Première supposition fausse en mathématiques

[invite255b7557]

Bonjour a tous

Voila c'est une théorie que quelqu'un (!!)a dit a ma tante qui a un DESS de psychologue pendant ses études vers 1970 donc.
Il paraitrait que la premiere supposition sur laquelle sont basées les mathématiques est fausse

Je vous excuse si vous restez sceptiques.
Cela leur aurait était dit (aux premieres années)pour les deculpabiliser par rapport aux sciences exactes, histoires qu'ils ne s'en veulent pas de gagner de l'argent eux aussi lol ...

Etant moi meme en 2eme année de Licence Math-Info je n'ai jamais rien étudié pour l'instant qui pourrait ressembler a une supposition primitive et generatrice de toutes les maths !!

Je pense donc que cette malencontreuse phrase est surtout une vaste betise destinée à démotiver des etudiants parfois deja demotivés ou alors a pourrir une science par rapport a un autre domaine. C'est un peu comme les gens qui opposent la religion et la cosmologie (autre debat) et connaissant ma tante qui a tendance a toujours affirmer des trucs sans les avoir verifiés avant je me mefie ...

Mais voila je n'arrive pas a lui faire entendre raison qui me rabbache ca a chaque coup de fils.

Qu'en pensez vous ??
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[invité576543]

Bonjour,

Si on cherche vraiment ce sur quoi sont "basées" les mathématiques, on ne trouvera rien auquel on puisse attribuer l'adjectif "faux", et rien auquel on puisse attribuer l'adjectif "vrai".

Et associer sciences exactes avec "vrai" est un contre-sens...

Cordialement,

[invite88ef51f0]

Salut,
J'aurais tendance à être d'accord avec toi.

De toute façon, on ne peut pas dire qu'un postulat est faux, car par définition d'un postulat il est vrai.
Le mieux qu'on puisse demande à des postulats et à un cadre particulier des mathématiques, c'est d'être cohérent (dans le sens que tu peux pas montrer une chose et son contraire).

Par contre, l'affirmation de ta tante est peut-être une version très déformée du théorème d'incomplétude de Gödel qui montre en gros que dans tout cadre mathématique cohérent il y a toujours des propositions qu'on ne peut ni démontrer ni infirmer.

Bon, je pense que les matheux t'en parleront mieux que moi.

[invite3bc71fae]

Les sciences exactes sont les seules à avoir mis en doute l'évidence.
Les axiomes sur lesquels se fondent les mathématiques ne sont pas démontrables, tout simplement parce qu'il faudrait un substrat pour les démontrer et que les mathématiques modernes sont partis de rien...
En gros, il y a des choses comme "Par deux points, il passe une et une seule droite" qui sont déclarées vraies et fondatrices d'une théorie mathématique (ici la géométrie euclidienne). Ce sont pour certaines des évidences dues à notre perception du monde physique. Si cette perception est fausse, les mathématiques ne permettent pas de décrire le monde physique, mais dans leur structure interne, les mathématiques sont nécessairement cohérentes.
Le mathématicien a conscience de travailler à partir d'une base de propositions invérifiables.
Malgré tous leurs rêves, les philosophes sont empétrés avec le langage humain dont ils ne peuvent s'abstraire et la structure de leurs théories sont bien moins consistantes que celle des mathématiciens qui ont au moins essayé d'adapté leur langage à l'objet étudié.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jiherve]

Bonjour
Ce serait y pas du Gödel mal assimilé ?
JR

[invite255b7557]

voila j'ai plus d'informations (merci le telephone) :
en comparant la psychanalyse et les sciences exactes comme les mathematiques on pourrait se dire que les sciences humaines sont indemontrables et ce professeur agrégé de mathématiques reconverti vers la psycho en fait qui leur avait dit ca ne voulaient pas que ses eleves se sentent devalorisés par rapport aux autres.
c'etait plutot indemontrable que faux quelle entendait
merci pour vos reponses ...

