Théorie du tout : mathématiquement impossible ?

[inviteaf48d29f]

Tu te méprend sur mon utilisation du mot "équivalent". J'utilisais simplement la notion de "relation d'équivalence" qui est un objet mathématique (je pensais que tu le connaissais).
Le terme "équivalent" est ici surtout utilisé pour différencier les relations d'équivalence des relations d'ordre. L'existence de ces dernières nous empêche de parler simplement de "relations".

Tu as en tout cas raison de ne pas aimer le terme "d'équivalence" entre deux évènements, quand il y a une relation d'équivalence entre deux évènements on ne dit pas qu'ils sont équivalent mais qu'ils sont en "relation". Tout de suite on se rend compte que finalement on ne dit pas quelque chose d'aussi fort que ça.
Je précise tout de même que ⇔ est une relation d'équivalence. C'est écris noir sur blanc dans mon cours (enfin bleu sur blanc) : "La relation d'équivalence est une relation d'équivalence."


On peut dire d'une certaine façon qu'une relation d'équivalence est une fonction à laquelle on ne donne pas de rôle particuliers aux ensembles de départ et d'arrivé. Dans notre cas deux évènements seraient en relation s'ils sont "liés" par le même phénomène.

P.S : Tu parles de l'existence de force et de la présence d'un champ de pesanteur comme étant des évènements. Attention, là vous allez bien en aval de notre discussion. La notion de force est un outil physique, principalement c'est de la mécanique Newtonienne. C'est un moyen d'interpréter et de décrire les phénomènes, ça ne fait pas partie des phénomènes eux même.
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[Médiat]

Bonjour,

On peut dire d'une certaine façon qu'une relation d'équivalence est une fonction à laquelle on ne donne pas de rôle particuliers aux ensembles de départ et d'arrivé. Dans notre cas deux évènements seraient en relation s'ils sont "liés" par le même phénomène.

J'avoue ne pas bien comprendre ce point, car je ne vois pas quelle fonction on peut naturellement associer à une relation d'équivalence (à part , mais les ensembles de départ et d'arrivée ont des rôles très particuliers).

Une relation d'équivalence, c'est plutôt une partition de l'ensemble sur lequel elle porte.

[karlp]

(1) Cela peut être le cas, et cela peut être plus pervers, par exemple que n et m soit des entiers standard dans un modèle non standard de l'arithmétique dans le 1, alors que dans le 2 il s'agit forcément de "tous" les entiers, standard ou non.

Pour insister sur un sujet qui me tient à coeur, il y a un grosse différence entre le "Pour tous" du mathématicien (c'est à dire le quantificateur universel) et le "Pour tous" dans une phrase en langage naturel ; (2) par exemple dire que "l'ensemble des parties de l'ensemble E contient tous les sous-ensembles de E", n'a pas le même sens en Français et dans ZF, et c'est justement parce qu'il n'y a pas d'ensemble auquel se référer pour définir les sous-ensembles de E (puisque justement c'est l'ensemble que l'on veut définir).

(1) J'ai, grâce à vous, découvert qu'"existaient" (je n'omets pas les guillemets) des entiers non standards (j'avais lu quelques bribes sur les illimités et les infinitésimaux, dans un article consacré à la résolution des paradoxes de Zénon, mais rien sur ces entiers non standard).
Est-il juste que cette notion d'entier non standard est propre aux théories finitistes (j'ai, pour l'instant, l'impression que cette notion implique l'exclusion de l'axiome de l'infini ?) ?

(2) Faudrait-il dire que "si E est un ensemble, alors toute partie de E est un (sous-)ensemble *(en vertu de l'axiome du choix ?)de E" et que la réunion de tous les sous-ensembles de E est, en vertu de l'axiome de la réunion (?), un ensemble" ?

* Je suis ennuyé parce qu'il me semble que "partie" et sous-ensemble" sont synonymes. Est-ce que je résouds le problème en posant que toute réunion d'éléments quelconques de E est un sous-ensemble de E ?

[Cela fait beaucoup de questions, n'est-ce pas ?]

