Chaitin n'essaie pas, il a réussi. Je pense que tu veux parler du nombre de Chaitin. Ce nombre ne peut être généré par aucun algorithme, la séquence de ses digits est incompressible et constitue une suite parfaitement aléatoire.Envoyé par Petithassane
C'est bien que tu en parles, car cette exemple montre le lien entre le concept de hasard et de nombre récursif.
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Il me semble que tu poses la question de comment expliquer le passage des lois quantiques indéterministes aux lois macroscopiques déterministes (aux erreurs de mesures prêt). C'est une bonne question et la réponse n'est pas évidente et constitue un challenge effectivement pour la gymnastique de l'esprit humain s'étant fixé l'ambition d'expliquer simplement le processus.
Je dirais globalement que ca ne me parait aucunement contradictoire mais c'est plus une réponse intuitive qu'autre chose, je sais pas si cela te conviendra.
J4ai ajouté un message à cet endroit par erreur, mais je n'ai pas trouvé comment le supprimé, désolé.
Il y a une chose que je n' ai jamais comprise, c' est la loi des grands nombres. J' y suis habitué mais je n' arrive pas à l' intégrer.
Exemple: la théorie moléculaire des gaz parfaits. A l' échelle atomique, la température est la vitesse "moyenne" à la quelle se déplacent les atomes ou les molécules d' un gaz. Une moyenne, c' est statistique, c' est de l' approximation. Pareil pour la pression, c' est le nombre moyen de chocs entre les atomes par unité de temps et de volume. Encore de l' approximatif.
Et ces approximations, donnent à l' échelle macroscopique, des exactitudes. Du style PV=nRT. La physique est une science "exacte" et pourtant à la base il y a des à peu-près.
Je sais que plus le nombre d' évenements augmentent et plus l' incertitude diminue, mais ça ne suffit pas à m' expliquer pourquoi des choses aléatoires, donnent des exactitudes.
Pareil pour les physiciens quantiques, eux ils font dans les "incertitudes". Et avec ces incertitudes ils arrivent à des résultats d' une précision redoutable. Exemple: le chronon. L' unité de temps en de ça de laquelle on ne peut descendre. Si je ne me trompe pas la valeur du chronon est 4,5 10puissance moins 44 seconde. Au cinéma, les images défilent à la vitesse de 36 images par seconde. Et bien l' univers défilerait à la vitesse de 1/4,5 10puissance 44 par seconde.
Qu' en pensez vous des incertitudes qui donnent des exactitudes.
SPI 100.
Peux-tu m' expliquez ce que Chaitin a trouvé. Moi j' ai vaguement compris qu'il parle du Kième bit d' un programme à N bits, et qu' on ne peut pas savoir si ce kième bit sera un zéro ou un "1".
Et puis il parle de nombres normaux et de nombres absolument normaux. Et il dit que "presque" est une expréssion mahématique.
J' y perd mon latin.
Je ne suis pas un expert, et c'est assez technique, j'espère ne pas dire trop de bêtises.
Quand un mathématicien dit qu'un nombre est aléatoire, il faut comprendre que la séquence des entiers qui le composent est une suite aléatoire.
Maintenant qu'est ce que l'on attend intuitivement d'une suite aléatoire ? Qu'il n'existe aucun moyen effectif de calcul pour la fabriquer. Or Le moyen dont nous disposons pour construire des séquences est l'algorithme.
Inversement, si tu lis une séquence de nombres, et que tu veux trouver la loi qui régit cette séquence, tu vas chercher à deviner un algorithme qui la génère. Un physicien dira qu'il cherche la loi qui régit le signal qu'il mesure.
Trouver la loi , c'est trouver l'algorithme. S'il n'y as pas d'algorithme, l'observateur en déduit que le signal qu'il observe n'est régi par aucune loi, et qu'il a donc à faire à un signal aléatoire.
L'idée est donc de définir un nombre dont la définition est basée sur un ensemble que l'on sait notoirement incalculable. Un tel ensemble est par exemple "l'ensemble des programmes qui s'arrêtent au bout d'un nombre fini d'étapes". Turing a montré il y a une cinquantaine d'années, qu'il était impossible de fabriquer un algorithme prenant en entrée les symboles d'un programme P et sortant la réponse "oui, P s'arrête" ou "non, p ne s'arrête pas". La démonstration de ce résultat est un peu technique, mais il se comprend facilement. Si un tel programme existait, il me suffirait d'écrire une proposition mathématique, de la donner au programme, et celui-ci me dirait, simplement en se basant sur l'énoncé, que la proposition est vraie ou fausse. En d'autres termes, le programme déciderait de la vérité d'un énoncé sans avoir à en comprendre le sens.
