Mathematiques : invention ou découverte ?

[Gwyddon]

presque pareil pour moi....c'est comme une discussion entre quelqu'un qui comprend la relativité et quelqu'un qui la refuse...dialogue de sourds !

Je trouve ça dommage comme comparaison, car là on est dans le domaine de la position philosophique et non dans la démonstration d'un phénomène...

Bref désolé de te dire ça mais ta position ne donne pas envie d'être platonicien, et personnellement je n'ai pas d'avis tranché sur la question. Je suis comme humanino : ouvert à toute proposition

Note : en ce qui concerne tout autre domaine que les mathématiques, il est indéniable qu'il y a une prédominance de la découverte. En fait je rejoins la position de jamajeff peut-être bien : une synergie entre invention et découverte pour avancer en mathématiques et dans les autres domaines scientifiques. Ainsi l'invention du calcul différentiel (je dis bien invention..) découle de découvertes de phénomènes physiques, eux-mêmes relus à l'aune du calcul différentiel, etc..
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[predigny]

C'est peut-être le vocabulaire qui ne colle pas. Ce n'est peut-être ni une invention ni une découverte mais une .... je ne sais pas, ... "une révélation".

[invite8ef897e4]

Je trouve que l'argument donne par Mtheory (originellement Penrose) est tout a fait pertinent.

Je vais expliciter l'argument Godel-Turing avec un exemple, celui de l'hypothese de Riemann. Rappelons d'abord qu'il s'agit strictement d'une conjecture, mais que des pans entiers de mathematiques ont ete developpes sur cette hypothese. Supposons qu'elle soit indecidable, c'est a dire que l'on ne dispose pas assez d'axiomes pour la prouver. Si elle etait fausse, un simple contre-exemple le montrerait. Le fait qu'elle soit indecidable la prouverait donc immediatement vraie ! Consequence : on serait en presence typiquement d'une proposition vraie, non demontrable, sur laquelle les mathematiciens sont tombes. Il est clair dans ce cas que la proposition n'est pas inventee, non ?

Dans tous les cas, on peut trouver des exemples dans un sens, ou dans l'autre (franchement j'attend un exemple pertinent contre le platonisme mais bon ), cela ne resoudra pas la question generale. Il est souvent exprime l'opinion que les propositions indecidables de Godel-Turing sont "pathologiques" et non-pertinentes pour les mathematiques "reelles". D'autres exemples (speculatifs) de propositions possiblement indecidables mais vraies et pertinentes seraient la conjecture P vs NP ou la conjecture de Baum–Connes. D'ailleurs si je ne m'abuse, l'ensemble de propositions demontrables est negligeable face a l'ensemble des propositions vraies (au sens de la mesure), rendant difficile de tenir la position que les indecidables de Godel-Turing ne sont pas pertinents.

Je note enfin que ce n'est sans doute pas un hasard si Connes prend un position platoniste puisque la geometrie non-commutative et ses predictions sur modele standard se sont en quelque sorte imposees a lui.

"une révélation".

On flirte avec la religion la ?

[Gwyddon]

On flirte avec la religion la ?

On flirte avec la métaphysique depuis le début du fil

[JPL]

cette idée d'itération est celle de Julia, non de Mandelbrot ! Julia a créé cette itération

[HS]Mais pourquoi oublie-t-on toujours Fatou dans cette histoire ?[/HS]

[invite24efdb8f]

Pour moi les mathématiques sont l'application des loi de la logiques issue de la Raison qui est Humaine.

Donc par définition les math c'est une invention de l'esprit

lorsqu'on découvre quelque chose, c'est qu'on vérifie si la théorie est adéquate à la réalité.

Et ce qui est extra ordinaire comme le dit Einstein, c'est que la nature est logique!

[_Goel_]

Bonjour,

pour moi il y a 2 choses dans les mathématiques :
- Le principe "absolu" : Il existe une corrélation entre les nombres (y'a pas que les nombres, je sais !).
- Les outils de description de ce principe.

Des "relations mathématiques" régissent l'univers (y'a qu'à demander aux physiciens) donc préexistent à l'Homme. Ce dernier a donc découvert le principe mathématique (sans forcément en avoir conscience).
Dès l'or, il invente des outils permettant de comprendre, de visualiser et d'utiliser ce "principe mathématique". On arrive à l'addition, à la dérivée, aux théorèmes, etc...

