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0,999... = 1 et 0/0 = 1



  1. #31
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1


    ------

    Citation Envoyé par lardoninho Voir le message
    Merci Gwyddon !!!

    je ne savais pas cette propriétée des réels!! peut être que les optionaires maths ont fait sa cette année .... moi je l'apprend aujourd'hui^^

    Et effectivement c'était pas de mon niveau la fin de ton message lol

    Et au passage je suis nouveau comme tu as pu le remarqué et c'est exellent ce forum franchment j'adore !!

    merci encore !! ciao
    meme sans aller jusqu'aux reels, ca marche deja avec les rationnels..

    si x et y sont 2 rationnels (resp. reels) differents, alors x+(y-x)/2 est encore un rationnel (resp. reel) qui est bien coincé entre les 2.. essaie de visualiser les choses, tu mets 2 points sur une droite, n'importe ou, mais pas les 2 au meme endroit. tu zoomes a mort, ya bien un moment ou tu vas voir un petit espace entre les 2. tu plantes un nombre dans ce petit intervalle libre, et c'est reglé

    -----

  2. #32
    Gwyddon

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Effectivement ça marche très bien pour les rationnels aussi.. Désolé de n'y avoir pas pensé
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  3. #33
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    le probleme est que dans l'enseble des reels tu ne pourras pas definir le reel immédiatement inférieur ou supérieur. c'est fesable pour les entiers et pour les rationnels mais pas pour les reels.
    La preuve que si : 0.9| et 1. C'est pourquoi je faisais allusion au confort de la notation...
    (ne me frappez pas, il va peut-être falloir que je révise mes maths...)
    Dernière modification par Javel ; 07/06/2007 à 01h01. Motif: précision

  4. #34
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Gwyddon Voir le message
    Effectivement ça marche très bien pour les rationnels aussi.. Désolé de n'y avoir pas pensé
    de toute facon peu de gens voient la difference (d'ou le probleme pour comprendre 0.999...=1, d'ailleurs ), et puis la c'est justement important qu'on se place dans les reels. m'enfin c'etait le reflexe de base de matheux, toujours etre le plus general : si c'est vrai pour les rationnels, ca l'est a fortiori pour les reels, et je me suis dit que ca serait plus simple a comprendre...

    au passage, pour ceux que ca interresse, on peut aussi mixer les 2 :

    -entre 2 reels il y a toujours un rationnel
    -entre 2 rationnels il y a toujours un reel...

    pourtant il y a infiniment moins de rationnels que de reels...

  5. #35
    lardoninho

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    meme sans aller jusqu'aux reels, ca marche deja avec les rationnels..

    essaie de visualiser les choses, tu mets 2 points sur une droite, n'importe ou, mais pas les 2 au meme endroit. tu zoomes a mort, ya bien un moment ou tu vas voir un petit espace entre les 2. tu plantes un nombre dans ce petit intervalle libre, et c'est reglé

    Oui je suis d'accord ! c'est bien illustré la c'est sur que j'ai commpri !!

    merci

  6. #36
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    La preuve que si : 0.9| et 1. C'est pourquoi je faisais allusion au confort de la notation...
    la preuve que non : 0.9| est egal a 1, il ne lui est pas immediatement inferieur.

  7. #37
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par einstein
    le probleme est que dans l'enseble des reels tu ne pourras pas definir le reel immédiatement inférieur ou supérieur. c'est fesable pour les entiers et pour les rationnels mais pas pour les reels.
    au passage, einstein, ca n'est pas vraiment faisable pour les rationnels non plus.. pas de maniere aussi naturelle que pour les entiers, en tout cas.

  8. #38
    Gwyddon

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    au passage, pour ceux que ca interresse, on peut aussi mixer les 2 :

    -entre 2 reels il y a toujours un rationnel
    -entre 2 rationnels il y a toujours un reel...

    pourtant il y a infiniment moins de rationnels que de reels...
    On appelle cela la densité de l'ensemble des rationnels dans l'ensemble des réels, pour ceux que ça intéresse aussi (et c'est une propriété topologique)
    A quitté FuturaSciences. Merci de ne PAS me contacter par MP.

  9. #39
    ABN84

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    au passage, einstein, ca n'est pas vraiment faisable pour les rationnels non plus
    en effet, tu as raison. d'ailleur 0.9l est un rationnel avant d'etre un reel, vu qu'il possède un repetition periodique (le 9).

