Axe du temps dans la représentation des coordonnées de Painlevé

[Trictrac]

Bonjour,

Est-ce que les deux schémas ci-dessous sont représentées dans le repère (t,r) de Schwarzschild ?

Ici ce sont les coordonnées de Schwarzschild qui sont représentées :
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png

mais ici
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png

ce sont les coordonnées de Painlevé. Mais du coup l'axe t représenté est-il le même que dans le schéma précédent ?
Dans les coordonnées de Painlevé le temps propre du chuteur est le même que celui de l'observateur éloigné, donc a priori, que le t représente l'un ou l'autre revient au même. Sauf que la forme de Painlevé n'est pas diagonale et donc l'axe du temps tr s'incline en suivant la ligne d'univers du chuteur. Puisque dans cette représentation le temps t ne suit pas le chuteur dans sa chute, le repère (t,r) ne peut être que le repère (t,r) associé au temps t de l'observateur éloigné.

Les deux systèmes de coordonnées sont donc représentés dans le même repère (t,r) ou t est appelé le temps coordonné et qui correspond au temps de l'observateur éloigné. Qu'en pensez-vous ?
-----

[mach3]

Ce sont deux coordonnées temporelles différentes. La coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé, est reliée à celle de Schwarzschild, , par la relation :

(choisir + ou - en fonction de s'il s'agit des coordonnées sortantes ou entrantes)

voir par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...GP_coordinates

m@ch3

[mach3]

Pour compléter ma réponse précédente, voici les lignes t et r constant dans un diagramme de Kruskal :

https://en.wikipedia.org/wiki/Kruska...hild_chart.svg

Et voici les lignes de tr et r constant dans le même diagramme de Kruskal :

https://www.researchgate.net/figure/...fig3_263352658 (à noter que le temps de Gullstrand-Painlevé est noté T dans la légende de cette figure, au lieu de tr)

m@ch3

[Trictrac]

Ce sont deux coordonnées temporelles différentes. La coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé, est reliée à celle de Schwarzschild, , par la relation :

(choisir + ou - en fonction de s'il s'agit des coordonnées sortantes ou entrantes)

voir par exemple : https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...GP_coordinates

m@ch3

Oui mais le schéma en question il représenté dans le repère (t,r) avec t temps de l'observateur éloigné et non pas temps de Painlevé ? Le temps tr de Painlevé est parallèle à sa ligne d'univers.

[A voir en vidéo sur Futura]

[mach3]

Sur le premier schéma, on a le temps de Schwarzschild en ordonnée. Pour r grand, ce temps coincide avec le temps propre d'un immobile (se maintenant en r, theta, phi constant).
Sur le second schéma, on a le temps de Gullstrand-Painlevé en ordonnée, celui que j'ai appelé tr et qui est relié au précédent par la formule que j'ai donnée. Ce temps coincide avec le temps propre d'un chuteur libre radial allant à la vitesse de libération (quelque soit sa position radiale).
L'abscisse est le rayon aréal r sur les deux schémas.

m@ch3

[Trictrac]

Sur le premier schéma, on a le temps de Schwarzschild en ordonnée. Pour r grand, ce temps coincide avec le temps propre d'un immobile (se maintenant en r, theta, phi constant).
Sur le second schéma, on a le temps de Gullstrand-Painlevé en ordonnée, celui que j'ai appelé tr et qui est relié au précédent par la formule que j'ai donnée. Ce temps coincide avec le temps propre d'un chuteur libre radial allant à la vitesse de libération (quelque soit sa position radiale).
L'abscisse est le rayon aréal r sur les deux schémas.

m@ch3

Tu dois te tromper ou c'est moi, le temps tr est définit par la ligne d'univers du chuteur donc r et tr ne sont pas orthogonaux et les coordonnées ne sont pas diagonales. Or dans ce schéma t et r sont orthogonaux, c'est le temps de l'observateur éloigné (appelé temps coordonné sur le schéma)

[Trictrac]

Donc si le t représente le temps de l'observateur éloigné on peut l'étiquer "temps coordonnées" ou "d'univers".
On remarque alors que la tranche d'espace à temps tr constant c'est à dire orthogonale au temps tr (ligne verte) est une espèce de parabole qui atteint un angle de 90° en r = 0 et de 45° en r = 2, et dont la hauteur est déterminée par le temps coordonnée t. L'espace du chuteur est donc comme creusé dans le temps d'univers.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png

Voici le dessin des trajets de la lumière :
https://commons.wikimedia.org/wiki/F...ne-Diagram.png
Le cône de lumière est déformé au lieu de simplement pivoté parce qu'il est représenté en coordonnées (t,r) tandis que les coordonnées auxquelles il est réellement attaché sont (tr, coordonnée de l'espace de tr)

[Mailou75]

Salut,

Et voici les lignes de tr et r constant dans le même diagramme de Kruskal :
https://www.researchgate.net/figure/...fig3_263352658

Joli, je ne connaissais pas

.....

Oui mais le schéma en question il représenté dans le repère (t,r) avec t temps de l'observateur éloigné et non pas temps de Painlevé ?
(...)
Le temps tr de Painlevé est parallèle à sa ligne d'univers.

1/ Je pense que tu fais une confusion entre la physique et la manière de la représenter. La trajectoire du chuteur (ou de n'importe qui d'ailleurs) est bien son axe de temps. Ça veut dire que pour lui les évènements datés t+1, t+2 etc se succèdent à intervalle de temps régulier et se trouvent forcément sur sa trajectoire. Mais quand on dessine un Painlevé dont la donnée physique juste est la pente de la courbe qui donne la vitesse locale, alors tu peux être sûr que toutes les autres valeurs du dessin sont "fausses" , cad non mesurables graphiquement (sauf r toujours rayon aréal).

En l’occurrence la courbe de Painlevé est ponctuée de "battements de cœur" (au pif) qui ne la découpent pas en tronçons régulier. Ce qui est régulier c'est l'axe T (ou tr pour mach3) et à l'horizontale d'une graduation on lit un age sur la courbe. Comme la courbe s'incline, les tronçons s’allongent au fur et à mesure de la chute. Graphiquement, car pour le chuteur, son cœur bat toujours à la même vitesse (sauf s'il flippe mais c'est un autre sujet )

2/ Tu soulèves tout de même un point : la similitude graphique de la graduation entre t et T (tr). C'est juste une convention, pour ces repères au moins, qui fixe l'unité de temps Rs/c égale à une longueur d'espace Rs. Comme ça on a une notion graphique de vitesse : soit de la lumière à l'infini qui va à 45° (donc c) pour l'observateur éloigné, le repère de Schw est le sien ; soit de la vitesse de chute locale de, par exemple, c sur l'horizon quand le graphe montre une pente à 45° chez Painlevé.