[Médiat]

Bonjour,

(1) J'ai, grâce à vous, découvert qu'"existaient" (je n'omets pas les guillemets) des entiers non standards (j'avais lu quelques bribes sur les illimités et les infinitésimaux, dans un article consacré à la résolution des paradoxes de Zénon, mais rien sur ces entiers non standard).
Est-il juste que cette notion d'entier non standard est propre aux théories finitistes (j'ai, pour l'instant, l'impression que cette notion implique l'exclusion de l'axiome de l'infini ?) ?

C'est lié au théorème d'incomplétude de Gödel, à savoir que l'arithmétique de Peano n'est pas complète (et ne peut être complétée de façon satisfaisante), donc qu'il existe des modèles différents de IN (qu'on appelle non standard); je dis que c'est lié au théorème d'incomplétude, car si l'arithmétique de Peano était complétable, on l'aurait complétée et la question des non standards ne se poserait pas de la même façon, en tout état de cause toute proposition "vraie" dans un modèle le serait dans les autres.

(2) Faudrait-il dire que "si E est un ensemble, alors toute partie de E est un (sous-)ensemble *(en vertu de l'axiome du choix ?)de E" et que la réunion de tous les sous-ensembles de E est, en vertu de l'axiome de la réunion (?), un ensemble" ?

Avec ou sans l'axiome du choix, le problème est bien de traduire "toute partie" dans le langage de ZF.

* Je suis ennuyé parce qu'il me semble que "partie" et sous-ensemble" sont synonymes. Est-ce que je résouds le problème en posant que toute réunion d'éléments quelconques de E est un sous-ensemble de E ?

Oui, partie = sous-ensemble ; là encore le problème est de traduire "toute réunion" dans le langage de ZF. Vous remarquerez qu'à chaque fois, le langage naturel permet de dire des choses, que l'on ne peut pas traduire, et si on ne peut pas, c'est à cause du "Tout". Faut-il en conclure que le langage formel est insuffisant pour traduire le langage naturel, même quand il exprime des concepts mathématiques, ou que le langage naturel est un leurre qui nous laisse croire que nous exprimons une chose qui, en fait, est mal (pas) définie ? Evidemment je penche pour la deuxième explication .

[Cela fait beaucoup de questions, n'est-ce pas ?]

Ne vous inquiétez pas, c'est un plaisir.

[karlp]

Bonjour,

(1)C'est lié au théorème d'incomplétude de Gödel, à savoir que l'arithmétique de Peano n'est pas complète (et ne peut être complétée de façon satisfaisante), donc qu'il existe des modèles différents de IN (qu'on appelle non standard); je dis que c'est lié au théorème d'incomplétude, car si l'arithmétique de Peano était complétable, on l'aurait complétée et la question des non standards ne se poserait pas de la même façon, en tout état de cause toute proposition "vraie" dans un modèle le serait dans les autres.

(2) Oui, partie = sous-ensemble ; là encore le problème est de traduire "toute réunion" dans le langage de ZF. Vous remarquerez qu'à chaque fois, le langage naturel permet de dire des choses, que l'on ne peut pas traduire, et si on ne peut pas, c'est à cause du "Tout". Faut-il en conclure que le langage formel est insuffisant pour traduire le langage naturel, même quand il exprime des concepts mathématiques, ou que le langage naturel est un leurre qui nous laisse croire que nous exprimons une chose qui, en fait, est mal (pas) définie ? Evidemment je penche pour la deuxième explication :S:.


(3)Ne vous inquiétez pas, c'est un plaisir.

(1) Voilà qui va occuper mes réflexions en ce jour d'hui.

(2) Cette question liée aux significations du mot "tout" me paraît également être cruciale; s'agissant notamment du statut du langage naturel. Effectivement, je crois bien que ce dernier nous amène régulièrement à produire des "sophismes" et que la connaissance des concepts mathématiques nous permet d'en repérer quelques uns.

(3) "Le grand nounours vert" soit loué

[Médiat]

(1) Voilà qui va occuper mes réflexions en ce jour d'hui.