Donc pour répondre à la question de cet article, je dirais : "Les deux, mon capitaine" !!!

(En me relisant, je me trouve pas clair, mais j'arrive pas à mieux m'exprimer...)

[Médiat]

Je ne vais pas intervenir une fois de plus (fonction recherche !) sur la formulation (employée, entre autres par Girard) que je trouve inacceptable quand on connaît la définition de "indécidable" : "indécidable, et vraie".

Ni sur l'argument de Penrose puisque j'y ai répondu ici.

D'ailleurs si je ne m'abuse, l'ensemble de propositions demontrables est negligeable face a l'ensemble des propositions vraies (au sens de la mesure), rendant difficile de tenir la position que les indecidables de Godel-Turing ne sont pas pertinents.

Pour la théorie des ordres linéaires denses sans extremums, l'ensemble des propositions démontrables est strictement égal à l'ensemble des propositions "vraies", puisque la théorie est complète, c'est à dire qu'aucune proposition n'est indécidable.

Et même pour les théories non complètes, à moins de m'expliquer de quelle mesure il est question ici (et de démontrer ce résultat), je ne peux qu'envisager une comparaison des cardinaux, hors sur un langage dénombrable (le cas de toutes les théories que je connais), le nombre de propositions est dénombrable et le nombre de propositions démontrables aussi, et donc n'est pas négligeable.

[Médiat]

Des "relations mathématiques" régissent l'univers

Là on touche à la religion (ou à la métaphysique).

(y'a qu'à demander aux physiciens)

Là on touche à l'épistémologie, mais l'argument est circulaire.

Sinon, pour la signification globale de ton intervention, je suis plutôt d'accord, cf. le message #6 de ce fil.

[Médiat]

[HS]Mais pourquoi oublie-t-on toujours Fatou dans cette histoire ?[/HS]

Peut-être parce que les ensembles de Fatou sont les complémentaires des ensembles de Julia, beaucoup plus connus, ce qui est injuste, puisque la publication de Fatou est antérieure (mais moins complète) à celle de Julia ; dont acte..

[invite8ef897e4]

Pour la théorie des ordres linéaires denses sans extremums, l'ensemble des propositions démontrables est strictement égal à l'ensemble des propositions "vraies", puisque la théorie est complète, c'est à dire qu'aucune proposition n'est indécidable.

Ok, pas de probleme, tu n'as meme pas les entiers naturels avec la theorie des ordres lineaires denses sans extremums !

Et même pour les théories non complètes, à moins de m'expliquer de quelle mesure il est question ici (et de démontrer ce résultat), je ne peux qu'envisager une comparaison des cardinaux, hors sur un langage dénombrable (le cas de toutes les théories que je connais), le nombre de propositions est dénombrable et le nombre de propositions démontrables aussi, et donc n'est pas négligeable.

J'ai verifie l'interview sur ARTE d'Alain Connes, et c'est de sa bouche que j'ai entendu l'argument sur la negligeabilite au sens de la mesure des propositions demontrables dans les propositions vraies. Je fais relativement confiance a Connes en matiere d'arguments techniques Il est clair que je suis bien incapable ne serait-ce que de definir moi-meme la mesure necessaire.

[predigny]

...
"révélation"
On flirte avec la religion la ?

Une révélation... de l'esprit humain, pas de Jésus là dedans. Quoique, si d'autres civilisations dans le cosmos ont "mis le doigt" sur l'ensemble de Mendelbrot, on peut se poser des questions sur l'essence et l'universalité de l'esprit... mathématique.
Promis, j'arrête là.

[Médiat]

Ok, pas de probleme, tu n'as meme pas les entiers naturels avec la theorie des ordres lineaires denses sans extremums !

Et alors ? Je ne trouve nulle part dans ton intervention précédente que tu ne parlais que de l'arithmétique (et des théories où elle est définissable), ce qui aurait d'ailleurs invalidé ta thèse, car nous parlons ici des mathématiques en général et non seulement de l'arithmétique.

Je fais relativement confiance a Connes en matiere d'arguments techniques.