    La preuve que si : 0.9| et 1. C'est pourquoi je faisais allusion au confort de la notation...
    ok! dans ce cas quel serait le reel immediatement inferieur à pi, à rac(2), ou à 0.9l ?
    "Engineering is the art of making what you want from what you get"

  10. #40
    Médiat

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    d'ailleur 0.9l est un rationnel avant d'etre un reel, vu qu'il possède un repetition periodique (le 9).
    C'est même un entier puisqu'il est égal à 1.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  11. #41
    Petithassane

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Bou...
    Cela devient compliqué.

    En fait à la base, je crois qu' il y a un affaire de notation, et plus exactement une confusion dans la notatipn, la manière d' écrire les nombres.
    Je m' explique :
    quand on écrit " 0,999... " ou " 0,9| " , en fait on écrit pas un nombre précis, fixe. On écrit une limite, la limite de U(n) quand n tend vers l' infini, avec U(n)=1-10^-n.
    De même dx est la limite de f(x)=1/x quand x tend vers l' infini.

    Commentaire personnel :
    Le monde abstrait est lié au monde concret. On ne peut pas dire n' importe quoi dans l' abstrait. Il se peut qu' en mathématique l' infini n' existe pas, sinon les math seraient inintelligibles ou ne pourraient exister.
    Exemple :
    Si vous voulez écrire le nombre fixe " 0,999..." , prenez un très grand papier et un très grand crayon et écrivez le zéro, la virgule puis l' infinité de "9" qui suit, mais écrivez la entièrement cette infinité de "9".
    Vous ne pourrez pas, car on atteint jamais l' infini.
    Ici il faut remarquer que l' abstrait rejoint le concret : le concret dit "vous ne pouvez pas écrire une infinité de 9, donc ce que vous dites de manière abstraite est faux !".
    Réfléchissez. Les points afines sont de dimension nulle, mais quand on les aligne les uns derrière les autres ils finissent par former un segment de droite. Avec le nombre zéro, pas moyen. Vous pouvez ajouter autant de zéro que vous voulez, ça fera toujours zéro, et vous resterez sur place.
    A moins que vous ne multipliez zéro par l' infini (nombre qui n' existe pas) et le résultat sera indéterminable.

    Entre 0,9| et 1 , il n' y a pas qu' un nombre, il y en a une infinité rapport au fait que Q et R sont denses.

    Fausse démonstration encore plus simple :
    1/3 = 0,333... donc
    1/3 x 3 = 0,333... x 3 donc
    1 = 0,999...

    Mais 0,999... veut dire limite de U(n)=1-10^-n, quand n tend vers l' infini et comme l' infini n' existe pas, U(n) n' atteint jamais "1".
    C' est une vue de l' esprit comme le disait quelqu' un plus haut.


    ______________________________ __________________
    Je fausse peremptoirement tout ce qui est affirmé !

  12. #42
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    quand on écrit " 0,999... " ou " 0,9| " , en fait on écrit pas un nombre précis, fixe. On écrit une limite, la limite de U(n) quand n tend vers l' infini, avec U(n)=1-10^-n.
    mais une limite est un nombre, donc on ecrit bien un nombre precis et fixe.
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    De même dx est la limite de f(x)=1/x quand x tend vers l' infini.
    non, pas du tout. dx tout seul ca ne veut rien dire, et la limite de t suite c'est 0. est ce que 0 n'est pas un nombre fixe ?
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Si vous voulez écrire le nombre fixe " 0,999..." , prenez un très grand papier et un très grand crayon et écrivez le zéro, la virgule puis l' infinité de "9" qui suit, mais écrivez la entièrement cette infinité de "9". Vous ne pourrez pas, car on atteint jamais l' infini.
    et alors ? qu'est ce que ca change ? nous avec nos petite mains on y arrive pas, mais en maths on peut.
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Entre 0,9| et 1 , il n' y a pas qu' un nombre, il y en a une infinité rapport au fait que Q et R sont denses.
    ah bon ? prouve le c'est justement parce que Q est dense dans R que l'ecriture 0.9|=1 a un sens.
    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Mais 0,999... veut dire limite de U(n)=1-10^-n, quand n tend vers l' infini et comme l' infini n' existe pas, U(n) n' atteint jamais "1".
    C' est une vue de l' esprit comme le disait quelqu' un plus haut.
    et 2 ca existe ? non, c'est un concept, c'est la quantité purement abstraite qu'ont en commun tous les ensembles de 2 objets.
    je veux bien que tout depende de ta definition "d'exister", mais si on va par là, le jaune par exemple n'existe pas non plus, puisque ce n'est pas concret, une couleur.

    donc en gros, en maths l'infini existe, est accessible, manipulable, il existe meme une hierarchie precise des infinis, differentes "natures" d'infini toussa....