Soit H l'ensemble des programmes qui s'arrêtent. Je considère le sous - ensemble H' des plus petits programmes. Effectivement, pour tout programme P, je peux fabriquer une infinité de programmes beaucoup plus longs, qui font la même chose. Ca ne sert à rien de les considérer, c'est pour ça que je me restreins à H'.
Le nombre de Chaitinest alors défini comme la probabilité qu'un programme de H' tiré au hasard s'arrête.
Si la longueur du programme L est l, alors le programme étant écrit en binaire, pour chaque bit, on a deux choix, la probabilité de tirer L est donc
Comme il n'existe pas d'algo pour définir H', il n'existe pas d'algo pour définir
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Juste pour un petit point de rigueur. On a d'un côté la notion de suite aléatoire, et de l'autre celle de nombre "aléatoire". La connexion entre les deux est d'une certaine manière arbitraire.
En particulier la notion de "séquence d'entiers qui compose un nombre" peut recouvrir des tas de choses distinctes, et le choix est conventionnel.
C'est ça qui me fait dire que la notion de "nombre aléatoire" n'est pas applicable à la physique, et est un peu (à mon sens) une perversion du vocabulaire.
Par contre la notion de suite aléatoire, est applicable, comme tu l'indiques dans la suite du message.
Cordialement,
Si on observe un nombre qui semble aléatoire peut-être est-il le nombre Omega de Chaitin oui, mais par définition on ne peut pas l'affirmer (j'evite de parler d'indécidable d'improuvable etc... je m'y perds trop).S'il n'y as pas d'algorithme, l'observateur en déduit que le signal qu'il observe
Ha ha...
En fait, j'ai compris qu'il n'y a pas un nombre "universel" Omega de Chaitin, il y en a plusieurs, suivant la base que l'on considère.
"Ici" un article donnant les premières décimales en base 2 et 16.
Effectivement si le (les) nombres de Chaitin n'est (ne sont) pas calculable(s), ils sont tout de même approximables.
On peut construire une suite de nombres calculables qui a pour limite le nombre de Chaitin. L'incalculabilité se manifeste par le fait qu'il n'est pas possible de majorer l'erreur que l'on fait, par une fonction calculable. On ne peut donc pas construire un moyen effectif de savoir si on est très près ou très loin du résultat.
Si j'ai le courage, je donnerai ce soir un exemple emprunté à Delahaye, d'une telle suite
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C'est à dire qu'on peut faire une suite donnant un nombre croissant de décimales de ce nombre mais à chaque incrémentation de l'indice de cette suite ne peut se rapprocher du nombre de Chaitin ?L'incalculabilité se manifeste par le fait qu'il n'est pas possible de majorer l'erreur que l'on fait, par une fonction calculable.
Pas tout à fait, à chaque itération de l'algorithme, tu es certain d'avoir une meilleure approximation. A la limite tu obtiens bien le nombre de Chaitin.
Mais tu ne peux pas affirmer quelque chose du genre, "j'aurai obtenu 500 décimales correctes au bout de n itérations".
C'est assez pervers, et il vaut mieux le voir sur un exemple concret.
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A tout nombre réel compris entre 0 et 1, tu peux associer une suite d'entiers compris entre 0 et 9. Il suffit de considérer son développement propre en base 10 (propre car tu interdis que ça finisse par une infinité de 9).
Réciproquement à toute séquence de nombres entiers à valeur dans l'interval [0,9], tu associes un unique nombre réel compris entre 0 et 1, défini par
Si maintenant les valeurs que tu mesures sont comprises entre 0 et 999, et bien tu passes en base 1000.
Si tu mesures des valeurs comprises entre 0 et 999, avec 2 décimals de précision derrière. Tu mutiplies tout par 100 et tu passes en base 10^6.
Tu peux parler indiferemment de nombres réels ou de suites de décimaux, c'est parfaitement équivalent.
Dernière modification par spi100 ; 04/01/2007 à 22h56.
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Voilà, l'exemple est tiré de 'information, complexité et hasard" de Delahaye. Je ne l'ai pas retranscrit tel quel, car j'ai essayé de développer les points qui me paraissaient trop implicites dans le texte de Delahaye.
Je reprends l'ensemble des plus petits programmes H'. On se donne une machine de Turing universelle. Les programmes sont codés en binaire.
Je fais ensuite fonctionner en parallèle tous les programmes de H'. J'initialise au préalable le ruban de chaque machine en écrivant un 0 dans chaque case. Au bout de m étapes, je compte le nombre x de programmes qui se sont arrêtés à l'étape m ou avant.
Il faut remarquer que :
1/ En m étapes le plus long programme lu a m bits et pas plus.
