Coordonnées de Painlevé

[externo]

Bonjour,

Je pose une question peut-être triviale sur les coordonnées de Painlevé.
Il semble que dans ces coordonnées le r représente la même chose que dans Schwarzschild.
Si tel est le cas, comment est-il possible de déterminer un mouvement dr au delà de l'horizon et d'imaginer un observateur qui franchirait cet horizon ? En effet, l'espace est infiniment contracté au niveau de l'horizon, donc aucun mouvement n'est plus possible quel que soit le système de coordonnées utilisé.
Si on se figure cela sous la forme d'une courbure, la pente de l'espace devient 90° et plonge asymptotiquement sans plus avancer.
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[mach3]

Chez Schwarzschild comme chez Painlevé, la coordonnée r est un champ scalaire tel que l'ensemble des évènements de mêmes coordonnées r et t (ou "tr" chez Painlevé) forment une sphère de surface . C'est ce qu'on appelle un "rayon aréal". Cela se voit au simple fait que si on "annule" dt (ou dtr) et dr, ce qui reste est la métrique d'une sphère multipliée par r².

La différence entre les deux est dans la coordonnée "temporelle" (entre guillement parce qu'à prendre avec des pincettes). Si on prend l'ensemble des évènements de même coordonnée t (avec r>2M) de Schwarzschild, on obtient l'analogue 3D d'un paraboloide de Flamm. On peut le montrer en annulant dt : la métrique spatiale obtenue correspond (mais ce n'est pas une évidence, il faut étudier un peu le paraboloide de Flamm)
En revanche si on prend l'ensemble des évènements de même coordonnée tr de Painlevé, on obtient un espace euclidien. Et c'est évident si on annule dtr.

Ce cas illustre bien le fait qu'il n'y a pas Un Espace (avec une courbure donnée) mais autant d'espaces (avec autant de courbures différentes) que de façons de découper l'espace-temps en tranches.

Dans le cadre des modèles cosmologique, on parle certes de courbure de l'espace, mais il s'agit implicitement des tranches d'espace telle que leur contenu est homogène et isotrope, des tranches à "temps cosmologique" constant.

Si tel est le cas, comment est-il possible de déterminer un mouvement dr au delà de l'horizon et d'imaginer un observateur qui franchirait cet horizon ? En effet, l'espace est infiniment contracté au niveau de l'horizon, donc aucun mouvement n'est plus possible quel que soit le système de coordonnées utilisé.

On reviendra là-dessus plus tard, surement dans la soirée.

m@ch3

[externo]

Ce cas illustre bien le fait qu'il n'y a pas Un Espace (avec une courbure donnée) mais autant d'espaces (avec autant de courbures différentes) que de façons de découper l'espace-temps en tranches.
m@ch3

Vraiment ? J'ai toujours pensé qu'il n'y avait qu'un seul espace et que ce qui changeait ce n'était que le point de vue des observateurs. C'est à dire que l'observateur voit correctement l'espace-temps dans son propre référentiel mais le mélange dans celui des autres en le mesurant avec ses propres axes de temps et d'espace, alors que dans celui les autres l'espace-temps est en réalité orienté différemment.

[Mailou75]

Salut,

Vraiment ? J'ai toujours pensé qu'il n'y avait qu'un seul espace et que ce qui changeait ce n'était que le point de vue des observateurs.

Localement l'espace est défini par : les trois dimensions orthogonales au temps, cad à la ligne d'univers en 4D.
Pour se le représenter on enlève une dimension d'espace et on obtient un plan (2D) qui se répète verticalement (t) pour obtenir un "cube" d'espace temps.
- En espace-temps plat (RR), le plan est un plan euclidien infini.
- En espace-temps courbe (RG), le plan n'est plan que localement mais courbe à distance (masse), voire fini (trou noir).
On conserve la notion de "plan" pour parler d'évènements ayant une datation coordonnée identique, c'est presque superflu.
Bref, l'espace ça n'existe pas vraiment...

Je pose une question peut-être triviale sur les coordonnées de Painlevé.
Il semble que dans ces coordonnées le r représente la même chose que dans Schwarzschild.

Je vais te faire une autre réponse mais qui n'enlève rien à celle de mach3

Mettons qu'une règle mesure 1m dans les mains d'un immobile à une altitude r=1,333Rs

1/ L'observateur éloigné de Schw voit cette règle compressée de 1/2 = 50cm et redshiftée de z+1=2
L'abscisse de Schw correspond aux distances qui seront vues (~angulaires) par l'observateur éloigné.
De manière infinitésimale, chaque tronçon de longueur propre et compressé du z+1 local pour former l'axe r.
On peut le visualiser, comme le dit mach3, à l'aide du Paraboloïde de Flamm (exemple https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284)

2/ Un chuteur parti de l'infini (coordonnées de Painlevé, entre autres) va accélérer en tombant* et croiser des immobiles de plus en plus vite.
Arrivé à r=1,333Rs sa vitesse est de B=0,866 (86,6% de c) et l'environnement local lui semble compressé et rougi.
Il mesure la règle témoin avec sa propre règle et constate qu'elle mesure 50cm, car le facteur de Lorentz vaut Y=2, c'est de la RR, c'est local.

* Einstein nous dis qu'en fait c'est lui qui est immobile/inertiel et les autres qui accélèrent pour rester sur place
(pour ton cas c'est la Terre qui exerce une force sur tes pieds, inverse de ton poids)

On voit au passage que z+1=Y est une particularité de ceux qui tombent depuis l'infini, ce qui justifie l'utilisation de r pour ces deux là.
Mais d'autres repères l'utilisent aussi, ce ne sont que des "cartes" différentes de la même chose, un autre point de vue, comme on peut faire une infinité de cartes de la Terre.
Y'a même une version trigo, j'te jure mdr

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[externo]

- En espace-temps plat (RR), le plan est un plan euclidien infini.
- En espace-temps courbe (RG), le plan n'est plan que localement mais courbe à distance (masse), voire fini (trou noir).
On conserve la notion de "plan" pour parler d'évènements ayant une datation coordonnée identique, c'est presque superflu.
Bref, l'espace ça n'existe pas vraiment...

Mais du coup l'espace existe. Il est soit plan, soit courbe. Il n'est pas plan localement, c'est simplement que la courbure est trop faible pour être détectée. En fait on la détecte par le ralentissement du temps en fonction de l'altitude.

1/ L'observateur éloigné de Schw voit cette règle compressée de 1/2 = 50cm et redshiftée de z+1=2
L'abscisse de Schw correspond aux distances qui seront vues (~angulaires) par l'observateur éloigné.
De manière infinitésimale, chaque tronçon de longueur propre et compressé du z+1 local pour former l'axe r.
On peut le visualiser, comme le dit mach3, à l'aide du Paraboloïde de Flamm

Oui, mais ça, ça veut dire que l'espace est "penché". Sur le Paraboloïde, l'axe d'espace local est tangent à la surface, donc il est penché par rapport à l'axe d'espace de l'observateur à l'infini. La compression vient de la vue en perceptive, exactement comme en RR, et ce n'est pas symétrique car l'axe du temps d'un objet immobilisé dans un champ de gravitation n'est pas orthogonal à son axe d'espace, il est dirigé comme celui de la masse attractive, cad comme également celui d'un observateur à l'infini. En tout cas c'est ce que je constate en représentation de Loedel (euclidienne). Seulement le vecteur est plus court (temps ralenti), car il est réduit par l'immobilisation forcée de l'objet dans le champ de gravitation, immobilisation qui réduit une partie de l'écoulement de son temps (sa ligne d'univers). En représentation de Loedel, la profondeur du puits gravitationnel est dans le temps et en direction du passé. Mais il faut que je revérifie ça. Cette représentation de Loedel est magique.

2/ Un chuteur parti de l'infini (coordonnées de Painlevé, entre autres) va accélérer en tombant* et croiser des immobiles de plus en plus vite.
Arrivé à r=1,333Rs sa vitesse est de B=0,866 (86,6% de c) et l'environnement local lui semble compressé et rougi.
Il mesure la règle témoin avec sa propre règle et constate qu'elle mesure 50cm, car le facteur de Lorentz vaut Y=2, c'est de la RR, c'est local.

Logiquement le chuteur devrait chuter éternellement sans jamais atteindre l'horizon. Il devrait franchir une distance infinie pour arriver jusqu'à l'horizon. Mais d'après ce que j'ai lu, il peut franchir l'horizon. Comment est-ce possible ?

