Non, là tu te trompes complètement. La notion de prouvable/réfutable est parfaitement claire et rigoureuse dans un système formel, et c'est bien sur ce sujet que porte le travail de Gödel.Envoyé par shahinshah
Ta réflexion laisse penser que tu ne vois pas ce qu'est un système formel, du moins pas de la même manière que je le vois...
Cordialement,
D'ailleurs il y a un gros problème de logique dans ta réponse.
être prouvé = démontrable
être réfuté = dont la négation est démontrable
Or tu utilises toi-même le terme "démontrable", en plus et différemment du terme "vrai".
Donc la formulation du Wiki n'utilise aucun concept que tu n'utilises pas
L'ajout du mot "vrai" est la source de la difficulté, il n'est pas remplacé par autre chose...
Cordialement,
Tu sais quoi ? L'une ou l'autre des ces 2 propositions (sans exclusive) doit être vraie
Sinon, je considère 2 atomes T (pour vrai) et F (pour faux, ce serait plutôt un T renversé mais je ne peux pas l'écrire), des variables, des connecteurs (ET, OU, NON, IMPLIQUE, IL EXISTE, QUELQUE SOIT). Une démonstration, c'est une tautologie et on doit aboutir à T. C'est encore plus rigoureux dans le calcul des séquents, mais c'est la même idée grosso modo.
OK, ce n'est pas présenté sous cette forme dans tous les cours de logique, mais ça devrait être équivalent.
pas d'axiome du choix, d'infini, mais où va-t-on? Sans réels, comment étudier des polynomes ayant des racines irrationnelles? sans les polynomes, il n'y a plus grand chose...Si quelqu'un avait trouvé, l'axiomatique ZF aurait un problème, et ça se saurait
Des exemples de quoi? De ce qu'on peut faire avec ZF sans l'axiome de l'infini? Il me semble que ce qu'on ne peut plus faire, c'est parler de l'ensemble des parties de N, donc des réels, du continu. Mais on dispose (il me semble) toujours de Q ou des algébriques...
bon sinon, en lisant les axiomes ZF, je ne vois pas de contradiction avec la construction de l'ensemble de tous les ensembles
as-tu un lien pour y jeter un oeil?C'est beaucoup plus subtil que ça. Tu te retrouves avec les entiers, aussi grand que l'on veut (pas de borne supérieure), mais les entiers ne forment pas un ensemble.
Soit, mais vois-tu comment le construire?
Je n'en ai pas trouvé sur les maths sans l'axiome de l'infini. Dans les trucs trouvés à droite à gauche, je trouve ce cours pas mal. La définition 3.14 est celle de Zfini, mais le sujet est peu développé. Mais le cours est intéressant dans son ensemble (as-tu un lien pour y jeter un oeil?) pour qui s'intéresse aux fondements des maths...
Cordialement,
sans axiome de l'infini?Soit, mais vois-tu comment le construire?
je me suis trompé, il y a une contradiction avec l'axiome de l'ensemble vide. Si l'ensemble de tous les ensembles existe, son complémentaire est forcément vide et n'est pas un ensemble. Ou alors l' "ensemble" vide n'existe pas
surement mais pas tout de suiteje trouve ce cours pas mal. Mais le cours est intéressant dans son ensemble ( ) pour qui s'intéresse aux fondements des maths...
Bonjour,
Je voudrais revenir sur ce point, parce que je pense que le sens de ma question sur le mot "vrai" n'était peut-être pas clair.
En fait, je ne suis pas sûr que ce soient des formulations équivalentes du théorème d'incomplétude.
Et je n'ai pas exprimé l'idée que le mot "vrai" dans la formulation citée par shahinshah ne puisse pas être défini. Le point est que, pour comprendre la non équivalence des deux formulations (si c'est le cas), il faut avoir une définition du mot "vrai", et je ne la comprend pas.
Donc le problème de fond ne disparaît pas nécessairement, sauf si justement on accepte que les deux formulations sont équivalentes. Mais je ne comprend pas assez les subtilités sous-jacentes pour me faire une idée si les deux formulations sont équivalentes ou non.
Cordialement,
Bonsoir,
j'ai deux livres de logique : le premier, "Logique mathématique" de René Cori et Daniel Lascar, énonce le théorème d'incomplétude sous la forme que tu as donnée (prouvable/réfutable).
Le deuxième, "Le point aveugle" de Jean-Yves Girard, l'énonce sous la forme que j'ai indiquée (énoncé vrai indémontrable), avec ce commentaire de Jean-Yves Girard : "Gödel préfère parler d'un énoncé indécidable dans T, ce qui a pour effet d'éviter toute mention de la notion épistomologiquement suspecte de vérité".
J'en déduis qu'on a là des formulations différentes mais équivalentes du théorème.
Cordialement.