2/Chaque case du ruban n'ayant que deux valeurs possibles, 0 ou 1, le nombre total de programme lu est donc 2^m.
3/si un programme se termine par une séquence de 0, on les ignore. Par exemple 111000 est identique à 111.
Ainsi la quantité
Le nombre de Chaitin étant par définition la probabilité qu'un programme s'arrête, la suite
La procédure de construction des
Il reste à vérifier que l'on ne peut pas estimer par un procédé algorithmique, l'erreur que l'on fait en approximant
Tout d'abord il faut remarquer que la suite des
On définit ensuite f(i) comme étant le plus petit entier tel que les i premiers digits de
Là il faut bien comprendre que plus f croit rapidement, plus la convergence de la suite
Il reste à vérifier que f croit plus rapidement que n'importe quelle fonction calculable. Pour cela on raisonne par l'absurde.
Si la fonction calculable g majore f, alors
Dernière modification par spi100 ; 05/01/2007 à 01h34.
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Une entre autres de l'infinité de bijections entre un sous-ensemble des réels et un sous-ensemble des suites d'entiers. Tu es en train de démontrer l'existence de sous-ensembles de même cardinal. Grand.A tout nombre réel compris entre 0 et 1, tu peux associer une suite d'entiers compris entre 0 et 9. Il suffit de considérer son développement propre en base 10 (propre car tu interdis que ça finisse par une infinité de 9).
Réciproquement à toute séquence de nombres entiers à valeur dans l'interval [0,9], tu associes un unique nombre réel compris entre 0 et 1, défini par
Ai-je jamais mis en doute l'existence d'au moins une telle bijection?
Si on suit ton raisonnement, alors quels que soient deux ensembles de même cardinal, il est parfaitement équivalent de parler de l'un ou de l'autre.Tu peux parler indiferemment de nombres réels ou de suites de décimaux, c'est parfaitement équivalent.
Cordialement,
Dernière modification par invité576543 ; 05/01/2007 à 05h25.
Comme j'ai l'impression, de par ta réponse, que je n'ai pas réussi à expliquer mon point, je reessaye.
Je n'ai aucun problème à une définition comme suit, en acceptant l'hypothèse qu'il existe un criitère permettant de classer une suite d'entiers comme aléatoire ou non:
Soit un ensemble A de suites d'entiers (suites aléatoires), et soit une injection F de A vers
Mais ça ne définit en rien un nombre aléatoire dans l'absolu. En particulier, rien ne m'empêche de proposer une injection F telle que 3/2 soit aléatoire selon F, ou tous les entiers, ou tous les rationnels.
Pour pouvoir définir une notion plus satisfaisante de "nombre aléatoire" à partir des suites aléatoires d'entier, il faudrait caractériser un sous-ensemble particulier des injections. La question n'est pas d'en proposer une, mais de donner les critères qui permettent de dire que telle injection est acceptable et telle autre non.
Cordialement,
Je n'ai jamais dit ça. J'ai explicité une transformation univoque permettant de construire un réel à partir d'une suite et réciproquement.
Si j'ai une procédure bi-univoque me permettant de passer d'un ensemble A à un ensemble. Je peux utiliser les éléments de A pour nommer les éléments de B, ou utiliser les élements de B pour nommer ceux de A. J'en ai parfaitement le droit: c'est une simple question de la façon dont tu choisis de nommer les choses, mais ça ne change pas le fond.
Ce que tu discutes, c'est juste le choix d'une convention d'écriture. Ca revient à peu près à se demander s'il vaut mieux écrire la séquence binaire 1 0 0 0 1, en séparant les nombre par des virgules "1,0,0,0,1", ou s'il est préférable de les coller "10001".
Dernière modification par spi100 ; 05/01/2007 à 07h38.
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Non. Ce que je discute c'est que le raisonnement que tu proposes ne permet pas de justifier le choix du mot "aléatoire" pour un nombre réel.
Je répète que discuter de l'existence du hasard en parlant de suites aléatoires a un sens, alors que de parler de nombres aléatoires n'a pas de sens supplémentaire que celui qui dérive conventionnellement de la notion de suite aléatoire.
En d'autres termes, en introduisant la notion de nombre aléatoire dans la discussion, tu rends le sujet confus.
Cordialement,
Ca, c'est ton appréciation personnelle. Tu n'aimes pas ce point de vu, mais il existe. Personnellement, je trouverais dommage de ne pas en parler.En d'autres termes, en introduisant la notion de nombre aléatoire dans la discussion, tu rends le sujet confus.
