Au sujet de l'éther

[Amanuensis]

En revanche, du point de vue de la clarté des théories, vous m'accorderez que ce n'est pas accessible à tout-un-chacun, donc que sur le plan de sa communicabilité, la science a plutôt régressée.

J'imagine que quand on est passé du pipeau à la clarinette, la musique a plutôt régressé, savoir en jouer correctement d'une clarinette n'étant pas à la portée de tout un chacun ?

Et quand on est passé des saignées et lavements à la chirurgie à coeur ouvert, la médecine a plutôt régressé, car la chirurgie moderne n'est plus à la portée de tous les Diafoirus ?

Cependant, il y a eu un certain nombres d'erreurs au niveau des formalismes mathématiques (Quaternion, Analyse vectorielle), il ne faudrait pas non plus les oublier. Les relativistes ont tenté de corriger cela, (tenseur covariant / contravariant, spineurs,...), mais d'une part la forme est un peu lourde, et d'autre part, la réactualisation des théories n'a jamais été complète (du fait de la lourdeur de la forme, j'imagine)

Vous n'exprimez que votre opinion, sûrement basée sur une connaissance très en profondeur du sujet. Même si un forum n'est pas le lieu idéal pour essayer de communiquer ces connaissances en profondeur, peut-être quelques indices sur les arguments étayant cette opinion seraient utiles ?

Ceci ne facilite pas la tâche du quidam qui s'intéresserait à la science : à quoi servirait donc une science que seuls quelques rares individus sauraient manier ? Pas sûr que cela soit optimal en matière de progrès.

Cela sert à exactement ce à quoi sert toute science, à permettre à l'humanité de mieux appréhender son environnement. Qu'il fasse s'appuyer sur quelques spécialistes n'y change rien, et personnellement cela ne me gêne en rien que certaines opérations ne puissent être faites que par de rares chirurgiens spécialisés. L'important est qu'ils existent, qu'ils mettent leur compétence au service de l'humanité et qu'ils sachent transmettre ces compétences, non ?
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[invitef73a730a]

Aristark (de Samos ?):
Oui, en effet, je crois que j'avais ça (mv = qA) plus ou moins dans l'idée, mais vaguement.
Mais cela ne tient pas du tout.
En fait, sur ce point, si nous touchons à l'interaction éther/matière, nous pourrions faire des généralités.

Je vais reprendre la démonstration de Pauli (ici, à partir de l'équation 43.241, jusqu'à l'équation 43.269), en me concentrant sur l'énergie issue de la quantité de mouvement généralisée. J'utilise le formalisme de Hestenes (cf lien donné à JPL).
Force vive généralisée :

Avec -> énergie cinétique
Avec -> correspond au moment orbital (interprétation ?)
Avec -> correspond au spin.

Le spin est donc défini par comme le plan formé par la vitesse de la charge et le potentiel vecteur.
Un spin de 1/2 (ou -1/2) correspond donc à un angle de pi/4 (ou -pi/4) entre la vitesse et le potentiel vecteur.
Un spin de 1 (ou -1) correspond donc à un angle de pi/2 (ou -pi/2) entre la vitesse et le potentiel vecteur.
Un spin nul indique que la vitesse et le potentiel vecteur son alignés.
Remarquez que ce dernier cas (spin nul, donc alignement de v et A) correspond à la supraconductivité.

(100 lignes de calcul ramenées à 8 !)

Votre interprétation des deux derniers termes est complètement fausse. Si vous revenez à votre lien, vous remarquerez qu'il vous manque un petit détail qui est la découverte de Pauli (le reste était très bien connu avant lui) : c'est l'introduction des matrices de Pauli. Pas de matrice=pas de spin. Ce que vous avez écrits correspond à une particule de spin 0 dans un champ. Le dernier terme ne correspond pas du tout au spin. Si le spin n'est pas présent dès le début, il ne peut pas apparaitre par magie

Il ne suffit pas que deux vecteurs fassent un angle de 2pi/3 (et non pas pi/4) entre eux pour que la valeur de leur produit scalaire soit égale à 1/2 (qui plus est, c'est hbar/2), il faut aussi multiplier cos (2pi/3) par le produit de leur norme respectif, qui peut prendre n'importe quelle valeur. Donc même si on acceptait cette hypothèse (qui n'est de toute façon pas tenable puisqu’encore une fois, ces termes existent pour une particule de spin 0), on ne comprendrait pas bien pourquoi le spin ne pourrait prendre que quelques valeurs. Et s'il suffisait de tourner la direction du potentiel vecteur pour changer une particule de spin 0 en une particule de spin 1/2, cela se saurait !

