Mathematiques : invention ou découverte ?

[invite6754323456711]

Bonjour,

Une petite question annexe. Quel enjeu peut-il y avoir de découvrir (ou inventer ) la réponse à cette question (mathématiques : invention ou decouverte ?) ?



Patrick
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[predigny]

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Une petite question annexe. Quel enjeu peut-il y avoir de découvrir (ou inventer ) la réponse à cette question (mathématiques : invention ou decouverte ?) ?
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Si c'est une invention, on peut prendre un brevet et gagner beaucoup d'argent ; si c'est une découverte, rien à espérer ; éventuellement une médaille Fields

[invite6754323456711]

Si c'est une invention, on peut prendre un brevet et gagner beaucoup d'argent ; si c'est une découverte, rien à espérer ; éventuellement une médaille Fields

Si la réponse existe on peut espérer la découvrir sinon il va valoir l'inventer

Patrick

[invite8ef897e4]

Une petite question annexe. Quel enjeu peut-il y avoir de découvrir (ou inventer ) la réponse à cette question (mathématiques : invention ou decouverte ?) ?

• (1) On l'a deja dit plusieurs fois : c'est une question d'opinion, personne ne cherche a convaincre quiconque, on en discute seulement
• (2) Il y a souvent a apprendre des autres dans une discussion ouverte ou chacun presente ses arguments en gardant a l'esprit que personne n'a de reponse definitive.

[Médiat]

Apres quelques recherche, il me semble que son affirmation vient de travaux de Chaitin.
Il s'agit donc bien de mesure.

Deux remarques :

• Il s'agit de théories bien particulières contenant l'arithmétique (de Robinson je suppose) et récursivement axiomatisables.
• La mesure en question est une mesure de la complexité (normal de la part de Chaitin), ce qui introduit une notion pragmatique dans la notion de "démontrable".

Pour revenir au sens premier de l'intervention où tu avais fait cette remarque, je dois avouer que savoir si les propositions indécidables de l'arithmétique de Peano sont "pathologiques" n'est pas dans mes préoccupations (j'ai juste sursauté sur cette comparaison), pas plus que la notion de mathématiques réelles (je suppose qu'ici il est fait allusion au modèle standard de IN (par exemple).
Surtout ne vois rien de personnel dans le paragraphe ci-dessous (je précise à cause de ta remarque "vous pouvez l'ecouter par vous-meme si vous doutez de l'affirmation que je reporte" alors qu'à aucun moment je n'ai émis ce doute).

Cordialement

[invite6754323456711]

• (1) On l'a deja dit plusieurs fois : c'est une question d'opinion, personne ne cherche a convaincre quiconque, on en discute seulement
• (2) Il y a souvent a apprendre des autres dans une discussion ouverte ou chacun presente ses arguments en gardant a l'esprit que personne n'a de reponse definitive.

C'était juste un clin d'oeil d'humour et uniquement un clein d'oeil d'humour. La question reste trés interréssente pour la curiosité intellectuelle. Je me posais juste la question si cette question avait une réponse (si une réponse peut exister ?)

Je partage totalement tes deux points.


Comment les mathématiques s'ils sont inventer peuvent-ils être aussi précis dans la description de la nature (est elle aussi inventer ?)?

Patrick

[Médiat]

Comment les mathématiques s'ils sont inventer peuvent-ils être aussi précis dans la description de la nature (est elle aussi inventer ?)?

Si par Nature tu entends le monde réel perceptible, alors les mathématiques ne sont pas si précises que cela (pas de cercle, pas de ligne droite, pas d'ensemble de Mandelbrot ou de flocon de Koch etc. dans la nature).
Si par Nature tu entends ce que nous dit la physique, alors l'argument est circulaire, puisque la physique s'écrit dans le langage des mathématiques (disait Poincaré,et je ne crois pas que quiconque le conteste).

[invite6754323456711]

Si par Nature tu entends le monde réel perceptible, alors les mathématiques ne sont pas si précises que cela (pas de cercle, pas de ligne droite, pas d'ensemble de Mandelbrot ou de flocon de Koch etc. dans la nature).

L'objectif n'est il pas de découvrir (ou d'inventer) des mathématiques de plus en plus précise par rapport à la description des propriétés de la nature.