C'est aussi pour moi un genre d'axiome qui dit que le temps propre de chacun est identique et, dans le cas des trou noir, l'unité Rs/c (arbitraire) est commune à tous les observateurs. Quand il part de l'infini le temps propre du chuteur se mesure en Rs/c et ceci ne changera pas au cours de sa chute (= son coeur bat régulièrement).

3/ En complément du point 1. Pour ponctuer une courbe de chute de Newton/Painlevé de tic tac formants des tronçons régulier (petits vecteurs unitaires de temps propre colinéaires à la courbe), il faut passer en Flamm/Newton (que j'ai appelé "Hole" parce qu'il y a vraiment un trou -de vers- dans celui-ci). Voir zoom à droite https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post7006716. La distance graphique entre deux paraboles est donnée par le temps propre du chuteur. C'est d'ailleurs pour ça que c'est un graphe "exclusif" et pas un repère comme tous les autres.

J'ai globalement l'impression que tu avances. Qu'en constatant que tout le monde te répond à peu près la même chose tu finis par creuser un peu. C'est bien.
Bon courage

A+

Mailou

[mach3]

Je vais d'abord commencer par rectifier à la marge ce que j'ai déjà dit et ajouter quelques précisions.

La coordonnée de Schwarzschild n'est une coordonnée temporelle que pour . Elle est une coordonnée spatiale pour . Le 1er diagramme ( https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png ), qui porte cette coordonnée en ordonnée peut être trompeur dans le sens où il accole deux cartes disjointes, l'une pour et l'autre pour , le long de la droite qui elle ne fait partie d'aucune carte. Dans la partie , l'axe des ordonnées est donc temporel, mais dans la partie , c'est l'axe des abscisses qui est temporel.
Cet accolement est plus le fruit d'une coincidence de notation qu'autre chose et pédagogiquement il devrait être évité. Si on écrit l'expression de la métrique de la même manière dans les deux cartes, avec et , alors on a ce diagramme potentiellement trompeur. Si on change le nom des coordonnées, et qu'on réarrange d'une manière cohérente, on peut obtenir des représentations moins trompeuse et qui peuvent aider à la compréhension. Voir le texte d'Amanuensis à ce sujet : https://forums.futura-sciences.com/d...arzschild.html

Pareillement, la coordonnée de Gullstrand-Painlevé n'est une coordonnée temporelle que pour . Elle est de genre nul en , puis spatial en (la description en se fait donc avec 4 coordonnées spatiales, cela ne doit pas choquer, on peut exhiber de tels systèmes de coordonnées même en espace-temps plat). Cette fois on a bien une unique carte.

La compréhension de ces diagrammes n'est pas aisée si on pense en terme d'axe temps et d'espace vu que les rôles des coordonnées portées par les axes n'est pas le même partout. Il vaut mieux réfléchir en terme de courbes de (ou ) constant et courbes de constant et comprendre que dans ces diagrammes ces courbes sont représentées par des droites orthogonales (a priori ces courbes NE sont PAS des droites, et elles NE sont PAS orthogonales, le diagramme n'informe pas sur les propriétés géométriques réelles de ces courbes, il se contente de les représenter).

Tu dois te tromper ou c'est moi, le temps tr est définit par la ligne d'univers du chuteur donc r et tr ne sont pas orthogonaux et les coordonnées ne sont pas diagonales. Or dans ce schéma t et r sont orthogonaux, c'est le temps de l'observateur éloigné (appelé temps coordonné sur le schéma)

Alors attention aux possibles ambiguïtés dans le discours. Dire que "r et tr ne sont pas orthogonaux" n'est pas une expression rigoureuse et ne peut donc pas être compris sans interpréter. Il faut bien définir de quoi on parle. Pour parler d'orthogonalité, il faut des vecteurs et une métrique. Quels vecteurs considère-t-on quand on dit que "r et tr ne sont pas orthogonaux" et suivant quelle métrique ils ne sont pas orthogonaux ?

Mon interprétation de la phrase (mais ce n'est peut-être pas ce qui est signifié...) :

En coordonnées de Schwarzschild, on travaille avec un champ scalaire et un champ scalaire . On peut définir des vecteurs de base et qui correspondent, ce sont respectivement les opérateurs de dérivée partielle par rapport à quand et constant et par rapport à quand est constant. Dans le premier diagramme, les courbes de constant sont représentées par des droites horizontale et les courbes de constant sont représentées par des droites verticales. Les vecteurs et seront donc représentés respectivement verticaux et horizontaux sur ce diagramme.
En utilisant l'expression de la métrique, on peut de plus en déduire :
-que le carré de est (la norme est donc et il s'agit d'une durée ou d'une longueur selon le signe du carré (durée pour , longueur pour )
-que le carré de est (la norme est donc et il s'agit d'une durée ou d'une longueur selon le signe du carré de la norme (durée pour , longueur pour )
-que et sont orthogonaux au sens de la métrique de Schwarzschild (en plus d'être représentés orthogonaux dans le diagramme , ils le sont vraiment). Cette orthogonalité signifie que les courbes de constant et les courbes de constant sont orthogonales entre elles à leurs intersections.
(il pourra être utile de détailler comment mener ce type de déduction, à voir)

Pour les coordonnées de Gullstrand-Painlevé, on construit un nouveau champ scalaire, , à partir des champs et . On utilise ensuite et comme coordonnées au lieu de et . On va définir de nouveau vecteurs de base et qui correspondent, mais attention, le vecteur , bien que nommé identiquement par concision, n'est pas le même que dans le paragraphe précédent ! C'est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à à constant, et pas à constant (dans certains domaines, comme en thermo, on noterait ces vecteurs et pour les différencier, mais je n'ai jamais vu cet usage en RG). Attention aussi, est par coincidence le même vecteur que , en effet, en regardant la définition de à partir de et , on constate que si on maintient constant, les variations de sont les mêmes que . Bref, si on n'est pas clair avec les maths derrière, tout est bon pour confusionner...
Dans le second diagramme, ces deux vecteurs et seront donc représentés respectivement verticaux et horizontaux.
En utilisant l'expression de la métrique, on peut de plus en déduire :
-que le carré de est (la norme est donc et il s'agit d'une durée ou d'une longueur selon le signe du carré de la norme (durée pour , longueur pour )
-que le carré de est 1
-que et ne sont pas orthogonaux au sens de la métrique de Schwarzschild. Les courbes de constant et les courbes de constant NE sont PAS orthogonales entres elles à leurs intersections (bien qu'elles soient représentées par des droites orthogonales dans le second diagramme).