  13. #43
    Rann

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Bonjour,
    Une petite reflexion gratuite sur ce genre d'argument arithmétique.
    On peut faire dire ce que l'on veut au chiffre en utilisant la raison mathématique, d'où tout à coup un doute sur certaines équations descriptives d'un état (genre champs, jauge...)
    si 0,99 est égal à 1 je n'aurais jamais plus confiance en vous

  14. #44
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Rann Voir le message
    Bonjour,
    Une petite reflexion gratuite sur ce genre d'argument arithmétique.
    On peut faire dire ce que l'on veut au chiffre en utilisant la raison mathématique, d'où tout à coup un doute sur certaines équations descriptives d'un état (genre champs, jauge...)
    si 0,99 est égal à 1 je n'aurais jamais plus confiance en vous
    euh, tu peux detailler ?

  15. #45
    invite431

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Petithassane Voir le message
    Il se peut qu' en mathématique l' infini n' existe pas, sinon les math seraient inintelligibles ou ne pourraient exister.
    Les maths, le seul "monde" où l'infini existe, ce qui les rend intelligible, encore faut-il préciser de quel infini on parle.

  16. #46
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    la preuve que non : 0.9| est egal a 1, il ne lui est pas immediatement inferieur.
    S'appuyer sur le résultat pour justifier la démonstration n'est pas très convaincant.

    Citation Envoyé par einstein Voir le message
    ok! dans ce cas quel serait le reel immediatement inferieur à pi, à rac(2), ou à 0.9l ?
    Question piège : personne ne peut seulement s'imaginer la valeur exacte des nombres que tu viens de citer du fait de l'hétérogénéité des chiffres composant leur partie décimale, sauf pour 0.9| bien sûr. C'est pourquoi je parle de confort de notation.

    Il y a quelque chose qui me chiffonne toujours, veuillez pardonner ma hardiesse : j'ai toujours cru comprendre qu'un nombre multiplié par 10, c'est le même nombre décalé d'un chiffre vers la gauche et complété par un 0 et seulement par un 0.

    En écho à Einstein, à quoi pourrait bien ressembler alors un nombre infini multiplié par 10?

  17. #47
    Médiat

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    Il y a quelque chose qui me chiffonne toujours, veuillez pardonner ma hardiesse : j'ai toujours cru comprendre qu'un nombre multiplié par 10, c'est le même nombre décalé d'un chiffre vers la gauche et complété par un 0 et seulement par un 0.
    Par exemple 0,5 x 10 = 5 je n'ai pas l'impression d'avoir ajouté un 0 quelque part, me serais-je trompé ?

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    En écho à Einstein, à quoi pourrait bien ressembler alors un nombre infini multiplié par 10?
    C'est quoi un nombre infini dans IR, tu aurais un exemple ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  18. #48
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    S'appuyer sur le résultat pour justifier la démonstration n'est pas très convaincant.
    tu plaisantes j'espere c'est toi qui t'appuie sur le fait que 0.9| est different de 1 pour justifier le fait que 1 est le reel directement superieur a 0.9|.. je pointais juste le fait que 0.9| est egal à 1 et donc que ta demo ne tient pas... en gros tu voudrais avoir 2 reels differents, mais tels qu'on ne puisse pas caler un nombre entre les 2.... ca va pas etre simple !

    Question piège : personne ne peut seulement s'imaginer la valeur exacte des nombres que tu viens de citer du fait de l'hétérogénéité des chiffres composant leur partie décimale
    ceci parce qu'ils ont une ecriture decimale avec "exactement" une infinité de chiffre, pourquoi ce qui ne te choque pas pour Pi te choque pour 0.9| ?

    Il y a quelque chose qui me chiffonne toujours, veuillez pardonner ma hardiesse : j'ai toujours cru comprendre qu'un nombre multiplié par 10, c'est le même nombre décalé d'un chiffre vers la gauche et complété par un 0 et seulement par un 0.
    pas tout a fait, c'est vrai uniquement pour les nombres qui ont une ecriture fini, et tu conviendras que ce truc est plus un procede pratique de calcul qu'une definition de la multiplication par 10... mutliplie Pi par 10 et explique moi comment tu met un 0 "a la fin"

    en fait, l'idee de rajouter un 0 c'est juste pour qu'on aie "assez de chiffre" pour pouvoir decaler la virgule a droite. quand on en a une infinité le probleme ne se pose pas !