[invitef73a730a]

Il ne suffit pas que deux vecteurs fassent un angle de 2pi/3

pi/3 pardon.

[invite4556789]

Amanuensis :
Une premier exemple serait : l'analyse vectorielle, qui a tout modélisé par des vecteurs, s'est fourvoyée. La modélisation est fausse et donc les symétries aussi. Il faut l'utiliser avec "précaution" (nuance pseudo-vecteur/vecteur). Une meilleure modélisation est celle des formes différentielles. Les "vecteurs" de l'analyse vectorielle, pensés localement, sont en fait les champs destinés à être intégrés (Théorème de Stokes, de green, ...etc). Il n'y a que par les formes différentielles que l'on peut comprendre les notions de potentiel scalaire / vecteur. Pour une bonne introduction, voir ici, par exemple.

Aristark :
Reprenez le lien que je vous ai posté ici, l'algèbre géométrique de Hestenes, il y a bien les matrices de Pauli.

Les matrices de Pauli sont des bases mathématiques d'un espace à 8 dimensions, image de l'espace Euclidien classique, où sont répertoriés 4 types d'objets géométriques distincts :
- les nombres purs (1 vecteur de base)
- les vecteurs (3 vecteurs de bases)
- des plans ou bivecteurs (3 bivecteurs de bases)
- des volumes ou trivecteurs (1 trivecteur, noté I, dont le carré est -1)
nous avons 1+3+3+1 = 8.
Les matrices de Pauli n'ont rien à voir avec le spin !
C'est juste l'introduction d'un algèbre dans le formalisme de la MQ...
Pour vous en convaincre, comparez la définition du produit géométrique de Hestenes et la formule (43.242) de science.ch.

Bref, la démonstration sur science.ch n'est pas rigoureuse du tout. De grosse approximations sont mal justifiées.
Certains passages sont douteux.
C'est ça de tout mélanger indistinctement vecteurs, spineurs, opérateurs,...etc.

C'est la raison pour laquelle la MQ ne peut plus être sauvée.
Son formalisme est une oeuvre monumentale, mais possible à utiliser que par les spécialistes qui l'ont fondé.
Mais à l'usage, sur le temps long, ça ne peut pas tenir.

De toute façon, je viens de m'apercevoir que l'Hamiltonien classique évacuait dans son bilan d'énergie les termes du potentiels vecteur. Il a donc être dû être réintroduit à la hussarde (en posant mv = p - qA) avant de partir à la recherche du spin.

C'est d'ailleurs très logique, l'Hamiltonien a été conçu pour des problèmes mécaniques, il marche bien dans ce cas, mais pour le reste... Est-on sûr que les lois qui gouvernent l'éther soient le mêmes que celles qui gouvernent la matière ?

Si l'éther interagit avec la matière, mais qu'il suit d'autres lois que celle-ci, il nous manquera toujours quelque chose en ne prenant en compte que les lois de la matière.

[Deedee81]

Amanuensis :
Une premier exemple serait : l'analyse vectorielle, qui a tout modélisé par des vecteurs, s'est fourvoyée. La modélisation est fausse et donc les symétries aussi. Il faut l'utiliser avec "précaution" (nuance pseudo-vecteur/vecteur). Une meilleure modélisation est celle des formes différentielles. [....]

Ca alors, j'avais jamais entendu parler des formes différentielles Non, sans rire, tu enfonces des portes ouvertes. On sait tout cela depuis longtemps. Déjà Cartan avait reformulé la théorie d'Einstein en utilisant les formes différentielles. Et qui plus est, je ne vois pas du tout ce que ta remarque a avoir avec le message 31. Amanuensis comprendra peut-être mieux que moi

[Amanuensis]

Amanuensis comprendra peut-être mieux que moi

En gros ce que je comprends : la physique qu'on apprend à tout le monde au lycée s'est fourvoyée parce qu'on y mélange vecteurs et formes linéaires (grâce à l'isomorphisme métrique implicite et caché) ; la mention des pseudo-vecteurs est ambigüe, mais on va considérer que cela évoque l'isomorphisme, tout aussi caché, et spécifique à la dimension 3, entre tenseurs anti-symétriques et vecteurs. Et ce serait des exemples que les physiciens se soient trompés.

La confusion est entre la physique vulgarisée (j'y inclus le lycée et même plus) et la physique complètement développée.

Que les modèles présentés en scolarité générale (ainsi que dans la vulgarisation non scolaire) soient simplistes, i.e., qu'il y aient de meilleurs formalismes abordés qu'au sein d'études spécialisées, ce n'est effectivement pas un scoop.