Donc si le t représente le temps de l'observateur éloigné on peut l'étiquer "temps coordonnées" ou "d'univers".

La coordonnée de Schwarzschild, c'est juste un champ scalaire dont la variation tend vers la variation du temps propre d'un immobile de Schwarzschild quand sa coordonnée radiale tend vers l'infini, avec en plus une invariance de l'expression de la métrique par changement de valeur de ( n'apparait pas dans les coefficients de la métrique). Appeler cela "temps de l'observateur éloigné" est une dénomination inutile et éventuellement trompeuse. En effet, la coordonnée de Gullstrand-Painlevé possède exactement ces deux mêmes propriétés (coïncidence avec le temps propre d'un immobile de infini et invariance sous changement de ).
Si l'immobile de Schwarzschild à l'infini décide d'étendre son propre temps à l'intégralité de l'espace-temps, il doit choisir les propriétes des tranches d'espace qui seront à temps constant. S'il choisit des tranches telles qu'elles sont toujours orthogonales au lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild, les tranches sont des paraboloides de Flamm et le temps est la coordonnée de Schwarzschild. S'il choisit des tranches euclidiennes, alors elles seront orthogonales aux lignes d'univers de la pluie (les chuteurs allant la vitesse de libération) et le temps est la coordonnée de Gullstrand-Painlevé.

On remarque alors que la tranche d'espace à temps tr constant c'est à dire orthogonale au temps tr (ligne verte) est une espèce de parabole qui atteint un angle de 90° en r = 0 et de 45° en r = 2, et dont la hauteur est déterminée par le temps coordonnée t. L'espace du chuteur est donc comme creusé dans le temps d'univers.
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png

Les lignes vertes ne sont pas "la tranche d'espace à temps tr constant c'est à dire orthogonale au temps tr". Il faut lire la légende du schéma.
Les lignes vertes sont les lignes d'univers de la pluie entrante (les chuteurs allant la vitesse de libération qui descendent, les lignes bleues étant celles de la pluie sortante, les chuteurs allant la vitesse de libération qui montent). On est dans le cas entrant, donc les variations de la coordonnée le long des lignes vertes est égale à la variation de temps propre des chuteurs qu'elles représentent.
Les tranches à constant sont représentées par des droites horizontales dans ce diagramme.

Voici le dessin des trajets de la lumière :
https://commons.wikimedia.org/wiki/F...ne-Diagram.png
Le cône de lumière est déformé au lieu de simplement pivoté

La déformation du cône de lumière se rapproche plus d'un cisaillement que d'une rotation.

parce qu'il est représenté en coordonnées (t,r) tandis que les coordonnées auxquelles il est réellement attaché sont (tr, coordonnée de l'espace de tr)

non. La représentation est en coordonnées . Et il n'existe pas de "coordonnées auxquelles il est réellement attaché". Ca ça ne veut rien dire.

C'est juste le tracé des géodésiques radiales nulles (dont les vecteurs tangents sont de carré nul d'après la métrique) dans le diagramme. L'expression de la métrique dans les coordonnées de Schwarzschild permet de tracer ça dans le diagramme :

https://commons.wikimedia.org/wiki/F...ne-Diagram.png

L'expression de la métrique dans les coordonnées de Gullstrand-Painlevé permet de tracer ça dans le diagramme :

https://commons.wikimedia.org/wiki/F...ne-Diagram.png

Et on peut passer de l'un à l'autre simplement en transformant en ou réciproquement. Pour chaque point du diagramme , on calcule , puis on place ce point dans le diagramme , ou inversement.

Je n'ai pas lu la réponse de Mailou pour l'instant, je verrais plus tard si j'ai à y redire.

Bien noter que ce dont il est question ici, ce sont des mathématiques. Il n'y a pas d'opinion.

m@ch3

[mach3]

Il peut être profitable de (re)lire cette ancienne discussion :

https://forums.futura-sciences.com/d...-painleve.html

m@ch3

[Trictrac]

1/ Je pense que tu fais une confusion entre la physique et la manière de la représenter. La trajectoire du chuteur (ou de n'importe qui d'ailleurs) est bien son axe de temps. Ça veut dire que pour lui les évènements datés t+1, t+2 etc se succèdent à intervalle de temps régulier et se trouvent forcément sur sa trajectoire. Mais quand on dessine un Painlevé dont la donnée physique juste est la pente de la courbe qui donne la vitesse locale, alors tu peux être sûr que toutes les autres valeurs du dessin sont "fausses" , cad non mesurables graphiquement (sauf r toujours rayon aréal).

En l’occurrence la courbe de Painlevé est ponctuée de "battements de cœur" (au pif) qui ne la découpent pas en tronçons régulier. Ce qui est régulier c'est l'axe T (ou tr pour mach3) et à l'horizontale d'une graduation on lit un age sur la courbe. Comme la courbe s'incline, les tronçons s’allongent au fur et à mesure de la chute. Graphiquement, car pour le chuteur, son cœur bat toujours à la même vitesse (sauf s'il flippe mais c'est un autre sujet )

Je pense que tu ne comprends pas les équations et leur représentation. Il s'agit d'une représentation géométrique de l'espace-temps, et en ordonnée on a le temps coordonnée et surtout pas le temps du chuteur, surtout pas. Le temps du chuteur est sa ligne d'univers et il est réellement incliné, c'est comme en RR trigo, il y a deux axes du temps distincts. Et en même temps que l'axe du temps s'incline l'axe d'espace fait la même chose. Quand on arrive à 45° les intervalles de genre temps et espace s'inversent par rapport à l'espace-temps coordonnées.
Maintenant, si tu regardes le diagramme en coordonnées de Schwarzschild, il n'y a pas cette inversion progressive, il y a un changement d'orientation instantané et ce n'est pas physiquement possible.
https://commons.wikimedia.org/wiki/F...ll-Diagram.png

Alors pourquoi la ligne d'univers du chuteur est-elle tronçonnée ? Parce qu'elle s'élève aussi dans le temps coordonnées.
Sur l'horizon, l'orientation du temps tr est à 90° de celle du temps coordonnées, y a qu'à regarder la partie non diagonale des coordonnées, c'est 2 rac(rs/r)dtdtr.
Mais en même temps la ligne d'univers est entraînée dans le temps coordonnée et c'est ce qui la rallonge vers le haut.
Mais il faut bien comprendre que ce qui fait vieillir le chuteur, c'est la direction dans laquelle il se déplace et surtout pas le temps t vertical.
Imagine l'espace associé au temps coordonnées avec une aspérité à la surface en forme de paraboloide, la surface de cette aspérité monte dans le temps coordonnées, sa trajectoire ne peut pas être orthogonale à elle-même, donc elle ne peut pas suivre son propre temps, elle n'est pas synchrone.
Un objet en chute libre depuis l'infini dans un trou noir correspond à un objet dont la trajectoire est toujours orthogonale à la surface penchée du paraboloïde, mais le paraboloide monte dans le temps coordonnées, ce qui déforme la trajectoire.