[Mailou75]

Salut,

Mais du coup l'espace existe.

L'Espace avec un grand E, non. Il y a autant d'espaces que de lignes d'univers (rappel : l'espace est la/les perpendiculaires au temps et le temps est la ligne d'univers)

Oui, mais ça, ça veut dire que l'espace est "penché". Sur le Paraboloïde, l'axe d'espace local est tangent à la surface, donc il est penché par rapport à l'axe d'espace de l'observateur à l'infini.

Bien vu l'aveugle

La compression vient de la vue en perspective

Je refuse le terme de perspective, inadequat. C'est plus proche de l'aberration de la lumière que de la perspective.

l'axe du temps d'un objet immobilisé dans un champ de gravitation n'est pas orthogonal à son axe d'espace, il est dirigé comme (...) celui d'un observateur à l'infini.

Oui.

Seulement le vecteur est plus court (temps ralenti), car il est réduit par l'immobilisation forcée de l'objet dans le champ de gravitation

Non pas plus court. Enfin, je dois finir mon étude...

Comme tu peux le voir sur la parabole de Flamm, à r=Rs l'espace est orthogonal à celui à l'infini (horizontal), il ne s’agit donc pas d'une RR locale à la Minko, mais façon Trigo. Les deux "aiguilles" chuteur/immobile, qui mesurent la même taille (=1s par exemple) se croisent dans "un cercle local" à la vitesse relative de la chute libre. L'angle n'est pas la rapidité de Minko mais l'angle Trigo, ainsi sur l'horizon l'angle vaut 90° (alors qu'il serait limité à 45° chez Minko).

On doit pouvoir faire de ceci un véritable repère, y'a du taf pour retrouver toutes les courbes...
[ à mach3 s'il lit : Et c'est ce repère que l'on doit pouvoir faire tourner ET changer de repère/observateur sans qu'il dénature la valeur du rayon aréal ]

Logiquement le chuteur devrait chuter éternellement sans jamais atteindre l'horizon. Il devrait franchir une distance infinie pour arriver jusqu'à l'horizon

Là je passe en mode limite hors charte : la théorie nous dit que l'horizon un lieu défini pour l'observateur éloigné (et tous les autres) comme un point de non retour. Il n'est pas impossible selon moi que, comme à la surface de la Terre ou comme en cosmo, la position de l'horizon soit relative. D'ailleurs celui qui passe l'horizon n'y constate rien de spécial localement. Dans ce cadre, la réponse à ta question est : oui, il traverse l'horizon de l'observateur à l'infini = (comme en cosmo ou Rindler) l'observateur à l'infini ne connaîtra pas le futur du chuteur au delà cet évènement, il verra l'histoire du chuteur de plus en plus lentement et jusqu'à son passage, en un temps infini pour lui.

A+

[externo]

Salut,

L'Espace avec un grand E, non. Il y a autant d'espaces que de lignes d'univers (rappel : l'espace est la/les perpendiculaires au temps et le temps est la ligne d'univers)

Mais non, l'espace est unique autour d'une masse, c'est le Paraboloïde. Il y a autant d'axes d'espaces que de lignes d'univers (axes du temps), et ces axes d'espaces sont tangents au Paraboloïde. Mais on ne peut pas dire que ces axes d'espaces soient l'espace lui-même. Ils sont l'espace seulement localement là où ils touchent le Paraboloïde.

Comme tu peux le voir sur la parabole de Flamm, à r=Rs l'espace est orthogonal à celui à l'infini (horizontal), il ne s’agit donc pas d'une RR locale à la Minko, mais façon Trigo. Les deux "aiguilles" chuteur/immobile, qui mesurent la même taille (=1s par exemple) se croisent dans "un cercle local" à la vitesse relative de la chute libre. L'angle n'est pas la rapidité de Minko mais l'angle Trigo, ainsi sur l'horizon l'angle vaut 90° (alors qu'il serait limité à 45° chez Minko).

D'ailleurs celui qui passe l'horizon n'y constate rien de spécial localement. Dans ce cadre, la réponse à ta question est : oui, il traverse l'horizon de l'observateur à l'infini = (comme en cosmo ou Rindler) l'observateur à l'infini ne connaîtra pas le futur du chuteur au delà cet évènement, il verra l'histoire du chuteur de plus en plus lentement et jusqu'à son passage, en un temps infini pour lui.

Si l'espace plonge à 90°, tu vois bien que le chuteur ne peut jamais atteindre l'horizon...

De mon côté je vais ouvrir un fil sur les représentations de Loedel (Minko) et j'en ferai 3 :
1-Représentation en RR et explication géométrique de pourquoi la vraie métrique est celle de Minkowski et non d'Euclide.
2-Représentation schématique de l'espace de Schwarzschild
3-Représentation de la composition des vitesses relativistes.

[externo]

De mon côté je vais ouvrir un fil sur les représentations de Loedel (Minko) et j'en ferai 3 :

Oups, lire (Trigo) et non (Minko)

[mach3]

Si tel est le cas, comment est-il possible de déterminer un mouvement dr au delà de l'horizon et d'imaginer un observateur qui franchirait cet horizon ? En effet, l'espace est infiniment contracté au niveau de l'horizon, donc aucun mouvement n'est plus possible quel que soit le système de coordonnées utilisé.

Bon, déjà, précisons ce qu'est "dr".

On le comprend souvent comme une variation infinitésimale de r. Mais il y a un sous-entendu implicite.

r c'est un champ scalaire sur une variété (ou au moins sur un morceau de cette variété), c'est à dire qu'en chaque point de la variété (ou événement s'il s'agit en particulier de l'espace-temps), r prend une certaine valeur. Plus encore, r est continu, c'est à dire que sa variation d'un point à un autre est d'autant plus petite que les deux points sont proches.

Partant d'un point où r prend une valeur donnée, le voisinage de ce point est généralement (les extrema faisant exception) découpé en deux parties égales : les directions suivant lesquelles r augmente et les directions suivant lesquelles il diminue, avec entre deux une frontière contenant les directions suivant lesquelles il ne variera pas (les "iso-r").
Ainsi quand on parle d'une variation infinitésimale de r, la seule chose qu'on impose, c'est d'interdire les directions qui sont dans la frontière. Si la variété est une surface, cette frontière est une ligne, si cette variété est un volume, cette frontière est une surface. Autant dire qu'en interdisant la frontière c'est peanuts.
Si on pose que cette variation est forcément positive (ou forcément négative), cela n'interdit que la moitié des directions, mais il reste encore une infinité de choix...

Ce qui est sous-entendu donc quand on parle de dr, c'est une direction. Ce n'est pas dr tout court, mais dr suivant une ligne de la variété.

En terme technique, dr n'est pas un nombre, ni même un nombre infinitésimal, c'est une application linéaire (une 1-forme) qui donnera un nombre si on lui donne un vecteur. dr donnera la dérivée de r dans la direction du vecteur qu'on lui donne. C'est ce qu'on appelle la dérivée directionnelle.

Donc pour un dr vers l'horizon dans la géométrie de Schwarzschild, quelle courbe considérer ? On s'intéresse aux mouvements de corps matériels, voire de lumière, il faut considérer un dr le long d'une ligne d'univers.
Le long de cette ligne d'univers, les 4 coordonnées peuvent toutes varier, mais elle ne peuvent le faire n'importe comment. Il y a des "directions" interdites qui correspondrait à des mouvements supraluminiques. Cela se formalise par l'expression de la métrique, par exemple, en coordonnées de Schwarzschild :


Par définition, si et positif, alors c'est du genre temps, ce qui correspond au mouvement d'une particule massive. Si il est nul c'est du genre nul, et cela correspond au mouvement d'une particule sans masse. Enfin, si c'est négatif, c'est du genre espace, qui correspondrait à un mouvement supraluminique.
Donc, on a, sur une ligne d'univers :

Si en plus on considère uniquement un mouvement radial :

ou encore :

ce qui, si , nous donne finalement :



Cela signifie que lors d'un mouvement radial entrant, la diminution de r s'accompagne d'une augmentation de t de plus en plus grande, jusqu'à ce que t diverge vers l'infini. Pour la particule qui effectue ce mouvement radial, le temps propre écoulé est pourtant fini, voire nul si il s'agit d'un particule sans masse, et rien de particulier n'est censé se produire car l'espace-temps est toujours localement de Minkowski, donc le mouvement doit continuer au-delà, mais les coordonnées de Schwarzschild ne permettent pas de décrire ce qui se passe au-delà.

