Mythe de la beauté mathématique

[doul11]

Bonjour tout le mode,

Je voudrais parler du mythe de la beauté mathématique surtout appliqué aux théories physiques.


je prends comme exemple l'électromagnétisme classique : au départ 20 équations (ref) pas belles, ensuite il y a eu le travail d'Heaviside qui a donné une formulation bien plus élégante de 4 équations avec l’opérateur nabla (ref), puis on trouve une formulation a base de potentiels vecteur et scalaire en jauge de Lorenz (ref) là c'est beau et encore plus avec l’opérateur d'Alembertien, plus tard il y a une formulation toute aussi élégante qui est la formulation covariante (ref) et d'autre formulation encore.


Donc est-ce que toute théorie physique peut être formulé de façon élégante ? Peut-être avez vous des contres exemples ?

D'un point de vue plus général est-ce qu'il existe en mathématique une démonstration qui permet de dire (ou pas !) que tout théorème peut être formulé avec beauté ?

Alors le mythe de la beauté ? un vrai mythe, simplement quelque chose de vrai ou de faux, cette beauté est-elle subjective ou tout les mathématiciens sont d'accord a propos de ce qui est beau et ce qui ne l'est pas ?


Ça fait beaucoup de questions
Merci pour vos avis.
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[albanxiii]

Bonjour,

"Mon travail a toujours consisté à unir la vérité et la beauté, mais quand j’ai eu à choisir l’une ou l’autre, j’ai toujours choisi la beauté."

Hermann Weyl (1885-1955)

[invite741b54dd]

Bonsoir,

Il est probablement difficile de trouver quelqu'un qui prétende le contraire... pour aller dans le sens de Weyl (et de tant d'autres !), on peut citer un livre intéressant à ce sujet :

Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science par S. Chandrasekhar. Voici ce qu'en dit un "reviewer" :

Mathematicians often use the term elegant to describe a particularly creative theorem or proof. In these seven lectures originally presented between 1946 and 1985, a Nobel laureate in physics examines the creative process in science and shows how a sense of the beautiful is a key element. Comparing Shakespeare, Beethoven, and Newton, Chandrasekhar points out similarities and differences in artistic and scientific creativity; and in pieces on Edward Arthur Milne and Arthur Stanley Eddington, shows how the aesthetic sense guided each man's work. Recommended for all collections in the history and philosophy of science.

[Garion]

Je ne sais pas en math. Mais en informatique, il est clair que pour résoudre un problème, il y a des manières bourrines et des manières élégantes.
La différence entre les deux, c'est la réflexion qu'il y a eu pour élaborer les deux algorithmes.
La méthode bourrine ne fait pas appel à l'intelligence contrairement à la méthode élégante.
Cela dit, la méthode bourrine peut dans certains cas être plus efficace que certaines méthodes élégantes.

[A voir en vidéo sur Futura]

[doul11]

Je ne sais pas en math. Mais en informatique, il est clair que pour résoudre un problème, il y a des manières bourrines et des manières élégantes.
La différence entre les deux, c'est la réflexion qu'il y a eu pour élaborer les deux algorithmes.
La méthode bourrine ne fait pas appel à l'intelligence contrairement à la méthode élégante.
Cela dit, la méthode bourrine peut dans certains cas être plus efficace que certaines méthodes élégantes.

Merci pour ton avis, même si ce n'est pas dans la catégorie math/physique c'est intéressant tout de même : ça donne un contre exemple ou l'élégance n'est pas forcement la meilleure façon de procéder.

Il me semble que la beauté mathématique inclut la simplicité comme critère, dans le cas de l'utilisation de la force brute il est sur que ça ne donne pas les algorithmes les plus élégants et rapides mais c'est simple et ça fonctionne, on peut y voir un soupçon de beauté ? mais c'est peut-être une vue plus subjective de la beauté.

[invite6754323456711]

Donc est-ce que toute théorie physique peut être formulé de façon élégante ? Peut-être avez vous des contres exemples ?

La renormalisation, mais relativement à nos grilles sensorielles certain peuvent y percevoir de la beauté.

Sinon pour Enrico Bombieri la beauté est dans les nombres premiers :

Que la distribution des nombres premiers puissent être ainsi représenté de façon aussi précise est absolument stupéfiant et d'une beauté incroyable. Voilà qui évoque une musique mystérieuse et une harmonie secrète qui composeraient les nombre premiers.

La fonction Zêta de Riemann (partant de l'idée d'essayer de compter les nombres premiers comme somme de sinusoïdes) et sa conjecture sur les "zéros" de cette dernière. Les zéros non triviaux se trouvent sur la droite Re(s) = 1/2 valeur de s (nombre complexe) pour lesquelles la fonction Zêta donne 0.

Les grandeurs physiques se ramènent à une représentation par des nombres.

Patrick

[Fishbedfan]

Bonjour.

Comment qualifier qu'une théorie est belle ? l'écriture des équations décrivant les lois peuvent être écrite avec le moins de symboles possibles ?
Je ne suis qu'un béotien mais autant j'ai l'impression que la Relativité est belle, autant la vue du lagrangien du modèle standard n'est pas spécialement ragoutante.

Fishbedfan

[khurnous]

Bonjour,

Si je suis bien ce que dit doul11, la beauté résiderait dans la simplicité, est-ce bien cela ?

N'est-ce pas revenir au principe fondamental de simplicité ?

Merci de vos réponses.

[invite7ce6aa19]

Bonjour.

