Que représente le t de la forme de Schwarzschild en coordonnées de Painlevé ?

[Trictrac]

Bonjour,

Dans la forme de Schwarzschild, le t de Schwarzschild est le temps propre de l'observateur à l'infini. Mais dans la forme de Painlevé le temps propre de l'observateur à l'infini et le temps propre de Painlevé sont identiques et valent tr. Que représente donc t dans la forme métrique de Painlevé ?
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[JPL]

Fermeture préventive provisoire (un modérateur de ce forum pourra rouvrir si nécessaire), car je présume un contournement d’une décision de la modération.

[mach3]

je ré-ouvre, il n'y a pas contournement selon moi. C'est posté dans un fil à part et sous forme de question. Attention cependant, tout dérapage (par exemple affirmation hors-charte parce qu'en contradiction avec les ouvrages de référence sur le sujet) donnera lieu à la fermeture définitive

Dans la forme de Schwarzschild, le t de Schwarzschild est le temps propre de l'observateur à l'infini.

ce n'est pas "est", c'est "coincide". Le t de Schwarzschild est un champ scalaire défini sur (un morceau d') une variété à 4 dimensions. Le temps propre d'un observateur est un champ scalaire défini uniquement sur la ligne d'univers de cet observateur. Il se trouve que pour des valeurs de rayon aréal r très élevées, la variation du t de Schwarzschild coincide avec la variation de temps propre d'une horloge se maintenant en r,theta,phi constant. Attention, ce sont les variations qui coincident, pas les valeurs.

Ceci se déduit simplement en calculant le carré scalaire d'un vecteur tangent à la ligne d'univers d'un "immobile de Schwarzschild", se maintenant en r,theta,phi constant.
Pour un vecteur quelconque , tangent à une ligne de paramètre , le carré scalaire est (simple application directe de l'expression de la métrique en coordonnées de Schwarzschild) :



Pour un immobile de Schwarzschild, on a (quand le paramètre lambda de la ligne d'univers évolue, il n'y a pas d'évolution de r, theta et phi, seul t évolue). On a donc :



Or, pour du genre temps, , avec le temps propre mesuré le long de la ligne. Donc




Cela relie la variation du temps propre de la ligne d'univers (défini uniquement sur la ligne) avec la variation de t (défini sur toute la variété) le long de cette ligne. On constate que ces deux variations sont différentes, mais qu'elles tendent l'une vers l'autre quand r tend vers l'infini. Les variations de t défini sur toute la variété coïncident avec celles du temps propre, défini sur une ligne, des immobiles de r arbitrairement grand.

Mais dans la forme de Painlevé le temps propre de l'observateur à l'infini et le temps propre de Painlevé sont identiques et valent tr.

C'est quoi le "temps propre de Painlevé" ? Cette page est la seule occurrence de cette expression d'après Google. Quand on invente une expression, la politesse la plus élémentaire est de définir ce qu'elle signifie.

Je vais faire de la charité interprétative et comprendre qu'il s'agit du temps propre de la pluie, c'est à dire d'un chuteur libre allant à la vitesse de libération par rapport aux immobiles, ou encore un chuteur libre dont la vitesse de chute devient arbitrairement petite quand r est arbitrairement grand.

Le tr de Painlevé est un champ scalaire défini sur toute la variété, comme le t de Schwarzschild. Ils se ressemblent en un aspect, c'est que pour un immobile de Schwarzschild, leurs variations sont égales le long de sa ligne d'univers. Ils se différencient par contre notamment par la particularité de tr d'avoir une variation égale à celle du temps propre le long des lignes d'univers de pluie. Ces deux choses peuvent se voir en calculant le carré scalaire d'un vecteur tangent.

Pour un vecteur quelconque , tangent à une ligne de paramètre , le carré scalaire est (simple application directe de l'expression de la métrique en coordonnées de Painlevé) :



Pour une ligne d'univers d'un immobile, on a comme précédemment , donc le carré scalaire vaut :



Par le même chemin que précédemment ( pour le genre temps), on abouti à



or on a déjà montré, pour une ligne d'univers d'un immobile



Donc : les variations de t et de tr sont identiques le long de la ligne d'univers d'un immobile de Schwarzschild.

