Première supposition fausse en mathématiques

[invited494020f]

Mais réciproquement, la théorie de la calculabilité, dont les ordinateurs sont l'incarnation, est exactement la théorie que tu cherches! Les ordinateurs (ou plutôt les logiciels) sont équivalents à leur propre théorie, puisque ce sont des systèmes formels. Et ils ne contiennent rien qui corresponde à l'axiome de l'infini si on limite la notion de "résultat de calcul" à quelque chose d'obtenu dans un temps fini, ce qui est la seule utilisation pratique possible des ordinateurs...

Cordialement,

Note: Les maths n'ignorent pas l'infini, mais détestent tout autant la division par 0 dans des corps comme R ou C. Il y a une différence fondamentale entre 0 et un infiniment petit...

Bonjour,
Ça me fait penser que rien ne pourrait être mesuré sans "saucissonner" la quantité mesurée, même si elle nous paraît continue. Les unités: pieds, toises, centimètres, secondes, 1.650.765,73 longueurs d'onde émises par le krypton86 etc. ont été créés de toutes pièces à notre image (les dernières un peu plus abstraites que les premières). De là, penser que la "nature" est discontinue et non infinie, il n'y a qu'un pas, que je franchis allègrement et vote "infiniment petit" contre "0" (HS: ça ne vous rappelle pas nos préoccupations actuelles?).


"Le droit de dire et d'exprimer ce que nous pensons est le droit de tout homme libre, dont on ne saurait le priver sans exercer la tyrannie la plus odieuse. Voltaire."
Amicalement paulb.
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[invité576543]

en disant par exemple que le complémentaire de l'ensemble de tous les ensembles est aussi un ensemble et de conclure que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas?

Non, pas vraiment. Ce qui est fait consiste à formaliser ce qu'on a le "droit" d'appeler ensemble... Par des axiomes constructifs, genre "il existe l'ensemble vide", ou "étant donné un ensemble, alors l'ensemble des parties de cet ensemble existe". Tout "machin" qui n'est n'est pas constructible de proche en proche en utilisant seulement les axiomes constructifs n'a pas le droit au titre d'ensemble! Et on fait attention à ce qu'aucune méthode n'est incluse qui permettrait de construire un machin dont tout ensemble serait élément

Et une théorie mathématique sans axiome de l'infini peut se passer de la notion de plus grand élément?

Pourquoi s'en passerait-elle?

Cordialement,

[invitec00162a9]

En me relisant, j'ai réalisé que j'ai été un très abusif sur un point, et c'est ce qui explique le trouble de certains intervenants. Il y a 2 théorèmes d'incomplétude dus à Gödel, et le premier qui nous occupe dit qu'il existe des énoncés vrais mais indémontrables dans une théorie non contradictoire (et non pas que tous les énoncés indémontrables sont vrais, nuance...).Pour le démontrer, on construit justement une variante formelle de l'énoncé : "Je ne suis pas démontrable".
Mais ce n'est pas pareil que indécidable, où là, on peut décréter arbitrairement l'enoncé comme vrai, ou bien comme faux selon le goût du mathématicien.

[invité576543]

En me relisant, j'ai réalisé que j'ai été un très abusif sur un point, et c'est ce qui explique le trouble de certains intervenants. Il y a 2 théorèmes d'incomplétude dus à Gödel, et le premier qui nous occupe dit qu'il existe des énoncés vrais mais indémontrables dans une théorie non contradictoire (et non pas que tous les énoncés indémontrables sont vrais, nuance...).Pour le démontrer, on construit justement une variante formelle de l'énoncé : "Je ne suis pas démontrable".
Mais ce n'est pas pareil que indécidable, où là, on peut décréter arbitrairement l'enoncé comme vrai, ou bien comme faux selon le goût du mathématicien.

Bonjour,

La différence que tu proposes tourne entièrement autour du mot "vrai" mis en rouge. Quelle est la signification formelle de ce mot?

De mon point de vue, les assertions d'un système formel sont classées en "démontrables", "dont la négation est démontrable", et "indécidables". Il n'y a pas de notion de "vrai" ou "faux". L'interprétation usuelle est bien évidemment "vrai" = "démontrable" et "faux" = ""dont la négation est démontrable", mais manifestement tu n'utilises pas cette définition. Alors, quelle est ta définition?