Moi aussi, mais si on ne sait pas de quoi il parle, cela ne sert pas à grand-chose de lui faire confiance.

Tu cherchais un exemple contre le platonisme (en tout cas contre une compréhension au pied la lettre du platonisme) : je voudrais savoir où trouver dans la nature (afin de le découvrir) un ensemble dont le cardinal est fortement inaccessible.

[Szym]

Bonjour,
Petite réflexion marginale :

La logique et (donc) les mathématiques ne sont-elles pas issues de la structure du cerveau humain? "A implique B équivaut à non B implique non A", est ce une vérité absolue et universelle, ou bien une conséquence des réactions chimiques qui ont lieu dans le cerveau humain?

Peut on voir les maths comme étant une conséquence des propriétés du cerveau humain permettant à l’homme de découvrir les lois universelles que sont les lois de la physique?

[predigny]

....
Peut on voir les maths comme étant une conséquence des propriétés du cerveau humain permettant à l’homme de découvrir les lois universelles que sont les lois de la physique?

J'ai peur que cette voie nous emmène dans des domaines très flous et loins du sujet de départ. Mais vous n'êtes pas le premier à penser que la perception que l'on a de la réalité (y compris celle des maths) est une pure hallucination du cerveau ! mais pas forcément propre à l'humain : les singes, les corbeaux, .. savent compter, du moins avec les premiers entiers. Les nombres réels (R) existent-ils en dehors de notre boîte cranienne ! ?

[Médiat]

Peut on voir les maths comme étant une conséquence des propriétés du cerveau humain permettant à l’homme de découvrir les lois universelles [que sont les lois de la physique] ?

C'est, d'une certaine façon, une partie de la thèse de Badiou à laquelle je faisais allusion au message #6 de ce même fil (j'ai mis en gras une partie qui cadre moins avec Badiou)

[Romain-des-Bois]

presque pareil pour moi....c'est comme une discussion entre quelqu'un qui comprend la relativité et quelqu'un qui la refuse...dialogue de sourds !

On est deux alors...

Peut-être nait-on avec une conviction profonde sur les Mathématiques

Personnellement, mes lectures m'ont quand même fait changer d'avis sur certains points, mais ça n'a pas été facile.

Romain

EDIT :
Je ne suis quand même pas d'accord avec ta comparaison mtheory :
La Relativité est (d'après moi) acceptée par une grande majorité de scientifiques, et ceux qui ne l'acceptent pas sont en grande minorité, de sorte qu'ils sont présentés comme ayant plutôt "tort".

Ici, y a-t-il un avis majoritaire ? Je ne crois pas.

[invite0e4ceef6]

Bonjour,

j'ai utilise le pluriel pour "mathematiques". Neanmoins, j'espere que cela ne va pas biaiser la discussion

Voila en gros la procedure consiste a

• (1) Postuler un certain systeme formel, sous forme d'une liste d'axiomes
• (2) Deriver logiquement tous les theoremes possibles, au passage en introduisant de nouvelles definitions
• (3) Deviner quels nouveaux axiomes sont pertinents pour enrichir le systeme formel de depart, retourner a (1) avec au passage une medaille Fields eventuelle

Cette procedure est-t-elle mieux decrite comme une decouverte (les mathematiques pre-existant sous forme platonique), ou bien comme une invention ?

les maths historiquement proviennent d'abord de la physique(nature), elles sont l'abstraction de quantité (nombre) passage des batons aux chiffres(plus facilement manipulable.

en se sens les maths est un système de notation, et un langage rationel, c'est un espéranto formel, un peu comme le système de notation de la musique.

l'interet de l'ecrit est d'être une extension de mémoire vive pour l'individu, car si l'on peu faire des opération de mémoire, rien de tel qu'un bout de papier, une tablette d'argile, ou du sable pour faire des opérations longues.

tout le reste des mathématique est la construction de ce langage formel, dansl'ajout de signe et de formule permettant tant la résolution de problème que leur transmition a d'autre individu.

tout les langages sont des outils, des techné utile a l'homme, mais ceux-là ne saurait exister sans un interet pour l'homme.
ainsi l'homme en physqiue cherche et découvre les liant logique naturel dans la nature, les maths sont un moyen pratique de notation, l'etudes approfondie des maths est une etude a-apriori de la logique naturelle dans l'absolue, c'est a dire purement imaginaire.

les math sont autant une invention sur le plan de la notation, qu'une découverte sur le plan de la recherche des liant logiques intrinsèquement lié a se système de notation.