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Ceci dit cela éloigne du sujet, qui est censé être l'éther.

[Deedee81]

La confusion est entre la physique vulgarisée (j'y inclus le lycée et même plus) et la physique complètement développée.

En effet. J'ai failli réagir avant cette phrase (avant de voir que tu soulevais exactement ce que j'allais dire ). Qu'on apprenne d'abord les choses simples et simplement au Lycée avant de passer à des formalismes à la fois plus poussé et plus complexe, ça me semble plutôt normal !!!!!

J'ai bien aimé la façon dont Thorn aborde ça dans le livre Gravitation (qui reprend justement le formalisme de Cartan sur les formes différentielles) quand il explique qu'à l'école on apprend que les vecteurs sont comme des petites flèches et qu'il explique que ça ne convient pas en RG puis lorsqu'il présente : vecteur = dérivée, comme si c'était un trait d'humour

Ca illustre bien la question : d'abord des présentations simples mais parfois inappropriées puis après des présentations plus abstraites et rigoureuses. C'est normal d'y aller pas à pas. C'est une question de pédagogie. Impossible d'apprendre directement les outils peut-être les plus appropriés mais aussi les plus complexes. Curieusement, j'ai vu les mêmes critiques chez un ancien prof de physique qui est quelque peu obsédé par ce genre de chose et n'arrête pas d'enfoncer des portes ouvertes ou de critiquer des choses qui n'existent pas. Enfin, bon, je ne vais pas faire d'amalgame. Je suppose que Florentis va rectifier sa façon de communiquer

[Amanuensis]

En effet. J'ai failli réagir avant cette phrase

En écrivant "En gros ce que je comprends", je voulais exprimer (dans le contexte) "En gros ce que je comprends du discours de ...", il ne s'agissait pas de mon opinion.

[Deedee81]

En écrivant "En gros ce que je comprends", je voulais exprimer (dans le contexte) "En gros ce que je comprends du discours de ...", il ne s'agissait pas de mon opinion.

Oui, ça j'avais pigé tout de suite . C'est l'interprétation qui suivait que je voulais donner... avant de voir que tu la donnais.

[invitef73a730a]

Reprenez le lien que je vous ai posté ici, l'algèbre géométrique de Hestenes, il y a bien les matrices de Pauli.

Dans le lien, oui, elles y sont. Dans votre développement, elles n'y sont pas.

Les matrices de Pauli n'ont rien à voir avec le spin !

Que les entités mathématiques que l'on appelle "matrice de Pauli" peuvent avoir des applications autres que la description du spin est une chose (et elles ont d'ailleurs d'autres applications au sein même de la mécanique quantique). Cela n'empêche pas que dans les formulations les plus usuelles de la mécanique quantique, elles servent à décrire le spin.

Bref, la démonstration sur science.ch n'est pas rigoureuse du tout. De grosse approximations sont mal justifiées.
Certains passages sont douteux.
C'est ça de tout mélanger indistinctement vecteurs, spineurs, opérateurs,...etc.

Je n'ai pas le temps de regarder tout en détail, mais je ne suis pas sûr que ce soit ce site qui mélange tout...

C'est la raison pour laquelle la MQ ne peut plus être sauvée.
Son formalisme est une oeuvre monumentale, mais possible à utiliser que par les spécialistes qui l'ont fondé.
Mais à l'usage, sur le temps long, ça ne peut pas tenir.

Vos affirmations sur les trois dernières lignes me laissent pantois. Cela fait des décennies que l'on utilise l'équation de Pauli pour décrire des particules non relativiste dans des champs magnétiques et que l'on sait que cela marche très bien (cela fournit par exemple avec une précision incroyable le bons spectre de l'atome d'hydrogène avec effet Zeeman anomal à l'approximation non-relativiste), donc, à l'usage et sur le long terme, les preuves ont été apportées que ça tient très très bien. D'autre part, la mécanique quantique n'a besoin pour être utilisée à des problèmes simples que de quelques notions d'algèbre linéaire. Pour les problèmes complexes, c'est évidemment plus compliqué, mais la même chose est vrai pour la mécanique classique. Voir par exemple ce que l'on peut déjà faire avec un matériau mathématique très limité dans le cours de Mécanique quantique de Feynman (je vous recommande chaudement ce livre qui met l'accent sur la physique et non pas sur les maths).

C'est d'ailleurs très logique, l'Hamiltonien a été conçu pour des problèmes mécaniques, il marche bien dans ce cas, mais pour le reste... Est-on sûr que les lois qui gouvernent l'éther soient le mêmes que celles qui gouvernent la matière ?