Si par Nature tu entends ce que nous dit la physique, alors l'argument est circulaire, puisque la physique s'écrit dans le langage des mathématiques (disait Poincaré,et je ne crois pas que quiconque le conteste).

Ce que nous dit la physique n'est-il pas dans ce cas ce que nous voulions qu'elle nous dise (donc inventer)?

Patrick

[Médiat]

L'objectif n'est il pas de découvrir (ou d'inventer) des mathématiques de plus en plus précise par rapport à la description des propriétés de la nature.

Ca c'est le rôle de la physique pas des maths.

Ce que nous dit la physique n'est-il pas dans ce cas ce que nous voulions qu'elle nous dise (donc inventer)?

Il va falloir que tu ouvres un autre fil avec comme titre : "La Physique : invention ou découverte", et ça va être beaucoup plus chaud .

Si j'en juge par son pseudo, mtheory doit avoir de sérieux contradicteurs à son platonicisme (tous ceux qui pensent que les théories des cordes sont des inventions farfelues, par exemple), j'attends donc avec impatience le post promis (celui sur les maths, pas sur la théorie M ) .

[philname]

Il y a quelques point dans ce post qui m'intéressent, je me suis déjà posé des question sur les axiomes et la théorie qui découle de ces axiomes :

http://forums.futura-sciences.com/thread204464.html

A savoir, comment être sûre de construire une théorie consistante à partir d'axiomes. Car une théorie est-elle obligatoirement consistante à partir des axiomes ? Peut-on prouver la consistance d'une théorie ? C'est des questions philosophie que je me pose. Mais bon là je suis peut-être hors sujet avec le post.

Sinon, personne n'a vraiment parler de géométrie.
Quels sont les axiomes principaux de la géométrie? N'est-ce tout simplement pas le cercle la droite et le point ? Bon je dirais que c'est simplement le cercle et le point, puisque la droite c'est un cercle de rayon infini.

La géométrie c'est aussi des maths, on peut aussi faire des raisonnement mathématique avec des cercles. La nature est-elle construite sur la géométrie, une onde pure (sinusoïde) c'est un vecteur tournant.
Géométrie, face cachée des mathématique ?

Le cercle, le point, une découverte ou invention ?

[invite6754323456711]

Ca c'est le rôle de la physique pas des maths.

Oui mais la physique mathématique n'est elle pas une branche des mathématiques ? Bien que la physique ne puisse énoncer ses lois, sans avoir recours aux notions mathématiques appropriés, elle ne se réduit pas qu'aux mathématiques.

Le formel mathématique et le réel physique ne se confondront peut être jamais exactement.

Donc c'est un peu le rôle de la physique mathématique de s'approcher au plus prés de la réalité de la nature.

Patrick

[Médiat]

A savoir, comment être sûre de construire une théorie consistante à partir d'axiomes.

Le moyen le plus simple que je connaisse de montrer qu'une théorie est consistante est d'en exhiber un modèle (théorème de complétude), par exemple le demi-plan de Poincaré.

Car une théorie est-elle obligatoirement consistante à partir des axiomes ?

Non, il suffit de prendre pour axiomes les deux propositions suivantes :

• A1
• non A1

Peut-on prouver la consistance d'une théorie ?

Oui, cf. plus haut

C'est des questions philosophie que je me pose.

Ce sont plutôt des questions de logique donc de mathématique, ou de méta-mathématique.

Quels sont les axiomes principaux de la géométrie? N'est-ce tout simplement pas le cercle la droite et le point ? Bon je dirais que c'est simplement le cercle et le point, puisque la droite c'est un cercle de rayon infini.

Hilbert (et quelques autres) a axiomatisé la géométrie euclidienne (et donc celles de Lobatchevsky et de Riemann) à partir de 3 classes d'objets : points, droites, plans.

Le cercle, le point, une découverte ou invention ?

Selon que l'on parle d'Euclide ou de Hilbert, je ne donnerais pas la même réponse.

[Médiat]

Oui mais la physique mathématique n'est elle pas une branche des mathématiques ?

Ou de la physique, puisqu'il s'agit de développements mathématiques avec un but physique avoué (quand le physicien ne trouve pas dans sa boîte à outils tout ce dont il a besoin).

