quantique (dans le cadre de la RR j'ai déjà donné des études plus haut) :
Foundations of the Quaternion Quantum Mechanics, publiée dans le numéro spécial d'Entropy, Quantum Mechanics and Its Foundations, 17 déc. 2020

Voici un résumé de cet article par Bing Chat :

Il s'agit d'un article scientifique qui présente les fondements de la mécanique quantique quaternionique. Les auteurs partent de la théorie classique de l’élasticité de Cauchy et utilisent les quaternions réels pour dériver les équations d’onde non-relativistes et relativistes. Ils affirment que cette approche est ontologique, c’est-à-dire qu’elle décrit la réalité physique du continuum élastique, et qu’elle est compatible avec la mécanique quantique conventionnelle. Il s’agit d’une tentative sérieuse de donner une interprétation réaliste à la mécanique quantique, mais qui soulève aussi des questions et des défis mathématiques et conceptuels.

Voici les principaux points de l’article :

• Les quaternions sont des nombres complexes à quatre dimensions, inventés par William Rowan Hamilton en 1843. Ils permettent de représenter des rotations dans l’espace et des opérations vectorielles.
• La théorie de l’élasticité de Cauchy est une théorie classique qui décrit le comportement des solides déformables sous l’action de forces extérieures. Elle repose sur l’hypothèse que le milieu élastique est continu et homogène.
• Les auteurs utilisent les quaternions réels pour définir un tenseur d’élasticité quaternionique, qui généralise le tenseur d’élasticité classique. Ce tenseur permet de décrire les contraintes et les déformations dans le milieu élastique.
• Les auteurs montrent que le tenseur d’élasticité quaternionique satisfait une équation d’onde scalaire, qui peut être interprétée comme une équation de Schrödinger non-relativiste. Cette équation décrit l’évolution temporelle d’une fonction d’onde quaternionique, qui représente l’état quantique du milieu élastique.
• Les auteurs introduisent ensuite un opérateur hamiltonien quaternionique, qui généralise l’opérateur hamiltonien classique. Cet opérateur permet de définir une énergie potentielle et une énergie cinétique pour le système quantique.
• Les auteurs montrent que l’opérateur hamiltonien quaternionique satisfait une équation d’onde vectorielle, qui peut être interprétée comme une équation de Dirac relativiste. Cette équation décrit l’évolution temporelle d’un spinor quaternionique, qui représente un état quantique relativiste du milieu élastique.
• Les auteurs comparent leur approche avec la mécanique quantique conventionnelle, basée sur les nombres complexes. Ils affirment que leur approche est plus générale et plus naturelle, car elle ne nécessite pas d’introduire des constantes arbitraires comme la constante de Planck ou la vitesse de la lumière. Ils affirment aussi que leur approche est plus réaliste, car elle ne fait pas appel à des concepts abstraits comme les opérateurs hermitiens ou les observables.
• Les auteurs reconnaissent toutefois que leur approche présente des difficultés et des limites. Ils mentionnent notamment le problème de la mesure, le problème du spin, le problème de la symétrie et le problème de la covariance.

[Trictrac]

Voici le résumé de l'article tel qu'il apparaît dans l'étude elle-même :

Nous avons présenté les fondements de la mécanique quantique quaternionique basée sur le modèle de Cauchy du continuum élastique. Le modèle de Cauchy d’un solide élastique idéal avec le théorème de décomposition de Helmholtz et l’algèbre quaternionique ℚ génère les formes transversales, longitudinales et multiples des ondes. La forme quaternionique de la formulation vectorielle du modèle de Cauchy élucide le couplage entre les déplacements irrotationnels et solénoïdaux dans le champ de déformation (compression et torsion) et permet une interprétation physique de la mécanique des ondes. L’onde, c’est-à-dire le mouvement collectif des constituants formant le continuum élastique de Navier–Cauchy, est considérée comme équivalente à la particule. En combinant la représentation quaternionique du modèle de Cauchy avec le concept de cristal de Planck–Kleinert, nous avons présenté la formulation auto-consistante des phénomènes ondulatoires où l’espace quantique est considéré comme un analogue au solide élastique. La mécanique quantique quaternionique présentée suit de la représentation quaternionique rigoureuse de la théorie linéaire de l’élasticité de Cauchy :