Cf. mon précédent message. Je préfère la formulation qui utilise la notion de vérité car elle ne cherche pas à masquer le problème dans une bureaucratie de symboles. Je m'explique : la logique, les théorèmes de Gödel, etc, nous montrent qu'on doit faire face à 2 concepts opposés qui ont besoin l'un de l'autre pour se définir. Ils peuvent se manifester sous la forme vrai/faux, prouvable/réfutable, ou d'autres encore. On est obligé de faire appel l'esprit humain et au consensus des mathématiciens pour savoir duquel on parle car ils n'ont pas de définition intrinsèque. C'est dans ce sens que je dis que vouloir supprimer la difficulté des concepts vrai/faux ne fait que la reporter ailleurs, par exemple sur prouvable/réfutable. Ça a l'air plus rigoureux, mais je maintiens que ce n'est qu'une apparence due à des empilements de définitions et de symboles pour masquer la difficulté.
Je reprend ce que j'ai exprimé dans un autre message. Dans la formulation "vrai mais non démontrable", il apparaît deux concepts distincts. Comme je prends prouvable = démontrable, il n'est pas possible d'accepter cet énoncé si on a vrai = prouvable = démontrable.
Si les deux formulations sont équivalentes, alors il me semble que la seule interprétation est "vrai = non (l'opposé est démontrable)".
Alors, à mon avis, la formulation "il existe un énoncé qui n'est ni démontrable, ni d'opposé démontrable" est supérieure parce qu'elle ne fait appel qu'à une seule notion, démontrable. Et cette notion est définie approximativement comme "appartenir à l'ensemble des énoncés constructibles récursivement à partir des axiomes, selon les règles de construction de la (d'une) logique", ce qui est pour moi bêtement mécanique, donc rigoureux et exempt de toute interprétation. En particulier, toute assertion démontrable peut être démontrée en un temps fini par un ordinateur de capacité de mémoire suffisante.
Cordialement,
En calcul propositionnel, vrai et faux sont 2 valeurs.
Il est inutile de faire appel à l'esprit humain: sorti de tout contexte métamathématique, une machine peut très bien faire ce calcul sans se poser la question de savoir que vrai et faux sont deux concepts philosophiques.
Il arrive que dans une théorie donnée, une proposition ne soit pas calculable, elle est alors indécidable pour cette théorie...
Les références de J-Y Girard étant ce qu'elles sont, je pense qu'il n'y a pas lieu d'insister: il se lance dans une nouvelle théorie de la démontrabilité et il me semble inutile de débattre sans en savoir plus.
shahinshah nous présente de nouveaux résultats dans ce domaine, nous ne connaissons que les anciens. Point.
C'est le sens du mot "démontrable" qui n'est pas exactement le même entre nous. Et c'est pour cela qu'il y a apparemment une contradiction entre ce que nous disons. Pour ma part, je l'ai indiqué dans un message précédent : "démontrable" doit aboutir à "vrai", la réciproque étant fausse. Quand je dis que la dualité vrai/faux est équivalente à la dualité prouvable/réfutable, je ne dis pas du tout qu'on peut remplacer vrai par prouvable et faux par réfutable. Ce que j'affirme, c'est qu'il ne s'agit que d'un changement d'angle de vue de la même réalité.
Très bien, mais si je décide de considérer que ton "vrai" c'est mon "faux", et vice-versa ? J'obtiendrai la même cohérence, mais tous nos résultats seront inversés l'un par rapport à l'autre. Le seul argument valable que tu pourrais m'opposer, c'est celui de la mauvaise foi. Et là, paf, on tombe sur l'esprit humain et le consensus à respecter.
Je ne demande qu'à comprendre, mais la qualité du patacarbure est insuffisante pour mes épaisses membranes. En gros c'est "il existe vrai", mais je n'ai toujours pas vu quelque chose qui ressemblerait à une définition de cet existant, au sens minimum d'une tentative de faire passer une compréhension de ton esprit au mien...
De même tu proclame l'existence d'une différence de sens entre "démontrable" et "démontrable", mais je n'arrive pas à voir plus que cette proclamation.
Cordialement,
C'est bien là que je voulais en venir, en mathématiques ce sont les liens entre les objets qui ont une importance: le fait de considérer mon "vrai" comme ton "faux" n'est pas une opération mathématique. Ca n'a aucune incidence. Le fait que tu obtiennes la même cohérence en échangeant vrai et faux montre que la seule chose qui compte, c'est que "vrai" est différent de "faux".
Bonjour,
Sur cette question sur la différence entre "vrai" et "démontrable", certaines lectures me laissent penser qu'il y a une différence entre A et non(non(A)), et que c'est là que se cache la différence.
Mais je ne comprend pas bien pourquoi.
Dans le cas d'un quantificateur quel-que-soit, j'ai une vague intuition que l'exprimer comme "il n'est pas possible de trouver un contre-exemple à A" n'est pas la même chose que A.