NB : Je n'ai pas encore regardé la réponse de Mach3

[Amanuensis]

e de Gullstrand-Painlevé n'est une coordonnée temporelle que pour . Elle est de genre nul en , puis spatial en [...] Cette fois on a bien une unique carte.

A vérifier, mais il me semble que si une coordonnée change de genre, la formule de la métrique aux événements où elle est de genre nul est dégénérée.

Je peux me tromper.

Mais si la formule de la métrique est dégénérée le système de coordonnée (la carte) n'est pas "acceptable", par non différentiabilité de la forme métrique, il faut considérer les régions comme distinctes. (Faudrait regarder la continuité des formules donnant les Christofell à ces événements...)

Perso, je n'ai jamais été à l'aise avec les systèmes "intermédiaires" ; seuls celui de Schw. (pour la région I, où la staticité est une propriété physique essentielle) et celui de KS (par la non-extensibilité) trouvent grâce à mes yeux.

PS: Les formules ne passent pas d'elles-mêmes dans les citations ("QUOTE"), désolé.

[mach3]

A vérifier, mais il me semble que si une coordonnée change de genre, la formule de la métrique aux événements où elle est de genre nul est dégénérée.

Je peux me tromper.

En r=2M, l'expression de Painlevé ne présente plus de terme en (1-2M/r=0), mais le terme en subsiste, donc ça n'est pas dégénéré. Cependant c'est peut-être moi qui me trompe sur ce qu'est le genre d'une coordonnée. Je fais le carré scalaire du vecteur de base et je regarde s'il est positif négatif ou nul, j'en déduis s'il est de genre temps, espace ou nul (respectivement, si la signature est -+++) et du coup je dis que la coordonnée correspondante est temporelle, spatiale ou nul, mais peut-être que là je me gourre.

Mais si la formule de la métrique est dégénérée le système de coordonnée (la carte) n'est pas "acceptable", par non différentiabilité de la forme métrique, il faut considérer les régions comme distinctes. (Faudrait regarder la continuité des formules donnant les Christofell à ces événements...)

D'après le catalog of spacetimes il n'y a pas de problème de différentiabilité avec l'expression de Gullstrand-Painlevé (sauf en r=0 et , bien sûr).

Perso, je n'ai jamais été à l'aise avec les systèmes "intermédiaires" ; seuls celui de Schw. (pour la région I, où la staticité est une propriété physique essentielle) et celui de KS (par la non-extensibilité) trouvent grâce à mes yeux.

Chacun ses gouts. Pour ma part j'ai beaucoup travaillé sur les systèmes où l'expression est stationnaire ces derniers temps. J'ai démontré une expression métrique assez générale (qui inclut Schwarzschild, Painlevé et Eddington comme cas particuliers) il y a peu (avant de m’apercevoir que quelqu'un d'autre l'a déjà fait mais je n'avais rien trouvé à l'époque), j'en ai parlé un peu ici si ça t'intéresse : https://forums.futura-sciences.com/a...-painleve.html

m@ch3

[Amanuensis]

Cependant c'est peut-être moi qui me trompe sur ce qu'est le genre d'une coordonnée. Je fais le carré scalaire du vecteur de base et je regarde s'il est positif négatif ou nul, j'en déduis s'il est de genre temps, espace ou nul (respectivement, si la signature est -+++) et du coup je dis que la coordonnée correspondante est temporelle, spatiale ou nul, mais peut-être que là je me gourre.

Cela fait longtemps que je n'ai pas travaillé là-dessus, mais de mémoire il y a une difficulté parce que les (dx) forment une base des formes linéaires (de l'espace dual). Quand il y a des termes croisés, il peut (? de mémoire) y avoir une différence entre le genre de la forme (dx) et celui du vecteur dual (celui qui annule les trois autres formes de la base).

J'interfère, là, mais cela m'oblige à me remettre dans le bain...

D'après le catalog of spacetimes il n'y a pas de problème de différentiabilité avec l'expression de Gullstrand-Painlevé (sauf en r=0 et , bien sûr).

OK

[Trictrac]

Dans le second diagramme, ces deux vecteurs et seront donc représentés respectivement verticaux et horizontaux.
Les courbes de constant et les courbes de constant NE sont PAS orthogonales entres elles à leurs intersections (bien qu'elles soient représentées par des droites orthogonales dans le second diagramme).

Le diagramme indique que la coordonnée temporelle est le t coordonnées et non pas le tr, c'est écrit dans la légende. Qu'est-ce que le temps coordonnées pour toi ?
L'axe tr est partout parallèle à la ligne d'univers du chuteur, il ne peut pas être vertical.
Tu sembles penser que le diagramme ne représente pas le véritable angle entre tr et r alors que je dis que si, il s'agit d'une véritable représentation géométrique qui conserve les angles. Le temps coordonnées est le temps propre d'un observateur situé à l'infini, et tu le confonds avec le tr parce qu'ils ont la même valeur.

Dans ce diagramme le temps t orthogonal est celui du chuteur et c'est écrit dans la légende :
https://commons.wikimedia.org/wiki/F...oordinates.png
t = raindrop time
mais ce n'est pas le cas dans le diagramme qui nous intéresse.

Appeler cela "temps de l'observateur éloigné" est une dénomination inutile et éventuellement trompeuse. En effet, la coordonnée de Gullstrand-Painlevé possède exactement ces deux mêmes propriétés (coïncidence avec le temps propre d'un immobile de infini et invariance sous changement de ).

Non parce que la coordonnée de Gullstrand-Painlevé n'est pas orientée verticalement donc le t ne peut pas être le temps de Gullstrand-Painlevé. Tu ne peux pas faire comme si l'orientation du temps n'avait pas d'importance.

