0,999... = 1 et 0/0 = 1

[invite048e1043]

Non seulement pas complète, mais sans intérêt :

Dur.

1) pour les nombres sans décimales : décaler les chiffres vers la gauche n'a pas de sens.

C'etait une tentative de généralisation de la procédure. Si je m'étais contenté de dire qu'il suffisait de rajouter un 0 à la fin, elle n'aurait été valable que pour les entiers.

2) pour les nombres avec un nombre fini non nul de décimales : ajouter 0 à droite ne sert à rien

Ca sert au moins à justifier la procédure...

3) pour les nombres avec un nombre infini de décimales : la méthode est inapplicable

... et c'est bien là où le bât blesse. Comment peut-on être sûr que 9.9 est bien le résultat de la mutiplication de 0.9 par 10, alors que la seule chose qui pourrait nous en assurer - ce fameux 0 à la fin du nombre - n'a aucune chance d'exister?
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[invitebe0cd90e]

alors que la seule chose qui pourrait nous en assurer - ce fameux 0 à la fin du nombre - n'a aucune chance d'exister?

pourquoi serait ce la seule chose qui pourrait nous en assurer ? la encore je t'ai dit dans un de mes precedents messages, qu'on peut corriger ton histoire de 0 en disant :

"multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite quitte à ajouter des 0 si necessaire".

je pense que c'est de ca dont tu veux parler. la multiplication par 10 de 0.9| peut se justifier formellement, mais si tu veux voir les choses, applique ce truc ci dessus.

on a un 0, une virgule et une infininté de 9. on decale la virgule a droite, on a donc :

un 9, une virgule... et toujours une infinité de 9, puisque l'infini est inepuisable ( )

d'ou acte.

[invite048e1043]

pourquoi serait ce la seule chose qui pourrait nous en assurer ?

Parce qu'une multiplication prend effet sur l'intégralité d'un nombre, et pas seulement sur son début. Si l'on se contente de déduire qu'un nombre est le multiple d'un autre nombre par dix seulement parce que le début de ces deux nombres est identique, et en en ignorant la fin, on est dans le contexte de l'erreur de calcul.

[invitec35bc9ea]

bonjour,
javel, ta methode (ajouter un 0), n'est valable que pour les entiers.
jobhertz t'a donné la facon rigoureuse et assez intuitive de definir la multiplication par 10 dans R:

multiplier par 10 revient à décaler la virgule d'un cran vers la droite

n'oublie pas que 1 c'est en realité 1,000... et donc 1,000...x10=10,000...
de meme pi x 10=31,41592... et de meme 0,999...x10=9,999...

[invitebe0cd90e]

Parce qu'une multiplication prend effet sur l'intégralité d'un nombre, et pas seulement sur son début. Si l'on se contente de déduire qu'un nombre est le multiple d'un autre nombre par dix seulement parce que le début de ces deux nombres est identique, et en en ignorant la fin, on est dans le contexte de l'erreur de calcul.

essaie de lire mon dernier message jusq'au bout, au lieu de t'empresser de citer la premier phrase qui te choque... (à tort, et largement d'ailleurs, on vient de t'expliquer dans tous les sens que ton histoire de 0 est limite fausse, au mieux maladroite, et tu persiste a dire que sans ca ca n'a pas de sens.)

donc lis mon precedent message jusqu'au bout

[Médiat]

Dur.

Tu as raison, excuse-moi.

En tout état de cause, ce dont tu parles n'est pas la multiplication au sens mathématiques du terme, mais au sens de l'opérabilité du processus.

Je suppose que n'acceptant pas l'idée que 0,9 est égal à 1, tu ne dois pas non plus accepter que 0,3 x 10 = 3,3 (pour les mêmes raisons : ajouter un 0 à l'infini, pas facile), si je te convaincs pour l'un cela doit marcher pour l'autre.

Si je pose a = 0,3 (écrit en base 10) donc a = 0,1 en base 3,
Si je pose b = 10 (écrit en base 10) donc b = 101 en base 3
donc ab = 10 x 0.3 en base 10 et disons que nous ne savons pas faire cette opération,
mais ab = 101 x 0,1 (en base 3), cette opération est très simple (nombre fini de décimales) ab = 10,1 (en base 3) or 10,1 (en base 3) = 3 + 0 + 0.3 (en base 10), on obtient bien que 10 x 0,3 = 3,3

[invite048e1043]

En tout état de cause, ce dont tu parles n'est pas la multiplication au sens mathématiques du terme, mais au sens de l'opérabilité du processus.

Tout à fait.

Bon, écoutez, je vais prendre le temps de relire tous les messages sur la question. Parce que répondre à cette cadence, lire les messages, et en même temps repondre aux impératifs sociaux, ça fait un peu trop.

