Topologie spatiale dans un espace-temps de Schwarzschild

[chaverondier]

Bonjour

En s'intéressant aux seules coordonnées r et t, la métrique de Schwarzschild s'écrit :
ds² = (1 - rs/r)dt² - dr²/(1 - rs/r) où rs désigne le rayon de Schwarzschild

En direction radiale, la métrique spatiale (de cette métrique stationnaire) s'écrit :
dl² = dr²/(1- rs/r) cf. Landau et Lifchitz, théorie des champs, §84 distances et intervalles de temps
(pas de complications car, dans la métrique de Schwarzschild, il n'y a ni termes dt dr, ni termes dt dthêta, ni termes dt dphi)

Réalisons un plongement isométrique dans un espace Euclidien possédant une dimension w d'espace supplémentaire
(en passant sous silence les termes en dthêta et dphi qui ne posent pas de problème)

dl² = dw²+dr² = dr²/(1- rs/r), soit dr² (rs/r)/(1-rs/r) = dw² soit encore
dw = dr/(r/rs -1)^0,5 et donc w = 2 rs (r/rs -1)^0,5

Le plongement isométrique de la tranche de simultanéité dans notre espace euclidien à 4 dimensions est donc (sauf erreur quelque part) un paraboloïde de révolution autour de l'axe w (la quatrième dimension spatiale fictive servant au plongement)

r = rs [1+ w²/(2rs)²]

Notre tranche de simultanéité, projection de ce paraboloïde dans l'espace à 3 dimensions, est vide en dessous de la sphère de Schwarzschild.

Est-ce que prolonger ce paraboloïde par symétrie autour de l'hyperplan w = 0 (et donc considérer qu'il n'y a pas d'espace sous la sphère de Schwarzschild) pourrait se voir donner un sens physique compatible avec la RG ou, au contraire, y a-t-il totale incompatibilité de la topologie correspondante avec ce que l'on pense savoir à ce jour ?
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[mach3]

Il me semble que ça correspond simplement au pont de Rosen. Dans un diagramme de Kruskal, c'est une droite allant de la région I à la région III et passant par l'origine (la sphère de Schwarzschild).

On peut d'ailleurs écrire la métrique de Schwarzschild avec ta coordonnée l (tel que dl²=dr²+dw²) allant de -infini à +infini, mais elle présentera une singularité de coordonnée en l=0 (sur la sphère de Schwarschild, le coefficient 00 en 1-2M/r va s'annuler) et l'expression ne couvrira que les régions I et III, avec la possibilité d'une coordonnée temporelle à "rebrousse temps" dans la région III.
En fait au niveau spatiale, il n'y a pas de problème, on colle deux espaces 3D le long d'une frontière 2D, on obtient bien une variété 3D, mais au niveau spatio-temporel, on colle deux espace-temps 4D le long d'une frontière 2D, donc ça ne donne pas une variété 4D (c'est l'équivalent de deux sphères (2D) qui ne se touchent qu'en un point (0D) : l'ensemble n'est pas une variété 2D). Pour coller ensemble des morceaux de variété de dimension et obtenir une variété, il faut que les zones de recollement soit de dimension n-1.

Mais bon, ce pont de Rosen, ça ne s'applique qu'à un trou noir de Schwarzschild idéal. Pour un trou noir résultant d'un effondrement, la tranche de simultanéité des immobiles abouti à la surface de l'astre en effondrement avant que celui-ci n'ait un rayon inférieur à 2M et se poursuit dans l'astre où la métrique est plutôt du type FLRW (on complète le paraboloide par un genre de calotte sphérique, mais pas sûr qu'on puisse faire le plongement en 3D, ni que le prolongement soit unique).

m@ch3

[mach3]

Tiens, on en avait discuté quelque part par là : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6267215

m@ch3

[ordage]

Tiens, on en avait discuté quelque part par là : https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6267215

m@ch3

Bonjour
Extrait de l'article de Kruskal (Physical Review 1960)
kruskal-2.jpg
kruskal-3.jpg
Cordialemnt

[A voir en vidéo sur Futura]

[chaverondier]

En fait au niveau spatial, il n'y a pas de problème, on colle deux espaces 3D le long d'une frontière 2D, on obtient bien une variété 3D, mais au niveau spatio-temporel, on colle deux espace-temps 4D le long d'une frontière 2D, donc ça ne donne pas une variété 4D (c'est l'équivalent de deux sphères (2D) qui ne se touchent qu'en un point (0D) : l'ensemble n'est pas une variété 2D). Pour coller ensemble des morceaux de variété de dimension et obtenir une variété, il faut que les zones de recollement soit de dimension n-1.