Bien que la physique ne puisse énoncer ses lois, sans avoir recours aux notions mathématiques appropriés, elle ne se réduit pas qu'aux mathématiques.

Bien sur que non, mais je n'ai jamais écrit cela.

Le formel mathématique et le réel physique ne se confondront peut être jamais exactement.

Sans doute, mais c'est un peu le contraire de ce que tu disais plus haut :

Comment les mathématiques s'ils sont inventer peuvent-ils être aussi précis dans la description de la nature (est elle aussi inventer ?)?

Donc c'est un peu le rôle de la physique mathématique de s'approcher au plus prés de la réalité de la nature.

Le rôle de la physique en général

[invite06fcc10b]

Bien que globalement en accord avec ton intervention, je le suis moins sur le point souligné en gras : cela a-t-il du sens que de dire que Picasso a découvert Guernica relativement à l'ensemble des peintures possibles ?

Pourquoi pas ? Personnellement, ça ne me gêne pas. De plus, si on considère les tableaux d'une certaine taille et les limites de perception visuelle, on peut facilement dénombrer l'ensemble des tableaux possibles et proposer un algorithme qui les calcule et les affiche 1 par 1. Dirais-tu que cet algorithme les invente ?

A+,
Argyre

[invite8ef897e4]

Pourquoi pas ? [...] Dirais-tu que cet algorithme les invente ?

A la question "Pourquoi pas ?", ma reponse serait clair : parce que c'est un argument "marginal" et donc n'est pas pertinent.

L'ensemble de livres de moins que gogoleplex caracteres est fini quelque soit la taille de l'alphabet considere. Un gorille ecrira donc tous les livres possibles que je puisse lire dans ma vie en un temps fini. S'il existe une preuve de votre conjecture preferee en moins que 1 gogolplex caracteres, il finira donc par la trouver effectivement. Mais le premier probleme est qu'il ne saura pas qu'il l'a trouve et que donc il faudrait un moyen de verifier parmi tout le bruit blanc produit ou se trouve la perle.

Une autre facon de voir les choses : admettant que pi est un nombre universel, nous n'avons plus rien a inventer. Toute votre vie est contenue dans pi. Autrement dit : vous avez une chance de devenir milliardaire d'ici la fin de la semaine. Une bonne strategie consiste-t-elle a regarder dans pi l'histoire de votre vie jusqu'a aujourd'hui, et trouver la version qui vous dira comment devenir millardaire en quelques jours ? Non, car la vaste majorite de ces versions est erronee. La probabilite que vous tombiez sur une version qui marche est negligeable.

[Médiat]

De plus, si on considère les tableaux d'une certaine taille et les limites de perception visuelle, on peut facilement dénombrer l'ensemble des tableaux possibles et proposer un algorithme qui les calcule et les affiche 1 par 1. Dirais-tu que cet algorithme les invente ?

Non puisque, contrairement à Picasso, l'algorithme est incapable de choisir le bon élément dans cet ensemble, puis de lui donner le titre significatif qui en fait un manifeste en plus d'une oeuvre d'art.

[EDIT]Grillé : Je viens de lire la réponse de humanino, donnant une réponse du type "bibliothèque de Babel", c'est évidemment la même idée que je développe.[/EDIT]

[predigny]

Pauvre Picasso, dont l'oeuvre se réduit à un algorithme. Je sens qu'on glisse vers un déterminisme absolu où en fait rien n'est crée ou inventé mais n'est que le résultat d'une pèche à la ligne qui fait découvrir des objets déjà existants. Mr Godillot n'a pas inventé le célèbre brodequins militaire mais a juste été à la pèche à la ligne !

[invite6754323456711]

Bonjour,

Dans tous les cas de figures invention ou découverte émanent de la pensée. Existerait-il une démarche de raisonnement qui induit l'invention (l'intuition ?) et une autre qui conduit à une découverte (déduction ?)

Patrick

[mtheory]

Pourquoi pas ? Personnellement, ça ne me gêne pas. De plus, si on considère les tableaux d'une certaine taille et les limites de perception visuelle, on peut facilement dénombrer l'ensemble des tableaux possibles et proposer un algorithme qui les calcule et les affiche 1 par 1. Dirais-tu que cet algorithme les invente ?

