Les Maths et la Physique sont incompatibles...

[invitea54a6f54]

Les Maths et la Physique sont incompatibles...

Voici les amis la problématique illustrée:

C'est l'histoire du verre plein d'eau qu'on boit chaque minute la moitié de ce qu'il contient...

Maths:
Un verre contient 1 litre d'eau, chaque minute nous buvons la motié de ce qu'il contient. Après combien de temps le verre sera vide?
1/2 = 0.5 litres après 1 minute
0.5/2 = 0.25 litres après 2 minutes
0.25/2 = 0.125 litres après 3 minutes
etc...
Mathématiquement on ne pourra jamais vider le verre d'eau, on peut continuer à l'infini.


Physique:
Un verre contient 1 litre d'eau, chaque minute nous buvons la motié de ce qu'il contient. Après combien de temps le verre sera vide?
1/2 = 0.5 litres après 1 minute
0.5/2 = 0.25 litres après 2 minutes
0.25/2 = 0.125 litres après 3 minutes
etc... on arrive au stade critique
il ne reste plus que 2 molécules d'eau dans le verre après x minutes
il ne reste plus qu'une particule d'eau dans le verre après x+1 minutes
La dernière molécule d'eau ne peut etre partagé, sinon on n'a plus d'eau dans le verre...
En physique le même problème à une fin, on pourra définir après combien de temps l'expérience a pris fin.

Je me dis par cet exemple que dans les maths il y a un truc qui cloche, qu'en pensez vous?
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[Médiat]

Je me dis par cet exemple que dans les maths il y a un truc qui cloche, qu'en pensez vous?

Cette exemple n'est qu'un avatar du paradoxe de Zénon d'Elée, et il n'y a rien qui cloche, les maths ne sont pas censées décrire le réel, d'ailleurs pour la description mathématique tu supposes le litre d'eau secable à l'infini, ce que tu ne supposes plus dans ta description physique, pourquoi voudrais-tu obtenir les mêmes résultats ?

Quant au titre de ton fil, sachant que la physique s'écrit dans le langage des mathématiques (ce n'est pas moi qui le dit mais Poincaré)...
D'ailleurs il faut bien un peu de maths pour déterminer qu'il va te falloir à peu près 85 minutes (si je ne me suis pas planté dans les calculs) pour vider ton litre d'eau (je connais des moyens plus efficaces et des boissons plus agréables )

[invitea54a6f54]

Zénon d'Elée... faut que je m'instruise...

Je ne conais pas du tout, en tout cas merci de rectifier mon raisonnement.

Il est vrai que je n'avais pas pris conscience que dans le 2 exemple j'avais défini un paramettre en plus...

Donc mon idée tombe à l'eau...

Mais j'ai toujours l'intime conviction que la seule chose qui peut expliquer celà ce cache dans une "faille" des maths...

Je vais comencer l'uni cet automne en info et je pense que les maths auront une notre vision de moi


Pour le calcul, merci, c'est ce que je me suis demandé quand j'ai écrit le poste...

[invitec053041c]

Donc mon idée tombe à l'eau...

C'est le cas de le dire .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite88ef51f0]

Salut,

Mais j'ai toujours l'intime conviction que la seule chose qui peut expliquer celà ce cache dans une "faille" des maths...

Ce ne sont pas les maths qui clochent. C'est simplement que les maths ne parlent pas du réel, et que pour les appliquer à ton verre d'eau, tu fais un modèle. Les deux trucs que tu présentes sont de la physique : le premier avec un modèle continu de la matière, le deuxième avec un modèle discret. Ce n'est pas parce qu'un modèle physique ne colle pas parfaitement à la réalité que les maths dont il se sert "clochent".

[invitea54a6f54]

Donc quand on calcule des forces et des vitesses pour les trajectoires de sondes spaciales ou des choses super précises, est-ce qu'on peut à un moment donner ne plus tenir compte de certains nombres après la vigule?

Je m'explique 10^-18m est celon les scientifques la taille d'un électron théorique ( s'il devait en avoir une.

Est-ce que ça un sens de parler de 10^-20m dans les calculs de trajectoire d'une sonde?

Ou de calculer le périmètre d'un cercle avec Pi suivie de 400 nombres après la virgule, vu que de toute façon le périmètre de quoi que ce soit est composé d'un nombre fini d'atomes (leur distance).

[invite88ef51f0]

Ça n'a clairement pas de sens. Une des premières choses qu'on apprend en science, c'est de donner le bon nombre de chiffres significatifs dans un résultat. Dans les articles scientifiques, tous les chiffres sont accompagnés d'une barre d'erreur.