Je comprends l'idée au niveau mathématique mais il y a un point que je ne comprends pas physiquement. D’un point de vue physique, cette singularité temporelle est-elle réellement un problème ? Je m'explique.

Dans la métrique de Schwarzschild, le dt c'est une mesure du temps tel qu'il s'écoule pour un observateur lointain stationnaire, loin de la sphère de Schwarzschild, donc là où le tic-tac des horloges n'est pas ralenti par le facteur (1-v²/c²)^0.5 (où v²/2 = GM/r). Le facteur (1-v²/c²) devant c² dt² traduit au contraire le ralentissement du temps pour les observateurs stationnaire à l’altitude r (dans une sorte de "courant d'éther" s’écoulant à la vitesse v).

Si maintenant, je passe dans le référentiel des observateurs de Lemaître chutant "depuis très haut", ils sont "comobiles avec une sorte de courant d'éther", donc leur temps n'est plus ralenti. Par contre, comme ils tombent à la vitesse v, la lumière doit parcourir non plus la distance dr mais la distance dr+vdt.

Dans le référentiel des observateurs de Lemaître, avec des mesures de temps et de distance par les mètres et les horloges de ces observateurs en chûte libre, la métrique de Schwarzchild prend donc la forme (hors termes angulaires ne me semblant pas poser de problème)

ds² = c² dt² - (dr+vdt)²

Autrement dit, la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Painlevé-Gullstrand.

Quand on arrive sur la sphère de Schwarzschild, on a v = c et la métrique sur cette sphère s’écit

ds² = - dr² - 2 c dr dt

Effectivement, on trouve bien la singularité. Le coeff devant dt² s'est annulé.

Il me semble toutefois que l'on peut interpréter ainsi cette annulation : la lumière met un temps devenant infini à s'échapper quand r tend vers rs. Cet aspect-là ne me choque pas, il est normal. La lumière ne parvient plus à remonter le "courant d'éther" puisque "ce courant d'éther s'écoule" à la vitesse c...

...mais cela n'empêche pas le franchissement "du col sonique" par l'imprudent observateur de Lemaître (Voui, enfin, aux effets de marée près)

A noter que, dans ce référentiel-là, la métrique spatiale dl² est devenue (me semble-t-il) euclidienne
(dl² = [-galpha.bêta + (go.alpha go.béta/g00)] dx.alpha dx.béta selon Landau et Lichitz, théorie de champs, §86 Distances et intervalles de temps, et seul gor est non nul)

Par contre, le point qui m'embête, c'est le terme dr dt. Que représente ce terme croisé résiduel c dr dt une fois arrivé sur la sphère de Schwarzschild ? Je n’arrive pas bien à l’interpréter physiquement. Serait-ce, physiquement, ce terme qui empêche d’interpréter le trou noir comme un pont de d'Einstein-Rosen, avec rien sous la sphère de Schwarzschild, et qu’il serait donc possible de franchir (aux effets de marée près) ?

[mach3]

Le problème c'est juste que cette tranche d'espace contenant le pont n'est pas valide si on veut faire du 3+1 avec le t de Schwarzschild comme coordonnée temporelle, simplement parce que cette coordonnée temporelle t n'est pas définie sur la sphère de Schwarzschild (c'est un peu comme les angles theta et phi non définis à l'origine des coordonnées sphériques), normal, il n'est pas défini sur les horizons dont cette sphère fait partie. Il ne s'agit pas d'un problème physique mais d'une représentation mal fichue.