A+

[bashad]

Je trouve ça dommage comme comparaison, car là on est dans le domaine de la position philosophique et non dans la démonstration d'un phénomène...

Note : en ce qui concerne tout autre domaine que les mathématiques, il est indéniable qu'il y a une prédominance de la découverte. En fait je rejoins la position de jamajeff peut-être bien : une synergie entre invention et découverte pour avancer en mathématiques et dans les autres domaines scientifiques. Ainsi l'invention du calcul différentiel (je dis bien invention..) découle de découvertes de phénomènes physiques, eux-mêmes relus à l'aune du calcul différentiel, etc..

non pas que je renie ma position d'origine mais je suis tout à fait d'accord avec toi

[predigny]

Didier Nordon dans un de ses récent Bloc-notes rappelait la dernière phrase de la conférence d'un mathématicien pressé d'en finir : "Les vérités mathématiques sont éternelles mais je n'ai pas le temps de développer ce point".
Dommage, on aurait eu la réponse à notre question car si les vérités mathématiques sont éternelles, elle existent de toute éternité et sont donc découvertes.

[Médiat]

si les vérités mathématiques sont éternelles, elle existent de toute éternité et sont donc découvertes.

D'après l'académie française, parmi les différents sens de "éternel" il y a :

Qui a un commencement et n'aura pas de fin

Si elles on un commencement c'est qu'elles sont inventées .

En fait ma position est plus nuancée, néanmoins je ne pense pas que la phrase du mathématicien pressé en question n'entraîne quoi que ce soit sur le sujet Invention/Découverte

[invite8ef897e4]

Et alors ? Je ne trouve nulle part dans ton intervention précédente que tu ne parlais que de l'arithmétique (et des théories où elle est définissable), ce qui aurait d'ailleurs invalidé ta thèse, car nous parlons ici des mathématiques en général et non seulement de l'arithmétique.

J'ai pris un exemple specifique, avec le theoreme de Godel, dans lequel l'arithmetique est specifiquement necessaire. Je l'admets sans probleme

Moi aussi, mais si on ne sait pas de quoi il parle, cela ne sert pas à grand-chose de lui faire confiance.

L'interview d'Alain Connes sur ARTE est facile a trouver :
Interview de Alain Connes (Paroles de chercheur sur ARTE)
vous pouvez l'ecouter par vous-meme si vous doutez de l'affirmation que je reporte.

Tu cherchais un exemple contre le platonisme (en tout cas contre une compréhension au pied la lettre du platonisme) : je voudrais savoir où trouver dans la nature (afin de le découvrir) un ensemble dont le cardinal est fortement inaccessible.

C'est un point tout a fait valide du constructivisme , qui merite meme d'etre developpe il me semble, et qui intervient dans plusieurs developpements en physique theorique.

[predigny]

Bon alors une autre piste : Une invention porte nécessairement la "marque" de son inventeur, ce qui n'est pas le cas des vérités mathématiques, donc les vérités mathématiques sont découvertes. ... Ca tiens la route ça ? ! Et ça ? :
On peut inventer une méthode pour parvenir à une découverte mathématique.

[invite06fcc10b]

Bonjour,

D'après l'académie française, parmi les différents sens de "éternel" il y a :

Si elles on un commencement c'est qu'elles sont inventées .

En fait ma position est plus nuancée, néanmoins je ne pense pas que la phrase du mathématicien pressé en question n'entraîne quoi que ce soit sur le sujet Invention/Découverte

Pourtant, il s'agit bien pour moi d'un argument fondamental. Toute théorie mathématique est atemporelle et même non locale à un univers. J'imagine par exemple que d'autres intelligences ont pu élaborer la géométrie euclidienne. Si ET existe, il a découvert le théorème de Pythagore, ça me parait incontournable. Comment peut-on alors parler d'invention si d'autres l'ont découvert avant ou/et ailleurs ?
Mais à la vérité, on peut pousser le bouchon plus loin et dire que rien ne s'invente, tout se découvre. En effet, l'inventeur du moteur à explosion a certainement plagié sans le faire exprès une invention ET. Et cependant, si l'univers est mathématique, cette invention n'est qu'un concept formulable dans cet univers, elle est donc également atemporelle et on devrait parler de découverte ...