Pour une ligne d'univers de pluie, on a et , donc le carré scalaire vaut :







Comme il s'agit de genre temps, on a de nouveau et donc :




Le long d'une ligne d'univers de pluie, la variation du temps propre (défini uniquement sur la ligne) est égale à la variation de tr (défini sur toute la variété).

Si on s'intéresse à une portion de ligne d'univers de pluie avec une valeur de r très élevée, on constate que r ne varie presque pas quand tr varie, une telle portion de ligne d'univers ressemble à une portion de ligne d'univers d'un immobile de Schwarzschild pour lequel r ne varie pas du tout. Si on passe à la limite pour r infini, il y a coïncidence entre les deux (on ne différencie pas la pluie d'un immobile). On a alors égalité entre la variation de t, la variation de tr, et la variation du temps propre pour un immobile de Schwarzschild situé à l'infini.
Attention, il s'agit d'égalité de variation, pas de valeur.

Une autre différence entre les champs scalaire t et tr est que les tranches de t constant sont orthogonales aux lignes d'univers des immobile de Schwarzschild alors que les tranches de tr constant sont orthogonal aux lignes d'univers de la pluie. Cela peut également se montrer grâce à l'expression de la métrique, en calculant des produits scalaires et en montrant qu'ils sont nuls.

Que représente donc t dans la forme métrique de Painlevé ?

Je ne comprends pas la question. L'expression de la métrique en coordonnées de Painlevé ne contient pas t. t reste le même champ scalaire qu'on choisisse de travailler avec une expression ou une autre, c'est juste (pour r>2M) le champ scalaire dont les tranches de valeur constante sont orthogonales aux lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild et dont la variation est égale à la variation du temps propre le long de lignes d'univers d'immobiles arbitrairement lointains. Il s'agit d'une définition géométrique, indépendante du système de coordonnée.

m@ch3

[Trictrac]

Je ne comprends pas la question. L'expression de la métrique en coordonnées de Painlevé ne contient pas t. t reste le même champ scalaire qu'on choisisse de travailler avec une expression ou une autre, c'est juste (pour r>2M) le champ scalaire dont les tranches de valeur constante sont orthogonales aux lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild et dont la variation est égale à la variation du temps propre le long de lignes d'univers d'immobiles arbitrairement lointains. Il s'agit d'une définition géométrique, indépendante du système de coordonnée.

Alors c'est dans l'autre sens : que représente tr dans la forme métrique de Schwarzschild ? Ca ne coïncide pas sur la ligne d'univers du chuteur avec le temps propre du chuteur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Alors c'est dans l'autre sens : que représente tr dans la forme métrique de Schwarzschild ? Ca ne coïncide pas sur la ligne d'univers du chuteur avec le temps propre du chuteur.

alors même type de réponse :
L'expression de la métrique en coordonnées de Schwarzschild ne contient pas tr. tr reste le même champ scalaire qu'on choisisse de travailler avec une expression ou une autre, c'est juste le champ scalaire dont les tranches de valeur constante sont orthogonales aux lignes d'univers de la pluie et dont la variation est égale à la variation du temps propre le long de lignes d'univers de la pluie. Il s'agit d'une définition géométrique, indépendante du système de coordonnée.

m@ch3

[ordage]

Pour Mach3
Bonjour

Explication convaincante, je retiens le fait que les lignes de coordonnées associées à un champ scalaire sur la variété sont déterminées localement par le gradient du dit champ scalaire et que la coordonnée temps (un scalaire) n'est pas de même nature que le temps propre (élément métrique de nature tensorielle) même si dans le cas cité du "chuteur", avec le paramétrage adopté, les valeurs peuvent coïncider.

J'ajouterai que le chuteur n'est là que comme "marqueur" car, en fait, co-mobile, de l'effondrement de l'espace, élément géométrique de la solution "stationnaire". (Il n'y a pas de chuteur dans l'équation d'Einstein).

Cordialement

[Trictrac]

alors même type de réponse :
L'expression de la métrique en coordonnées de Schwarzschild ne contient pas tr. tr reste le même champ scalaire qu'on choisisse de travailler avec une expression ou une autre, c'est juste le champ scalaire dont les tranches de valeur constante sont orthogonales aux lignes d'univers de la pluie et dont la variation est égale à la variation du temps propre le long de lignes d'univers de la pluie. Il s'agit d'une définition géométrique, indépendante du système de coordonnée.

m@ch3

Dans le système de coordonnées de Schwarzschild la variation de tr n'est pas égale à la variation du temps propre le long des lignes d'univers de la pluie il me semble.