Quand on arrive sur la sphère de Schwarzschild, on a v = c et la métrique sur cette sphère s’écit

ds² = - dr² - 2 c dr dt

Effectivement, on trouve bien la singularité. Le coeff devant dt² s'est annulé

Non, ici ce n'est pas singulier. Ce t de Painlevé sortant, contrairement au t de Schwarzschild, est bien défini sur l'horizon futur entre les régions I et II (mais pas sur l'horizon passé entre IV et I ni sur la sphère de Schwarzschild). L'annulation du coefficient devant dt² pour r=2M indique juste qu'une ligne qui reste en r=2M est de genre nul (peu importe la variation de t, l'intervalle sera nul). Il impose par ailleurs que pour avoir du genre non nul, on doit avoir dr/dt non nul (et le signe du terme en drdt impose que dr/dt<0 pour le genre temps).

Par contre, le point qui m'embête, c'est le terme dr dt. Que représente ce terme croisé résiduel c dr dt une fois arrivé sur la sphère de Schwarzschild ? Je n’arrive pas bien à l’interpréter physiquement. Serait-ce, physiquement, ce terme qui empêche d’interpréter le trou noir comme un pont de d'Einstein-Rosen, avec rien sous la sphère de Schwarzschild, et qu’il serait donc possible de franchir (aux effets de marée près) ?

La sphère de Schwarzschild (donc le pont de Rosen) n'est pas couverte par les coordonnées de Painlevé.

m@ch3

[ordage]

La sphère de Schwarzschild (donc le pont de Rosen) n'est pas couverte par les coordonnées de Painlevé.

m@ch3

Bonjour
Le pont de Rosen est une structure de type espace.
A noter que dans Painlevé, les sections spatiales (à t = cste) sont euclidiennes donc non singulières partout (entre autres r =2GM et r =0)
Cordialement

[chaverondier]

Le problème c'est juste que cette tranche d'espace contenant le pont n'est pas valide si on veut faire du 3+1 avec le t de Schwarzschild comme coordonnée temporelle, simplement parce que cette coordonnée temporelle t n'est pas définie sur la sphère de Schwarzschild

Ce point ne me semble pas poser de difficulté d'interprétation.

• D'une part une particule de propageant à vitesse c a une durée propre nulle dans tous les référentiels (son ds=0) et seule une particule se déplaçant à vitesse c dans le vide peut rester stationnaire sur la sphère de Schwarzschild.
  .
• D'autre part, pour un observateur stationnaire qui n'est pas sur la sphère de Schwarzschild, tous les évènements se produisant sur la sphère de Schwarzchild sont rejetés vers un temps infini (par leur façon de mesurer la simultanéité) car aucun signal lumineux atteignant cet évènement ne peut remonter en un temps fini (un point que tu signales d'ailleurs un peu plus bas).

Non, ici ce n'est pas singulier. Ce t de Painlevé sortant, contrairement au t de Schwarzschild...

Sur ce point j'ai un peu de mal. Cette remarque suggère que le t de Painlevé et le t de Schwarzschild n'auraient pas la même signification physique. Pourtant, le changement de coordonnées pour tomber sur la forme de métrique de Painlevé en partant de la forme de métrique de Schwarzschild (la métrique exprimée dans le référentiel des observateurs stationnaires), on peut l'obtenir de la façon suivante :

1/ en tenant compte de l'absence de dilatation temporelle de Lorentz dans le référentiel de Lemaître. Le dt n'a donc pas à être diminué par le facteur (1-v²/c²)^0.5 car les horloges des observateurs de Lemaître, comobiles avec une sorte de "vent d'éther", ne battent pas plus lentement.

2/ en tenant compte de l'absence de contraction de Lorentz dans le référentiel de Lemaître. La distance entre 2 évènements séparés de dr n'est pas trouvée plus longue car le mètre des observateurs de Lemaître n'est, pour la même raison, pas contracté.

3/ en tenant compte de la vitesse de chute v éloignant la position des observateurs de la distance radiale vdt entre 2 instants séparés de dt.