[moijdikssékool]

si en partant de postulats tu arrives à des contradictions, tu as démontré que tes postulats sont faux, que ce sont des hypothèses absurdes. Tout est ensuite dans l'art d'interpréter des contradictions, des paradoxes: si tu juges que ta théorie peut accepter des paradoxes, les hypothèses de départ restent vraies... jusqu'à ce que tu en trouves de meilleures
on peut aussi obtenir des résultats 'vrais' qui vérifient des postulats 'vrais' mais qui sont en fait faux
On peut même imaginer que des résultats, des faits réels ne peuvent être obtenus qu'à l'aide d'hypothèses absurdes (car alors un résultat absurde n'est pas si absurde que cela s'il vérifie des hypothèses absurdes)

[invité576543]

si en partant de postulats tu arrives à des contradictions, tu as démontré que tes postulats sont faux, que ce sont des hypothèses absurdes.

Pas "faux" ni "absurdes", juste contradictoires et donc sans utilité, puisque toute assertion ou son contraire peut alors être démontrée.

Tout est ensuite dans l'art d'interpréter des contradictions, des paradoxes: si tu juges que ta théorie peut accepter des paradoxes, les hypothèses de départ restent vraies... jusqu'à ce que tu en trouves de meilleures

En maths, si une liste d'axiomes est contradictoire, on l'abandonne. Point.

Cordialement,

[invited494020f]

Bonjour,

L'affirmation de la tante méconnaît l'essence même des maths.

Celles-ci sont une construction ex nihilo de l'esprit humain, qui avait besoin d'un outil qui lui permette de comprendre le monde qui l'entoure et, si possible, connaissant ce qui est, deviner ce qui se passera dans l'avenir.

Peu importe si un outil est "vrai" ou "faux", du moment qu'il permet de faire un travail convenable. C'est, je crois, le cas des maths.

Prévisionniste : "C'est celui qui nous expliquera demain pourquoi ce qu'il a prévu hier n'est pas arrivé aujourd'hui."(Souffleux)
Amicalement paulb.

[moijdikssékool]

En maths, si une liste d'axiomes est contradictoire, on l'abandonne. Point.

s'ils sont trivialement contradictoires oui, mais si au cours d'une très longue démonstration (comme la physique et certaines observations incompréhensibles) on arrive à des résultats peu convaincant, on peut commencer à se douter des hypothèses faites (un article sur Futura exposait l'exemple de ce chercheur qui centralisait toutes les données actuelles pour chercher un déséquilibre entre 2 'trucs' -je ne sais plus lesquels- que nous supposons symétriques; ce chercheur suppose que des hypothèses très basiques sont fausses)

[invité576543]

s'ils sont trivialement contradictoires oui, mais si au cours d'une très longue démonstration (comme la physique et certaines observations incompréhensibles) on arrive à des résultats peu convaincant, on peut commencer à se douter des hypothèses faites

Je ne te suis pas. Tu parles de maths ou d'application des maths (comme la physique)?

Dans le cas des maths, il n'y a pas de zone floue, "peu convaincante", soit une contradiction est montrée, soit elle ne l'est pas.

Cordialement,

[invitec00162a9]

Les maths ne se comportent pas comme la physique certes. Il n'empêchent qu'elles ont leurs zones floues, mais c'est des zones floues nettes si on veut.

Il faut toujours se placer dans le cadre d'une théorie, par exemple l'arithmétique de Peano, ou bien la théorie des ensembles, avec ou sans axiome du choix, etc.
On a plusieurs types d'énoncés :
1) les énoncés démontrables dans le cadre de la théorie considérée, ce sont les énoncés usuels.

2) les énoncés indémontrables, ils sont d'office vrais sinon la théorie serait contradictoire.

3) les énoncés indécidables, dont on ne peut pas prouver la véracité ou la fausseté dans le cadre de cette théorie.

[invite9c9b9968]

Et en quoi c'est flou ? On a prouvé au sein de l'axiomatique que tel énoncé est indécidable, cela ne signifie pas que l'axiomatique est non-cohérente.


Ce que disait mmy, c'est que si au sein d'une axiomatique tu arrives à une contradiction fondamentale avec l'un des axiomes de base, tu abandonnes l'axiomatique.