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Ce n'est pas une question d'aimer ou pas. C'est simplement hors sujet. Ou alors explique en quoi l'existence des nombres de Chaitin amène quoi que ce soit sur le débat tel qu'il se présentait avant que tu introduises ces nombres. Pour le moment, la seule relation est que le mot "aléatoire" est utilisé de manière arbitraire pour les nombres de Chaitin. Est-ce suffisant?
Cordialement,
Non, renseigne toi, je ne peux pas t'en dire plus.
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Tu ne peux pas? ou tu ne veux pas? expliquer pourquoi tu as introduit cette notion dans la discussion?
Cordialement,
C'est bon, on va arrêter là. J'interviens sur ce forum pour exposer des idées, pas pour avoir raison à tout prix.
Cordialement,
Maintenant je pense avoir suffisamment posté dans ce fil pour justifier mon approche. Si tu n'es pas d'accord avec ce que j'ai écris, ou que ça ne t'intéresse pas, ça ne me pose aucun problème. Mais si des contributeurs du fils m'ont relancé sur le sujet, c'est peut être que cette notion du hasard les intéresse.
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Mais c'est tout le contraire! C'est peut-être un problème de forme, prend mes remarques comme des questions. S'il y a un rapport entre la non calculabilité des nombres de Chaitin et l'existence du hasard, c'est à dire avec une "réalité" dans le monde de quelque chose appelé "hasard" autre que le fait que des modèles probabilistes marchent, ça m'intéresse!
Simplement, pour le moment je n'ai pas compris quel était le rapport, et je suis intéressé à acquérir cette compréhension.
Cordialement,
Si on accepte que tous les modèles de la physique se ramènent après discrétisation, à manipuler des algorithmes.
Si le monde n'est pas de nature algorithmique, alors nécessairement on coince sur des problèmes tels que ceux soulevés par le nombre de Chaitin.
Ce que nous nommons "hasard" serait alors le résultat de l'incapacité des théories récursives, à cerner le non récursif.
L'utilisation des probabilités et l'axiome de réduction du paquet d'onde, serait alors une rustine inévitable pour compenser ce point.
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Mais si je traduis cela en la calculabilité de suites (suites de résultats discrets), le simple fait que le cardinal de l'ensemble des suites infinies soit strictement supérieur au cardinal des algorithmes possibles semble suffire pour conclure que l'approche algorithmique ne pourra jamais rendre compte de toutes les suites, non?
Cordialement,
A mon humble avis vous allez devoir chercher encore très longtemps si vous continuez à essayer de "débusquer le hasard" avec des nombresDire d'un nombre qu'il est "aléatoire", c'est tout simplement une absurdité
Moi je crois qu'il vaut mieux chercher à "débusquer le hasard" avec des phénomènes physico-chimiques
Et le rapport entre les probabilités et la réalité physique c'est que les probabilités marchent, point barre ! Ce n'est que par un raisonnement par induction qu'on peut espérer induire une loi générale de la Nature qui repose sur les calculs des probabilités. Quand on a compris une bonne fois que le principe explicatif en sciences c'est le déterminisme, et que le principe du déterminisme "absorbe" l'induction pour ainsi dire (et même il l'évince complètement vu qu'il contient dans son énoncé la dimension temporelle), on a compris du même coup que définitivement les probabilités sont inaptes à décrire ce qui se passe dans la réalité concrète.
Et quand je vois que même on en appelle maintenant à la MQ pour générer des nombres "aléatoires" ( http://fr.wikipedia.org/wiki/Générat...res_aléatoires ) ça me fait marrer plus que toute autre chose
Il faut déjà comprendre ce qu'il se passe à l'échelle atomique il me semble non ?Moi je crois qu'il vaut mieux chercher à "débusquer le hasard" avec des phénomènes physico-chimiques
Oui, tu as raison, ça suffit largement. Mais ce n'est pas non plus très intéressant de s'arrêter là.
La théorie des nombres permet d'aller beaucoup plus loin. Elle permet par exemple de construire des liens entre hasard et système formelle. AMHA rien que cette mise en mirroir entre système producteur de connaissances et la notion de hasard, justifie pleinement le caractère essentiel de cette approche.
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bonjours à tous
pourquoi ? si le hasard n'est pas: compris, incalculable, une incertitude, indéfinissable, aléatoire, manque de compréhension, ignorance... etc... etc; donc si on résume tous ces phénomènes par le nom de hasard c'est qu'on le nomme par ce nom : hasard .
des lors, par convention ce nom existe, pourquoi chercher son inéxistance ? ou encore prouver que ce nom hazard n'existe pas, puisque l'ignorance existe ainsi que le reste..etc
il me semble que cela serait une contradiction idiote..non?
mais delà à dire qu'il y a un lien possible avec La théorie des nombres il faudrait que cette théorie englobe tous les problèmes, ce qui est loin d'être le cas.