Le dt de la (forme de) métrique de Schwarzschild me semble donc avoir même signification physique que le dt de la (forme de) métrique de Painlevé. Ce dt correspond à ce que mesurent les horloges des observateurs en chûte libre "depuis très haut" (ainsi que les observateurs stationnaires "très lointains").

L'annulation du coefficient devant dt² pour r=2M indique juste qu'une ligne qui reste en r=2M est de genre nul (peu importe la variation de t, l'intervalle sera nul). Il impose par ailleurs que pour avoir du genre non nul, on doit avoir dr/dt non nul (et le signe du terme en drdt impose que dr/dt<0 pour le genre temps).

Oui, d'accord sur ce point. Effectivement, "très près" de la sphère de Schwarzschild, 2 évènements séparés de dt et de dr en coordonnées de Painlevé sont séparés par un ds² = c² dt² -(dr+cdt)² nécessairement de type espace si dr est positif. Pas d'information se propageant de l'un à l'autre "vers le haut" entre 2 évènements se produisant "très près" de la sphère de Schwarzschild comme dit plus haut.

La sphère de Schwarzschild (donc le pont de Rosen) n'est pas couverte par les coordonnées de Painlevé.

Et le caratère euclidien de la métrique spatiale en coordonnées de Painlevé n'est pas intuitif. En quelques sortes, dans cette métrique, un rayon lumineux envoyé sur la sphère de Schwarzschild semble "rebondir"...
...mais en passant dans un feuillet spatial coïncidant sous-jacent.

L'absence de couverture de la sphère de Schwarzschild par les coordonnées de Painlevé est-elle un obstacle à cette interprétation ? Au pôle nord, la coordonnée angulaire azimutale n'est pas définie (pour reprendre ton analogie). Pourtant, franchir le pôle nord en suivant un méridien est possible.

[mach3]

Sur ce point j'ai un peu de mal. Cette remarque suggère que le t de Painlevé et le t de Schwarzschild n'auraient pas la même signification physique. Pourtant, le changement de coordonnées pour tomber sur la forme de métrique de Painlevé en partant de la forme de métrique de Schwarzschild (la métrique exprimée dans le référentiel des observateurs stationnaires), on peut l'obtenir de la façon suivante :

1/ en tenant compte de l'absence de dilatation temporelle de Lorentz dans le référentiel de Lemaître. Le dt n'a donc pas à être diminué par le facteur (1-v²/c²)^0.5 car les horloges des observateurs de Lemaître, comobiles avec une sorte de "vent d'éther", ne battent pas plus lentement.

2/ en tenant compte de l'absence de contraction de Lorentz dans le référentiel de Lemaître. La distance entre 2 évènements séparés de dr n'est pas trouvée plus longue car le mètre des observateurs de Lemaître n'est, pour la même raison, pas contracté.

3/ en tenant compte de la vitesse de chute v éloignant la position des observateurs de la distance radiale vdt entre 2 instants séparés de dt.

Le dt de la (forme de) métrique de Schwarzschild me semble donc avoir même signification physique que le dt de la (forme de) métrique de Painlevé. Ce dt correspond à ce que mesurent les horloges des observateurs en chûte libre "depuis très haut" (ainsi que les observateurs stationnaires "très lointains").

Le t de Schwarzschild et le t de Painlevé, souvent noté tr (r comme rain, la pluie donc) ne sont pas le même champ scalaire. On a

(ajouter une constante arbitraire pour faire coïncider t et tr pour une valeur de r particulière)

voir par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...GP_coordinates

Ce qui donne la relation suivante entre les gradients de t et tr que sont les 1-formes dt et dtr :

(on note que dt et dtr tendent l'un vers l'autre quand r devient très grand, contrairement à t et tr qui divergent forcément l'un de l'autre pour r très grand, et cela peu importe la constante arbitraire qu'on aura pu ajouter pour faire coincider t et tr pour une valeur particulière de r)

Si on applique la 1-forme dt à un vecteur quelconque (tangent à une ligne de paramètre ), on a :



En particulier, le long d'une ligne de r (theta et phi) constant, c'est à dire telle que (donc la ligne d'univers d'un immobile de Schwarzschild si r>2M), on a :

donc, coïncidence entre variation de t et variation de tr le long de cette ligne (mais pas coïncidence de valeurs, sauf pour une valeur particulière de r). Cela se retrouve sans surprise en comparant l'application des expressions de la métrique en coordonnées de Schwarzschild ou en coordonnées de Painlevé à ce vecteur de r constant :



les variations de t et tr ont la même relation avec la variation d'intervalle le long d'une ligne de r constant (donc variation de temps propre si r>2M).

