Composition des vitesses relativiste et vitesse de la lumière

[externo]

Dans ce fil nous allons décortiquer en 2 ou 3 messages la loi de composition des vitesses relativiste et la représenter graphiquement.
On expliquera le mécanisme qui rend la mesure de la vitesse de la lumière invariante dans les référentiels galiléens. On pourra montrer aussi ce qui fait que cette mesure n'est pas invariante quand la lumière se trouve dans un potentiel gravitationnel différent de celui de l'observateur.

Soient

• R un référentiel ayant pour origine O.
• R' un référentiel ayant pour origine O' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à R
• R'' un référentiel ayant pour origine O'' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à R et R'
• X et T les coordonnées de O' dans R
• x et t les coordonnées de O'' dans R
• x' et t' les coordonnées de O'' dans R'
• V = X/T la vitesse de O' dans R.
• v = x/t la vitesse de O'' dans R.
• v' = x'/t' la vitesse de O'' dans R'.

Les origines O, O', O'' de ces 3 référentiels peuvent être assimilés à 3 objets en mouvement rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

Grâce aux transformations de Lorentz on trouve la relation entre (x,t) et (x',t')
(on pose c=1 et γ facteur de Lorentz = T/t’) :

x= γ(x’+vt’) = x’T/t’ + ’vt’T/t = x’T/t’ + (T/t’)(X/T)t’= x’T/t’ + X = X + γx'
t=γ(t’+vx’) = t’T/t’ + vx’T/t’= T + (T/t’)(X/T)x’= T + x’(X/t’) = T + X(x'/t')

On vérifie la validité des formules :
v = (X+x'T/t')/(T+x'X/t') = (X+v'T)/(T+v'X)=(T(X/T+v'))/(T(1+v'X/T) = (V+v')/(1+Vv') ce qui est bien la loi de composition relativiste des vitesses.

On voit que le vecteur (x,t), vitesse de O'' dans R est la somme du vecteur vitesse de O’ dans R, cad (X,T) et d’un autre vecteur qu’il reste à préciser : (γx’,x’X/t’)
On peut déjà expliquer x géométriquement. Il s'agit de la somme de la distance X parcourue par O' dans R et de la distance γx' parcourue par O'' dans R.

En effet, si O'' se déplace de x' dans R' alors il se déplace de γx' dans R. Pour s'en persuader il suffit de se représenter une règle de longueur 1 mètre à l'intérieur d'une fusée. Pour les occupants de la fusée, cette règle sera superposable à une règle de γ mètres placée à l'extérieur de la fusée. La distance parcourue par O'' dans R' doit donc être multipliée par γ pour être représentée dans R.

1. On voit que la composition des vitesses relativiste se fait par sommation des distances parcourues, comme la composition galiléenne. Ce qui l'en différencie, c'est le temps supplémentaire ajouté à T. On montrera à l'aide d'un diagramme à quoi correspond ce temps x’(X/t’)
2. On constate par les considérations ci-dessus que la vitesse de la lumière, qui obéit à la loi de composition des vitesses relativiste, s'additionne à sa source émettrice, mais que le x’(X/t’) ajouté au temps de trajet compense précisément l'augmentation de la distance parcourue.

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Soient

• R un référentiel ayant pour origine O.
• R' un référentiel ayant pour origine O' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à R
• R'' un référentiel ayant pour origine O'' en mouvement rectiligne et uniforme par rapport à R et R'
• X et T les coordonnées de O' dans R
• x et t les coordonnées de O'' dans R
• x' et t' les coordonnées de O'' dans R'
• V = X/T la vitesse de O' dans R.
• v = x/t la vitesse de O'' dans R.
• v' = x'/t' la vitesse de O'' dans R'.

Les origines O, O', O'' de ces 3 référentiels peuvent être assimilés à 3 objets en mouvement rectiligne et uniforme les uns par rapport aux autres.

Il est utile de préciser que les lignes d'univers de O, O' et O'' doivent se couper en un unique évènement qui fixe l'origine des temps des référentiels R et R', sans quoi X/T, x/t ou x'/t' ne sont pas les vitesses de ces différents points les uns par rapport aux autres. Travailler avec des Delta x et Delta t permettrait de gagner en généralité.

Un axe intéressant pour investiguer la composition des vitesses est de réaliser que l'on compose des 4-vecteurs qui appartiennent à deux sous-espaces(*) différents (les vitesses par rapport à R et les vitesses par rapport à R') et que l'on doit obtenir en résultat un 4-vecteur qui appartient à l'un de ces deux sous-espace (les vitesses par rapport à R) : il ne peut du coup s'agir d'une simple addition car l'un des deux 4-vecteurs doit être transformé pour appartenir au même sous-espace que l'autre avant de s'y additionner.

m@ch3

* : sous espace au sens de sous-espace vectoriel de l'espace-temps considéré comme espace vectoriel