Une très bonne analogie peut se faire avec les cartes de la Terre en projection orthographique. Une expression de la métrique de la sphère sur une telle carte est :

r est la distance à l'axe de la Terre (*), elle varie de 0 à , le rayon de la Terre. est la longitude. Si on marche en ligne droite du pôle à l'équateur, l'intervalle s parcouru (la vraie distance) est 10000km, mais r ne varie que de ~6400km. Si on se fie naïvement à la carte, on peut alors croire qu'il est impossible d'aller plus loin. Bien qu'on ne puisse pas augmenter r au-dessus de , on peut pourtant continuer le chemin sur l'autre hémisphère. La carte utilisée échoue simplement à nous montrer cette possibilité. Il faut continuer sur la carte de l'autre hémisphère.

Un simple changement de coordonnées permet de rétablir la continuité :
Posons , avec la co-latitude
On a donc
,

et

Si on met tout cela dans l'expression précédente de la métrique :

on obtient comme expression de la métrique :


Cette fois-ci aucun problème pour passer d'un hémisphère à l'autre (mais il y a un problème aux pôles maintenant, c'est une pathologie de la sphère, il y a toujours au moins un truc qui merde).
Avant on avait une carte en forme de disque par hémisphère, maintenant, après découpage (le long d'un méridien), déformation (le pole devient une ligne et forme avec l'équateur et les deux lignes de découpe un rectangle) et collage (le long de l'équateur, ça mériterait un dessin), on en a plus qu'une où le passage par l'équateur n'est plus un problème (mais le passage par un pôle est devenu problématique lui, alors que ça ne posait pas de problème sur la carte d'un hémisphère...)

Le passage de Schwarzschild a Painlevé relève du même genre chose. Le chemin choisit par Schwarzschild lors de sa résolution (notamment le choix d'annuler le terme rectangle dtdr, pour des raisons plus idéologiques que physique, il faut dire que c'était les balbutiements à l'époque) l'a mené à une expression de la métrique sur une carte incomplète de l'espace-temps. En fait, Schwarzschild avait trouvé (au moins) deux cartes disjointes sans le savoir, l'une avec et l'autre avec , mais il n'a jamais réalisé l'existence de la seconde. Les suivants qui ont suivi le même chemin de résolution, comme Hilbert par exemple, ont considéré l'existence de cette carte, mais ont eu beaucoup de mal à comprendre de quoi il s'agissait, car cette carte est très bizarre et déroutante.
Painlevé a choisi un chemin différent (il a autorisé un terme rectangle non nul) et a abouti à une autre expression de la métrique, sur une carte certes toujours incomplète, mais plus large que celle de Schwarzschild : elle contient les deux cartes et l'autre avec soudées ensembles (ce qui était sur les deux cartes de Schwarzschild un point arbitrairement proche de r=\alpha et t=\infty est maintenant une ligne le long de laquelle on a pu les coller) sans problème de continuité sur l'horizon.
Tout comme on a pu passer d'une expression métrique de la sphère à une autre par un changement de variable, on peut faire la même chose pour passer de l'expression de Schwarzschild a celle de Painlevé. On introduit une nouvelle coordonnée qui est une fonction de t et r.

Je dois m'arrêter ici pour l'instant, mais j'ai encore pas mal de choses à expliquer et pas mal de commentaires à faire sur ce qui s'est dit depuis hier soir...

m@ch3

*: une telle définition en terme d'une distance physique en dehors de la variété considéré (la sphère) est un luxe permis par le plongement dans l'espace euclidien 3D, ça pourrait très bien être quelque chose de complétement abstrait, car en général le plongement d'une variété de dimension n nécessite un espace de dimension 2n. Il n'y a que certaines surfaces que l'on peut représenter fidèlement en 3D, d'autres, comme le tore plat ou la bouteille de Klein nécessite un plongement en 4 dimensions. A noter que les variétés rencontrées en relativité générale étant en 4D, il faudrait généralement un espace à 8 dimensions pour représenter leurs plongements...

[Mailou75]

Mais non, l'espace est unique autour d'une masse, c'est le Paraboloïde.

Non ce n’est qu’un espace parmi d’autres. En l’occurence c’est l’espace des immobiles, compris celui à l’infini.
L’axe r est l’espace, compressé du z+1 local (ou Y), des immobiles.

Si l'espace plonge à 90°, tu vois bien que le chuteur ne peut jamais atteindre l'horizon...

L’horizon si, le centre non. Je ne sais pas encore quelle interprétation en faire…
Il faut voir qu’en coordonnée de Schw, en dessous de Rs, la coordonnée r est de genre temps, ce n’est donc pas antinomique. Toutefois aucune chance de prolonger la trajectoire de chute en dessous de Rs avec cette méthode.
A suivre…

[externo]

@Mailou, Ok, les mobiles définissent d'autres orientations d'espaces que les immobiles. Mais à un endroit donné de l'espace si on fige le temps il n'existe qu'un seul espace. Et ce que j'appelle l'Espace c'est la réunion de tous les espaces en tous points. Un mobile définit un espace différent, mais celui-ci est circonscrit au mobile lui-même, c'est une perturbation locale de l'espace des immobiles et qui se déplace avec le temps.

@Mach3 : Merci pour cette explication. Mais maintenant je ne sais plus trop quoi penser. Quelle serait la forme de l'espace au delà de l'horizon ?

[Mailou75]

Ok, les mobiles définissent d'autres orientations d'espaces que les immobiles. Mais à un endroit donné de l'espace si on fige le temps il n'existe qu'un seul espace. Et ce que j'appelle l'Espace c'est la réunion de tous les espaces en tous points. Un mobile définit un espace différent, mais celui-ci est circonscrit au mobile lui-même, c'est une perturbation locale de l'espace des immobiles et qui se déplace avec le temps.

En fait, tout ça n’est pas si limpide… espace des immobiles ou des inertiels?
Les immobiles mesurent bien sous leur pieds la longueur propre de la parabole.
Le voyageur mesure ces longueurs locales compressées pour cause de RR.
Pourtant, l’aiguille du voyageur est en tout point de sa chute perpendiculaire à la parabole.
Les immobiles ont une aiguille verticale et l’angle avec celle du voyageur est la valeur Trigo.
Faut que j’y réfléchisse encore un peu..

[mach3]

Un autre point en passant sur dr :

Quand quelqu'un parle d'un "dr", il sous-entend parfois, et ceci de façon erronée, que seul r varie. Genre une ligne de l'espace-temps avec , et t constant. "dr" ne veut pas dire cela. Par contre , qui est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à r en gardant , et t constant sert à ça. Mais attention, la notation est incomplète, bien que souvent utilisée de la sorte. Il faudrait écrire . C'est un vecteur horizontal dans une carte avec r sur l'axe horizontal et t sur l'axe vertical

En effet, si au lieu des coordonnées de Schwarzschild, on utilise celles de Painlevé et qu'on veut une variation de r en laissant , et (au lieu de t) constants, on notera aussi , mais ce ne sera pas le même vecteur. Il faudrait le noter pour ne pas confondre. C'est un vecteur horizontal dans une carte avec r sur l'axe horizontal et sur l'axe vertical, mais il n'est pas horizontal dans une carte avec r sur l'axe horizontal et t sur l'axe vertical.

Fin de l'aparté, revenons à l'espace :

En effet, l'espace est infiniment contracté au niveau de l'horizon, donc aucun mouvement n'est plus possible quel que soit le système de coordonnées utilisé.

Cet "infinie" contraction n'est pas intrinsèque (=indépendante du système de coordonnée) par ce que l'espace lui-même n'est pas intrinsèque.

Vraiment ? J'ai toujours pensé qu'il n'y avait qu'un seul espace et que ce qui changeait ce n'était que le point de vue des observateurs. C'est à dire que l'observateur voit correctement l'espace-temps dans son propre référentiel mais le mélange dans celui des autres en le mesurant avec ses propres axes de temps et d'espace, alors que dans celui les autres l'espace-temps est en réalité orienté différemment.