[mach3]

Dans le système de coordonnées de Schwarzschild la variation de tr n'est pas égale à la variation du temps propre le long des lignes d'univers de la pluie il me semble.

Ce n'est pas une histoire de système de coordonnées. Le long d'une ligne d'univers de pluie, la variation de temps propre est égale à la variation de tr. C'est une propriété du champ scalaire tr défini sur l'espace-temps de Schwarzschild. C'est intrinsèque.
Tout comme l'orthogonalité entre une tranche de tr constant et une ligne d'univers de pluie. C'est intrinsèque aussi.

m@ch3

[Trictrac]

Ce n'est pas une histoire de système de coordonnées. Le long d'une ligne d'univers de pluie, la variation de temps propre est égale à la variation de tr. C'est une propriété du champ scalaire tr défini sur l'espace-temps de Schwarzschild. C'est intrinsèque.
Tout comme l'orthogonalité entre une tranche de tr constant et une ligne d'univers de pluie. C'est intrinsèque aussi.

m@ch3

Donc tu es en train de dire que le temps propre de la pluie et le temps propre de l'observateur éloigné ont la même variation intrinsèque malgré le fait que les coordonnées de Schwarzschild prétendent le contraire, donc tu prétends que la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse puisque pour lui les deux temps propres ne varient pas de la même manière.

[Deedee81]

Salut,

Donc tu es en train de dire que le temps propre de la pluie et le temps propre de l'observateur éloigné ont la même variation intrinsèque [...]

Ce n'est pas ce que je lis dans le message de mach3. Attention de ne pas utiliser l'argument de l'homme de paille.
(il y a aussi une autre absurdité mais inutile de la relever puisque c'est nul et non avenu)

[Trictrac]

Salut,

Ce n'est pas ce que je lis dans le message de mach3. Attention de ne pas utiliser l'argument de l'homme de paille.
(il y a aussi une autre absurdité mais inutile de la relever puisque c'est nul et non avenu)

Il a écrit ça :

tr reste le même champ scalaire qu'on choisisse de travailler avec une expression ou une autre, c'est juste le champ scalaire dont les tranches de valeur constante sont orthogonales aux lignes d'univers de la pluie et dont la variation est égale à la variation du temps propre le long de lignes d'univers de la pluie. Il s'agit d'une définition géométrique, indépendante du système de coordonnée.

En coordonnées de Painlevé 10 secondes de t le long de la ligne d'univers de l'observateur éloigné correspondent à 10 secondes de tr le long de la ligne d'univers du chuteur.
En coordonnées de Schwarzschild 10 secondes de t le long de la ligne d'univers de l'observateur éloigné correspondent à moins de 10 secondes propres du chuteur le long de sa ligne d'univers, donc soit ce n'est pas tr si tr évolue comme t soit c'est tr mais alors tr n'évolue pas comme t en coordonnées de Schwarzschild.

[mach3]

Donc tu es en train de dire que le temps propre de la pluie et le temps propre de l'observateur éloigné ont la même variation intrinsèque malgré le fait que les coordonnées de Schwarzschild prétendent le contraire, donc tu prétends que la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse puisque pour lui les deux temps propres ne varient pas de la même manière.

Le long d'une ligne d'univers de pluie, il y a son temps propre qui varie, mais aussi r, t et tr qui varient. Ces 4 variations sont liées, on a :
, , (valable sur la ligne d'univers de la pluie exclusivement)
C'est à dire que quand le temps propre augmente d'une unité le long de cette ligne, tr augmente d'une unité, t augmente de unités, r diminue de unités.
N'importe où sur une ligne d'univers de pluie, tr augmente d'une unité quand le temps propre augmente d'une unité.
L'augmentation de t et la diminution de r quand le temps propre augmente d'une unité dépendent de la valeur de r sur la ligne d'univers de pluie.
Quand la valeur de r est très élevée (le chuteur est très très loin), la variation de r devient négligeable et la variation de t devient approximativement la même que celle du temps propre (et donc de celle de tr).
Quand la valeur de r tend vers 2M, une augmentation d'une unité de temps propre le long de la ligne signifie une augmentation démesurée (arbitrairement grande) de t et une diminution de r de une unité