Le long de toute autre ligne, les variations de t et tr sont différentes. En particulier le long d'une ligne d'univers de pluie, tr varie comme le temps propre, mais pas t.

Et le caratère euclidien de la métrique spatiale en coordonnées de Painlevé n'est pas intuitif. En quelques sortes, dans cette métrique, un rayon lumineux envoyé sur la sphère de Schwarzschild semble "rebondir"...
...mais en passant dans un feuillet spatial coïncidant sous-jacent.

L'absence de couverture de la sphère de Schwarzschild par les coordonnées de Painlevé est-elle un obstacle à cette interprétation ? Au pôle nord, la coordonnée angulaire azimutale n'est pas définie (pour reprendre ton analogie). Pourtant, franchir le pôle nord en suivant un méridien est possible.

La carte de Painlevé entrante couvre les régions I (extérieur) et II (trou noir) et donc décrit sans problème le passage de l'horizon (contrairement aux deux cartes de Schwarzschild, celle en r>2M et celle en r<2M, qui couvrent respectivement la région I et la région II mais pas l'horizon futur qui fait la jonction entre les deux).

La sphère de Schwarzschild n'est pas couverte par les coordonnées de Painlevé, mais ce n'est pas un souci pour décrire le passage de l'horizon car les seules lignes d'univers qui passent par la sphère de Schwarzschild sont celles qui vont directement de la région IV (trou blanc) à la région II (trou noir). On ne peut pas décrire un rayon lumineux envoyé vers la sphère de Schwarzschild avec Painlevé vu qu'un tel rayon appartient à l'horizon passé, limite entre la région I et la région IV non couverte par Painlevé entrant (tr y tend vers -infini). Par ailleurs un tel rayon ne peut "sembler rebondir mais en passant dans un feuillet spatial coincidant sous-jacent" : il est constamment en r=2M (sans compter les différentes occurences dues aux différentes valeurs possible de theta et phi, il y a deux lignes de genre nul constamment en r=2M, celle-ci et celle du rayon qui "fait du surplace" sur l'horizon futur qui est lui bien représenté chez Painlevé entrant).

m@ch3

[chaverondier]

Petite vérif bassement calculatoire en injectant dans ds² la relation entre dt et dtr

dt = dtr - v dr/(1-v²) et donc

ds² = (1 - v²)dt² - dr²/(1 - v²) = (1 - v²)[dtr - vdr/(1 - v²)]² - dr²/(1 - v²)
ds² = (1 - v²)dtr² - 2 dtr vdr + (vdr)²/(1 - v²) - dr²/(1 - v²) = dtr² - (v² dtr² + 2 vdtr dr + dr²)
ds² = dtr² - (dr + vdt)²

OK. Effectivement, on obtient bien la forme de métrique de Painlevé.

Au passage on remarque que la relation entre dt et dtr s'écrit aussi :

dt = (dt1 - v dr1)/(1-v²/c²)^0.5

autrement dit une transformation de Lorentz locale tenant compte, cinématiquement, de la vitesse centripète v de l'observateur de Lemaitre par rapport à l'observateur stationnaire coïncidant en l'évènement (tr, r) considéré, mais avec les "corrections" relativistes ci-dessous :

• dt1 = dtr (1-v²/c²)^0.5, dt1 mesure la durée du petit intervalle de temps compris entre tr et tr+dtr, mais corrigée par un effet de type dilatation temporelle de Lorentz due à la vitesse v quand la durée de cet intervalle de temps dtr est mesurée par un observateur coïncidant en l'évènement considéré, en chute libre radiale lui aussi, mais stationnaire en cet évènement.
  .
• dr1 = dr/(1-v²/c²)^0.5, dr1 mesure la longueur du petit segment de droite compris entre r et r+dr, mais corrigée par un effet de type contraction temporelle de Lorentz due à la vitesse v quand la longueur de ce petit segment de droite dr est mesurée par un observateur coïncidant en l'évènement considéré, en chute libre radiale lui aussi, mais stationnaire en cet évènement.