Si quelqu'un soit pouvait confirmer que c'est la bonne piste pour cette question vrai vs. démontrable, on donner un meilleur éclairage sur ce point?
Cordialement,
Bonjour, Ça me rappelle les tractions Citroën: on pouvait les acheter de la couleur qu'on voulait, à condition que celle-ci soit noire.
L'assertion "toutes les tractions sont noires" était donc vraie, mais non démontrable, un quidam pouvant repeindre la sienne en couleur fraise écrasée.
Suis-je à côté de la question?
"Le droit de dire et d'exprimer ce que nous pensons est le droit de tout homme libre, dont on ne saurait le priver sans exercer la tyrannie la plus odieuse. Voltaire."
Amicalement paulb.
Il faudrait que tu donnes ta définition exacte de "démontrable".
Maintenant, je ne te cache pas qu'on risque de se retrouver alors dans les tréfonds de la théorie de la démonstration (et je ne sais pas comment écrire tous les symboles utilisés via l'interface web, sans parler de mon impossibilité d'envoyer des messages un peu longs).
Entièrement d'accord, mais si tu t'avises de publier un article mathématique où tu as inversé le sens de vrai et faux, il aura beau être cohérent, je pense que tu vas passer un certain temps à expliquer ton choix. C'est à cela que je fais référence quand je parle de consensus. Idem si t'es étudiant en maths et que tu rends un devoir de maths de la même manière : t'as intérêt à ce que ta définition coïncide avec celle du prof, même si ce n'est pas une opération mathématique.
Bienvenu dans la logique intuitionniste inventée par Brouwer pour contrer justement le problème posé par le théorème d'incomplétude.
Cette logique rejette le tiers-exclu. Et on a aussi que A et non(non(A)) sont a priori différents. Cette dernière propriété laisse entendre que la logique intuitionniste a un pouvoir d'expression inférieure à la logique classique. Toutefois, si on identifie A et non(non(A)), on donne à la logique intuitionniste le même pouvoir que la logique classique.
Pas mal, y a peu de cela dans notre discussion. Car du coup, se pose la question de savoir si une traction rose est toujours une traction Citroën (la vraie, la seule, la noire).
Bonjour,
Je suis tombé sur ce vieux fil par hasard, je me fais donc un plaisir d'y ajouter ma pierre (pour que les choses soient claires, je n'ai rien lu dans ce que tu as écrit que je ne cautionne pas, en tout cas dans le fond).
En remarque liminaire, je veux préciser que je ne parle que la logique classique du permier ordre (celle dont parle le théorème de Gödel), et donc en particulier pas de l'intuitionisme.
Définition : Une théorie est l'ensemble des propositions qui peuvent se construire à l'aide des axiomes de cette théorie et de l'application des règles d'inférence de la logique, ces propositions sont les théorèmes de la théorie (en particulier, avec cette définition, les axiomes sont des théorèmes). On peut définir une notion formel du "vrai" et du "faux" à partir de cela (mais ce vocabulaire est risqué comme le montre cette discussion).
Certaines propositions ne sont pas des théorèmes d'une théorie et leur négation non plus, ce sont les propositions indécidables.
Dans ce cadre, et avec ces définitions, dire qu'une proposition est vraie mais indécidable pour une théorie donnée n'a pas de sens.
Par contre il existe une notion tout à fait passée sous silence dans cette discussion : celle de modèle d'une théorie. Or dans un modèle, qui est une "réalisation" de la théorie, les propositions sont vraies ou fausses (ce qui ne veut pas dire démontrables), et donc on peut dire sans que cela me choque écrire qu'une proposition est vraie dans un modèle mais indémontrable.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Bonsoir à vous tous.
J'ai un peu de mal avec la contradiction de Russel dont la théorie des ensembles de Cantor découle: "l'ensemble des ensembles n'appartenant pas à eux-mêmes appartient-il à lui-même ?"
Auriez-vous un exemple d'ensemble qui soit un élément de lui même ?
A par l'ensemble des ensembles, je ne vois pas...
Bon, je viens d'avancer dans l'article, et il est justement question de la possibilité qu'un ensemble puisse appartenir à lui-même ou pas, de la théorie des types de Russel, et d'autres moyens de remédier à cela.Bref, à vouloir être trop curieux, on en oublie trop vite de lire la suite
ben justement, si je posais : soit A l'ensemble egal a {1,2,A}, on aurait bien un ensemble element de lui meme. le paradoxe de russel dit justement que ca n'est pas possible.Bon, je viens d'avancer dans l'article, et il est justement question de la possibilité qu'un ensemble puisse appartenir à lui-même ou pas, de la théorie des types de Russel, et d'autres moyens de remédier à cela.Bref, à vouloir être trop curieux, on en oublie trop vite de lire la suite
Oui, je suis d'accord avec toi.