le temps propre de la pluie et le temps propre de l'observateur éloigné ont la même variation intrinsèque

en approximation pour r très grand seulement

malgré le fait que les coordonnées de Schwarzschild prétendent le contraire

elles disent que "le temps propre de la pluie et le temps propre de l'observateur éloigné ont la même variation intrinsèque" en approximation pour r très grand seulement, et ce ne sont pas spécifiquement les coordonnées qui disent ça (toutes les autres coordonnées diront la même chose).

tu prétends que la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse

je ne peux pas prétendre ça vu que je ne comprends même pas ce que ça veut dire que "la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse". Concrètement, que doit faire l'observateur de Schwarzschild pour mesurer "l'évolution du temps propre de la pluie" ?

En coordonnées de Painlevé 10 secondes de t le long de la ligne d'univers de l'observateur éloigné correspondent à 10 secondes de tr le long de la ligne d'univers du chuteur.

nulle part je ne mentionne une telle correspondance. Je parle de coïncidence entre des choses qui sont au même endroit et au même moment, ce qui permet la comparaison. Il n'est pas question de comparer une chose sur une ligne d'univers avec autre chose sur une autre ligne d'univers, à moins d'être en l'évènement précis où elles se croisent (si croisement il y a). On est en espace-temps courbe, on ne peut pas comparer des choses qui ne sont pas au même endroit et au même moment si on n'a pas convenu suivant quel chemin on déplace l'une des choses là où se trouve l'autre, et on a conscience que la comparaison dépendra totalement du chemin dont on aura convenu.

m@ch3

[Deedee81]

je ne peux pas prétendre ça vu que je ne comprends même pas ce que ça veut dire que "la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse". Concrètement, que doit faire l'observateur de Schwarzschild pour mesurer "l'évolution du temps propre de la pluie" ?

Ha bien voilà, tu l'as quand même relevé

[Trictrac]

Quand la valeur de r est très élevée (le chuteur est très très loin), la variation de r devient négligeable et la variation de t devient approximativement la même que celle du temps propre (et donc de celle de tr).
Quand la valeur de r tend vers 2M, une augmentation d'une unité de temps propre le long de la ligne signifie une augmentation démesurée (arbitrairement grande) de t et une diminution de r de une unité

Pourtant dans la forme de Painlevé quand r tend vers 2M le temps propre de l'observateur éloigné tel que mesuré par le chuteur est le même que le sien comme c'est le cas pour tout r, ce qui veut dire que le t qui augmente de façon "démesurée" ne peut pas être le temps propre de l'observateur éloigné puisque le temps propre de l'observateur éloigné en coordonnées de Painlevé augmente comme le temps propre de la pluie.

je ne peux pas prétendre ça vu que je ne comprends même pas ce que ça veut dire que "la mesure de l'évolution du temps propre de la pluie par l'observateur de Schwarzschild est fausse". Concrètement, que doit faire l'observateur de Schwarzschild pour mesurer "l'évolution du temps propre de la pluie" ?

Il prend son dt et à l'aide de la forme de Schwarzschild il calcule la variation du temps propre du chuteur pour un r particulier. Il constate alors que les deux valeurs sont différentes.
Si le chuteur fait la même chose de son côté avec sa formé métrique il constatera que les deux valeurs seront identiques.

nulle part je ne mentionne une telle correspondance. Je parle de coïncidence entre des choses qui sont au même endroit et au même moment, ce qui permet la comparaison. Il n'est pas question de comparer une chose sur une ligne d'univers avec autre chose sur une autre ligne d'univers, à moins d'être en l'évènement précis où elles se croisent (si croisement il y a). On est en espace-temps courbe, on ne peut pas comparer des choses qui ne sont pas au même endroit et au même moment si on n'a pas convenu suivant quel chemin on déplace l'une des choses là où se trouve l'autre, et on a conscience que la comparaison dépendra totalement du chemin dont on aura convenu.

Moi je compare des choses qui ne sont pas au même endroit à l'aide des métriques qui le permettent.
A tout moment l'observateur éloigné peut déterminer le temps propre du chuteur grâce à la forme de Schwarzschild et à tout moment le chuteur peut calculer le temps propre de l'observateur éloigné grâce à la forme de Painlevé.