• L’équation de Schrödinger dépendante du temps sous forme quaternionique (53) a été obtenue et le cas particulier où elle résout l’équation de Schrödinger complexe a été démontré. Ainsi, l’origine des nombres complexes en MQ a été expliquée.
• Les équations de Klein–Gordon et de Poisson ont été dérivées à partir d’hypothèses indépendantes des postulats de la mécanique quantique et prouvent l’origine de la fonction d’onde. Le problème de la probabilité indéfinie de la densité, présent dans l’équation classique de Klein–Gordon, est écarté dans sa forme quaternionique.
• Toute la famille des fonctions d’onde quaternioniques présentées est ontique, représente directement un état du continuum élastique montrant les propriétés du cristal de Planck–Kleinert.
• La méthode utilisée par nous permet l’interprétation auto-consistante des phénomènes ondulatoires et donne lieu au champ gravitationnel non relativiste. Il est évident qu’elle peut être généralisée et étendue en négligeant les hypothèses de la limite des petites déformations qui impliquent la densité constante et les propriétés constantes du transport dans le champ de déformation. Le modèle peut être falsifié, voir K. Popper [58]. En effet, les hypothèses suivantes nécessitent une vérification formelle :
• Vérification expérimentale pour révéler le superdéterminisme, par exemple en utilisant la méthode proposée par Hossenfelder [59].
• La vérification expérimentale du centre de masse des particules, équation (52).
• L’évitement de l’hypothèse de la limite des petites déformations implique la variation de la vitesse des ondes transversales. La dépendance de la densité d’énergie sur la déformation entraînera :
  • la forme quaternionique étendue de la relation (29) et
  • la théorie géométrique de la gravitation lorsqu’une vitesse invariante des ondes transversales est évitée.
• Un réexamen de l’hypothèse de Schrödinger sur la densité de charge. En effet, le théorème de Noether peut être utilisé pour diminuer l’ordre de l’équation quaternionique de Schrödinger [60].
• L’équation dépendante du temps Schrödinger nécessite la preuve rigoureuse de la forme quaternionique de l’équation Hamilton–Jacobi. De plus, les résultats montrent que les quaternions sont beaucoup plus confortables que les vecteurs, ont d’énormes avantages dans le calcul du twist (et des rotations) et peuvent être considérés comme la représentation la plus concise de la réalité physique. Non seulement à l’échelle de Planck, non seulement utiles et pratiques, mais les quaternions nous permettent également de comprendre les processus dans les continua.

[Trictrac]

Une vidéo de vulgarisation sur cette théorie, qui montre comment la dimension scalaire est une dimension de densité qui engendre la courbure de l'espace ou encore le spin des particules :


https://elastic-universe.org/

(Pour ceux qui ont du mal avec l'anglais, mettre les sous titres)

Il faut également rapprocher cela de ce fil sur la nature ondulatoire de la matière :
https://forums.futura-sciences.com/p...ionnaires.html
Les deux approches sont compatibles.

[Trictrac]

Voici une autre étude sur ce concept d'espace-temps :
https://arxiv.org/pdf/math-ph/0307038.pdf

L’auteur part de l’hypothèse que l’espace physique est une structure quaternionique, où la partie réelle représente le temps et la partie imaginaire représente l’espace. Il montre alors comment exprimer le champ électromagnétique comme un quaternion unique, qui se décompose en une partie scalaire (le potentiel électrique) et une partie vectorielle (le potentiel vecteur).
Il dérive ensuite les équations de Maxwell en utilisant les dérivées gauches et droites des quaternions, qui sont distinctes car les quaternions ne commutent pas.
L’auteur affirme que cette approche révèle un nouveau composant du champ, qui réduit la liberté de choix du potentiel vecteur (la jauge), mais qui peut être utilisé pour expliquer la Thermoélectricité, c’est-à-dire la conversion de la chaleur en électricité et vice versa.