Merci à tous.

[invite9c9b9968]

Dites, si vous voulez discuter sérieusement, ce serait pas mal de revenir à la définition rigoureuse du développement décimal non ?

Du genre

[invitebe0cd90e]

Dites, si vous voulez discuter sérieusement, ce serait pas mal de revenir à la définition rigoureuse du développement décimal non ?

Du genre

deja faut commencer a n=1

sinon tu as parfaitement raison, mais tout le monde n'est pas forcemnt familier avec ce formalisme. s'il ne s'agissait que de demontrer du pur point de vue de la rigueur la question serait pliée depuis quelques pages... donc meme si cette expression prouve le resultat sans l'ombre d'un doute, j'ai peur que ca n'empeche pas les objections.

[Médiat]

Dites, si vous voulez discuter sérieusement, ce serait pas mal de revenir à la définition rigoureuse du développement décimal non ?

Du genre

Cela a déjà été proposé 2 ou 3 fois (sous cette forme ou une autre), en vain

[invite9c9b9968]

Je sais bien, mais peut-être qu'à force ça va rentrer

Je note aussi que l'on a déjà eu sur ce forum ce genre de discussion un grand nombre de fois, et à chaque fois les mêmes arguments bidons reviennent..

[invitee1c6d6b1]

Pourriez vous, s' il vous plait, me donner le resultat ainsi que la méthode de calcul de cette opération :

0,9|/2


Merci.

[invitee1c6d6b1]

Pourriez vous me donner la formule d' une suite de rationnels qui converge vers Pi.
merci.

[Médiat]

Pourriez vous me donner la formule d' une suite de rationnels qui converge vers Pi.
merci.

Il y en a des tonnes, regarde là : http://fr.wikipedia.org/wiki/Pi.

0,9 / 2 = 0,5.
Si tu appliques l'algorithme habituel de la division tu trouves 0,49, qui est, bien sur, égal à 0,5.

[invite048e1043]

bonjour,
javel, ta methode (ajouter un 0), n'est valable que pour les entiers.
jobhertz t'a donné la facon rigoureuse et assez intuitive de definir la multiplication par 10 dans R:

n'oublie pas que 1 c'est en realité 1,000... et donc 1,000...x10=10,000...
de meme pi x 10=31,41592... et de meme 0,999...x10=9,999...

Ma méthode n'est pas valable que pour les entiers, justement. Sauf qu'au lieu de déplacer la virgule d'un cran vers la droite, j'ai proposé de déplacer les chiffres d'un chiffre vers la gauche. Ce qui revient au même.

[invitec35bc9ea]

au lieu de déplacer la virgule d'un cran vers la droite, j'ai proposé de déplacer les chiffres d'un chiffre vers la gauche

enancé de cette façon c'est vrai, ça revient au meme. mais ce n'est pas la meme chose que de dire "ajouter un 0 à droite".
contre exemple: 3,81736=> j'ajoute "0" et ça donne: 3,817360 ce qui est le meme nombre
par contre si je decale la virgule vers la droite (ou si tu veux, decaler les chiffres vers la gauche), ça donne 38,1736 ce qui correspond bien à une multiplication par 10

[invitebe0cd90e]

Ma méthode n'est pas valable que pour les entiers, justement. Sauf qu'au lieu de déplacer la virgule d'un cran vers la droite, j'ai proposé de déplacer les chiffres d'un chiffre vers la gauche. Ce qui revient au même.

mais ca revient au meme : tu ajoutes un 0 seulement si tu n'as pas assez de chiffres a droite.... or la on en a tant qu'on veut !

[invite765732342432]

Pourriez vous, s' il vous plait, me donner le resultat ainsi que la méthode de calcul de cette opération :

0,9|/2

Alors:







Donc 0,9|/2 = 0,9| - 0.5

On peux donc en déduire (s'il y avait encore besoin de la faire) que 0,9|/2 = 0.5

Mais ça a déjà été calculé de nombreuses fois (et de différentes façons)

[invitee1c6d6b1]

Soit deux rationnels r1 et r2.
r3=(r1+r2)/2
r4=(r1+r3)/2
r5=(r1+r4)/2
et ainsi de suite.
On voit bien que plus "n" grandit, plus rn se rapproche de r1.

Quand n tend vers l' infini, est ce que rn=r1 ?

Si oui, l' ensemble Q n' est plus dense.

rn ressemble bien à (2-0,9|).

[Médiat]

Soit deux rationnels r1 et r2.
r3=(r1+r2)/2
r4=(r1+r3)/2
r5=(r1+r4)/2
et ainsi de suite.
On voit bien que plus "n" grandit, plus rn se rapproche de r1.

Quand n tend vers l' infini, est ce que rn=r1 ?