[Deedee81]

Il prend son dt et à l'aide de la forme de Schwarzschild il calcule la variation du temps propre du chuteur pour un r particulier. Il constate alors que les deux valeurs sont différentes.
Si le chuteur fait la même chose de son côté avec sa formé métrique il constatera que les deux valeurs seront identiques.

M'enfin, c'est totalement absurde. Il y a une infinité de valeur du temps propre sur une ligne d'univers. Pour quel point de cette ligne fait-il le calcul ??? (réfléchit un peu, juste un peu s'il te plaît. Bon, week-end là, je verrai ça lundi, ou dimanche plutôt). Sans croisement des lignes, comparaison n'est pas raison !!!!!

[mach3]

Pourtant dans la forme de Painlevé quand r tend vers 2M le temps propre de l'observateur éloigné tel que mesuré par le chuteur est le même que le sien comme c'est le cas pour tout r, ce qui veut dire que le t qui augmente de façon "démesurée" ne peut pas être le temps propre de l'observateur éloigné puisque le temps propre de l'observateur éloigné en coordonnées de Painlevé augmente comme le temps propre de la pluie.

Tu essaies de comparer quelque chose qui concerne le chuteur alors qu'il est proche de l'horizon avec quelque chose qui concerne un immobile situé très loin. Tu ne peux pas faire ça. En tout cas pas sans expliciter en quoi cela consiste concrètement. Que fait le chuteur pour mesurer le temps propre d'un immobile lointain ?

Concrètement, que doit faire l'observateur de Schwarzschild pour mesurer "l'évolution du temps propre de la pluie" ?

Il prend son dt et à l'aide de la forme de Schwarzschild il calcule la variation du temps propre du chuteur pour un r particulier. Il constate alors que les deux valeurs sont différentes.
Si le chuteur fait la même chose de son côté avec sa formé métrique il constatera que les deux valeurs seront identiques.

"il prend son dt"...
Je parle de concret.
Comment il fait "en vrai", quel(s) appareil(s)/instrument(s) il utilise, quand et comment. En vrai on ne peut pas "prendre son dt". En tout cas je ne connais personne qui a une 1-forme dans son garage et qu'il sort à l'occasion pour mesurer un temps propre...

Moi je compare des choses qui ne sont pas au même endroit à l'aide des métriques qui le permettent.

La métrique (quelque soit son expression, l'expression ne sert qu'à faire le calcul et le résultat ne dépend pas de l'expression) permet de comparer des variations le long d'une ligne avec des mesures concrètes qui peuvent être faite sur cette ligne à ce moment là.
Sur une ligne d'univers d'un immobile, la variation de t d'une unité correspond à une variation de temps propre de et la variation de tr d'une unité correspond également à une variation de temps propre de .
Sur une ligne d'univers de la pluie la variation de t d'une unité correspond à une variation de temps propre de , et la variation de tr d'une unité correspond à une variation de temps propre d'une unité.
On peut éventuellement comparer sur la base qu'une seconde de temps propre c'est une seconde de temps propre. Chaque observateur va comparer les variations de t ou tr à son étalon de temps local. Mais je ne pense pas que c'est ce que tu veuilles faire. J'interprète peut-être mal, mais il me semble que toi tu veux comparer les étalons locaux entre-eux, en pensant que certains sont "réellement" plus court que d'autre, me trompe-je ?

A tout moment l'observateur éloigné peut déterminer le temps propre du chuteur grâce à la forme de Schwarzschild et à tout moment le chuteur peut calculer le temps propre de l'observateur éloigné grâce à la forme de Painlevé.