A+,
Argyre

Complètement d'accord avec ça !
L'argument me semble remarquable !

D'aileurs, beaucoup de grands créateurs disent qu'ils ne créent pas, ils sont justes les médiums de quelques choses qui était déjà là.

Je me souviens très bien d'un fresque de Pompeï à Naples très similaire à un tableau de Boticelli.

Que ça soit une décision et un travail humain qui fasse émerger du Picasso ne changent rien à l'affaire, c'est potentiellement déjà là.

[Gwyddon]

Bof, l'argument est contré par humanino et Mediat de façon tout aussi remarquable...

Sinon moi aussi je suis un Picasso, laissez-moi juste le temps

[mtheory]

Bof, l'argument est contré par humanino et Mediat de façon tout aussi remarquable...

Sinon moi aussi je suis un Picasso, laissez-moi juste le temps

Je ne vois pas en quoi ?
Oui, ou non ne puis-je pas définir à l'avance un espace de configurations possibles pour une image en couleur de disons (100000 pixel) carré avec 1000 couleurs possible et 1000 niveau d'intensité ?

Dans ces conditions, en explorant toutes les configurations possibles la Joconde doit être dedans et cette question n'est pas liée à la sensibilité ni au pouvoir artistique.

[invite8ef897e4]

Dans ces conditions, en explorant toutes les configurations possibles la Joconde doit être dedans et cette question n'est pas liée à la sensibilité ni au pouvoir artistique.

Je crois que nous avons tous bien compris cet argument, qui en lui meme est interessant (en effet, il est valide parce que nous definissions une resolution, ou echelle, a notre observation, ce qui est effectivement pertinent). L'argument de la bibliotheque de Babel (comme l'a appele Médiat) repond a cet argument une fois qu'il a ete defini : de ce point de vue (opinion), l'argument parait peu convaincant (il me semble).

[Médiat]

Dans ces conditions, en explorant toutes les configurations possibles la Joconde doit être dedans et cette question n'est pas liée à la sensibilité ni au pouvoir artistique.

Pour éviter de me répéter sur ce sujet, je te renvoie aux auteurs que j'ai cités : Cocteau et Borges.

[EDIT]Encore grillé par humanino .[/EDIT]

[mtheory]

Je crois que nous avons tous bien compris cet argument, qui en lui meme est interessant (en effet, il est valide parce que nous definissions une resolution, ou echelle, a notre observation, ce qui est effectivement pertinent). L'argument de la bibliotheque de Babel (comme l'a appele Médiat) repond a cet argument une fois qu'il a ete defini : de ce point de vue (opinion), l'argument parait peu convaincant (il me semble).

Je sais que je vieillis et que je deviens de plus en plus idiot...je dis ça sincérement, mais je ne vois aucune connexion avec ces histoires et l'arguments d'Argyre....complétement aucune, ce n'est pas que je trouve ton argument faux, c'est qu'il a autant de sens pour moi que de répondre "il pleut" à "Qu'elle heure est-il ?"
Je ne comprends absolument pas où vous voulez en venir, la question n'a rien avoir avec un caractère mécanique ou non de la conscience, la question est la Joconde existe t-elle potentiellement avant qu'elle ne soit peinte.

La réponse que donne Argyre et oui et ça me semble parfaitement valable indépendamment de la question que ce soit un algo sur ordinateur ou l'esprit de de Vinci qui l'actualise physiquement.

[invite6754323456711]

Complètement d'accord avec ça !
L'argument me semble remarquable !

Si on suit la logique de l'argument on en déduit que l'art en général a été découvert et non inventé.

Par quel processus avons nous alors découvert l'art ? Il faut une forme d'intelligence (imagination, inspiration) pour ldecouvrir l'art. Il faut de plus imaginer et créer le support pour permettre à l'art de s'exprimer. Si on part du principe ou rien ne se crée, rien ne se perd tous se transforme il doit donc exister un algorithme capable de découvrir de nouveaux supports ainsi que nouveaux usages artistiques de ces supports.

Sans imagination ni inspiration comment aurions nous pu découvrir et faire émerger l'art ?

L'imagination, l'inspiration est-ce aussi une découverte découlant de l'intelligence de l'homme ?