[invité576543]

2) les énoncés indémontrables, ils sont d'office vrais sinon la théorie serait contradictoire.

3) les énoncés indécidables, dont on ne peut pas prouver la véracité ou la fausseté dans le cadre de cette théorie.

Vu que tu proposes "vrai" pour les indémontrables, ça ne veut pas dire "dont l'inverse est démontrable"!

Quelle différence fais-tu alors entre "indécidable" et "indémontrable"?

Précisons que, à mon sens (mais c'est un choix sémantique), un axiome est démontrable. Démontrable veut dire dans ce cas "dérivable par les règles de dérivations" des axiomes. Or un axiome est trivialement dérivable d'un axiome!

(Considérer un axiome démontrable permet de ne pas changer la liste de ce qui est démontrable en passant d'un jeu d'axiomes à un autre jeu d'axiomes équivalent.)

Et au passage, la liste de ce qui est postulé dans une axiomatique ne se limite pas aux axiomes, mais comprend aussi toutes les règles de production, ce qui est mis en oeuvre sous le vocable "démontrer"... D'une certaine manière, un axiome est une règle de production particulière.

Il n'empêchent qu'elles ont leurs zones floues, mais c'est des zones floues nettes si on veut.

Et c'est quoi une zone floue des maths? Indécidable, certainement pas: ce n'est pas flou du tout, c'est aussi clair que "démontrée"!

Reste les assertions non encore classées, ni démontrées, ni dont l'inverse est démontrée, ni dont l'indécidabilité est démontrée. Le domaine de la recherche, quoi. C'est cela ton "flou"?

Cordialement,

[moijdikssékool]

Je ne te suis pas. Tu parles de maths ou d'application des maths (comme la physique)?

la physique s'appuie sur les maths. Si une application donne des résultats faux, on pourrait aller jusqu'à penser que certains outils mathématiques sont faux

Et c'est quoi une zone floue des maths?

l'ensemble de tous les ensembles n'est pas un ensemble. N'est-ce pas là un peu flou?

[JPL]

la physique s'appuie sur les maths. Si une application donne des résultats faux, on pourrait aller jusqu'à penser que certains outils mathématiques sont faux

Jusqu'à présent, quand un problème de ce genre s'est présenté on en a toujours déduit que c'était la théorie physique qui n'était pas au point ! La "vérité" d'une règle mathématique ne dépend pas de l'expérimentation.

[invité576543]

la physique s'appuie sur les maths. Si une application donne des résultats faux, on pourrait aller jusqu'à penser que certains outils mathématiques sont faux

C'est aller un peu vite aux conclusions, non? Le problème d'une application est qu'elle implique trois parties distinctes: la transcription en langage mathématique, le travail sur le modèle mathématique, et la transcription inverse des résultats modélisés à ce à quoi on applique le modèle. Les étapes initiales et finales sont de loin les plus subtiles, et en général la cohérence du modèle est bien plus solide que l'application du modèle...

EDIT: Même idée que JPL, en plus alambiqué...

l'ensemble de tous les ensembles n'est pas un ensemble. N'est-ce pas là un peu flou?

Non, pas du tout. Tu l'exprimes de manière erronnée, ce qui fait que le langage commun donne l'impression d'un paradoxe. Ce problème est ancien, et a été bien analysé, et une approche satisfaisante à la notion d'ensemble a été proposée il y a un peu moins d'un siècle.

En gros c'est comme si tu disais que la physique est floue en prenant comme exemple l'incohérence entre l'expérience de Michelson-Morley et la mécanique de Newton. Ca a été un domaine de recherche à son époque, mais ça date un peu...

Cordialement,

PS: Sais-tu que l'on peut faire des maths en refusant l'axiome de l'infini? Alors les entiers ne forment pas un ensemble...

[invitec00162a9]

La différence est bien celle que j'ai donnée :
* un énoncé indémontrable est un énoncé qu'on ne peut pas déduire des axiomes de la théorie. Un tel énoncé est pourtant vrai, car sinon, la théorie serait contradictoire. C'est en fait une conséquence du théorème d'incomplétude de Gödel.