Comment qualifier qu'une théorie est belle ? l'écriture des équations décrivant les lois peuvent être écrite avec le moins de symboles possibles ?
Je ne suis qu'un béotien mais autant j'ai l'impression que la Relativité est belle, autant la vue du lagrangien du modèle standard n'est pas spécialement ragoutante.

Fishbedfan

Ca dépend comment il est écrit.

Par exemple l'électromagnétisme (les équations de Maxwell) s'écrivent en algébre extérieur:

F = DA

DA= 0

F est le tenseur de courbure de Maxwell.
A la connexion
D est la dérivée extérieure.

[Deedee81]

Salut,

Si je suis bien ce que dit doul11, la beauté résiderait dans la simplicité, est-ce bien cela ?

Moi je dirais que c'est plutôt un mariage : simplicité, clarté, profondeur. C'est beau lorsqu'un le lisant et le comprenant, on a des étoiles dans les yeux (ça m'est arrivé en lisant la première fois la formulation des théories de jauge locale). Mais ça varie aussi d'une personne à l'autre (certains trouverons des résultats mathématiques très beaux, d'autres diront qu'ils sont moches. Les goûts et les couleurs, hein).

Je trouve la démonstration d'Andrew Wiles du théorème de Fermat très belle. Et pourtant elle n'a rien de simple. En fait, ce n'est pas tout le détail que je trouve beau, mais l'approche, les principes, la description dans les grandes lignes : simple, clair, profond (d'ailleurs, perso je ne connais pas le détail et il me faudrait sans doute un temps affreux pour l'assimiler, je ne connais que ces descriptions "prédigérées" données en quelques pages expliquant les équations elliptiques, la théorie de Gallois, etc.).

La beauté est parfois bien cachée derrière un voile de pudeur.

Donc, même définir la simplicité n'est pas.... simple

[Médiat]

Bonjour,

Moi je dirais que c'est plutôt un mariage : simplicité, clarté, profondeur.

A titre personnel, j'ajouterais suprise (Théorème de Löwenheim-Skolem, Théorème de compacité, paradoxe de Banach-Tarski) et efficacité (Théorème de Löwenheim-Skolem, Théorème de compacité).

C'est beau lorsqu'un le lisant et le comprenant, on a des étoiles dans les yeux

Je n'ai rien à ajouter ou à modifier (je me souviens du jour où j'ai lu la démonstration du théorème de compacité en logique, qui est en fait la démonstration qu'un certain espace est compact pour une certaine topologie) : je cosigne des deux mains.

[doul11]

C'est beau lorsqu'un le lisant et le comprenant, on a des étoiles dans les yeux

Salut Deedee81, l'image que tu propose est très jolie, mais ça ne m'aide pas beaucoup : ça me le fait tout le temps ! enfin quand je comprends, quand je comprends pas c'est pas beau, mais une foi je j'ai saisis le sens du calcul je me dis "ah oui quand même c'est très fort" ... et très beau donc.

[Médiat]

ça ne m'aide pas beaucoup : ça me le fait tout le temps !

Pourtant cela répond à votre question, n'oubliez pas que la beauté est, aussi, dans l'oeil de celui qui regarde (donc subjective) ; si vous voyez plus de beauté que les autres, c'est que vous êtes plus apte que les autres à voir cette beauté.

[doul11]

C'était un peut sur un ton humoristique, mais vous avez raison : je travaille tout les jours dans des paysages magnifiques (forêt des Pyrénées) et tout les jours je me dis que c'est beau et que j'ai de chance de travailler dans cet environnement

[Deedee81]

Salut,

A titre personnel, j'ajouterais surprise

Ah, oui, bonne idée.

Salut Deedee81, l'image que tu propose est très jolie, mais ça ne m'aide pas beaucoup : ça me le fait tout le temps ! enfin quand je comprends, quand je comprends pas c'est pas beau, mais une foi je j'ai saisis le sens du calcul je me dis "ah oui quand même c'est très fort" ... et très beau donc.

Tu ne peux que t'en féliciter. Celui qui ne s'émerveille jamais est à plaindre.

C'était un peut sur un ton humoristique, mais vous avez raison : je travaille tout les jours dans des paysages magnifiques (forêt des Pyrénées) et tout les jours je me dis que c'est beau et que j'ai de chance de travailler dans cet environnement

Pour bibi c'est un environnement semi-urbain (mélange campagnes, bois et habitations). Agréable et tout à portée de main (enfin presque).

J'ai constaté, c'est assez étonnant, c'est que la plus part des gens préfèrent le type d'endroit auquel ils sont habitués. Je suis beaucoup sorti à Bruxelles by night et les bruxellois que je fréquentais n'auraient pour rien au monde voulu habiter ailleurs que dans un environnement urbain. Je ne connais pas les parisiens mais je parie que.... (quoi que certains endroits de Paris sont vachement agréables).

[invite51d17075]

le terme de "beauté" peut me déranger s'il évoque une beauté "canonique" donc froide.
les adjectifs suggérés par Deedee et Mediat par exemple me seduisent d'avantage.
d'ailleurs, on pourrait presque parler de séduction, de charme, d'originalité...
donc un ensemble de facteurs plutôt qualitatifs.
mais on a le droit aussi de ne pas avoir les mêmes sensibilités.

[invite7863222222222]

Si on trouve telle chose belle c'est aussi car la societé a permis de mettre en evidence, de reveler cette beauté.
On voit donc ce qui beau suivant ce qui a été révélé comme tel, mais je pense qu'il y a une autre sorte de beauté, une beauté personnelle (qui elle semble au moins aussi objective que lanprecedente, bien que portant sur une personne), dont est pourvu chacun et que chacun, est par definition, le mieux placé pour le percevoir.