Cordialement,

[doryphore]

C'est vrai que jusqu'à présent, j'ai la même conception que mmy...
Wikipédia nous dit qu'il existe une définition mathématique de la véracité qui s'appuierait sur une théorie plus "forte" que celle dans laquelle on "applique" cette véracité : j'aimerai avoir des précisions sur cette définition sans quoi je risque fort de ne pas l'adopter...(cf article sur les théorèmes d'incomplétude de Gödel)

[erik]

cela dépasse un peu mes compétences, mais il existe (au moins) un exemple de théorème exprimable dans une théorie, mais dont la preuve doit faire appel à une théorie plus forte : le théorème de Goodstein (formalisable dans l'arithmétique de Peano).

le théorème de Goodstein est VRAI, mais non démontrable dans Peano.

Goodstein

[Sephi]

Je partage aussi la vision de mmy ...

Dire qu'un théorème est vrai mais indémontrable dans un système, c'est suos-entendre qu'il est démontrable dans un système plus puissant.

Mais si on ne dispose pas d'aucune démonstration dans aucun système, alors on ne peut pas déclarer que le théorème est vrai. Si on prend l'exemple du théorème de Goostein, il est vrai mais indémontrable dans l'axiomatique de Peano. Mais (!) il est démontrable dans celle de la théorie des ensembles, et c'est pour cela que nous disons qu'il est vrai.

Donc quand shahinshah distingue les [théorèmes vrais indémontrables] des [théorèmes indémontrables de véracité arbitraire], je trouve que ce n'est qu'une distinction entre un cas particulier et le cas général qui l'englobe. Ce n'est donc pas vraiment une distinction ...

Remarque que je me demande si on a une axiomatique dans laquelle le théorème de Goodstein serait faux, du coup >_<

[invitec00162a9]

La différence que tu proposes tourne entièrement autour du mot "vrai" mis en rouge. Quelle est la signification formelle de ce mot?

Eh bien, c'est une question plus complexe qu'il n'y paraît. Officiellement, en logique classique, on utilise la définition de Tarski : une proposition A est vraie si et seulement si (non A) est fausse.
Tous les logiciens n'admettent pas cette définition, un peu "bidon", il faut bien le reconnaître et essaient d'en trouver d'autres en changeant les règles de la logique.

[invitec00162a9]

Je partage aussi la vision de mmy ...

Dire qu'un théorème est vrai mais indémontrable dans un système, c'est suos-entendre qu'il est démontrable dans un système plus puissant.
<

Ben oui, c'est classique. Mais le système plus puissant contiendra à son tour des énoncés vrais mais indémontrables. Il n'y a pas moyen d'y échapper.

[invité576543]

Eh bien, c'est une question plus complexe qu'il n'y paraît.

Bien d'accord

une proposition A est vraie si et seulement si (non A) est fausse

Si c'est la définition de "vrai", alors la question devient "Quelle est la signification formelle de fausse?"

Cordialement,

[invité576543]

Dire qu'un théorème est vrai mais indémontrable dans un système, c'est suos-entendre qu'il est démontrable dans un système plus puissant.

Ce n'est pas très satisfaisant, parce qu'alors une assertion indécidable est vraie et sa négation est vraie aussi.

Cordialement,

[Sephi]

Ce n'est pas très satisfaisant, parce qu'alors une assertion indécidable est vraie et sa négation est vraie aussi.

Cordialement,

Qu'est-ce qui n'est pas très satisfaisant ?

[invitec00162a9]

Bien d'accord



Si c'est la définition de "vrai", alors la question devient "Quelle est la signification formelle de fausse?"

Cordialement,

Relis bien attentivement la définition : c'est un "si et seulement si", autrement dit une équivalence. Si ça te laisse un goût bizarre, rassure-toi, tu ne seras pas le seul.

C'est pour cela que des logiciens ont essayé d'autres types de logique : logique floue, logique intuitionniste, logique linéaire, etc. Dans l'espoir d'avoir une meilleure définition du vrai.

Cordialement.

[invité576543]

Relis bien attentivement la définition : c'est un "si et seulement si", autrement dit une équivalence. Si ça te laisse un goût bizarre, rassure-toi, tu ne seras pas le seul.

J'ai bien lu! Et j'ai bien écrit "si c'est une définition de vrai"...