Voici du même auteur une autre étude assez poussée.

[Trictrac]

Voici l'étude Quaternions et relativité restreinte (par Stefano De Leo) parue en 1996 :
https://www.ime.unicamp.br/~deleo/Pub/p07.pdf

"Nous reformulons la Relativité Restreinte par une algèbre quaternionique sur les réels. En utilisant, des quaternions linéaires réels, nous montrons que les difficultés précédentes, concernant les transformations sur l'espace-temps 3+1, peuvent être surmontées. Cela implique qu'une version quaternionique complexifiée de la Relativité Restreinte est un choix et non une nécessité.


‘‘La formule la plus remarquable en mathématiques est : e^iθ = cos θ + i sin θ
C'est notre bijou. On peut relier la géométrie à l'algèbre en représentant les nombres complexes dans un plan : x + iy = re^iθ
C'est l'unification de l'algèbre et de la géométrie.''—Feynman.

En 1843, Hamilton, en tentant de généraliser le champ complexe pour décrire la rotation dans l'espace tridimensionnel, découvre les quaternions. Les quaternions, tels qu'utilisés dans cet article, signifient toujours ‘‘vrais quaternions’’

Par conséquent, si l'on souhaite représenter des rotations dans l'espace à trois dimensions et compléter "l'unification de l'algèbre et de la géométrie", nous avons besoin de quaternions.

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Nous commençons cette section en rappelant une phrase d'Anderson et Joshi à propos de la reformulation quaternionique de la relativité restreinte :

‘‘Il y a eu une longue tradition d’utilisation des quaternions pour la Relativité Restreinte... L’utilisation de quaternions dans la relativité restreinte, cependant, n'est pas tout à fait simple. Étant donné que le champ des quaternions est un espace euclidien à quatre dimensions, des composants complexes pour les quaternions sont nécessaires pour l'espace-temps 3+1 de la relativité restreinte."

Dans la section suivante, nous démontrerons qu'une reformulation de la relativité restreinte par un l'algèbre quaternionique sur les réels est possible.

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L'étude de la relativité restreinte avec une algèbre quaternionique sur les réels a donné un résultat d'intérêt. Bien que nous ne puissions pas démontrer dans cet article qu'un système numérique (quaternion) est préférable à un autre (quaternions complexifiés), nous avons souligné les avantages d'utiliser de vrais quaternions linéaires qui apparaissent naturellement lorsque l'on travaille avec un système de numération non commutatif, comme le champ quaternionique. Comme on le voit dans cet article, ces objets sont très utiles si l'on souhaite réécrire la relativité restreinte par une algèbre quaternionique sur les réels. La reformulation quaternionique complexifiée de la relativité restreinte est donc un choix et non une nécessité. Cette affirmation est en contraste avec le folklore standard.

On peut préciser que les quaternions complexes permettent de reproduire l'espace-temps de Minkowski, ce qui bien évidemment n'apporte rien. L'idée est de remplacer l'espace-temps de Minkowski par l'espace-temps de Hamilton, celui qui "unifie l'algèbre et la géométrie".

[Deedee81]

Bonjour,

En plus de deux semaines, que des messages de TricTrac. Rappelons que Futura n'est pas un blog et que le flood est fort peu apprécié.
(sauf dérogation compréhensible pour quelques fils "de suivi d'actualité" (éruptions en Islande, le JWST, etc...-)
Il faut mieux attendre des réponses. S'il y en a bien sûr....

Donc pour éviter des tentations inappropriées je ferme la discussion. Si quelqu'un (pas TricTrac évidemment !!!!) voulait apporter une réponse ou même juste faire une remarque ou des commentaires, qu'il me contacte par MP (je suis rentré de congé ). Je rouvrirai immédiatement la discussion.

Merci,