Si l'immobile de Schwarzschild à l'infini décide d'étendre son propre temps à l'intégralité de l'espace-temps, il doit choisir les propriétes des tranches d'espace qui seront à temps constant. S'il choisit des tranches telles qu'elles sont toujours orthogonales au lignes d'univers des immobiles de Schwarzschild, les tranches sont des paraboloides de Flamm et le temps est la coordonnée de Schwarzschild. S'il choisit des tranches euclidiennes, alors elles seront orthogonales aux lignes d'univers de la pluie (les chuteurs allant la vitesse de libération) et le temps est la coordonnée de Gullstrand-Painlevé.

Oui. Donc selon son choix on a le diagramme 1 ou le diagramme 2.
Tracer un espace qui soit à la fois orthogonal aux immobiles et à la coordonnée de temps de Schwarzschild impose de plonger dans une autre dimension.
Mais dans le cas 2 la tranche d'espace est orthogonales aux lignes d'univers de la pluie qui N'EST PAS le t orthogonal mais qui est la ligne d'univers du chuteur. Cette tranche d'espace n'est donc pas dans une dimension parallèle mais apparaît dans le diagramme comme la ligne orthogonale à la ligne d'univers de la pluie, et donc comme une parabole qui descend dans le passé du temps t coordonnées.

Les lignes vertes ne sont pas "la tranche d'espace à temps tr constant c'est à dire orthogonale au temps tr". Il faut lire la légende du schéma.

Non les lignes vertes sont orthogonales à la tranche d'espace à temps tr constant.

Les tranches à constant sont représentées par des droites horizontales dans ce diagramme.

Non, et c'est bien ton erreur, les droites horizontales sont des droites à t coordonnées constant et non pas tr constant, tr est orienté comme la ligne d'univers de la pluie.

[mach3]

Le diagramme indique que la coordonnée temporelle est le t coordonnées et non pas le tr, c'est écrit dans la légende. Qu'est-ce que le temps coordonnées pour toi ?

La légende dit : "Worldlines of radially ingoing and outgoing freefallers with v=±vₑ=±√[2/r] (E=1) in Gullstrand Painlevé coordinates. x=r (radial coordinate), y=t (coordinate time)"

Il faut comprendre que le diagramme est en coordonnées de Gullstrand-Painlevé, avec la coordonnée radiale de Gullstrand-Painlevé en abscisse et la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé en ordonnée. Qu'ils appellent t cette coordonnée temporelle, on s'en fiche, la notation n'est pas normalisée, chaque auteur utilise ce qu'il veut.

De toutes façon il suffit de refaire ce diagramme avec un tableur pour vérifier que c'est bien le temps de Gullstrand-Painlevé en ordonnée.

L'axe tr est partout parallèle à la ligne d'univers du chuteur, il ne peut pas être vertical.

Les lignes de t_r constant sont des horizontales dans le diagramme vu que c'est un diagramme en coordonnées de Gullstrand-Painlevé et que t_r est la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé. Les lignes de r constant sont des verticales. Usuellement quand les lignes de coordonnées constantes sont des droites verticales et horizontales, on représente les valeurs des coordonnées sur des axes horizontaux et verticaux. Tous les points du diagramme situé sur la même horizontale ont la même valeur de t_r qui peut être lue sur l'axe vertical.

Tu sembles penser que le diagramme ne représente pas le véritable angle entre tr et r alors que je dis que si, il s'agit d'une véritable représentation géométrique qui conserve les angles.

Non seulement je le pense mais en plus c'est comme ça, ce sont DES MATHS, il n'y a pas d'opinion. Une ligne de tr constant (une horizontale dans le diagramme) et une ligne de r constant (une verticale dans le diagramme) ne sont pas orthogonales entre-elles selon la métrique. Il suffit de faire le calcul, on trouve (au signe près, ça dépend si c'est entrant ou sortant) quand on fait le produit scalaire entre l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tr avec r constant et celui par rapport à r avec tr constant, alors qu'on devrait trouver 0 pour avoir l'orthogonalité.

C'est entre les lignes de tr constant et les lignes d'univers de la pluie qu'il y a orthogonalité selon la métrique.

Non parce que...

chut! c'est des MATHS. t et tr partagent les deux propriétés énoncées (coïncidence avec le temps propre d'un immobile de r infini et invariance de l'expression sous changement de leur valeur), c'est formel. Aucune discussion possible.

la coordonnée de Gullstrand-Painlevé n'est pas orientée verticalement donc le t ne peut pas être le temps de Gullstrand-Painlevé. Tu ne peux pas faire comme si l'orientation du temps n'avait pas d'importance.

Le concept d'orientation du temps c'est dans ta tête. Les bouquins de RG ne parlent pas de ça. Les diagrammes dont il est question dans ce fil ne parlent pas de ça.

Tracer un espace qui soit à la fois orthogonal aux immobiles et à la coordonnée de temps de Schwarzschild impose de plonger dans une autre dimension.
Mais dans le cas 2 la tranche d'espace est orthogonales aux lignes d'univers de la pluie qui N'EST PAS le t orthogonal mais qui est la ligne d'univers du chuteur. Cette tranche d'espace n'est donc pas dans une dimension parallèle mais apparaît dans le diagramme comme la ligne orthogonale à la ligne d'univers de la pluie, et donc comme une parabole qui descend dans le passé du temps t coordonnées.

C'est un baratin incompréhensible. Bosse les maths, tu verras après tout est clair.

Non les lignes vertes sont orthogonales à la tranche d'espace à temps tr constant.

oui, on est d'accord, j'ai relu la phrase dans le post 7. Elle est ambiguë, donc mauvaise interprétation de ma part.

Il semble que pour toi le but de ce fil consiste non pas à obtenir de l'aide pour comprendre ces diagrammes mais à imposer à tout le monde ta façon totalement erronée d'interpréter ces diagrammes. Si c'est le cas, dit le tout de suite, qu'on ferme le fil, parce que ça ne se passera pas comme ça.

m@ch3

[ordage]

Bonjour,

1-Est-ce que les deux schémas ci-dessous sont représentées dans le repère (t,r) de Schwarzschild ?
Ici ce sont les coordonnées de Schwarzschild qui sont représentées :
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png
mais ici
https://en.wikipedia.org/wiki/Gullst...ll-Diagram.png
ce sont les coordonnées de Painlevé.