Vous trouverez peut-être des compléments d'information dans le fichier joint là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944

[karlp]

Vous trouverez peut-être des compléments d'information dans le fichier joint là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post1980944

Merci à vous Médiat

J'en ai désormais pour le reste de la semaine

[invite7ce6aa19]

Bonjour à tous,

La théorie du tout: un mouvement d'unification.

La théorie du tout est un grand mythe, une utopie moderne que les physiciens ont créés pour leurs propres homéostasie intellectuelle. En quelque sorte la quête du Graal.

Il faut dire que l'histoire de la physique conjointement à celle des mathématiques les encouragent dans cette quête d'unité.

Une théorie du tout est quelque chose de nos jours qui serait par exemple une "synthèse" ou un mariage entre la gravité et la MQ selon le programme de la Loop Quantum Gravity ou encore selon la théorie M entre les gravitons (donc la RG) et les excitations élémentaires où les "particules quantiques" sont des remplacées par des "cordes quantiques" évoluant dans un espace de dimension 9.

Nous ne rappelons pas toutes les étapes d'unification biens connus de tous qui commencent il y a 400 ans, avec la chute des corps.

Personnellement nous ne voyons pas d'obstacle de principe à ce que (ou ces) programmes physico-mathématiques aboutissent.

Un contre mouvement: La diversification.

Le leurre de cette vision est que au fur et à mesure que se poursuit cette unification, se développe en maintenant un processus de diversification. Autrement dit quelque chose qui va dans le sens contraire et c'est tout à fait normal. Pourquoi?

Les physiciens du solide sont confrontés à expliquer des résultats expérimentaux qui tous ressortent d'un hamiltonien universel qui représente aussi bien une molécule d'H2O, un cristal de LaTiO3,un matériau supraconducteur, un virus, une mitochondrie, une goute de sperme, une mouche tsé-tsé etc...

Un hamiltonien universel pour rien?


Cet hamiltonien "universel" pour les physiciens du solide s'écrit en notation réduite:


H = P2/2m + P2/2.Ma+ v[|Ri -Rj|] +v[| Ri -Ra|] v[|Ra -Rb|]+ W(Ri) + W(Ra)

P2/2.m représente les énergies cinétiques des électrons (toutes les masses sont identiques)

P2/2Ma représente les énergies cinétiques des noyaux (toutes les masses ne sont pas identiques)

v[|Ra -Rb|] interaction électrostatique entre noyaux.

v[|Ri -Rj|] interaction électrostatique entre électrons.

v[|Ra -Rb|] interaction électrostatique entre électrons et noyaux.

W(Ri) + W(Ra) sont des potentiels extérieurs.

Les indices i,j se rapportent aux électrons les indices a,b aux noyaux. Bien que tout est interaction électrostatique on distingue noyaux et électrons car les noyaux n'ont pas la même masse.


Nota: Cet hamiltonien "universel" pour les physiciens du solide ne l'est pas car nous avons négliger, pour simplifier, les effets relativistes dont les effets peuvent-être dominants: voir par exemple la structure de la bande de valence de GaAs.

Remarque 1: Cet hamiltonien est d'une telle complexité qu'il est insoluble même approximativement.

Remarque 2: Cet hamiltonien y compris les effets relativistes est un hamiltonien effectif déduit d'un hamiltonien QED. Cet hamiltonien effectif qui représente les phénomènes à basse énergie cad E << m.c2 où m est la masse de l'électron.

Remarque 3: du point de vue de la perspective unificatrice, puisque cet hamiltonien effectif n'est qu'un sous-produit de la QED.


Des concepts, des concepts.....

En fait les physiciens du solide, face à des problèmes insolubles résolvent le problème en inventant (découvrant?) de nouveaux concepts à partir de l'expérimentation. Pour illustrer cela il suffit de prendre de prendre un livre comme celui de Kittel. Je vais prendre 3 exemples.

A- La supraconductivité.