Il faut passer d'un paradigme newtonnien où l'espace-temps est stratifié, c'est à dire qu'il y a les tranches de l'espace-temps qui sont "l'état de l'espace à un instant donné" (toutes les autres façons de trancher étant des artefacts sans intérêt), à un paradigme où il n'y a plus cette stratification naturelle et où les seules stratifications possibles sont artificielles et arbitraires, c'est à dire construites de toutes pièces. Le paradigme newtonnien (et même le paradigme naif intuitif), nous a habitué à concevoir l'espace comme un objet qui évolue dans le temps et on cherche à tout prix à retrouver cette conception alors qu'elle n'a plus de sens physique.

Il faut d'abord considérer un ensemble de lignes d'univers remplissant une partie de l'espace-temps, avec comme propriété que le voisinage de ces lignes ne change jamais. Chacune des lignes est alors le mouvement de ce qu'on appellera un "lieu" et comme les voisinages ne changent pas, les lieux restent donc toujours disposés dans la même configuration avec le temps qui passe et c'est ce qu'on attend d'un "lieu". Cet ensemble de lignes est la fondation d'un référentiel (au sens large, avec beaucoup de restrictions levées par rapport aux référentiels que l'on croise en mécanique classique, par exemple on n'a pas forcément de rigidité), les lignes d'univers des objets immobiles dans ce référentiel feront parti de cet ensemble. En relativité restreinte, le cas évident est un ensemble de droites parallèles.
Cette ensemble de lignes (1D) dans un espace-temps (4D) se mappe facilement sur des points (0D) d'une variété (3D). Mais attention, une variété à 3 dimensions sans aucune structure a priori (pas de notion de distance ou d'angle, ni même de géodésique, donc pas de notion de courbure), au mieux elle a juste une topologie.

Ensuite on va considérer des tranches dites de genre espace. On prend l'espace-temps, on coupe une tranche dedans de façon à ce qu'en tout point elle soit orthogonal à un vecteur de genre temps et "hop" on a alors une variété riemannienne 3D (avec une métrique, des géodésiques, une courbure...), que l'on peut éventuellement appeler espace. On peut considérer l'espace-temps comme un empilement de telles tranches, ce qui forme ce qu'on appelle une datation (chaque tranche correspondra à une date, et pour une tranche donnée, il y aura des tranches antérieures, passées, et des tranches postérieures, futures).

On peut mêler ces deux aspects, notamment parce qu'on a de "bonnes" propriétés quand les tranches d'espaces sont partout orthogonales à un ensemble de ligne d'univers. Par exemple en relativité restreinte, on prend un ensemble de droite parallèles d'un côté et un ensemble d'hyperplans parallèles entre eux et orthogonaux aux droites parallèles et on obtient un référentiel galiléen avec un espace plat.

Le choix est cependant totalement arbitraire. C'est le lien éventuel qu'il peut y avoir avec des mesures physiques concrètes qui va donner un intérêt à un ensemble de ligne d'univers et de tranches spatiales et qui fera qu'on y attachera un sens particulier (même si ce sera artificiel, il y a une espèce de confort). En gros, dès que le "machin" obtenu de façon arbitraire ressemble à un objet qui évolue dans le temps, on lui attachera une attention particulière. C'est le cas de ce qu'on appelle "espace" et dont on parle de la courbure en cosmologie avec le modèle FLRW. Dans ce cas on prend les lignes d'univers qu'on appelle les "comobiles" et on prend comme tranches spatiales celles qui sont partout orthogonales à ces lignes d'univers comobiles. Cela prend du sens à cause de la symétrie : ces tranches spatiales sont particulières car elles sont les seules à être homogènes et isotropes dans le modèle FLRW, et leur courbure uniforme est lié directement à leur contenu uniforme.

Pour les trous noirs, c'est pareil, il y a des symétries qui vont nous faire accorder plus de sens à certains découpages. Celui qui est le plus "naturel", c'est celui qui émerge directement des coordonnées de Schwarzschild : les lignes d'univers de l'ensemble que l'on choisi sont celles de particules qui se maintiennent à un rayon aréal r et angles theta,phi constants et les tranches d'espace orthogonales sont à t constant. L'espace correspondant est donc courbé mais statique. Ce découpage n'est applicable que pour . Pour l'autre carte (), les lignes de r, theta,phi constants ne sont pas des lignes d'univers, ce sont des lignes de genre espace. Il existe néanmoins un découpage qui fonctionne dans cette carte, mais il est très perturbant (on pourra en reparler, ou je mettrais un lien vers un fil qui en parle, si je le retrouve).
On peut aussi prendre comme ensemble les lignes d'univers de particules en chute libre radiale telle qu'elles partent de l'infini avec une vitesse nulle. Dans ce cas, l'espace est euclidien, mais en quelque sorte dynamique, comme s'il "coulait" vers un centre en accélérant (version entrante des coordonnées) ou comme s'il était "expulsé" d'un centre puis ralentissait.
Et ce ne sont que deux découpages, parmi une infinité de découpages possibles. Aucun n'est plus "vrai" ou "naturel" qu'un autre, certain sont utiles (dans le sens qu'ils rendent les calculs commodes).

Ce sera tout pour ce soir.

m@ch3

[ordage]

Bonjour,

(1) Il semble que dans ces coordonnées le r représente la même chose que dans Schwarzschild.

(2) Si tel est le cas, comment est-il possible de déterminer un mouvement dr au delà de l'horizon et d'imaginer un observateur qui franchirait cet horizon ? En effet, l'espace est infiniment contracté au niveau de l'horizon, donc aucun mouvement n'est plus possible quel que soit le système de coordonnées utilisé.
Si on se figure cela sous la forme d'une courbure, la pente de l'espace devient 90° et plonge asymptotiquement sans plus avancer.

Bonjour
Oui, les deux formes de la métrique (qui représentent le même tenseur métrique qui ne dépend pas des coordonnées dans les quelles on le décrit) utilisent les mêmes coordonnées sphériques 'r, théta, phi), ce qui est adapté à un problème à symétrie sphérique. Dans la forme de Schwarzschild, ce qui effrayait Einstein c'était la divergence de l'équation pour r = 2GM,(horizon) puisqu'il déclarait que si dans la nature un tel cas se produisait c'était de nature à invalider la théorie (sic). Il n'a jamais cru aux "trous noirs" et s'est efforcer de démontrer qu'ils ne pouvaient pas se former. Eddington parlait même de monstruosité que la nature ne pourrait pas permettre. De toute façon, on pensait que cet "horizon" était infranchissable.

Souvent on dérive la forme de Painlevé en procédant à la la définition d'une nouvelle coordonnée temps T en partant de la solution de Schwarzschild. En fait, Painlevé, qui était (entre autres) excellent mathématicien (il avait été élu à l'académie des sciences à 37 ans pour ses travaux), n'a pas du tout procédé comme cela. Il est parti d'un solution générique (paramétrée) d'une métrique à problème à symétrie sphérique et l'a contraint par l'équation d'Einstein qui s'exprime par : R_ij = 0: le tenseur de Ricci, exprimé avec cette métrique générique, doit être nul car c'est une solution dans le vide ou le tenseur énergie -impulsion de l'équation d'Einstein est nul.

Il en déduit une forme paramétrée dépendant de 2 fonctions arbitraires de la coordonnée r avec quelques conditions aux limites. Ce qui lui fait dire qu'il y a une double infinité de solutions. Celle de Schwarzschild est une de ses solutions, celle qu'il a présentée dans son article de 1921 en est une autre qui a plusieurs caractéristiques intéressantes: Elle ne diverge pas pour r =2 GM, Elle comporte un terme non quadratique en dr.dT, les sections spatiales sont euclidiennes. Autre particularité, le signe "+" du terme dr.dt fait elle décrit l'anti-univers "le trou blanc. Le trou noir est décrit par le signe "-". En fait sa solution décrit les 4 régions, en 2 équations, de la solution qui sera retrouvée dans les années 60, par Finkelstein et Kruskal entre autres.