Bonjour
Les formes de "métriques" dans les coordonnées de Schwarzschild et Painlevé utilisent la même coordonnée r et 2 coordonnées de temps différentes appelons les t et T.

Dans le premier diagramme, une courbe représente la fonction t(r) d'une géodésique radiale sans boost, associée à un "chuteur".

Dans le deuxième diagramme , une courbe représente la fonction T(r) d'une géodésique radiale sans boost, associée à un "chuteur".

Ce sont 2 fonctions différentes qui représentent la même chose mais dans des coordonnées différentes.
Le réseau de courbes correspond à un ensemble de chuteurs.

La réponse à ta question 1 est donc "NON".


Cordialement

[Trictrac]

Bonjour
Les formes de "métriques" dans les coordonnées de Schwarzschild et Painlevé utilisent la même coordonnée r et 2 coordonnées de temps différentes appelons les t et T.

Dans le premier diagramme, une courbe représente la fonction t(r) d'une géodésique radiale sans boost, associée à un "chuteur".

Dans le deuxième diagramme , une courbe représente la fonction T(r) d'une géodésique radiale sans boost, associée à un "chuteur".

Ce sont 2 fonctions différentes qui représentent la même chose mais dans des coordonnées différentes.
Le réseau de courbes correspond à un ensemble de chuteurs.

La réponse à ta question 1 est donc "NON".

Bonjour,
Mais tu es d'accord que le temps T est en fait géométriquement parallèle à la ligne du chuteur et que la gradation verticale du temps dans le diagramme ne donne qu'une valeur et non une indication géométrique quand à la direction de T ? Ce qui est donné en ordonnée est l'incrémentation du temps T, pas son orientation géométrique.
Géométriquement le temps T n'est pas orthogonal à r et ne peut donc pas être cet axe des ordonnées ? Par contre, vu qu'il est la ligne d'univers de la pluie, il est forcément géométriquement représenté par elle.
Le temp de Schwarzschild de son côté est le temps de l'observateur immobile, et lui est toujours orthogonal à r parce que la forme de métrique est diagonale, donc lui correspond bien à l'ordonnée dans le diagramme des coordonnées de Schwarzschild.

[Trictrac]

La légende dit : "Worldlines of radially ingoing and outgoing freefallers with v=±vₑ=±√[2/r] (E=1) in Gullstrand Painlevé coordinates. x=r (radial coordinate), y=t (coordinate time)"

Il faut comprendre que le diagramme est en coordonnées de Gullstrand-Painlevé, avec la coordonnée radiale de Gullstrand-Painlevé en abscisse et la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé en ordonnée. Qu'ils appellent t cette coordonnée temporelle, on s'en fiche, la notation n'est pas normalisée, chaque auteur utilise ce qu'il veut.

De toutes façon il suffit de refaire ce diagramme avec un tableur pour vérifier que c'est bien le temps de Gullstrand-Painlevé en ordonnée.

Tu prends un diagramme où tu mets en ordonnée le temps de l'observateur éloigné, en abscisse la coordonnée r et tu représentes l'évolution de l'axe tr au sein de ce diagramme.
Si tu obtiens un autre résultat que le diagramme 2 tu me fais signe.

Les lignes de t_r constant sont des horizontales dans le diagramme vu que c'est un diagramme en coordonnées de Gullstrand-Painlevé et que t_r est la coordonnée temporelle de Gullstrand-Painlevé. Les lignes de r constant sont des verticales. Usuellement quand les lignes de coordonnées constantes sont des droites verticales et horizontales, on représente les valeurs des coordonnées sur des axes horizontaux et verticaux. Tous les points du diagramme situé sur la même horizontale ont la même valeur de t_r qui peut être lue sur l'axe vertical.

J'attends un véritable mathématicien car apparemment ce n'est pas ton cas, tu confonds les scalaires avec les vecteurs. La gradation t en ordonnée est un scalaire et n'est pas une orientation, donc tes lignes à t_r constant n'ont aucune valeur géométrique, par contre la courbe elle, montre une orientation qui est celle de Tr par définition de la forme métrique de Painlevé.

Non seulement je le pense mais en plus c'est comme ça, ce sont DES MATHS, il n'y a pas d'opinion.

Non c'est pas comme ça, tu ne comprends pas les maths, tu mélanges des scalaires et les vecteurs. La valeur de Tr n'a rien à voir avec sa géométrie. L'axe t des ordonnées ne représente pas l'axe physique du temps, mais la ligne d'univers du chuteur oui. L'axe t est orthogonal à l'axe r, et à quel moment cela se produit-il pour l'axe Tr ? Au moment où le chuteur est à l'infini : si le chuteur est à l'infini la partie non diagonale dans la forme métrique saute (2 * rac(rs/r) = 0) et les axes Tr et r sont là seulement orthogonaux.

Tu sembles nier que ce diagramme contient l'information angulaire entre l'axe Tr et l'axe r, mais dans ce cas tu ne le comprends pas. Tu traces une courbe sans la comprendre et ensuite tu viens dire que c'est moi qui ne la comprends pas.

Le concept d'orientation du temps c'est dans ta tête. Les bouquins de RG ne parlent pas de ça. Les diagrammes dont il est question dans ce fil ne parlent pas de ça.

Ah bon, tu n'avais jamais remarqué dans les diagrammes de Minkowski que les objets en mouvement n'avaient pas la même orientation du temps que les objets immobiles ?
Et donc là tu nies tout de go les coordonnées de Painlevé puisque dans cette forme métrique, justement l'orientation du temps tr n'est pas orthogonale à r ce qui fait qu'il est impossible qu'il soit orienté dans la même direction que le temps t de Schwarzschild qui lui est bien orthogonal à r.

Tu as écrit toi même que

Une ligne de tr constant (une horizontale dans le diagramme) et une ligne de r constant (une verticale dans le diagramme) ne sont pas orthogonales entre-elles selon la métrique. Il suffit de faire le calcul, on trouve rac(2M/r) (au signe près, ça dépend si c'est entrant ou sortant) quand on fait le produit scalaire entre l'opérateur de dérivée partielle par rapport à tr avec r constant et celui par rapport à r avec tr constant, alors qu'on devrait trouver 0 pour avoir l'orthogonalité.
C'est entre les lignes de tr constant et les lignes d'univers de la pluie qu'il y a orthogonalité selon la métrique.

mais tu ne sais pas voir que l'angle entre la ligne d'univers du chuteur et l'axe r dans le diagramme représente justement l'angle entre tr et r.