Patrick

[Romain-des-Bois]

Bonsoir,

comme je l'ai déjà dit, je n'ai pas forcément envie de trop m'impliquer dans le débat, mais j'ai quand même une question :
Les Mathématiques semblent très bien adaptées à l'Homme. Ne pensez-vous pas que dire qu'elles ont été découvertes (et donc qu'elles préexistent à la vie humaine) est plutôt égocentrique ?
(bon, je le dis, je suis plutôt dans un point de vue : Mathématiques inventées)
- - - - - - - -

Je vais parler de la conférence d'E.Klein (puisque j'y ai assisté), et vous pourrez vérifier ce que je dis en cherchant sur le net (j'avais trouvé une description de la conf par un mathématicien).

E.Klein nous a dit : (je cite modulo ma mémoire)

il y a trois types de Mathématiciens. Comme il y a trois types d'écoles : les ENSIs, les Mines&Centrales et l'X. Pour les Normaliens, je n'en parle pas, c'est à part...
les étudiants qui intègrent les ENSIs ne sont dans une optique que d'application des Mathématiques. Ils sont Aristotéliciens (mathématiques empiriques). Ceux qui intègrent les Mines&Centrales sont eux Platoniciens, et ceux qui comprennent le mieux les Mathématiques sont à l'X. Ils sont Pythagoriciens : la nature est mathématique.

E.Klein dit être Platonicien (normal il a fait Centrale). Je trouve très dommage de vouloir classer les gens comme ça, sur des critères de réussite à un concours à 20 ans !

Mais si j'ai cité ça, c'est pour cela : E.Klein est sûrement quelqu'un de très intelligent, et s'il se permet cette "classification" sur des critères aussi objectifs (et inchangeables), c'est peut-être pour dire que chacun a son opinion et ne peut en changer...

Je précise que je ne suis pas de cet avis...


Romain

[invite6754323456711]

Bonsoir,

La notion d'invention ne serait donc qu'une action de trouver, de découvrir ? Tout existe déjà, il faut seulement le retrouver. L'art n'est donc qu'une imitation ?

L'invention consistant à avoir imaginé quelque chose de nouveau n'est que utopie ? Elle consiste alors à ne savoir faire que des combinaisons neuves.

Qu'est-ce qui interdit d'inventer un concept (l'infini ou le rien par exemple) qui n'existera jamais dans la nature ?

Patrick

[Romain-des-Bois]

Petite précision :
quand je dis : dire que les mathématiques ont été (ou sont) découvertes est égocentrique. Je veux dire : plus égocentrique de dire qu'elles ont été inventées (par l'Homme).

Car on peut se dire que les deux visions sont égocentriques. Et elles le sont selon son point de vue. Bon, on avancera pas.

Le seul moyen de répondre à la question ne serait-il pas de faire la connaissance avec un peuple extra-terrestre (intelligent) ?
S'il dispose des mêmes mathématiques que nous, alors il y aura de fortes chances pour qu'elles soient découvertes,
dans le cas contraire on sera sûr qu'elles ont été inventées par l'Homme.


Romain

[Romain-des-Bois]

http://www.yann-ollivier.org/philo/M...uverte.html.fr

J'ai trouvé ça pas mal...

[Gwyddon]

Une petite remarque historico-culturelle

La notion d'invention ne serait donc qu'une action de trouver, de découvrir ? Tout existe déjà, il faut seulement le retrouver. L'art n'est donc qu'une imitation ?

Pour les Grecs, l'art ne consistait qu'en imitation de la Nature, toute oeuvre de fiction était "interdite"

La définition de ce qu'est l'art varie donc d'une époque à une autre..


Je reviens sur mtheory :

La réponse que donne Argyre et oui et ça me semble parfaitement valable indépendamment de la question que ce soit un algo sur ordinateur ou l'esprit de de Vinci qui l'actualise physiquement.

L'un a la capacité de décider de la pertinence de ce qu'il a trouvé, pas l'autre. C'est le sens de l'argument de la tour de Babel.

Maintenant j'ajoute un deuxième argument, purement informatique : l'algorithme en question est-il un algorithme calculable au sens pratique (ie fonctionnant en un temps inférieur à la durée de vie disons du Soleil) ? Mon petit doigt me dit que non... Du coup, d'un point de vue constructiviste, cet algorithme ne découvre pas tout...