[invite06fcc10b]

Bonjour,

Ou de calculer le périmètre d'un cercle avec Pi suivie de 400 nombres après la virgule, vu que de toute façon le périmètre de quoi que ce soit est composé d'un nombre fini d'atomes (leur distance).

Je pense que tu n'as pas bien compris ce que sont les mathématiques et notamment ce qu'est une théorie.
On définit une théorie par des ensembles d'éléments, des opérateurs et des axiomes, c'est à dire des lois qui sont fixées a priori.
Bien souvent, on omet de préciser ce cadre théorique, car il est implicite. Par exemple, en mathématiques, quand on parle de cercle et de Pi comme tu le fais, on se place implicitement dans un espace euclidien, avec de nombreuses propriétés spécifiques à cet espace. Par exemple, dans cet espace, entre 2 points quelconques et distincts, il existe une infinité d'autres points. Mais il existe en mathématique des espaces discrets dans lesquels cette propriété est fausse.
Tout dépend donc du cadre théorique dans lequel tu te places, et la physique n'échappe pas à la règle. En vérité, les expériences de physique ont précisément pour objectif de trancher entre plusieurs cadres théoriques susceptibles d'expliquer toutes les autres expériences. Donc, pour résumer, le fait que tu parviennes à montrer que la matière n'est pas quelque chose de continu, on le savait depuis longtemps ! Et mathématiquement, les théories actuelles en tiennent compte !

Cordialement,
Argyre

[Médiat]

Est-ce que ça un sens de parler de 10^-20m dans les calculs de trajectoire d'une sonde?

Pour confirmer ce que dit Coincoin, ceci s'appelle "précision illusoire" et c'est considéré (ou devrait être considéré) comme une faute dans un devoir (je te dis pas le massacre à l'apparition des calculettes )

[invitea54a6f54]

Donc si j'ai bien compris, le mathématicien travail dans un espace virtuel, qui n'est pas superposable à la réalité.

Et un physicien doit déterminer quelles sont ses besoins dans la precision, pour mener à bien son espérience.

Je me rends compte que c'est la façon d'on on m'a enseigné les mathématiques,
qui rend mon raisonnement faux...

Parceque quand tu calcules les litres d'eau que Pierre à utilisé pour remplir la baignoire qui était déja pleine du 1/3, et que Jean l'avait vidé du 1/8... tu trouves le résultat et t'es content, du dis Jacques avait remplit 1/3 de la baignoire....

Et plus tard tu te rends compte que 1/3 c'est 0.3| et tu te dis mais vu qu'au cours de chimie on a vu que l'eau c H2O comment on pourrait etc...

En réalité d'histoire de Pierre, Paul, Jacques est fausse

[invitea54a6f54]

Ca ça m'est arrivé, on étudiait les mouvement et accélérations...
Le problème était le suivant:
Un camion se met en mouvement libre sur une pende de x degrés pendant y temps, quelle est ça vitesse au point A?

J'ai répondu que l'on ne pouvait calculer celà sans connaitre le facteur de résistence des roues sur le sol, et celui de l'air sur le camion...
Mais j'ai pas eu les points, parcequ'il fallait calculer dans le vide absolu, avec des roues ne provoquant aucune résistance... ce qui pour moi me semblait impossible

[invite06fcc10b]

Donc si j'ai bien compris, le mathématicien travail dans un espace virtuel, qui n'est pas superposable à la réalité.

Je dirais ça autrement : les mathématiciens et les physiciens travaillent tous les 2 sur plusieurs univers théoriques. La seule différence, c'est que le physicien tente de faire coller les propriétés de son (ou même de ses) univers "virtuel" avec les propriétés de l'univers auquel il appartient.
Et il ne cherche pas une superposition, il cherche une égalité des propriétés.

Parceque quand tu calcules les litres d'eau que Pierre à utilisé pour remplir la baignoire qui était déja pleine du 1/3, et que Jean l'avait vidé du 1/8... tu trouves le résultat et t'es content, du dis Jacques avait remplit 1/3 de la baignoire....

Effectivement, divisé en 3 la matière n'est pas toujours possible, donc l'énoncé n'est pas totalement cohérent avec les lois de la physique. Mais en première approximation et en pratique, on ne va pas chipoter à 1 molécule près, surtout qu'à chaque seconde, certaines molécules s'évaporent et que d'autres interagissent chimiquement avec autre chose ...
Pour éviter de compliquer inutilement les choses, on fait donc comme si tous ces processus n'existaient pas et on fait comme si la matière était divisible à l'infini. C'est faux ... mais si on se contente des premiers chiffres après la virgule, c'est juste !