C'est un baratin incompréhensible. Bosse les maths, tu verras après tout est clair.

Non apparemment rien n'est clair après puisque malgré tout ton outillage tu ne comprends pas ce diagramme.

Oui, je te retourne tout, ce sont des maths et pourtant tu trouves le moyen de les nier. Moi je ne fais rien d'autre que dire ce qu'il y a dans les équations et le diagramme, toi tu mens car ce diagramme montre bien que le temps tr qui est par construction même de la forme métrique orienté par la ligne d'univers du chuteur n'est pas orthogonal à r. Tu fais exprès de mélanger les champs scalaires avec les vecteurs. L'axe en ordonnée ne montre pas l'orientation du temps et tu le sais alors pourquoi par derrière viens-tu nier cette orientation quand elle apparaît dans le diagramme ?

[Mailou75]

Salut,

les lignes bleues étant celles de la pluie sortante

Non, les bleues/violettes sont les rayons lumineux IN-OUT. Ca se voit puisqu'elles longent les cônes
Je suppose que tu es juste allé un peu vite.

Je n'ai pas lu la réponse de Mailou pour l'instant, je verrais plus tard si j'ai à y redire.

C'est de la géométrie, pas d'opinion à avoir

.....

Je pense que tu ne comprends pas les équations et leur représentation.

Les équations non mais les graphes très bien. Je reviens sur ce que j'ai dit. En fait tu radotes parce que tu ne lis pas vraiment les réponses.

Tu veux un graphe où le temps propre du chuteur est colinéaire à sa trajectoire ? Tiens, prends le Slide, à droite ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6765416.

C'est simplement un morphing horizontal qui redresse la courbe de Painlevé pour la rendre verticale. Du coup on obtient un graph qui est toujours localement de Minkowski et la vitesse relative entre LE chuteur et les immobiles se lit comme en RR avec un angle hyperbolique entre trajectoires.

Si tu passes plus de 2 min à regarder ce schéma tu comprendras sans doute pourquoi le temps de celui qui chute se lit sur l'axe T (le tr de mach3) et non pas sur la trajectoire en Painlevé. Les tronçons entre deux billes sur la courbe de Painlevé ne sont pas égaux, or le temps propre est invariant : CQFD !

.....

Pour ma part j'arrête de répondre tant que n'a pas digéré le minimum. Et il serait agréable que tu ne dises pas à mach3 qu'il ne comprends rien au maths. Il se casse le c.. à te faire de longues réponses argumentées et justes, en plus. Tout le monde te dis la même chose mais tu ne veux pas entendre les réponses. Tant pis pour toi.

A+

Mailou

[Mailou75]

Dernière tentative : considères que tu est chez Newton et qu'un Painlevé décrit l'évolution de la position (r) en fonction du temps (T = propre du chuteur mais on s'en fout).

Est ce qu'un tel graph te poserait problème si on était chez Newton ? Et qu'on pourrait lire, suivant la pente de la courbe une vitesse dr/dt.
Et bien c'est PAREIL !!!!! La vitesse en question est la vitesse de chute locale.

D'ailleurs, pour enfoncer le clou, tant que tu n'as pas tracé de rayons lumineux en Painlevé, c'est un Newton, avec la formule de Newton...

Je recommencerai à répondre si je sens un effort de ton coté.

A+

[Trictrac]

Salut,
Tu veux un graphe où le temps propre du chuteur est colinéaire à sa trajectoire ? Tiens, prends le Slide, à droite ici https://forums.futura-sciences.com/a...ml#post6765416.

C'est simplement un morphing horizontal qui redresse la courbe de Painlevé pour la rendre verticale. Du coup on obtient un graph qui est toujours localement de Minkowski et la vitesse relative entre LE chuteur et les immobiles se lit comme en RR avec un angle hyperbolique entre trajectoires.

Si tu passes plus de 2 min à regarder ce schéma tu comprendras sans doute pourquoi le temps de celui qui chute se lit sur l'axe T (le tr de mach3) et non pas sur la trajectoire en Painlevé. Les tronçons entre deux billes sur la courbe de Painlevé ne sont pas égaux, or le temps propre est invariant : CQFD !

Ils sont pas égaux, la belle affaire. Je m'en fiche de leur longueur, ce qui importe c'est leur orientation. L'intervalle entre les billes s'étire parce que la ligne de temps en se désorientant est emportée par le temps coordonnées, ce qui la rallonge. En fait ni toi ni Mach3 apparemment sur ce forum ne comprenez rien. On vous dit que l'axe du temps du chuteur n'est pas orthogonal avec l'axe r et vous faites comme si vous n'avez rien entendu, vous niez les maths, les graphique, la logique la plus élémentaire, là, en pleine figure, devant tout le monde, vous affirmez que le blanc est noir.
Donc vous niez, ok, j'ai compris vous niez la RG, vous niez les maths, vous vous faites votre petite interprétation personnelle comme ça vous arrange, que ce soit clair au moins.

J'ai compris, vous faites des graphiques et parlez de RG depuis 10 ans sur ce forum sans rien comprendre à ce que vous faites, ok, donc restons en là.

Pour ma part j'arrête de répondre tant que n'a pas digéré le minimum. Et il serait agréable que tu ne dises pas à mach3 qu'il ne comprends rien au maths. Il se casse le c.. à te faire de longues réponses argumentées et justes, en plus. Tout le monde te dis la même chose mais tu ne veux pas entendre les réponses. Tant pis pour toi.

Qu'il fasse venir un vrai mathématicien et qu'on décortique ce graphe, on verra alors qui a raison.

[JPL]

Fermeture temporaire tant qu’un modérateur de ce forum n’a pas relu ces derniers messages pour décider quoi faire.

En attendant, Trictrac, tu te calmes et tu cesses de répondre de façon hargneuse.

[mach3]

Réouverture, probablement temporaire. Tout nouveau message hargneux entrainera la fermeture du fil ainsi qu'une sanction.

mach3, pour la modération

[mach3]

Le problème dans ce fil vient en partie d'un problème de vocabulaire incompatible entre les participants. Quand on ne parle pas la même langue, on ne se comprend pas. Un autre souci, qui s'ajoute, est un manque de patience (j'en suis légèrement coupable pour ma part car les discussions avec le primo-posteur, ici mais aussi ailleurs, sont souvent usantes).