Alors ?
Personnellement, je me sors de ce mauvais pas en disant qu'une invention est relative à une communauté d'êtres intelligents et à un univers physique. Une découverte peut être une invention mais elle peut aussi être relative à la nature ou à l'univers des choses concevables.
Ainsi, on invente les axiomes relativement à la communauté humaine, mais on les découvre relativement à l'univers des théories concevables.
De plus, comme il a déjà été dit, une invention nécessite un effort certain de créativité. Et donc, je suis d'accord avec Mediat, on dira qu'on découvre un théorème plutôt qu'on l'invente, car il est une simple conséquence logique.

A+,
Argyre

[Médiat]

vous pouvez l'ecouter par vous-meme si vous doutez de l'affirmation que je reporte.

Je ne doute absolument pas de votre affirmation, ce que je dis c'est que sans information sur la mesure en question, je ne sais pas ce que cela veut dire (je vais écouter, mais je ne sais pas quand, car je suppose que cette conférence ne dure pas 10mn).

[Médiat]

Bon alors une autre piste : Une invention porte nécessairement la "marque" de son inventeur, ce qui n'est pas le cas des vérités mathématiques,

Oh que si, chaque mathématicien, comme chaque joueur d'échec, a son style personnel, merci de donner cet argument pour l'invention .

[Médiat]

Ainsi, on invente les axiomes relativement à la communauté humaine, mais on les découvre relativement à l'univers des théories concevables.

Bien que globalement en accord avec ton intervention, je le suis moins sur le point souligné en gras : cela a-t-il du sens que de dire que Picasso a découvert Guernica relativement à l'ensemble des peintures possibles ?

Dans un post précédent je m'excusais auprès de Jean Cocteau, mais ne pas percevoir la dimension poétique de cet aphorisme serait une lourde faute (je cite de mémoire) :

Pour sculpter la Vénus de Milo, c'est très simple, il suffit de prendre un bloc de marbre et de retirer tout ce qui n'est pas la Vénus de Milo.

Je ne crois pas que son sculpteur (Praxitèle ?) ait eu le même avis sur la simplicité, et sur la notion de "découverte" ...

[Médiat]

(je vais écouter, mais je ne sais pas quand, car je suppose que cette conférence ne dure pas 10mn).

La conférence étant découpée en petits bouts, j'ai pu écouter tout de suite la partie concernée, Alain Connes dit :

Même dans un système d'axiomes donné le nombre choses qui sont vraies mais non démontrables c'est la grande la majorité, la majorité des choses vraies ne sont pas démontrables.

Il n'y ait pas question de théorie de la mesure, mais de "nombre", et il n'est pas question de théories particulières, mais de toutes les théories (sans précision qui pourrait amener une restriction), je reste donc sur ma position du post #38.

Peut-être Alain Connes pensait-il à des théories sur des langages non dénombrables, comme par exemple la théorie d'un modèle non dénombrables d'une théorie quelconque (éventuellement sur un langage dénombrables (sans les symboles de constantes pour les éléments du modèle) ...

[mtheory]

Je suis débordé et j'ai pas le temps de répondre...mais évidemment j'ai des réponses aux objections qu'on m'a faite.

Dès que j'ai le temps et l'énergie je ferai un poste...un seul, car je sais comment ça risque d'évoluer à 99%.

[invite8ef897e4]

Il n'y ait pas question de théorie de la mesure, mais de "nombre", et il n'est pas question de théories particulières, mais de toutes les théories (sans précision qui pourrait amener une restriction), je reste donc sur ma position du post #38.

Apres quelques recherche, il me semble que son affirmation vient de travaux de Chaitin. Essentiellement, j'ai trouve le theoreme suivant de Chaitin :

Consider a consistent, sound, finitely-specified theory strong enough to formalize arithmetic. The probability that a true sentence of length n is provable in the theory tends to zero when n tends to infinity, while the probability that a sentence of length n is true is strictly positive.

Il s'agit donc bien de mesure.