  19. #49
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Par exemple 0,5 x 10 = 5 je n'ai pas l'impression d'avoir ajouté un 0 quelque part, me serais-je trompé ?

    C'est quoi un nombre infini dans IR, tu aurais un exemple ?
    0.5 x 10 = 5.0

  20. #50
    Médiat

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    0.5 x 10 = 5.0
    Ah ! c'est ça, je me suis donc toujours trompé en pensant que 0,5 x 10 était égal à 5, mais ce qui me trouble c'est qu'alors 0,50 x 10 = 5,00 et ce n'est toujours pas égal à 5, ça va devenir compliqué les maths.
    Et puis 0,50 x 10 il faut que j'aille mettre un 0 après l'infinité de 0 qu'il y a dans 0,50, ça risque de me prendre du temps, et mon papier va sans doute être trop petit.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  21. #51
    GillesH38a

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    pour ceux qui ne sont toujours pas convaincu que 0,9|=1, si ces deux nombres sont différents, que vaut la moyenne entre les deux? comment l'écrivent-ils en écriture décimale?

  22. #52
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ah ! c'est ça, je me suis donc toujours trompé en pensant que 0,5 x 10 était égal à 5, mais ce qui me trouble c'est qu'alors 0,50 x 10 = 5,00 et ce n'est toujours pas égal à 5, ça va devenir compliqué les maths
    Au contraire, c'est très simple : je décale les chiffres de 0.5 vers la gauche et complète avec un 0.
    0.5 étant un nombre à deux "cases/chiffres", dirais-je, je décale les cases vers la gauche. Je me retrouve avec une case vide (la dernière) dans laquelle je place un 0 pour ne pas la laisser vide.

  23. #53
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    Au contraire, c'est très simple : je décale les chiffres de 0.5 vers la gauche et complète avec un 0.
    0.5 étant un nombre à deux "cases/chiffres", dirais-je, je décale les cases vers la gauche. Je me retrouve avec une case vide (la dernière) dans laquelle je place un 0 pour ne pas la laisser vide.
    est ce que tu as lu mes 2 dernieres reponses ?

  24. #54
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    est ce que tu as lu mes 2 dernieres reponses ?
    Tout à fait, mais je répondais à Mediat.

  25. #55
    Médiat

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    Je me retrouve avec une case vide (la dernière) dans laquelle je place un 0 pour ne pas la laisser vide.
    Pour reprendre la suggestion de jobherzt, c'est quoi la dernière case pour pi ou racine(2), ou 1/3 ou 0,50 ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  26. #56
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    Tout à fait, mais je répondais à Mediat.
    j'avais vu, merci, mais tes reponses a Mediat sont des repetitions de choses auxquelles j'avais essayé de repondre...

  27. #57
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    j'avais vu, merci, mais tes reponses a Mediat sont des repetitions de choses auxquelles j'avais essayé de repondre...
    Hé bien, je dois avouer que le débit de la conversation est assez difficile à suivre

  28. #58
    invite94988033

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pour reprendre la suggestion de jobherzt, c'est quoi la dernière case pour pi ou racine(2), ou 1/3 ou 0,50 ?
    Et donc qu'y a-t-il dans la dernière case de 0.9x10 ? Si l'on ne sait même pas ce qu'il y a dans la dernière case de 0.9 (puisqu'il n'a pas de dernière case), comment à fortiori une opération sur ce nombre pourrait nous éclairer?

  29. #59
    jobherzt

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par Javel Voir le message
    Et donc qu'y a-t-il dans la dernière case de 0.9x10 ? Si l'on ne sait même pas ce qu'il y a dans la dernière case de 0.9 (puisqu'il n'a pas de dernière case), comment à fortiori une opération sur ce nombre pourrait nous éclairer?
    justement, la remarque de mediat visait a te faire te rendre compte que dans les cas des nombres avec un developpement decimal infini il n'y a pas de derniere case, ce qui fait que ta conception de multiplication par 10 n'est pas complete, comme je te le faisais [b]justement(/b] remarquer dans un precedent message...

  30. #60
    Médiat

    Re : 0,999... = 1 et 0/0 = 1

    Citation Envoyé par jobherzt Voir le message
    ta conception de multiplication par 10 n'est pas complete
    Non seulement pas complète, mais sans intérêt :
    1) pour les nombres sans décimales : décaler les chiffres vers la gauche n'a pas de sens
    2) pour les nombres avec un nombre fini non nul de décimales : ajouter 0 à droite ne sert à rien
    3) pour les nombres avec un nombre infini de décimales : la méthode est inapplicable.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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