* un énoncé indécidable est un énoncé qui n'est pas démontrable, et sa négation non plus. On peut l'ajouter ou le retrancher à la liste des axiomes de base sans rendre la théorie contradictoire, c'est par exemple l'hypothèse du continu.

Il faut bien voir que vrai et démontrable, ce n'est pas la même chose en mathématique

[erik]

La différence que tu fais entre les deux termes n'est pas claire :

* un énoncé indémontrable est un énoncé qu'on ne peut pas déduire des axiomes de la théorie.(1ere def)

C'est donc un

un énoncé qui n'est pas démontrable (2e def)

c'est à dire un indécidable et :

un énoncé indécidable est un énoncé qui n'est pas démontrable (2e def)

c'est à dire

un énoncé qu'on ne peut pas déduire des axiomes de la théorie. (1ere def)

donc indémontrable
??!!

[erik]

Excuse moi je viens de comprendre la nuance que tu fais.

Pour toi un indémontrable est un énoncé qui est vrai, car sans quoi la théorie serait contradictoire.

[invite3bc71fae]

En quoi imposer comme valeur de vérité la valeur vraie à un énoncé indémontrable peut-il permettre de rendre une théorie consistante ?

[erik]

Je pense que shahinsha appelle indémontrable un énoncé du type "Ma théorie est consistante" (en supposant que cette phrase soit un théorème de la théorie considérée). La phrase n'est pas démontrable à l'intérieur de la théorie et il est évidemment nécessaire de la considérer comme vrai sans quoi la théorie n'est pas consistante.

A l'opposé shahinsha doit certainement appeler le 5éme postulat d'Euclide un indécidable, car on peut le rajouter ou l'exclure à volonté (et obtenir deux theories, chacunes consistantes)

[invite3bc71fae]

* un énoncé indémontrable est un énoncé qu'on ne peut pas déduire des axiomes de la théorie. Un tel énoncé est pourtant vrai, car sinon, la théorie serait contradictoire. C'est en fait une conséquence du théorème d'incomplétude de Gödel.

En fait, je pense que c'est juste sa formulation qui me dérange, en lisant ceci, j'ai l'impression que shahinshah dit qu'un énoncé indémontrable dans une théorie T est nécessairement vraie pour que la théorie soit consistante. Ce que je n'avais pas compris en lisant des articles sur Gödel. J'avais seulement compris qu'il existe nécessairement pour chaque théorie (vérifiant certaines propriétés) un énoncé exprimable dans la théorie qui ne soit pas démontrable...

[invite42160c28]

Ce que je lis depuis la seconde partie ne donne rien..du lettrage qui ne dit rien, qui verbalise, qui ramène à une seconde personne.. en fait, énoncez le problème et l' on verra..vrai..démontrable on ne dit rien depuis le début..
langage de politicien..

[invited494020f]

Bonjour, au lieu d'énoncer des théories, examinons un cas précis.

Petite question pour la Saint Sylvestre:

En partant de l'hypothèse que ni l'espace, ni le temps ne sont continus, donc par conséquent qu'une distance nulle et une durée nulle n'existent pas, peut-on construire une théorie mathématique 1/ cohérente et 2/capable de décrire p. ex. les phénomènes physiques observés, aussi bien en RG qu'en MQ ?

"Le droit de dire et d'exprimer ce que nous pensons est le droit de tout homme libre, dont on ne saurait le priver sans exercer la tyrannie la plus odieuse. Voltaire."
Amicalement paulb.

[invited494020f]

Note:
Cette théorie mathématique serait la bienvenue par les ordinateurs, qui ignorent l'infini et détestent la division par 0! paulb.

[invité576543]

En partant de l'hypothèse que ni l'espace, ni le temps ne sont continus, donc par conséquent qu'une distance nulle et une durée nulle n'existent pas, peut-on construire une théorie mathématique 1/ cohérente et 2/capable de décrire p. ex. les phénomènes physiques observés, aussi bien en RG qu'en MQ ?