On peut regarder droit dans les yeux l'hamiltonien effectif ci-dessus personne ne pourra lire le phénomène de supraconductivité. le phénomène de supraconductivité a été découvert expérimentalement et c'est le guidage expérimental qui a permis de conceptualiser. Cette conceptualisation a connu des remaniements dont une superbe conséquence est le fameux et hypothétique boson de Higgs des particules élémentaires.

- B-La structure de bandes du silicium.

Si on ne connaissait pas cette structure de bandes et ses conséquences l'humanité ferait un grand bon en arrière de 60 ans. cette structure de bande à la base de tous les composants électroniques. Là aussi la stratégie de contournement est la conjonction d'un nombre impressionnant de résultats expérimentaux et d'un nouveau concept: le quasi-électron et les quasi-trous qui cachent toute la complexité du problème à N corps.


C- L'effet hall quantique fractionnaire(EHQF) .

On peut regarder droit dans les yeux l'hamiltonien effectif ci-dessus personne ne pourra pas lire le phénomène EHQF.

Nous n'en dirons rien, ce serait hors sujet, sinon que cet effet a été récompensé par 2 prix Nobel et encore une fois de plus c'est le développement de nouveaux concepts issus de l'expérience qui permet de contourner la difficulté "insurmontable" du problème à N corps.

Très important: Si c'est l'expérimentation qui permet de créer le concept, ce sont les mathématiques qui lui donne une substance. En général le langage mathématique ad hoc existe presque tout le temps avant même la découverte du concept physique. C'est une raison pour reconnaître l'existence indispensable d'une activité mathématique autonome.


Pour revenir à la question du fil:

S'il y a un mouvement d'unification intentionnel, la théorie du tout , il y a simultanément un mouvement de diversification imposé par les nouvelles données expérimentales.

Ces nouvelles données expérimentales sont irréductibles aux lois dont elles sont censées se déduire.

On appelle çà les mécanismes émergents dont le grand promoteur est P.W Anderson.

[Deedee81]

Salut Mariposa,

Les deux points fort important que j'ai retenus de cette longue prose c'est l'émergence et la calculabilité (dans le sens "pas trop complexe à utiliser"). C'est effectivement important (du moins je le pense) et ça n'a pas beaucoup été discuté dans ce fil.

Je pense qu'effectivement ces barrières existeront et elles existent d'ailleurs déjà (impossible de calculer le flambage d'une colonne en bêton avec la mécanique quantique).

Dans ce sens, l'expression "théorie de tout" est encore plus abusif.

Par contre, il est intéressant, ne fut-ce que par curiosité intellectuelle , de voir comment les différentes théories dites fondamentales peuvent dériver d'une théorie unique. Avec à la clef peut-être l'explication de phénomènes physiques qui nous sont d'ailleurs inaccessibles pour le moment

C'est bien dans ce sens là que tu l'entendais ?

[invite7ce6aa19]

Je pense qu'effectivement ces barrières existeront et elles existent d'ailleurs déjà (impossible de calculer le flambage d'une colonne en bêton avec la mécanique quantique).

Bonjour Deedee81.

C'est exactement çà. Le calcul du flambage d'une poutre en MQ est non seulement impossible, même en théorie et en plus c'est un non sens pratique

Dans ce sens, l'expression "théorie de tout" est encore plus abusif.

C'est tout simplement l'énoncé d'un mythe moderne et laïque.

Par contre, il est intéressant, ne fut-ce que par curiosité intellectuelle , de voir comment les différentes théories dites fondamentales peuvent dériver d'une théorie unique. Avec à la clef peut-être l'explication de phénomènes physiques qui nous sont d'ailleurs inaccessibles pour le moment

Sans aucun doute, cela est une aspiration humaine collective.

Néanmoins on découvre chaque année des phénomènes extraordinaires qui sont autant de défis à la compréhension dont personne ne parle en général et en particulier sur Futura si l'on excepte les excellents articles d'actualité de Laurent Sacco dont la plupart restent dans l'indifférence, sauf s'il s'agit de trous noirs ou des trucs du même genre.

[Deedee81]

C'est tout simplement l'énoncé d'un mythe moderne et laïque.