Je pense que j'ai fini par comprendre ce dont il est question dans les expressions "orientation du temps" ou "axe du temps". C'est de 4-vitesse dont il est question, c'est à dire du vecteur tangent à la ligne d'univers d'un observateur dont la norme est 1. En d'autres termes, l'opérateur de dérivée par rapport au temps propre de la ligne considérée (temps propre qui est un champ scalaire limité à la ligne d'univers en question).

On construit le champ scalaire à partir des champs et (formule donnée plus haut), qui à la base n'a absolument rien à voir avec les chuteurs, il est construit de façon à ce que les tranches de constant soit des espaces euclidiens. On a une forme linéaire (le gradient du champ scalaire de la coordonnée de Gullstrand-Painlevé), qui est construite tel que son application à l'opérateur de dérivée partielle par rapport à à constant (vecteur vertical dans un diagramme avec t_r en ordonnée et r en abscisse) vaut 1, et son application à l'opérateur de dérivée partielle par rapport à à (vecteur horizontal dans un diagramme avec t_r en ordonnée et r en abscisse) constant vaut 0 :




Il se trouve que lorsqu'on applique cette forme linéaire sur l'opérateur de dérivée par rapport au temps propre d'une géodésique de pluie (=la 4-vitesse de la pluie), on obtient 1 (on pourra démontrer ce point si besoin, mais cela a déjà été fait sur un autre fil si ma mémoire est bonne). Cela fait que les graduations en temps propre sur la géodésique de pluie ont le même écartement vertical que la coordonnée de Gullstrand-Painlevé.

Attention donc, n'a pas d'orientation, c'est un champ scalaire. Par contre la 4-vitesse de la pluie a bien une orientation, elle est tangente à la ligne d'univers, et elle est orthogonale à l'opérateur de dérivée partielle par rapport à à (vecteur horizontal dans un diagramme avec t_r en ordonnée et r en abscisse).
D'ailleurs si on considère les coordonnées de Lemaitre, cette 4-vitesse est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à t_r à coordonnée radiale de Lemaitre constante.

Je vais relire le fil avec cette "traduction" en tête et voir s'il reste des points qui coincent.

m@ch3

[Trictrac]

Pour les coordonnées de Gullstrand-Painlevé, on construit un nouveau champ scalaire, , à partir des champs et . On utilise ensuite et comme coordonnées au lieu de et . On va définir de nouveau vecteurs de base et qui correspondent, mais attention, le vecteur , bien que nommé identiquement par concision, n'est pas le même que dans le paragraphe précédent ! C'est l'opérateur de dérivée partielle par rapport à à constant, et pas à constant ...

C'est là qu'il y a une confusion, car dans la représentation de Painlevé t et tr sont identiques, donc les deux sont les mêmes dans les deux diagrammes.

ensuite

Aux scalaires t et r sont associés deux axes T et R qui sont orthogonaux.
Lorsqu'on remplace t par tr on associe à tr un axe qui lui est propre TR, mais cet axe n'est pas orthogonal à R, il est tangent à la ligne d'univers du chuteur.

Or le construit par Mach3 n'est que , ce n'est pas le vrai puisqu'il n'est pas tangent à la ligne d'univers du chuteur.

[mach3]

Bon, on va tout détricoter.

1ere étape, les champs scalaires et les formes linéaires associées

On va appeler les coordonnées de Schwarzschild.
On va appeler les coordonnées de Gullstrand-Painlevé (oui, je change les notations, mais ça donnera plus de clarté à l'ensemble).
On va appeler les coordonnées de Lemaitre.

On a donc 6 champs scalaires, qui définissent 6 formes linéaires, , , , , ,

L'expression de la métrique en coordonnées de Schwarzschild est :



Les coordonnées de Gullstrand-Painlevé sont définies par :

, donc (oui et sont en fait le même champ scalaire, mais ça simplifiera les notations dans la 2e étape)
, avec tel que les tranches de T constant sont euclidiennes

L'expression de la métrique dans ces coordonnées est :







Pour avoir des tranches de T constant euclidiennes, il faut que




(on choisit la valeur négative pour être dans la version entrante)

On a donc (une intégration permet d'avoir une fonction de , ce qui définit alors explicitement les champs et l'un par rapport à l'autre, on verra éventuellement plus tard), et l'expression finale de la métrique dans les coordonnées de Gullstrand-Painlevé est :



Les coordonnées de Lemaitre sont définies par :

, donc (oui et sont en fait le même champ scalaire, mais ça simplifiera les notations dans la 2e étape)
, avec et tels que l'expression de la métrique soit diagonale et que sur les courbes de constant (donc ), on ait . Cette 2e condition imposant d'emblée que , on a :


L'expression de la métrique dans ces coordonnées est :







Pour avoir une expression diagonale, on doit avoir , donc . On a donc (une intégration permet d'avoir = une fonction de , ce qui définit alors explicitement les champs et l'un par rapport à l'autre, on verra éventuellement plus tard), ce qui donne comme expression finale de la métrique dans les coordonnées de Lemaitre :



On montre ensuite facilement que les courbes de constant sont des géodésiques (le calcul pourra être développé si nécessaire) et que la coordonnée de Lemaitre varie comme le temps propre de ces géodésiques (là c'est évident).

Maintenant qu'on a bien tout installé, dans une 2e étape, on va construire les différents opérateurs de dérivée partielle.

Associés aux 3 paires de champs scalaires, et , et , et , on peut construire 3 paires d'opérateurs de dérivée partielle

-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et
-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et

-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et
-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et

-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et
-La dérivée par rapport à avec constant, , telle que et

Les relations entre les formes linéaires , , , , et vont nous permettre d'établir des relations entre ces opérateurs. On a d'abord




qui appliqués à et , donnent d'une part

et d'autre part



Cela signifie donc que


et appliqués à et , donnent d'une part

et d'autre part



Cela signifie donc que


on a ensuite




qui appliqués à et , donnent d'une part

et d'autre part



Cela signifie donc que


et appliqués à et , donnent d'une part

et d'autre part




Cela signifie donc que


Pour récapituler, nous avons :


et :



A contraster avec :


et



Les champs scalaires et sont différents, mais les opérateurs associés, et sont identiques.
Les champs scalaires et sont identiques, mais les opérateurs associés, et sont différents (l'un est à constant, l'autre à constant).
Les champs scalaires et sont identiques, mais les opérateurs associés, et sont différents (l'un est à constant, l'autre à constant).
Les champs scalaires et sont différents, et les opérateurs associés, et sont différents mais néanmoins colinéaires.

m@ch3

[JPL]

Fermeture : critique d’un modérateur par MP.