C'est la présence de ce terme non quadratique dans sa forme de métrique qui n'a pas été compris à l'époque, alors que sa présence permettait précisément d'avoir une phénoménologie compatible avec un horizon qu'on peut traverser dans un sens mais pas dans l'autre, ce que ne permettait pas la solution de Schwarzschild qui ne comporte que des termes quadratiques. Étonnant, qu'Einstein lui-même ait rejeté cette solution alors qu'elle résolvait le problème qui le traumatisait.
Tout cela a été oublié....
(2) Sous l'horizon, la géodésique par exemple d'un observateur en chute libre radiale se poursuit (non sans dommage pour lui du fait des effets de marée, qui on pu commencer même avant) jusqu'à la singularité. La description de l'espace-temps sous l'horizon, montre qu'on ne peut pas être statique.
Cordialement
PS: pour plus d'info on peut se référer aux CRAS correspondants (1921-1922) qui sont en accès libre sur Gallica

[externo]

@Mach3
On peut découper l'espace-temps en tranches arbitraires. Mais concrètement l'espace-temps dépend de la matière qui s'y trouve, il n'est pas arbitraire du tout.
En RR, si on imagine une fusée, l'espace à l'intérieur de la fusée est orienté différemment de l'espace à l'extérieur. L'observateur à l'intérieur de la fusée peut prolonger son espace intérieur à l'infini, mais ce prolongement sera factice, parce qu'il ne correspondra pas au découpage réel de l'espace-temps extérieur. De même les personnes immobiles par rapport à la fusée ne mesureront pas les objets à l'intérieur de la fusée correctement.
Aux abords du trou noir il y a des immobiles posés sur l'espace courbe, qui eux-mêmes apportent leur contribution personnelle à cette courbure. C'est l'énergie qui définit l'espace-temps, et cet espace-temps n'est pas arbitraire, il est très précisément défini en tout point par cette énergie.
Et en ajoutant une évidence à une autre je dirais qu'un objet en mouvement produit une perturbation locale de l'espace, perturbation qui se déplace avec l'objet. Quant à l'origine de cette perturbation, il ne m'étonnerait pas qu'elle soit en rapport avec le champ gravitationnel (courbure) induit par l'énergie cinétique.

[mach3]

Remarques en pagailles sur différents bout de messages de différents intervenants (le dernier message de 13h36 n'a pas été lu) :

1/ L'observateur éloigné de Schw voit cette règle compressée de 1/2 = 50cm et redshiftée de z+1=2
L'abscisse de Schw correspond aux distances qui seront vues (~angulaires) par l'observateur éloigné.
De manière infinitésimale, chaque tronçon de longueur propre et compressé du z+1 local pour former l'axe r.
On peut le visualiser, comme le dit mach3, à l'aide du Paraboloïde de Flamm (exemple https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284)

Je continue d'avoir des doutes sur ce point, on en a déjà discuté, mais comme je n'ai toujours pas creusé la question sérieusement, mieux vaut ne pas en discuter pour l'instant.

Mais du coup l'espace existe. Il est soit plan, soit courbe. Il n'est pas plan localement, c'est simplement que la courbure est trop faible pour être détectée. En fait on la détecte par le ralentissement du temps en fonction de l'altitude.

Comme déjà dit l'espace n'existe pas en dehors de ce qu'on définit arbitrairement. De plus une "courbure trop faible pour être détectée", c'est une autre façon de dire "plan localement". Une variété Riemannienne, c'est forcément plan localement. Dès qu'on zoome suffisament toute (hyper)surface ressemble à un (hyper)plan.
Enfin, le "ralentissement du temps" en fonction de l'altitude ne traduit pas la courbure de l'espace. Par exemple, on a le même phénomène dans une fusée en accélération rectiligne uniforme, il y a "ralentissement du temps" en fonction de la position le long de la fusée, et pourtant l'espace-temps n'est pas courbé.

Oui, mais ça, ça veut dire que l'espace est "penché". Sur le Paraboloïde, l'axe d'espace local est tangent à la surface, donc il est penché par rapport à l'axe d'espace de l'observateur à l'infini. [...]

Il vaut mieux éviter les raisonnements géométriques dans un plongement, erreurs garanties.

Logiquement le chuteur devrait chuter éternellement sans jamais atteindre l'horizon. Il devrait franchir une distance infinie pour arriver jusqu'à l'horizon. Mais d'après ce que j'ai lu, il peut franchir l'horizon. Comment est-ce possible ?

Si on considère le paraboloïde de Flamm comme l'espace, alors la distance d'un point de à sur une même radiale n'est clairement pas infinie (ça se voit sur la figure qui a le bon gout d'être fidèle sur ce point là). Je n'arrive d'ailleurs pas à trouver de découpage de l'espace respectant la symétrie sphérique qui donnerait une distance infinie entre ces deux points, et il semble que le paraboloide maximise cette distance, on ne peut vraisemblablement pas faire mieux, vu que les radiales de ce paraboloide sont des géodésiques (de genre espace) de l'espace-temps.

Là je passe en mode limite hors charte : la théorie nous dit que l'horizon un lieu défini pour l'observateur éloigné (et tous les autres) comme un point de non retour. Il n'est pas impossible selon moi que, comme à la surface de la Terre ou comme en cosmo, la position de l'horizon soit relative.

effectivement, c'est faux, l'horizon de Schwarzschild est une surface de genre nulle que l'on peut définir de façon intrinsèque. D'un côté de cette surface (l'extérieur), l'évolution de paramètres invariants caractérisant la courbure, comme le scalaire de Kretschmann, peut être quelconque le long d'une ligne d'univers, alors que de l'autre côté de cette surface (l'intérieur), cette évolution est strictement monotone le long d'une ligne d'univers.

Mais non, l'espace est unique autour d'une masse, c'est le Paraboloïde. Il y a autant d'axes d'espaces que de lignes d'univers (axes du temps), et ces axes d'espaces sont tangents au Paraboloïde. Mais on ne peut pas dire que ces axes d'espaces soient l'espace lui-même. Ils sont l'espace seulement localement là où ils touchent le Paraboloïde.

Tout cela est faux. Il n'y a aucune expérience, aucune mesure, qui permette de revendiquer un unique espace autour d'une masse. Même s'il existait un "véritable espace unique" (comme l'espace absolu de Lorentz, celui où l'éther est immobile et provoque mécaniquement le raccourcissement des règles et le ralentissement des horloges, mais en version relativité générale), il serait impossible de le démontrer par la mesure.
Vu la grande variété de choix possible pour l'espace, et en l'absence de critère objectif pour faire un choix, comment alors savoir si la "vraie forme unique" de l'espace autour d'une masse est un paraboloide (comme peut le faire penser Schwarzschild) ou un plan (comme peut le faire penser Painlevé) ou encore autre chose (et les exemples ne manquent pas), les autres formes n'étant qu'une illusion due à notre mouvement?
En plus de cela, même si une telle chose existait, on n'aurait même pas besoin de la connaitre pour faire de la physique, c'est à dire prédire les observations.

L’horizon si, le centre non. Je ne sais pas encore quelle interprétation en faire…
Il faut voir qu’en coordonnée de Schw, en dessous de Rs, la coordonnée r est de genre temps, ce n’est donc pas antinomique. Toutefois aucune chance de prolonger la trajectoire de chute en dessous de Rs avec cette méthode.
A suivre…

Ben oui, si on veut prolonger au-delà de la gorge du paraboloide et passer de la région I à la III, il faut suivre une ligne de genre espace (et pas n'importe laquelle) car il n'y a aucune ligne d'univers qui passe de l'une à l'autre. D'où l'intérêt de l'espace euclidien proposé par Painlevé qui permet de suivre la trajectoire jusqu'au bout.

@Mailou, Ok, les mobiles définissent d'autres orientations d'espaces que les immobiles. Mais à un endroit donné de l'espace si on fige le temps il n'existe qu'un seul espace.

Ben non, ça dépend de quel temps on fige... Si je fige le temps de Schwarzschild, j'ai un paraboloide, si je fige celui de Painlevé, j'ai un plan, et il n'y a aucun critère objectif qui permet de savoir quel temps il faut figer préférentiellement à un autre.

@Mach3 : Merci pour cette explication. Mais maintenant je ne sais plus trop quoi penser. Quelle serait la forme de l'espace au delà de l'horizon ?

Celle qu'on aura choisi parmi celles qui sont possibles.

m@ch3

[yves95210]

@Mach3
On peut découper l'espace-temps en tranches arbitraires. Mais concrètement l'espace-temps dépend de la matière qui s'y trouve, il n'est pas arbitraire du tout.

Mais le temps est arbitraire, puisque les durées mesurées par deux observateurs dépendent de leur vitesse relative. Donc si tu construis un référentiel dont les axes d'espace sont orthogonaux à celui du temps, les "tranches spatiales" sont tout aussi arbitraires.