J'aurais dit "médiatique" mais on peut voir ça comme synonyme

Néanmoins on découvre chaque année des phénomènes extraordinaires qui sont autant de défis à la compréhension dont personne ne parle en général et en particulier sur Futura si l'on excepte les excellents articles d'actualité de Laurent Sacco dont la plupart restent dans l'indifférence, sauf s'il s'agit de trous noirs ou des trucs du même genre.

C'est vrai que la plus part des sujets sont soit scolaires soit, comment dire, "bateaux" ?

C'est vrai aussi des autres forums que Futura.

A part quelques exceptions (je ne sais plus si c'est sur Futura qu'on a récémment parlé du graphène et de ses applications, par exemple, ou de la sonofusion, etc.).

Pourtant, je lis beaucoup la litérature scientifique, et on voit énormément de choses intéressantes à tout niveau.

Je ne vais pas faire de la sociopsychologie à quatre sous pour comprendre pourquoi, ça sort largement de mes compétences, et bon, de toute façon, c'es aussi largement hors sujet (qui est la possibilité de formuler mathématiquement une théorie de tout).

[invite73008d85]

Mariposa, ton exposé est très interessant !
Cependant pour être sûr de le comprendre dans sa totalité, pourrait-tu m'expliquer ce qu'est un hamiltonien ?

J'ai lu (je ne saurais absolument plus dire où ni quand) qu'un chercheur (je ne ma rappelle plus de son nom) pensais que notre connaissance du monde était de nature fractale : alors qu'on pensait tout connaitre, il suffit de se pencher un peu plus sur un phénomène pour découvrir une multitude de connaissances (comme avec le célèbre problème du corps noir).
Qu'en pensez vous ?

Sinon, je ne veux pas trop dériver du sujet, mais comme le sujet m'interressait je suis aller faire quelques recherches sur cette théorie ZF et je suis tombé sur cet axiome :

Axiome de fondation : Tout ensemble X non vide contient un élément y tel que X et y sont des ensembles disjoints (qui n'ont aucun élément en commun).

Comment est-ce possible ? Puisque y appartient à X, alors tous les éléments de y appartiennent forcément aussi à X, non ?

[invite7ce6aa19]

Mariposa, ton exposé est très interessant !
Cependant pour être sûr de le comprendre dans sa totalité, pourrait-tu m'expliquer ce qu'est un hamiltonien ?

Un hamiltonien c'est un opérateur mathématique, mais physiquement c'est synonyme de énergie. Par exemple l'énergie cinétique d'une particule c'est E = 1/2.m.v2

[Médiat]

Comment est-ce possible ? Puisque y appartient à X, alors tous les éléments de y appartiennent forcément aussi à X, non ?

Non, prenez , et , alors les éléments de y n'appartiennent pas à X

[Pio2001]

Bonjour,

Une théorie qui explique (ou décrit) tout, ce serait chouette, ça c'est sûr.

Mais de toute façon, "théorie de tout", en physique, ça ne signifie pas ça. L'expression est mégalomane mais l'usage plus modeste

Donc la question ne se pose pas.

Ce n'est pas parce qu'en physique, "théorie du tout" a un sens précis que le concept de théorie décrivant tous les phénomènes n'a pas de sens par ailleurs.

Non, parce qu'une théorie n'est pas un phénomène physique.

Dire qu'une théorie n'est pas un phénomène physique, dans ce contexte, implique que l'esprit a une existence non physique, puisque la théorie est un produit de l'esprit.

Si au contraire on admet que la théorie, en tant qu'objet, n'entre pas dans la classe d'objet qu'on appelle "phénomènes", alors que-est-ce que cela signifie de dire qu'elle "existe" ?
Qu'elle a été découverte par quelqu'un ? Mais ça, c'est un phénomène physique. C'est le fonctionnement du cerveau de cette personne. Phénomène que la théorie doit prédire en principe, ci ce n'est en pratique.