En postulant des tranches de simultanéité de t constant, l'observateur éloigné pourra utiliser la métrique de Schwarzschild (quelle soit exprimée en coordonnées de Schwarzschild ou Painlevé, le résultat sera le même, seule la difficulté du calcul change) pour savoir combien de temps propre s'écoule pour un chuteur entre une tranche de simultanéité et une autre. C'est le de tout à l'heure. Si les tranches sont séparées d'une seconde de temps propre pour l'immobile lointain, elles sont séparées de 1-2M/r secondes pour le chuteur.
Le fait de postuler ces tranches là est bien entendu arbitraire. L'immobile lointain aurait tout autant le droit de considérer que les tranches de simultanéité sont de tr constant, ou tout autre chose. Ca n'a aucune importance de toutes façons, car à moins de baliser l'espace avec des horloges immobiles trafiquées pour afficher la valeur de t (ou de tr, ou d'autre chose) l'immobile lointain ne mesure pas qu'il se passe 1-2M/r secondes pour le chuteur quand il se passe 1 seconde pour lui. Ce qu'il mesure, c'est le redshift de ce chuteur. En 1 seconde de son temps propre, l'immobile voit (en vrai, avec ses yeux) secondes (calcul sur un coin de table, à vérifier...) s'écouler sur l'horloge du chuteur. Il n'y a que ça de concret, le reste après c'est de l'interprétation, le redshift étant alors "expliqué" par une certaine part d'effet gravitationnel et par une certaine part d'effet cinématique, parts variables suivant les choix faits.

En postulant des tranches de simultanéité de tr constant, le chuteur pourra utiliser la métrique de Schwarzschild (quelle soit exprimée en coordonnées de Schwarzschild ou Painlevé, le résultat sera le même, seule la difficulté du calcul change) pour savoir combien de temps propre s'écoule pour un observateur lointain d'une tranche de simultanéité et une autre. Si les tranches sont séparées d'une seconde de temps propre pour le chuteur, elles sont aussi séparées d'une seconde de temps propre pour l'immobile lointain.
Le chuteur peut, comme l'immobile, postuler d'autres tranches, ce choix étant sans importance. Ce qu'il va mesurer de toutes façons, c'est le redshift de l'immobile ( secondes observés sur l'horloge de l'immobile par le chuteur en 1 seconde de son temps propre, calcul sur un coin de table encore, à vérifier), pas le temps propre qui s'écoule pour l'immobile quand il s'écoule 1s pour lui.

m@ch3


PS/note pour moi même afin de vérifier mes redshifts calculés sur un coin de table : les formules du redshift dans le cas général radial en géométrie de Schwarzschild sont ici : https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6396961

[Trictrac]

Tu essaies de comparer quelque chose qui concerne le chuteur alors qu'il est proche de l'horizon avec quelque chose qui concerne un immobile situé très loin. Tu ne peux pas faire ça. En tout cas pas sans expliciter en quoi cela consiste concrètement. Que fait le chuteur pour mesurer le temps propre d'un immobile lointain ?

Le chuteur injecte r = infini et dr = 0 dans la métrique de Painlevé et il obtient la variation de temps propre de l'immobile lointain par rapport à la variation de son temps propre à lui.

On peut éventuellement comparer sur la base qu'une seconde de temps propre c'est une seconde de temps propre. Chaque observateur va comparer les variations de t ou tr à son étalon de temps local. Mais je ne pense pas que c'est ce que tu veuilles faire. J'interprète peut-être mal, mais il me semble que toi tu veux comparer les étalons locaux entre-eux, en pensant que certains sont "réellement" plus court que d'autre, me trompe-je ?

Les étalons de temps locaux entre des immobiles sont comparables à coup sûr, car le redshift provient intégralement de la dilatation du temps et certains sont réellement plus courts que d'autres, mais entre un chuteur et un immobile ce n'est pas si facile car il y a un redshift supplémentaire due à la chute, qui peut contenir une dilatation du temps du chuteur ou pas selon les découpages.
La métrique donne comme résultat un temps propre lointain que l'on compare directement au temps propre local. On peut utiliser soit les coordonnées de Schwarzschild soit de Painlevé et on obtiendra une évolution des temps propres du chuteur et de l'immobile différents. Les deux formes donnent des résultats différents.

En postulant des tranches de simultanéité de t constant, l'observateur éloigné pourra utiliser la métrique de Schwarzschild (quelle soit exprimée en coordonnées de Schwarzschild ou Painlevé, le résultat sera le même, seule la difficulté du calcul change) pour savoir combien de temps propre s'écoule pour un chuteur entre une tranche de simultanéité et une autre. C'est le de tout à l'heure. Si les tranches sont séparées d'une seconde de temps propre pour l'immobile lointain, elles sont séparées de 1-2M/r secondes pour le chuteur.