On ne peut pas décrire un rayon lumineux envoyé vers la sphère de Schwarzschild avec Painlevé vu qu'un tel rayon appartient à l'horizon passé, limite entre la région I et la région IV non couverte par Painlevé entrant (tr y tend vers -infini).

Je n'ai pas compris ce que tu entendais par "envoyé vers la sphère de Schwarzschild". Tu évoques un rayon lumineux qui tombe radialement sur cette sphère ? Si c'est le cas (je pense plutôt que je n'ai pas compris l'expression) pourquoi cet envoi appartient forcément au passé ?

Par ailleurs un tel rayon ne peut "sembler rebondir mais en passant dans un feuillet spatial coincidant sous-jacent"

Quand je parlais de "rebondir dans un feuillet spatial coïncidant sous-jacent", je posais la question de savoir si un éventuel passage dans un "feuillet 3D coïncidant", avec réflexion CPT sur la sphère de Schwarzschild (inversion à la fois du temps, de la masse et de la parité) serait possiblement (ou pas) compatible avec ce l'on pense savoir des considérations de trous noirs et (possibles) trous blancs (un changement assez brutal de feuillet qui se passerait ainsi du mécanisme des trous de vers puisque, d'après ce que j'ai pu lire de ci de là, les trous de ver semblent se refermer avant que leur franchissement ne soit possible).

[mach3]

Je n'ai pas compris ce que tu entendais par "envoyé vers la sphère de Schwarzschild". Tu évoques un rayon lumineux qui tombe radialement sur cette sphère ? Si c'est le cas (je pense plutôt que je n'ai pas compris l'expression) pourquoi cet envoi appartient forcément au passé ?

C'est toi qui parlait d' "un rayon lumineux envoyé sur la sphère de Schwarzschild" au départ.
La sphère de Schwarzschild est à la jonction des horizons passé et futur. Causalement elle ne peut être ni dans le passé, ni dans le futur d'un évènement de l'extérieur du trou noir (la région I). Il n'y a que deux façons pour avoir un évènement de la sphère de Schwarzschild sur sa ligne d'univers : venir du trou blanc et passer directement au trou noir, ou être un rayonnement piégé dans l'horizon passé pour être ensuite piégé dans l'horizon futur.
Dans un diagramme de Kruskal, cette sphère occupe le point X=T=0.

Quand je parlais de "rebondir dans un feuillet spatial coïncidant sous-jacent", je posais la question de savoir si un éventuel passage dans un "feuillet 3D coïncidant", avec réflexion CPT sur la sphère de Schwarzschild (inversion à la fois du temps, de la masse et de la parité) serait possiblement (ou pas) compatible avec ce l'on pense savoir des considérations de trous noirs et (possibles) trous blancs (un changement assez brutal de feuillet qui se passerait ainsi du mécanisme des trous de vers puisque, d'après ce que j'ai pu lire de ci de là, les trous de ver semblent se refermer avant que leur franchissement ne soit possible).

Là on sort du cadre strict de l'espace-temps de Schwarzschild de la relativité générale, dans lequel le pont de Rosen n'est pas traversable parce qu'il n'existe aucune ligne de genre temps ou nul qui va de la région I (extérieur dans un univers) à la région III (extérieur dans l'autre univers). Il n'y a que des lignes de genre espace qui traversent.
Avec de la gravitation quantique, ou avec des trous noirs chargé ou en rotation, il y a éventuellement des possibilités de traverser, mais la géométrie est tout autre, et je ne suis pas le bon interlocuteur (au delà des bases de RG, de l'espace-temps de Schwarzschild et d'un peu de FLRW et de LTB, je ne connais pas grand-chose).

m@ch3