Cordialemernt,
Argyre

[invite323b3419]

Effectivement, il est important de toujours bien faire la distinction entre théorie et réalité.

Les mathématiques, c'est pas tres compliqué, c'est un ensemble de théories abstraites, c'est une façon de pensée, presque de la philosophie. Les théories sont basées sur un postulat (par définition indémontrable) et une série d'axiomes.

La physique est elle aussi un ensemble de théories. Il s'agit de modélisations pour tenter de décrire le réel. A chaque modèle correspond un cadre d'applications, qui comporte forcément quelques approximations, qui rendent le modele invalide à une autre échelle. La physique a elle aussi des théories abstraites, il suffit de penser à la mécanique quantique (espace préhilbertiens) ou betement aux phénomenes ondulatoires (la lumiere, le son... espace des fréquences).

Par exemple, le modele de l'atome - sphere dure permet de décrire plusieurs phénomenes physiques (cristallographie, electromagnétisme, gaz,...) mais ne permet pas de décrire la physique des particules qui étudie justement l'intérieur de cette sphère.

La physique permet en plus des maths d'avoir un champ d'application "palpable" par l'expérimentation. Cela permet de développer de l'intuition que beaucoup de gens n'ont pas. Cette intuition est importante pour bien "sentir" le résultat. Elle est trop peu dévelloppée au lycée et beaucoup de gens écrire des co***ries, comme des distances entre planete précises au microns près.

Il faut toujours garder à l'esprit qu'un modèle physique a un domaine limité (ce qui est plus évident en maths pourtant les théories sont plus abstraites).

[Médiat]

Les théories sont basées sur un postulat (par définition indémontrable) et une série d'axiomes.

Quelle différence fais-tu entre postulat et axiome ? Corrolaire : pourquoi un postulat et (eventuellement) plusieurs axiomes ? D'après ta façon d'écrire on pourrait comprendre que les axiomes sont démontrables, est-ce le cas ?

[invite323b3419]

Apres vérification, mes souvenir de logique mathématiques s'étaient un peu embrouillés.

Voici donc ma correction, et j'espere que ça répondra a ta question.

Un axiome est un principe, quelque chose défini comme une loi, qui ne se démontre pas. L'ensemble des axiomes forme une théorie. La seule contrainte est que les axiomes ne se contredisent pas.

Le postulat est quant a lui un principe que l'on ne démontre pas.

[invitec053041c]

Comme ça a été dit, un axiome ne se démontre pas par définition. En revanche, beaucoup s'arrachent les cheveux pour tenter de réduire le nombre d'axiome et d'en démontrer certains grâce à d'autres (dès lors,ce ne seront plus des axiomes). C'est le cas des axiomes d'euclide, dont le dernier (portant sur les droites parallèles si je ne m'abuse...) a fait l'objet de controverses.

[JPL]

Salut,Ce ne sont pas les maths qui clochent. C'est simplement que les maths ne parlent pas du réel, et que pour les appliquer à ton verre d'eau, tu fais un modèle.

J'ajoute que toute représentation mathématique de la réalité est un modèle et que tout modèle possède son domaine de validité. Il n'est donc nullement choquant d'utiliser un modèle continu pour décrire certaines propriétés de la matière et en déduire des lois valables dans un certain domaine de dimensions. Par contre, quand on veut entrer dans le domaine de propriétés à plus faible échelle, par exemple, on abandonne le modèle continu pour prendre en compte les molécules. Inversement si tu devais prendre en compte chaque molécule pour décrire un verre d'eau et ses propriétés macroscopiques courantes, tu ne pourrais pas y arriver : dans ce domaine le modèle moléculaire, bien que vrai, n'est pas pertinent pour les calculs de la vie courante.

[inviteb44d430b]

Bonjour, bon j'arrive un peu tard peut-être. Mais faut pas dire n'importe quoi

Les maths ne sont pas dutout dissocié de la physique, il existe il est vrai des façons différentes de voir les choses mais les maths et la physique ne sont absolument pas incompatibles pour répondre au message initiale.

De plus il y a plusieurs maths, les maths appliqués ayant une trés grande connexité avec la physique bien que les façons d'écrire les problèmes diffèrent un peu. Et les maths pour les maths qui n'ont pas de lien direct avec la physique.

A midi je déjeuner avec un amis astrophysicien (préparant son hdr) et justement on constatait une différence d'écriture et de "positude"(désolé en anglais c'est mieux) de problème mais on avait aucun problème pour se comprendre et discuter modèlisation, et résolution.