Donc l'argument a un sens : une théorie de tous les phénomènes est-elle compatible avec l'existence du phénomène "découverte de cette théorie par quelqu'un" ?

Pour moi oui : l'ensemble de Mandelbrot illustre un phénomène semblable : l'ensemble lui-même est reproduit, de façon déformée, mais complète, dans toute partie de sa frontière.
Mathématiquement, une structure peut donc se contenir elle-même.

Dès lors, je vois difficilement comment on pourrait démontrer qu'il serait impossible qu'une théorie décrive sa propre découverte par un cerveau, humain ou non.

[inviteaf48d29f]

Je ne suis pas d'accord avec vous Pio2001. Ce n'est pas parce que personne n'a découvert une théorie qu'elle n'existe pas. Vous dites vous même que c'est "la découverte de la théorie" qui est un phénomène (moi je dirai plutôt évènement), la théorie elle-même n'en est pas un.

De toutes façon, la conclusion est la même que la votre. Une théorie du tout n'est pas une aberration logique. C'est toujours ça de gagné, mais ça nous avance quand même pas énormément pour ce qui est de sa découverte ^^.

[Pio2001]

Je ne suis pas d'accord avec vous Pio2001. Ce n'est pas parce que personne n'a découvert une théorie qu'elle n'existe pas. Vous dites vous même que c'est "la découverte de la théorie" qui est un phénomène (moi je dirai plutôt évènement), la théorie elle-même n'en est pas un.

Certes, mais considérer sa découverte est tout de même pertinent pour étudier l'argument comme quoi "elle ne pourrait pas se contenir elle-même".

En effet, imaginons qu'elle existe. Aucune loi de la physqiue ne devrait donc interdire à quelqu'un de la découvrir un jour. C'est-à-dire que la configuration de son cerveau devrait contenir, ou avoir contenu après un certain temps, toute l'information que la théorie comporte.

Qu'une telle théorie existe implique donc qu'elle permette de se décrire elle-même, indirectement. Ce qui n'a en principe rien de paradoxal.

[inviteaf48d29f]

Sauf que jamais un cerveau où une machine (de Turing ? ^^) ne va passer en revue l'ensemble des théorèmes et propriétés contenue dans la théorie.
Elle n'a donc pas besoin d'être capable de se décrire elle-même entièrement.

De plus vous affirmer que : "Aucune loi de la physique ne devrait donc interdire à quelqu'un de la découvrir un jour."
Je trouve que vous vous avancez beaucoup. Je ne suis pas absolument certains que les propositions "la théorie du tout existe" et "la théorie du tout est découvrable" soient équivalentes.

Ces deux propositions doivent d'ailleurs s'exprimer dans la théorie du tout si je ne m'abuse ? ^^

[Pio2001]

Sauf que jamais un cerveau où une machine (de Turing ? ^^) ne va passer en revue l'ensemble des théorèmes et propriétés contenue dans la théorie.
Elle n'a donc pas besoin d'être capable de se décrire elle-même entièrement.

Si ces théorèmes sont énoncés, imaginés, ou écrits ne serait-ce que par une seule personne un jour dans l'univers, alors la théorie du tout doit être en mesure de permettre une description de leur énoncé.

Mais "permettre de décrire" ne veut pas forcément dire "contenir".

[Deedee81]

Salut,

Ce n'est pas parce qu'en physique, "théorie du tout" a un sens précis que le concept de théorie décrivant tous les phénomènes n'a pas de sens par ailleurs.

Oui, oui, je suis d'accord. Evidemment. Et ça peut faire le sujet d'un débat (ce qui est d'ailleurs le cas ). Je voulais juste être clair.

[invite4b0d1657]

Mathématiquement, une structure peut donc se contenir elle-même.

Et géométriquement seul le cercle ne peut pas passer à travers lui-même.

[Deedee81]

Salut,

Et géométriquement seul le cercle ne peut pas passer à travers lui-même.

Mais on peut retourner une sphère comme une chaussette

http://mrnico.blogspot.com/2008/03/r...-la-sphre.html
http://fr.wikipedia.org/wiki/Surface_de_Boy