En fait, l'espace, c'est "rien", physiquement parlant (il n'y a pas un substrat physique dans lequel se baladent les corps massifs qu'on observe et qui présenterait intrinsèquement une courbure quelconque).
C'est une construction mathématique permettant de décrire les interactions (ou relations) entre les objets (et champs) observés (qui eux ont bien une existence physique) et d'expliquer leurs mouvements relatifs. Evidemment ces relations et ces mouvements ne sont pas arbitraires. Mais suivant ce qu'on veut étudier, on fait le choix arbitraire de la représentation par le découpage en espace / temps le plus pratique mathématiquement ou le plus intuitif en fonction du point de vue de l'observateur.

PS : croisement avec le dernier message de mach3, qui répond aussi à ce point. Je poste quand-même le mien, mais on dit à peu près la même chose...

[externo]

Mais le temps est arbitraire, puisque les durées mesurées par deux observateurs dépendent de leur vitesse relative.

En fait, l'espace, c'est "rien", physiquement parlant (il n'y a pas un substrat physique dans lequel se baladent les corps massifs qu'on observe et qui présenterait intrinsèquement une courbure quelconque).
C'est une construction mathématique permettant de décrire les interactions (ou relations) entre les objets (et champs) observés (qui eux ont bien une existence physique) et d'expliquer leurs mouvements relatifs. Evidemment ces relations et ces mouvements ne sont pas arbitraires. Mais suivant ce qu'on veut étudier, on fait le choix arbitraire de la représentation par le découpage en espace / temps le plus pratique mathématiquement ou le plus intuitif en fonction du point de vue de l'observateur.

Si le temps dépend de la vitesse des observateurs c'est qu'il n'est pas arbitraire.
L'espace n'est pas rien puisqu'il contient au moins les dimensions physiques des objets.

Moi j'ai une vision qui dit que l'orientation de l'espace et du temps est réellement déterminée par l'énergie. Elle n'est pas arbitraire.

Donc le chuteur de Painlevé créé lui même son espace euclidien dans sa chute.

[mach3]

@Mach3
On peut découper l'espace-temps en tranches arbitraires. Mais concrètement l'espace-temps dépend de la matière qui s'y trouve, il n'est pas arbitraire du tout.

L'espace-temps n'est pas arbitraire. L'espace oui. La matière se traduit par le tenseur énergie-impulsion, entité invariante, mais quand on fait le choix d'un temps et d'un espace, ce tenseur ce décompose en 10 composantes différentes qui sont une densité d'énergie, des densités de quantité de mouvement (=flux d'énergie) et des flux de quantité de mouvement (pressions et contraintes). Suivant le choix de temps et d'espace, ces composantes auront des valeurs variables (on pourra par exemple avoir seulement de la densité d'énergie et de la pression suivant un certain découpage, et avoir une densité et une pression différente suivant un autre découpage, mais accompagné de flux d'énergie et de contraintes). Le découpage en temps et espace de l'espace-temps est tout aussi arbitraire que la décomposition de l'énergie-impulsion et énergie et impulsion, et ces découpages sont toujours cohérents entre-eux

En RR, si on imagine une fusée, l'espace à l'intérieur de la fusée est orienté différemment de l'espace à l'extérieur. L'observateur à l'intérieur de la fusée peut prolonger son espace intérieur à l'infini, mais ce prolongement sera factice, parce qu'il ne correspondra pas au découpage réel de l'espace-temps extérieur. De même les personnes immobiles par rapport à la fusée ne mesureront pas les objets à l'intérieur de la fusée correctement.

Le mouvement est comme rien, c'est connu depuis Galilée. L'espace "à l'intérieur de la fusée" "prolong[é] à l'infini" n'est ni plus réel ni plus factice qu'un autre, et il n'y a pas UN espace correspondant au découpage réel de l'espace-temps extérieur, ni même de "découpage réel" d'ailleurs. Ou si ce découpage réel et donc l'espace correspondant existe, il est inconnaissable (Michelson et Morley s'y sont cassés les dents). Tout découpage fonctionnera identiquement et donnera les mêmes prédictions, sinon nous saurions en mesure de connaitre le mouvement absolu par rapport à cet espace "réel".

Aux abords du trou noir il y a des immobiles posés sur l'espace courbe, qui eux-mêmes apportent leur contribution personnelle à cette courbure. C'est l'énergie qui définit l'espace-temps, et cet espace-temps n'est pas arbitraire, il est très précisément défini en tout point par cette énergie.

Hors-sujet. On est en train de parler de l'expression de la métrique de Schwarzschild en coordonnées de Painlevé, donc d'une solution du vide à l'équation d'Einstein. Il n'y a aucune masse ni observateur et on ne fait que décrire différents aspects d'un modèle mathématique abstrait. Au mieux les observateurs et les masses sont négligeables (hormis la masse centrale), ce qui permet d'utiliser ce modèle abstrait pour approximer certaines situations physiques concrètes.
Et encore une fois l'espace-temps n'est pas arbitraire. Et en passant, oui, l'énergie définit l'espace-temps, mais en partie seulement. Le tenseur énergie-impulsion est égale au tenseur de Ricci, à une constante multiplicative près (et en négligeant une éventuelle constante cosmologique, hors-sujet ici), mais le tenseur de Ricci ne contient que la moitié de l'information sur la courbure de l'espace-temps. Dans une solution du vide, il n'y a justement aucune énergie nulle part et cela n'empêche pas qu'il y ait une courbure. Le tenseur de Ricci est nul dans la solution de Schwarzschild, mais pas le tenseur de Riemann.

Et en ajoutant une évidence à une autre je dirais qu'un objet en mouvement produit une perturbation locale de l'espace, perturbation qui se déplace avec l'objet. Quant à l'origine de cette perturbation, il ne m'étonnerait pas qu'elle soit en rapport avec le champ gravitationnel (courbure) induit par l'énergie cinétique.

Attention au point 6 de la charte. C'est dit en noir pour le moment, pas en vert.

Si le temps dépend de la vitesse des observateurs c'est qu'il n'est pas arbitraire.

Chaque observateur a son temps propre, qui n'a a priori cours que sur sa propre ligne d'univers, mais il va l'étendre artificiellement à tout l'espace-temps pour des raisons de commodité, ce qui définit un champ scalaire, le temps du référentiel dans lequel cet observateur est immobile. Mis à part dans le cas particulier d'observateurs ayant le même mouvement rectiligne uniforme en espace-temps plat, les temps de référentiels fabriqués par deux observateurs ne coïncident pas du tout.

Moi j'ai une vision qui dit que l'orientation de l'espace et du temps est réellement déterminée par l'énergie. Elle n'est pas arbitraire.

Donc le chuteur de Painlevé créé lui même son espace euclidien dans sa chute.

Quand on pose une question sur une solution à l'équation d'Einstein, la réponse et la discussion doit se faire dans le cadre de la relativité générale, théorie dans laquelle cette équation est postulée. Poser une question sur la coordonnée r dans l'expression métrique de Painlevé dans un autre cadre est absurde, du moins tout pendant qu'il n'est pas prouvé que cette expression métrique est pertinente dans cet autre cadre.

Par ailleurs, je renouvelle l'avertissement concernant le point 6, et en vert cette fois.

Une phrase qui commence par "Moi j'ai une vision qui dit" est généralement l'exposition d'une théorie personnelle. Et la suite de la phrase, ainsi que les phrases suivantes, orthogonales au cadre de la relativité générale, renforcent cette impression.

Donc soit on parle de l'expression métrique de Painlevé dans le respect du cadre théorique dans lequel elle fait sens, soit on ferme.

Il n'y aura pas d'autre avertissement

m@ch3

[Mailou75]

Salut,

Je continue d'avoir des doutes sur ce point, on en a déjà discuté, mais comme je n'ai toujours pas creusé la question sérieusement, mieux vaut ne pas en discuter pour l'instant.

Ok, pour ma part ça fait partie des maigres acquis sur "ce qui est vu". J'espère que tu ne le remettras pas en cause, j'ai plus confiance en toi qu'en moi

effectivement, c'est faux, l'horizon de Schwarzschild est une surface de genre nulle que l'on peut définir de façon intrinsèque. D'un côté de cette surface (l'extérieur), l'évolution de paramètres invariants caractérisant la courbure, comme le scalaire de Kretschmann, peut être quelconque le long d'une ligne d'univers, alors que de l'autre côté de cette surface (l'intérieur), cette évolution est strictement monotone le long d'une ligne d'univers.