Si oui, l' ensemble Q n' est plus dense.

rn ressemble bien à (2-0,9|).

Aucun des n'est égal à (sauf si , mais éliminons ce cas). C'est la limite de quand n tend vers l'infini qui est égal à , mais 0,9 n'est pas une suite comme , c'est un nombre (égal à la limite d'une suite ou d'une série, comme cela a été dit au moins 5 fois dans ce seul fil) !

[roll]

il y a même une page de wikipedia dédié à cette question:
http://en.wikipedia.org/wiki/0.999...
pour ceux que ça interresse

[invite9cfc5b89]

Effectivement 0.9| = 1. On peut essayer de le comprendre sans formalisme (en particulier pour les jeunes qui sont encore au lycee). On peut meme faire un semblant de demonstration.

Il faut d'abord trouver un critere pour decider si ces 2 nombres sont egaux ou pas, sur lequel tout le monde est d'accord. Il suffit de calculer la distance entre les deux nombres. Si cette distance est zero, alors les nombres sont egaux. Donc pour montrer que 0.9| = 1, je vais montrer que la distance d entre ces deux nombres est nulle.

On rappelle que 0.9|=0.99999999999............ ... Si on place les trois nombres 0.9, 0.9| et 1 sur une droite, on voit que . En particulier la distance entre les deux termes de droite est au plus la distance entre les deux extremes, a savoir 0.1

Maitenant je peux faire le meme raisonnement qu'au paragraphe precedent en mettant a gauche 0.99 au lieu de 0.9. Je demontre alors que la distance entre 0.9| et 1 est au plus 0.01.

En continuant, avec 0.999 et ainsi de suite, je montre que la distance est au plus 0.001, au plus 0.0001 etc...

Je dis maintenant que la distance d entre 0.9| et 1 est un nombre qui est plus petite que n'importe quel nombre positif x. En effet, je choisis un nombre 0.000..000001 avec suffisamment de decimales pour que ce nombre soit plus petit que x. Et j'ai montré Donc d<x.

En resume, la distance entre 0.9| et 1 est un nombre d qui est plus petit que n'importe quel nombre positif x. Donc la distance est nulle. Et 0.9| = 1.

[invite048e1043]

Les démonstrations que vous avez avancées sont très crédibles, mais a un moment ou à un autre, je vois toujours la différence, aussi minime soit-elle existant supposément entre deux nombres "conjoints", disparaître purement et simplement pour le confort de la démonstration. Quand ça n'est pas par une multiplication, c'est par un changement de base, etc...

Du fait que personne ne peut visualiser clairement l'infini, il est très facile de parvenir à démontrer tout et son contraire sous le seul prétexte que l'infini est infini.

Reconnaître une telle affirmation (0.9|=1) ne remettrait pas seulement en cause les principes mathématiques qui m'ont été inculqués, mais toute une logique intellectuelle qui régit tout ou partie de mes actions et de ma vie, et à laquelle je refuse de renoncer.

Je persiste à ma méfier, donc. Et ne perdons pas de vue que les manipulations sur l'infinitude peuvent entraîner des erreurs infinies.

[invite048e1043]

Je dis maintenant que la distance d entre 0.9| et 1 est un nombre qui est plus petite que n'importe quel nombre positif x. En effet, je choisis un nombre 0.000..000001 avec suffisamment de decimales pour que ce nombre soit plus petit que x. Et j'ai montré Donc d<x.

En resume, la distance entre 0.9| et 1 est un nombre d qui est plus petit que n'importe quel nombre positif x. Donc la distance est nulle. Et 0.9| = 1.

Oui, sauf que tu pourrais dire exactement la même chose, du fait de son infinitude, d'un nombre qui ressemblerait à : il serait égal à 0.

[invitebe0cd90e]

Les démonstrations que vous avez avancées sont très crédibles, mais a un moment ou à un autre, je vois toujours la différence, aussi minime soit-elle existant supposément entre deux nombres "conjoints", disparaître purement et simplement pour le confort de la démonstration. Quand ça n'est pas par une multiplication, c'est par un changement de base, etc...

rien ne "disparait"... si je definis un nombre a par la proposition :

"a est un nombre positif tel que pour tout e>0 , a<e"

alors on en deduit que a=0.

Du fait que personne ne peut visualiser clairement l'infini, il est très facile de parvenir à démontrer tout et son contraire sous le seul prétexte que l'infini est infini.

Reconnaître une telle affirmation (0.9|=1) ne remettrait pas seulement en cause les principes mathématiques qui m'ont été inculqués, mais toute une logique intellectuelle qui régit tout ou partie de mes actions et de ma vie, et à laquelle je refuse de renoncer.