Le clivage n'existe que si on le veut.

Pour répondre à ton problème initiale, d'un point de vue mathématique si tu poses des conditions limites tu arrives aux mêmes conclusion qu'un problème physique, tout est une histoire de problème bien posé. Ce qui revient au même que les réponses précédentes concernant le continu et le discret.

[Médiat]

Apres vérification, mes souvenir de logique mathématiques s'étaient un peu embrouillés.

J'apporte quelques précisions : pour les mathématiciens de la Grèce antique, Euclide en particulier, la différence entre postulat et axiome tenait simplement en ce que l'axiome est non démontré et évident, alors que le postulat est non démontré, mais pas forcément évident.
A ma connaissance les mathématiciens modernes ne font plus de distinction et ne parlent que d'axiomes.

Personnellement, je n'aime pas l'expression " les axiomes sont indémontrables" (dont on on peut tout aussi bien dire qu'elle est vraie ou qu'elle est fausse...), je n'aime pas cette expression car elle donne l'impression que l'on connait (par l'expérience (?), l'intuition...) un corpus de résultats mathématiques et que l'effort du mathématicien consiste à trouver les axiomes indémontrables qui vont entraîner tous les théorèmes connus du corpus (une espèce de moteur immobile). Je préfère avoir une autre vision (on passe top-down au bottom-up), où les axiomes sont en fait les définitions d'une théorie, et la question de leur démontrabilité n'a pas beaucoup de sens (il y a néanmoins des questions à se poser).
Si je prends un exemple très simple, une théorie du premier ordre avec un symbole de relation, disons qui vérifie les 3 propriétés : antisymétrie, réflexivite et transitivité ; dire que ces 3 axiomes sont indémontrables pour une relation d'ordre sonne un peu ridicule à mes oreilles, car si je retire ces axiomes il ne reste plus de relation d'ordre (j'ai au contraire envie de dire que les axiomes d'une théorie en sont les premiers théorèmes dont les démonstrations sont très simple (sur le modèle p p, ou p reprèsente chacun des axiomes successivement).
Par contre il reste de bonnes questions à se poser :

• Le système d'axiome est-il cohérent (c'est à dire non contradictoire, c'est à dire que l'on ne peut y démontrer p et non p), c'est bien le cas pour les relations d'ordre (d'ailleurs dans le cas contraire, on arrête tout de suite de travailler sur cette théorie ).
• Le système d'axiomes est-il minimal (dans le sens où aucun axiome n'est conséquence des autres, ce point est délicat à formaliser puisque toute théorie finiment axiomatisable est axiomatisable avec un seul axiome, difficile de faire moins).
• Le système d'axiome est-il complet (il n'existe pas de proposition indécidable dans cette théorie)

Il est facile de voir que la théorie "relation d'ordre" :

• est cohérente (nous en connaissons tous des modèles)
• est minimale (on ne peut retirer aucun des 3 axiomes, sans changer les théorèmes de la théorie)
• n'est pas complète, il est aussi (contrairement à l'arithmétique) très facile de la compléter (il suffit, par exemple, d'imposer de n'avoir que 2 éléments vérifiant , en plus des axiomes ; bien sur cette théorie est simplette, tellement simplette que tous ses modèles sont isomorphes)

[JPL]

Le système d'axiome est-il complet (il n'existe pas de proposition indécidable dans cette théorie)

Excuse un non mathématicien de poser une question naïve, mais Gödel dans tout ça ?

[invite9c9b9968]

Gödel est applicable aux ensembles d'axiomes contenant l'arithmétique, ce n'est pas le cas de tous les systèmes mathématiques (mais de la plupart d'entre eux cependant..)

Enfin il me semble ; Mediat pourra me corriger

[Médiat]

Enfin il me semble ; Mediat pourra me corriger

Non seulement c'est tout à fait cela, mais cela fait partie des erreurs communes (surtout pour les amateurs de sensationnels) d'oublier cette précision quand on parle du théorème de Gödel et qu'on veut lui faire dire n'importe quoi ; je vais rechercher, j'avais trouvé sur le net un article sur le mauvais usage des théorèmes de Gödel qui était très intéressant. Si je le retrouve, j'en donnerais le lien.

JPL : tu es le bienvenu dans ce monde magique

[Médiat]

J'ai retrouvé le lien : http://www.sm.luth.se/~torkel/eget/godel.html.

J'aime beaucoup le passage "le théorème de Gödel prouve que l'on ne peut rien prouver en mathématiques" (je suppose même pas le théorème de Gödel).