Je sais que ça ne correspond pas aux formules, mais n'oublions pas que les formules ne se "terminent" pas, on a une surface aréale arbitrairement petite selon tes propres termes, mais pas le point. Ni dans les coordonnées, ni dans les équations il me semble. Et par principe poser des absolus en relativité ça sonne mal... d'autant que cet horizon, du point de vue de l'observateur, se comporte exactement comme les autres connus (Rindler, cosmo). Ce point de vue choisi par Schw implique certaines impasses comme, "concentrer une masse en un point" par exemple... la singularité existe-t-elle alors qu'elle représente une date dans le futur ? Pour moi ce qui se passe "dedans" n'est pas si net, c'est pourquoi je me consacre déjà à finir de balayer dehors. Donc oublions aussi ça pour le moment, ce n'est pas le propos défendu ici.

Ben oui, si on veut prolonger au-delà de la gorge du paraboloide et passer de la région I à la III, il faut suivre une ligne de genre espace (et pas n'importe laquelle) car il n'y a aucune ligne d'univers qui passe de l'une à l'autre. D'où l'intérêt de l'espace euclidien proposé par Painlevé qui permet de suivre la trajectoire jusqu'au bout.

Oui ça tu me l'as dit récemment, je ne pensais pas trouver III. Pour toi si on fait une symétrie vers le bas de la parabole on obtient l'axe X de Kruskal complet (III + I) ?

Mci a+

[mach3]

Je sais que ça ne correspond pas aux formules, mais n'oublions pas que les formules ne se "terminent" pas, on a une surface aréale arbitrairement petite selon tes propres termes, mais pas le point. Ni dans les coordonnées, ni dans les équations il me semble.

oui, la singularité ne fait pas partie de l'espace-temps, et donc on peut considérer ce qui se passe arbitrairement proche d'elle (rayon aréal arbitrairement petit), mais pas sur elle (rayon aréal nul), mais quel rapport avec le fait que l'horizon n'est pas relatif ?

Et par principe poser des absolus en relativité ça sonne mal...

Au contraire, la théorie de la relativité est mal nommée, on devrait plutôt l'appeler théorie des invariants (je ne sais plus quel grand savant à dit cela).

d'autant que cet horizon, du point de vue de l'observateur, se comporte exactement comme les autres connus (Rindler, cosmo)

Oui, les différents horizons sont des cas particuliers de cônes de lumière, donc ils sont cela en commun (pas de passé à l'intérieur pour l'extérieur et pas de futur à l'extérieur pour l'intérieur), mais la caractéristique que j'ai énoncé pour l'horizon des évènements va au-delà de ça.

Oui ça tu me l'as dit récemment, je ne pensais pas trouver III. Pour toi si on fait une symétrie vers le bas de la parabole on obtient l'axe X de Kruskal complet (III + I) ?

Dans la représentation de Kruskal (où chaque point est une sphère pour rappel), chaque ligne droite passant par X=T=0 avec |X|>|T| (celles qui font un angle inférieur à 45° avec l'horizontal) est un paraboloide de Flamm, X=T=0 correspondant à la gorge (=la sphère de Schwarzschild). Les lignes passant par X=T=0 avec |X|<|T| forment une cycloide de revolution il me semble (une cycloidoide ?), mais ce n'est pas une tranche de genre espace (c'est pas 3D mais 2+1D).

m@ch3

[Mailou75]

quel rapport avec le fait que l'horizon n'est pas relatif ?

J'ai pas trop envie de défendre ce sujet, ni ici ni maintenant. Pointer les incongruités de la singularité c'est juste prendre du recul par rapport au modèle lui même.

Dans la représentation de Kruskal (où chaque point est une sphère pour rappel)

Souvent lu ça, jamais compris... Une sphère de rayon r (cad qu'on ajoute et ) ?
Si c'est ça c'est évident, mais c'est une peu facile de la part de l'auteur : vous imaginerez ce qui ne peut pas être représenté...

chaque ligne droite passant par X=T=0 avec |X|>|T| (celles qui font un angle inférieur à 45° avec l'horizontal) est un paraboloide de Flamm

Ok merci, c'était la question.

X=T=0 correspondant à la gorge (=la sphère de Schwarzschild). Les lignes passant par X=T=0 avec |X|<|T| forment une cycloide de revolution il me semble (une cycloidoide ?), mais ce n'est pas une tranche de genre espace (c'est pas 3D mais 2+1D).

Une cycloïde en Newton+ oui

[mach3]

Si c'est ça c'est évident, mais c'est une peu facile de la part de l'auteur : vous imaginerez ce qui ne peut pas être représenté...

Il faut s'y faire. En général, pour représenter correctement une tranche spatiale 2D fidèlement, il faut 4 dimensions (seul des surfaces particulières se représentent correctement en 3D), que pour faire la même chose avec une tranche 3D il faut 6 dimensions (le seul espace qui peut être représenté fidèlement en 3D est l'espace euclidien, pour tous les autres, ce sera forcément merdique sur une chose ou une autre, et selon les cas, 1, 2 ou 3 dimensions supplémentaires seront nécessaire pour une représentation correcte). C'est un résultat mathématique, on ne peut pas faire autrement. Et c'est pour ça qu'on a la métrique et qu'on la matérialise par des indicatrices sur les cartes, pour pallier aux défauts de représentations qui vont forcément déformer quelque chose.

m@ch3

[externo]

Salut,
Mettons qu'une règle mesure 1m dans les mains d'un immobile à une altitude r=1,333Rs

1/ L'observateur éloigné de Schw voit cette règle compressée de 1/2 = 50cm et redshiftée de z+1=2
L'abscisse de Schw correspond aux distances qui seront vues (~angulaires) par l'observateur éloigné.
De manière infinitésimale, chaque tronçon de longueur propre et compressé du z+1 local pour former l'axe r.
On peut le visualiser, comme le dit mach3, à l'aide du Paraboloïde de Flamm (exemple https://forums.futura-sciences.com/d...ml#post6451284)

2/ Un chuteur parti de l'infini (coordonnées de Painlevé, entre autres) va accélérer en tombant* et croiser des immobiles de plus en plus vite.
Arrivé à r=1,333Rs sa vitesse est de B=0,866 (86,6% de c) et l'environnement local lui semble compressé et rougi.
Il mesure la règle témoin avec sa propre règle et constate qu'elle mesure 50cm, car le facteur de Lorentz vaut Y=2, c'est de la RR, c'est local.

On voit au passage que z+1=Y est une particularité de ceux qui tombent depuis l'infini, ce qui justifie l'utilisation de r pour ces deux là.
Mais d'autres repères l'utilisent aussi, ce ne sont que des "cartes" différentes de la même chose, un autre point de vue, comme on peut faire une infinité de cartes de la Terre.
Y'a même une version trigo, j'te jure mdr

A+

J'ai un petit problème concernant cette affaire. Le chuteur parti de l'infini est censé voir une règle dans les mains de l'observateur éloigné comme étant compressée et vice versa du fait de leur vitesse relative. Comment pourraient-ils voir tous les deux une règle immobile croisée en r comme faisant 50 cm ?
Dans ma représentation le chuteur parti de l'infini voit la règle immobile croisée en r comme ayant sa vraie longueur malgré la vitesse, parce qu'il partage le même axe d'espace que la règle immobile en r quoiqu'il ne partage pas le même axe de temps (orthogonal d'un côté et pas orthogonal de l'autre)
Dans cette affaire le chuteur de l'infini et l'observateur éloigné sont en inertie, mais pas la règle immobile en r.

[mach3]

J'ai un petit problème concernant cette affaire. Le chuteur parti de l'infini est censé voir une règle dans les mains de l'observateur éloigné comme étant compressée et vice versa du fait de leur vitesse relative. Comment pourraient-ils voir tous les deux une règle immobile croisée en r comme faisant 50 cm ?
Dans ma représentation le chuteur parti de l'infini voit la règle immobile croisée en r comme ayant sa vraie longueur malgré la vitesse, parce qu'il partage le même axe d'espace que la règle immobile en r quoiqu'il ne partage pas le même axe de temps (orthogonal d'un côté et pas orthogonal de l'autre)
Dans cette affaire le chuteur de l'infini et l'observateur éloigné sont en inertie, mais pas la règle immobile en r.