On ne peut pas définir deux termes par une équivalence, c'est du moins ma manière de voir. L'équivalence permet de définir l'un quand on a défini l'autre...

Cdlt,

[invité576543]

Qu'est-ce qui n'est pas très satisfaisant ?

Ca te satisfait, toi, une définition de vrai telle qu'il y a des assertions à la fois vraies et fausses?

Perso, et c'est vraiment perso, j'ai tendance à n'accepter le mot "vrai" qu'avec tiers exclus. Ce qui limite en gros le terme à la logique formelle, ou du moins aux quelques théories à la fois cohérentes et complètes, et contenant la logique du premier ordre!

Cordialement,

[invité576543]

On ne peut pas définir deux termes par une équivalence, c'est du moins ma manière de voir. L'équivalence permet de définir l'un quand on a défini l'autre...

Je complète... Le point est le mot "définir"! Il est parfaitement possible, et très courant en physique, d'introduire deux termes par une relation entre eux, sans qu'aucun des deux termes n'aient été définis rigoureusement au préalable (l'exemple classique est F = ma, qui définit la relation entre masse inerte et force, sans qu'il soit possible de définir l'un indépendamment de l'autre). Mais alors la définition ne porte pas sur les termes mais sur la relation qu'ils ont entre eux.

Vu comme cela, la définition donnée définit non pas "vrai" et "faux", mais la relation entre "vrai" et "faux". Mais du coup, c'est inacceptable comme définition de vrai et/ou de faux.

On peut se satisfaire d'une approche comme en physique, mais c'est un peu choquant pour les maths... En physique cela passe parce que c'est la modélisation de quelque chose qui est en dehors du modèle, un concept premier (e.g., inertie/force) que l'univers, la réalité, nous impose. Mais en math, nous sommes censés être maîtres à bord...

Cordialement,

[invitec00162a9]

J'ai bien lu! Et j'ai bien écrit "si c'est une définition de vrai"...

On ne peut pas définir deux termes par une équivalence, c'est du moins ma manière de voir. L'équivalence permet de définir l'un quand on a défini l'autre...

La définition du -vrai- au sens de Tarski est inutilisable toute seule. C'est pour cela qu'on part des axiomes que l'on suppose être des synonymes de -vrai-. L'intérêt, c'est que les axiomes ont une signification pour nous. Après, le jeu de la démonstration consiste à inférer que le théorème qu'on veut démontrer est un synonyme de -vrai-.

[doryphore]

Pour moi, si Goodstein est indécidable dans Péano et vrai pour la théorie des ensembles, je ne vois pas pourquoi sous prétexte que le théorème est énonçable dans Péano, on devrait dire qu'il est vrai.

C'est tout simplement un théorème énonçable dans la théorie de Péano, non démontrable dans cette théorie (donc ni vrai ni fausse), mais démontrable dans la théorie des ensembles donc vrai dans la théorie des ensemble.
Je ne vois pas l'intérêt de définir la véracité comme étant la valeur de vérité d'un théorème dans une théorie plus forte que la théorie de départ surtout qu'en fonction de la théorie plus forte qu'on choisit (si elle existe) la valeur de vérité doit pouvoir varier.

Personnellement, j'en reste à une conception de la véracité liée à la démontrabilité et relative à la théorie avec laquelle on veut démontrer (et non exprimer la théorie).

[moijdikssékool]

Et on fait attention à ce qu'aucune méthode n'est incluse qui permettrait de construire un machin dont tout ensemble serait élément

aucune méthode? on a tout vérifié?

Citation:
Et une théorie mathématique sans axiome de l'infini peut se passer de la notion de plus grand élément?

Pourquoi s'en passerait-elle?

une théorie sans infini serait limitée par une borne supérieure, laquelle? comment définir la norme infinie (via Lebesgue)? ca ressemble à quoi une théorie sans infini? à une boucle, ou l'on revient en arrière lorsque l'on va trop loin?

une proposition A est vraie si et seulement si (non A) est fausse.
Tous les logiciens n'admettent pas cette définition, un peu "bidon", il faut bien le reconnaître et essaient d'en trouver d'autres en changeant les règles de la logique

tu as des exemples? ca me rappelle le comportement humain qui se braque dans certaine situation, du genre: "ton pull est mouillé, enlève-le" et l'autre de répondre "non" comme pour échapper à une logique trop simpliste, à un raisonnement trop logique, et de chercher une autre "logique"

[invité576543]

aucune méthode? on a tout vérifié?