J'ai une vague réminiscence de l'existence de quelques physiciens dont le propos est de reconstruire les modèles sans infini. Mais je n'arriva pas à retrouver de traces de cela. Associée à ces vagues réminiscences est l'idée qu'il n'y a pas d'impossibilité, mais que le modèle résultant est difficile à manipuler...

Sinon, pour les mathématiques, à ce que j'en comprends il n'y a pas de difficulté à avoir une théorie cohérente, disons au moins aussi cohérente que ce que l'on a, puisqu'il suffit d'enlever un axiome, à savoir celui de l'infini. Si ma compréhension est correcte, alors les entiers ne forment plus un ensemble (selon le même "sens" que dans ZF avec infini, les ordinaux ou les cardinaux ne forment pas des ensembles), ce qui restreint quelque peu ce que la théorie contient...

Cordialement,

[invité576543]

Note:
Cette théorie mathématique serait la bienvenue par les ordinateurs, qui ignorent l'infini et détestent la division par 0! paulb.

Mais réciproquement, la théorie de la calculabilité, dont les ordinateurs sont l'incarnation, est exactement la théorie que tu cherches! Les ordinateurs (ou plutôt les logiciels) sont équivalents à leur propre théorie, puisque ce sont des systèmes formels. Et ils ne contiennent rien qui corresponde à l'axiome de l'infini si on limite la notion de "résultat de calcul" à quelque chose d'obtenu dans un temps fini, ce qui est la seule utilisation pratique possible des ordinateurs...

Cordialement,

Note: Les maths n'ignorent pas l'infini, mais détestent tout autant la division par 0 dans des corps comme R ou C. Il y a une différence fondamentale entre 0 et un infiniment petit...

[invitef591ed4b]

* un énoncé indémontrable est un énoncé qu'on ne peut pas déduire des axiomes de la théorie. Un tel énoncé est pourtant vrai, car sinon, la théorie serait contradictoire. C'est en fait une conséquence du théorème d'incomplétude de Gödel.

* un énoncé indécidable est un énoncé qui n'est pas démontrable, et sa négation non plus. On peut l'ajouter ou le retrancher à la liste des axiomes de base sans rendre la théorie contradictoire, c'est par exemple l'hypothèse du continu.

Euh ne pas être déductible de la théorie, c'est exactement être indécidable. Donc selon ton message, on a simplement que indémontrable = indécidable ...

Or comme tu dis, une proposition indécidable peut être arbitrairement décidée comme vraie ou fausse et ajoutée aux axiomes.

Donc d'où viendrait le fait qu'une telle proposition soit pourtant vraie ? :/ À moins que tu ne considères une proposition de type "méta-mathématique" (du genre la proposition "ce système formel est inconsistant"). Mais là, ce n'est qu'un cas particulier de proposition indécidable, une telle proposition n'est pas nécessairement vraie.

[moijdikssékool]

C'est aller un peu vite aux conclusions, non?

peut-être!

Non, pas du tout. Tu l'exprimes de manière erronnée, ce qui fait que le langage commun donne l'impression d'un paradoxe. Ce problème est ancien, et a été bien analysé, et une approche satisfaisante à la notion d'ensemble a été proposée il y a un peu moins d'un siècle

en disant par exemple que le complémentaire de l'ensemble de tous les ensembles est aussi un ensemble et de conclure que l'ensemble de tous les ensembles n'existe pas?
bon, vu ta remarque sur l'infini, on pourrait de toute façon mettre de côté ce genre de paradoxe vu que la physique pour laquelle on a créé les maths mets de côté l'infini. Et une théorie mathématique sans axiome de l'infini peut se passer de la notion de plus grand élément?

Ce que je lis depuis la seconde partie ne donne rien..du lettrage qui ne dit rien, qui verbalise, qui ramène à une seconde personne.. en fait, énoncez le problème et l' on verra..vrai..démontrable on ne dit rien depuis le début.. langage de politicien..

bon perso je ne vois pas où nous mène cette discusion mais c'est pas grave. Et tu peux ma foi relever le niveau si tu le désires!