La prédiction de mailou concernant la longueur de la règle immobile en r0 pour un observateur éloigné (immobile en r1>>r0) est a priori erronée. La méthode suivie semble caduque.
De plus il n'y a pas une unique grandeur physique qu'on pourrait appeler "longueur de la règle immobile en r0 pour un observateur éloigné". En effet, la théorie prédit le résultats des mesures. Les différentes manières de mesurer une longueur (soit par comparaison directe avec un étalon "rigide", soit par soustraction de mesures de distances radar, angulaires, de luminosité, ou par parallaxe) ne donnent le même résultat qu'en espace-temps plat. Elles donnent toutes un résultat différents en espace-temps courbe.

Si on suppose que la mesure est faite en utilisant un très long mètre ruban déroulé depuis l'observateur éloigné jusqu'à la règle située en r, la règle mesurera bien 1m (si on suppose bien sûr que la déformation du long mètre ruban, due aux contraintes qu'il subit en étant déroulé de la sorte dans un champ de gravitation, est négligeable, aucune matière n'étant infiniment rigide, il subira forcément un allongement physique et la règle située en r sera donc mesurée légèrement plus petite que 1m). A la place d'un mètre ruban physique déformable, on peut considérer un nombre arbitrairement grand d'arpenteurs (des mecs avec des horloges, des miroirs et des lasers) disposés avec le mouvement qui va bien au moment qui va bien tout le long de la radiale et qui vont mesurer les distances arbitrairement petites entre chacun d'eux au moment opportun, distances qu'il faudra sommer.

Si on suppose une mesure faite par différence de distance radar, il semble que la règle sera mesurée plus grande qu'un mètre. En effet la distance radar à un objet situé en un r arbitrairement proche de 2M diverge vers l'infini.

Si on suppose une mesure faite par différence de distance angulaire, il semble que la règle sera mesurée plus courte, voire qu'elle puisse paraitre d'une longueur "négative". En effet, la distance angulaire d'une extrémité de la règle se mesure via sa taille angulaire et sa largeur. Normalement plus un objet d'une certaine largeur est loin, plus sa taille angulaire se réduit (et c'est proportionnel aux petits angles en espace-temps plat). Dans notre cas, la déflexion des rayons lumineux vont faire que la taille angulaire va se réduire "moins vite" que prévu avec la distance, voire même cesser de se réduire et augmenter de nouveau. La distance angulaire de l'arrière de la règle se rapprochera, voire deviendra inférieure à la distance angulaire de l'avant de la règle.

Je ne suis pas sûr pour la mesure via différence de distance de luminosité (on suppose des sources lumineuses calibrées à l'avant et à l'arrière de la règle et on mesure leurs luminosité pour déterminer la distance), je parierais qu'on obtient une longueur supérieure à 1m, à cause du redshift.

Je ne sais pas trop pour la parallaxe (mesure de distance basé sur la vision stéréoscopique). Là comme ça, à l'intuition, je dirais plus courte...

On peut effectuer le calcul précis pour prédire ce qui sera mesuré pour chaque méthode, le calcul se basant à chaque fois sur l'expression de la métrique et des géodésiques qui en découlent, et c'est généralement très compliqué, surtout pour les trois dernières méthodes qui impliquent des géodésiques nulles non radiales dont on ne peut pas avoir d'expressions analytiques il me semble.

La prédiction de la mesure de la longueur de la règle immobile en r par un chuteur passant en r est beaucoup moins problématique car on peut faire l'approximation que la mesure est locale et non à distance. On peut traiter cela en approximant la situation en espace-temps platsi les longueurs et durées impliquées sont assez petites pour pouvoir négliger l'effet de la courbure. On pourra utiliser la vitesse relative entre la règle et le chuteur si on peut négliger l'accélération de la règle (oui parce que pour le chuteur, la règle est en mouvement rectiligne accéléré).

m@ch3

[externo]

De plus il n'y a pas une unique grandeur physique qu'on pourrait appeler "longueur de la règle immobile en r0 pour un observateur éloigné". En effet, la théorie prédit le résultats des mesures. Les différentes manières de mesurer une longueur (soit par comparaison directe avec un étalon "rigide", soit par soustraction de mesures de distances radar, angulaires, de luminosité, ou par parallaxe) ne donnent le même résultat qu'en espace-temps plat. Elles donnent toutes un résultat différents en espace-temps courbe.

Mon raisonnement est simplement ceci : La longueur d'espace étant contractée d'un facteur mettons Y en r0, la longueur de la règle sera contractée du même facteur par rapport à l'observateur éloigné. Je ne m'intéresse pas à faire des mesures. Si on commence à faire des mesures pratiques ça devient trop compliqué (pour moi) et ça ne correspond à rien de concret. Quant à la courbure il faut la négliger, localement c'est une pente et non une courbe, c'est à dire que le facteur Y est considéré comme invariant sur toute la longueur de la règle.

[mach3]

Mon raisonnement est simplement ceci : La longueur d'espace étant contractée d'un facteur mettons Y en r0, la longueur de la règle sera donc contractée du même facteur par rapport à l'observateur éloigné.

difficile de trouver du sens. Certains diraient : "This isn't right. This isn't even wrong"

Je ne m'intéresse pas à faire des mesures. Si on commence à faire des mesures pratiques ça devient trop compliqué (pour moi) et ça ne correspond à rien de concret.

On peut pourtant difficilement faire plus concret que des mesures pratiques... Et à l'inverse ce qui n'est pas une mesure (si pas pratique au moins faisable en théorie) est justement une abstraction.

Curieux.

m@ch3

[externo]

Comprends pas. La métrique donne un rapport de proportionnalité entre une longueur de l'observateur éloigné et une longueur située au niveau de la règle, tout comme elle donne un rapport entre le temps de l'observateur éloigné et le temps au niveau de la règle. C'est de cela dont il faut se servir pour étalonner la longueur des objets.

[mach3]

La métrique donne un rapport de proportionnalité entre une longueur de l'observateur éloigné et une longueur située au niveau de la règle, tout comme elle donne un rapport entre le temps de l'observateur éloigné et le temps au niveau de la règle.

Non, la métrique permet de faire des produits scalaires entre 4-vecteurs localisés en un même évènement (vecteurs du tangent), et c'est tout (mais c'est déjà pas mal, on peut connaitre le genre et la norme des vecteurs ainsi que les angles entre eux, donc suivant les 4-vecteurs on peut calculer des forces, des énergies, des impulsions, des vitesses relatives, etc). En vouloir plus que cela implique l'utilisation d'autres outils (intégration le long d'une ligne, transport parallèle et géodésiques, etc). Dans certains cas, l'existence de symétries (par exemple par translation suivant une coordonnée temporelle) permet d'invisibiliser ces outils.

Quand on est immobile en r1>>r0 et qu'on observe une horloge immobile en r0, le rapport entre le rythme observé de cette horloge distante et mon horloge s'obtient en faisant le produit scalaire entre ma 4-vitesse et la 4-vitesse de l'horloge après qu'on l'ait transportée parallèlement le long d'une géodésique nulle (c'est la même chose en espace-temps plat, sauf que le transport parallèle devenant une simple translation, il est trivial). Il se trouve que grâce à la symétrie par translation suivant t, on peut retrouver ce résultat simplement en intégrant un intervalle sur chaque ligne d'univers entre les mêmes bornes t0 et t0+1 et en comparant ces intervalles. Comme les coefficients de la métriques sont indépendant du temps, cette intégration elle-même devient triviale et donc invisible. On se limite à dire, de façon désinvolte, que quand il s'écoule (1-2M/r1) secondes pour l'immobile en r1, il s'écoule (1-2M/r0) secondes pour l'horloge, en ignorant tout du processus complexe et les conditions particulières qui valident ce résultat a priori évident.

Je n'ai jamais essayé le même genre de chose pour les longueurs au lieu des durées. A voir à l'occasion.

m@ch3

[externo]

Voici ma méthode (je la préfère )

Y est > 1 et est considéré constant.

Intervalle de genre temps pour un point situé en (t,r)
dtau² = 1/Y²dt² - Y²dr²
le point est immobile en r donc dtau² = 1/Y²dt²

Intervalle de genre espace pour un objet de longueur dr
dl² =Y²dr² - 1/Y²dt²
les deux extrémités sont à la même époque t donc dl² =Y²dr²