Si quelqu'un avait trouvé, l'axiomatique ZF aurait un problème, et ça se saurait

une théorie sans infini serait limitée par une borne supérieure, laquelle? comment définir la norme infinie (via Lebesgue)? ca ressemble à quoi une théorie sans infini? à une boucle, ou l'on revient en arrière lorsque l'on va trop loin?

C'est beaucoup plus subtil que ça. Tu te retrouves avec les entiers, aussi grand que l'on veut (pas de borne supérieure), mais les entiers ne forment pas un ensemble.

Ca paraît bizarre, parce que l'on est habitué à voir les entiers comme des éléments d'un ensemble, mais ce n'est pas conceptuellement différent du cas des ordinaux (ou des cardinaux) dans l'axiomatique ZF+infini: les ordinaux sont aussi grand que l'on veut, il n'y a pas de borne supérieure, mais les ordinaux ne forment pas un ensemble.

tu as des exemples?

Des exemples de quoi? De ce qu'on peut faire avec ZF sans l'axiome de l'infini? Il me semble que ce qu'on ne peut plus faire, c'est parler de l'ensemble des parties de N, donc des réels, du continu. Mais on dispose (il me semble) toujours de Q ou des algébriques...

Cordialement,

[invite4fe60f70]

Bonjour à tous et bonne année,

Tou d'abord, de quelle supposition parle-t-on ? je veux bien débattre de qqch mais encore faut-il pouvoir partir d'un élément concret ...

En attendant les ordinateurs fontionnent, les voitures roulent, le wifi permet à des appareils de communiquer sans fil ... et derrière tout cela beaucoup de fondements matrhématiques. Donc ...

[Sephi]

Ce n'est pas très satisfaisant, parce qu'alors une assertion indécidable est vraie et sa négation est vraie aussi.

Je n'avais pas bien compris parce qu'il me semble que tu parles d'assertions qui rendent la théorie inconsistante, plutôt que d'assertions indécidables ... Dans ce cas :

Ca te satisfait, toi, une définition de vrai telle qu'il y a des assertions à la fois vraies et fausses?

Peut-on faire mieux ? Le Saint Graal serait une notion universelle de vérité, mais comment cela peut-il être possible si n'importe quel système formel est inconsistant ? :/

Ma position rejoint celle de doryphore, un théorème est vrai dans un système donné, s'il est démontrable dans ce système, c'est tout. Dire qu'un théorème est vrai sans être démontrable, et sans préciser dans quel autre système il est démontrable, c'est problématique (voilà ma critique de la position de shahinshah).

[invité576543]

Ma position rejoint celle de doryphore, un théorème est vrai dans un système donné, s'il est démontrable dans ce système, c'est tout. Dire qu'un théorème est vrai sans être démontrable, et sans préciser dans quel autre système il est démontrable, c'est problématique (voilà ma critique de la position de shahinshah).

Ca doit être juste un problème de formulation, parce que j'ai la même position que Doryphore, donc que toi alors! Le seul bémol (très personnel) est que je préfère ne pas utiliser "vrai"/"faux", mais démontré/d'inverse démontré (avec le système d'axiome explicite ou implicite).

Cordialement,

[invité576543]

Je n'avais pas bien compris parce qu'il me semble que tu parles d'assertions qui rendent la théorie inconsistante, plutôt que d'assertions indécidables ...

A part ça, ce n'est pas du tout ce que je voulais dire. Si une assertion A est indécidable dans un système S, alors il existe un système S' dans laquelle A est vraie, et un autre système S'' dans laquelle A est fausse. Il n'y a nul cas d'incohérence dans ce schéma.

Cordialement,

[Sephi]

A part ça, ce n'est pas du tout ce que je voulais dire. Si une assertion A est indécidable dans un système S, alors il existe un système S' dans laquelle A est vraie, et un autre système S'' dans laquelle A est fausse. Il n'y a nul cas d'incohérence dans ce schéma.