Si l'observateur éloigné se sert des coordonnées de Schwarzschild il obtiendra le résultat que tu dis, mais s'il utilise les coordonnées de Painlevé il obtiendra que son temps propre évolue comme tr, pas comme t. On ne peut pas utiliser les coordonnées de Painlevé et postuler des tranches de simultanéité de t constant.

Le fait de postuler ces tranches là est bien entendu arbitraire. L'immobile lointain aurait tout autant le droit de considérer que les tranches de simultanéité sont de tr constant, ou tout autre chose. Ca n'a aucune importance de toutes façons, car à moins de baliser l'espace avec des horloges immobiles trafiquées pour afficher la valeur de t (ou de tr, ou d'autre chose) l'immobile lointain ne mesure pas qu'il se passe 1-2M/r secondes pour le chuteur quand il se passe 1 seconde pour lui. Ce qu'il mesure, c'est le redshift de ce chuteur. En 1 seconde de son temps propre, l'immobile voit (en vrai, avec ses yeux) secondes (calcul sur un coin de table, à vérifier...) s'écouler sur l'horloge du chuteur. Il n'y a que ça de concret, le reste après c'est de l'interprétation, le redshift étant alors "expliqué" par une certaine part d'effet gravitationnel et par une certaine part d'effet cinématique, parts variables suivant les choix faits.

On ne peut pas postuler n'importe quelles tranches avec n'importe quelle forme, c'est précisément la forme qui définit la tranche.

En postulant des tranches de simultanéité de tr constant, le chuteur pourra utiliser la métrique de Schwarzschild (quelle soit exprimée en coordonnées de Schwarzschild ou Painlevé, le résultat sera le même, seule la difficulté du calcul change) pour savoir combien de temps propre s'écoule pour un observateur lointain d'une tranche de simultanéité et une autre. Si les tranches sont séparées d'une seconde de temps propre pour le chuteur, elles sont aussi séparées d'une seconde de temps propre pour l'immobile lointain.

Les coordonnées de Schwarzschild ne postulent pas des tranches de simultanéité à tr constant mais à t constant, si tu découpes à tr constant ce ne sont plus les coordonnées de Schwarzschild mais de Painlevé.

Le chuteur peut, comme l'immobile, postuler d'autres tranches, ce choix étant sans importance. Ce qu'il va mesurer de toutes façons, c'est le redshift de l'immobile ( secondes observés sur l'horloge de l'immobile par le chuteur en 1 seconde de son temps propre, calcul sur un coin de table encore, à vérifier), pas le temps propre qui s'écoule pour l'immobile quand il s'écoule 1s pour lui.

L'immobile peut postuler la tranche de simultanéité tr mais alors il faut arrêter de raconter que le chuteur va mettre un temps infini à arriver sur l'horizon, c'est seulement la lumière qui mettra un temps infini à remonter jusqu'à l'immobile, et dans ce cas le temps propre de l'immobile n'est plus balisé par t mais par tr.
Cela revient à dire que l'immobile utilise les coordonnées de Painlevé pour déterminer les temps propres, dans ce cas il trouvera que son temps propre et celui du chuteur évoluent de la même manière selon tr, en revanche s'il se sert des coordonnées de Schwarzschild il trouvera que le temps propre du chuteur évolue beaucoup plus lentement que le sien qui évolue alors selon t.
Et qu'est-ce qui fait la différence entre ces deux solutions ? C'est la manière dont se comporte la lumière. Dans les coordonnées de Schwarzschild la lignes de simultanéité est horizontale partout donc le cône de lumière ne bascule pas et la vitesse de la lumière est isotrope par rapport à tous les immobiles, dans les coordonnées de Painlevé le cône de lumière bascule avec la ligne d'univers du chuteur donc la lumière n'est plus isotrope par rapport aux immobiles, ce qui fait que le chuteur ne subit pas la dilatation du temps cinématique et au contraire ce sont les immobiles qui la subissent et la dilatation du temps gravitationnelle n'est autre chose que la dilatation du temps cinématique subie par les immobiles.
Ensuite tu fais intervenir le rasoir d'Ockham et ce qu'il dit des hypothèses inutiles.

[mach3]

Trop d'affirmations fausses=> fermeture.

J'avais prévenu.

mach3, pour la modération