Je persiste à ma méfier, donc. Et ne perdons pas de vue que les manipulations sur l'infinitude peuvent entraîner des erreurs infinies.

on ne peut pas "visualiser" l'infini, mais on peut manipuler l'infini tel qu'il est defini en maths (il a une definition precise) de maniere parfaitement rigoureuse. ca ne remet en cause aucun principe mathematique qu'on a pu t'inculquer, seulement c'est un peu contre intuitif.

en gros, de 2 choses l'une :

- soit 0.999...=1
- soit 0.999.... n'existe pas. mais alors Pi non plus, par exemple.

ton erreur vient toujours du fait que tu vois 0.99.. comme une suite, comme quelque chose qui se construit, mais ce n'est pas le cas, quand tu parle de distance qui diminue, de savoir si 0.999.. peut "atteindre" 1, ca n'a tout simplement pas de sens. O.99.. est un nombre, achevé, ce n'est pas un processus ou un mecanisme.

[invitebe0cd90e]

Oui, sauf que tu pourrais dire exactement la même chose, du fait de son infinitude, d'un nombre qui ressemblerait à : il serait égal à 0.

non, le nombre 0.0000...00002 n'existe pas, on ne peut pas aller mettre un chiffre "apres" une infinité de 0.

[invite9cfc5b89]

Les démonstrations que vous avez avancées sont très crédibles, mais a un moment ou à un autre, je vois toujours la différence, aussi minime soit-elle existant supposément entre deux nombres "conjoints", disparaître purement et simplement pour le confort de la démonstration.

OK, voyons l'objection.

Oui, sauf que tu pourrais dire exactement la même chose, du fait de son infinitude, d'un nombre qui ressemblerait à : il serait égal à 0.

Non, je ne peux pas appliquer ma demonstration a ce nombre. Il n'est pas plus petit que n'importe quel nombre x. Par exemple, si je prends x=0.00...002 avec davantage de decimale que dans le nombre d=0.0000...2 que tu m'as donne, j'ai x<d. Par exemple si tu me donnes d=0.0002, je te donne x=0.000000002 qui est plus petit que d.

Ce que j'ai demontre, c'est que si on prend pour d la distance entre 0.9| et 1, je ne peux pas intercaler de nombre entre 0 et d. Donc d=0.

[invite048e1043]

non, le nombre 0.0000...00002 n'existe pas, on ne peut pas aller mettre un chiffre "apres" une infinité de 0.

Bien. Alors comment se fait-il que l'on puisse mettre un 1 et pas un 2 (voir plus haut)?

[invite048e1043]

[QUOTE=LeLama;1147015]Non, je ne peux pas appliquer ma demonstration a ce nombre. Il n'est pas plus petit que n'importe quel nombre x.
[QUOTE]

Tiens donc! Voilà qu'il y a une différence qui traîne quelque part! Pourtant, ce nombre (0.000...0002) peut très bien être aussi assimilé à 0, si l'on suit ton raisonnement, puisqu'il s'agit d'un 0 suivi d'une virgule, avec une infinité de 0, tant et si bien que tu n'atteindras jamais le 2 de la fin puisqu'il n'y a pas de fin!

[invite9cfc5b89]

Non, je ne peux pas appliquer ma demonstration a ce nombre. Il n'est pas plus petit que n'importe quel nombre x.

Tiens donc! Voilà qu'il y a une différence qui traîne quelque part! Pourtant, ce nombre (0.000...0002) peut très bien être aussi assimilé à 0, si l'on suit ton raisonnement, puisqu'il s'agit d'un 0 suivi d'une virgule, avec une infinité de 0, tant et si bien que tu n'atteindras jamais le 2 de la fin puisqu'il n'y a pas de fin!

Il faut se mettre d'accord sur la description d'un nombre ecrit avec decimale. Les seuls nombres que je comprends sont ceux ou je dis: a la place numero x apres la virgule, je mets tel nombre. Par exemple, pour 0.999..., je dis: a toutes les places apres la virgule, je mets le nombre 9. En termes mathematiques, a la place numero x, j'ai un nombre n(x) qui est le nombre compris entre 0 et 9 qui est la decimale correspondant a la x eme place.

Je ne comprends pas quel est le nombre dont tu parles. A quelle place x est le nombre 2 qui est "a la fin" ? Si tu veux me parler d'un nombre, il faut me dire: a la place numero x, je mets le nombre n(x). Les autres nombres, je ne les comprends pas. Par exemple, quand tu me proposes, 0.000...0002 avec une infinite de 0 au milieu, pour moi ce n'est pas un nombre. Je ne sais pas repondre a la question: quel nombre n(x) je mets a la place numero x ?

Je ne peux donc pas repondre a tes objections qui se basent sur ce nombre. Je ne le comprends pas et je ne vois pas de quel nombre tu parles.