Cordialement,

Haa ok, tu veux dire qu'une assertion indécidable est vraie et fausse, mais dans des systèmes différents (j'avais compris au sein d'un même système) Du coup, on ne peut pas définir la vérité d'une indécidable en se référant à un autre système arbitrairement choisi. Il faut donc tjs préciser le système auquel on se réfère.

Ben je suis d'accord ... Quand j'ai parlé de "Goodstein indémontrable mais vrai" en réaction au message #36, je voulais dire que si on dit que Goodstein est vrai, ça doit sous-entendre qu'il est vrai pour l'axiomatique des ensembles, sinon ça n'a pas de sens.


Je pensais que tu défendais une notion "absolue" de vérité indépendante du système auquel on se réfère, ce qui est évidemment choquant ...

[invitec00162a9]

Dire qu'un théorème est vrai sans être démontrable, et sans préciser dans quel autre système il est démontrable, c'est problématique (voilà ma critique de la position de shahinshah).

J'ai toujours précisé qu'un théorème était démontrable ou non, dans une théorie fixée à l'avance. Pas dans l'absolu, ce serait faux. Cependant, une fois qu'on a fixé la théorie, alors, si elle est suffisamment puissante (c'est-à-dire contient l'axiomatique de Peano), alors le premier théorème d'incomplétude de Gödel dit qu'il y a des énoncés vrais dans cette théorie, et indémontrables dans cette théorie. On ne peut pas y échapper. Mais cela n'empêche pas cet énoncé d'être démontrable dans une théorie plus forte.

[invitec00162a9]

Personnellement, j'en reste à une conception de la véracité liée à la démontrabilité et relative à la théorie avec laquelle on veut démontrer (et non exprimer la théorie).

Sauf que la logique formelle classique, les mathématiques usuelles avec théorie ZF, etc, ne sont pas fondées sur le principe véracité=démontrabilité. C'est tout l'objet des logiques alternatives (intuitionniste, floue, linéaire, et d'autres) de l'obtenir.

[invité576543]

le premier théorème d'incomplétude de Gödel dit qu'il y a des énoncés vrais dans cette théorie, et indémontrables dans cette théorie. On ne peut pas y échapper.

Tu te répètes, c'est tout. Et la question de retour est toujours la même, quel est le sens du mot "vrai" dans ta phrase?

Si le mot "vrai" n'a pas de sens clair, la phrase n'amène rien.

Je sais très bien que l'on trouve couramment le théorème d'incomplétude énoncé comme tu le dis, mais on trouve d'autres énoncés qui évitent le piège du mot "vrai" ou "vérité", comme celui du Wiki:

Dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable, cohérente et capable de « formaliser l'arithmétique », on peut construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni prouvé ni réfuté dans cette théorie

Ca c'est clair, et échappe au problème du mot "vrai".

Si tu veux dire autre chose que le théorème d'incomplétude tel qu'énoncé par le Wiki, il faut impérativement que tu définisses clairement le mot "vrai".

Cordialement,

[invitec00162a9]

tu as des exemples? ca me rappelle le comportement humain qui se braque dans certaine situation, du genre: "ton pull est mouillé, enlève-le" et l'autre de répondre "non" comme pour échapper à une logique trop simpliste, à un raisonnement trop logique, et de chercher une autre "logique"

Il y a 2 types d'attitudes :
- trouver un formalisme plus primitif que la logique formelle pour essayer de contourner les théorèmes d'incomplétude de Gödel, c'est par exemple le calcul des séquents de Gentzen. Mais ce n'est pas convaincant.
- changer les règles de la logique : par exemple la logique intuitionniste refuse le tiers-exclu. On a aussi la logique floue qui prétend établir une fonction de transition entre le vrai et le faux.

[invitec00162a9]

Je sais très bien que l'on trouve couramment le théorème d'incomplétude énoncé comme tu le dis, mais on trouve d'autres énoncés qui évitent le piège du mot "vrai" ou "vérité", comme celui du Wiki:

Ben oui, ce sont des formulations équivalentes. Celle que tu cites évite de se poser la question du sens du mot "vrai". Mais je peux te la retourner : ça veut dire quoi prouvable/réfutable ? On finira forcément par tomber sur le même problème que le sens de vrai/faux en cherchant le sens des mots jusqu'au bout.
Ce n'est pas parce que la formulation est différente que la question de fond disparaît, ce serait trop simple.