Les phénomènes électromagnétiques sont les phénomènes qui sont les plus finement décrites, toutes sciences confondus. C'est le domaine où notre description théorique est la plus aboutie et la plus précisément conforme à l'expérience (avec une précision de plus d'une dizaine de chiffres après la virgule). La question de savoir si on est vraiment sûr que le formalisme Hamiltonien marche pour la description de ces phénomènes revient à se poser la question de savoir si on est vraiment sûr que l'on est capable de rouler avec un vélo.

[invite4556789]

Deedee81 & Amanuensis
Je prenais un exemple. J'aurais pu aussi prendre les quaternions (dont l'analyse vectorielle de Gibbs est une correction).
Mais, je ne jette pas la pierre, cela correspond à un processus historique : erreur, correction, erreur, correction.

Chaque discipline ayant fait ses corrections propres, ou pas, selon ses besoins, on se retrouve avec une multitudes de formalismes différents, quadrivecteur à valeur réelle par-ci, tenseurs par-là, spineurs à valeur complexe par-ci,...etc ket et bra.
Question : mais comment alors peut-on faire des correspondances d'une discipline à l'autre ? C'est un peu la tour de Babel, non ?

S'il ne s'agissait que d'un problème de vulgarisation, comme tu l'assures, ce serait bien.
De mon point de vue "Ce qui se conçoit bien s'énonce clairement et les mots pour le dire viennent aisément",...donc

Mais cela nous éloigne du sujet qui est la notion d'éther.
J'avais évoqué ces problèmes de formulation mathématique car, plus haut, j'ai employé l'algèbre géométrique de Hestenes.

Il y a la réflexion sur la manière de mettre en relation les grandeurs physiques.
Et il y a la réflexion sur les grandeurs physiques elles-mêmes.

[Deedee81]

Chaque discipline ayant fait ses corrections propres, ou pas, selon ses besoins, on se retrouve avec une multitudes de formalismes différents, quadrivecteur à valeur réelle par-ci, tenseurs par-là, spineurs à valeur complexe par-ci,...etc ket et bra.

On utilise l'un ou l'autre formalisme selon les besoins, en effet. C'est assez logique. Mais :

Question : mais comment alors peut-on faire des correspondances d'une discipline à l'autre ? C'est un peu la tour de Babel, non ?

Il y a tout ce qu'il faut pour les "traductions" (quand cela a un sens). Mais je suis d'accord avec toi que cela ne facilite pas l'apprentissage (on se retrouve dans les cours à devoir expliquer deux ou trois formalismes pour la même chose, c'est particulièrement typique en MQ et je te parle là d'une seule discipline).

Je dois t'avouer que lorsque j'ai vu la première fois la définition d'un espace dual par les applications linéaires il y a eut un GROS point d'interrogation au-dessus de ma tête (ça ne correspondait pas du tout à ma formation) jusqu'à ce que je me rende compte que c'était strictement équivalent à ce que j'avais vu.

Bon, bien sûr, par exemple en MQ, j'utilise le formalisme des opérateurs / vecteurs ou celui des matrices ou le fonctionnel selon le cas. Je prend toujours le plus facile (ils sont formellement équivalents). Mais il n'empêche qu'il a fallu apprendre les trois.

Idem, l'utilisation des C*-algèbre permet une approche ultra rigoureuse et axiomatique de la MQ, la théorie quantique des champs et est même adaptée aux espace-temps courbes. Mais franchement, faut se le farcir. Il est clair qu'on préfère une approche plus traditionnelle quitte à vérifier deux fois si on ne dit pas une connerie.

[invite4556789]

Dans le lien, oui, elles y sont. Dans votre développement, elles n'y sont pas.

Si elles y sont, de manière implicite, du fait de l'algèbre employée (d'où l'anticommuntativité partielle)

Que les entités mathématiques que l'on appelle "matrice de Pauli" puissent avoir des applications autres que la description du spin est une chose (et elles ont d'ailleurs d'autres applications au sein même de la mécanique quantique). Cela n'empêche pas que dans les formulations les plus usuelles de la mécanique quantique, elles servent à décrire le spin.

Donc nous sommes bien d'accord :
Le spin existe en tant que fait physique, indépendamment de toute formulation, connu sous le nom d'effet Zeeman, la découverte expérimentale étant antérieure à la description théorique, qui lui est ultérieure.
Pour le décrire, il aura fallu :
1/ formuler la MQ dans une algèbre particulière, l'algèbre de Pauli (ou de Dirac, c'est selon)
2/ Introduire le potentiel vecteur dans l'opérateur Hamiltonien (lequel ne mentionnait pas cette grandeur à l'origine).

La cause physique du spin est par conséquent le potentiel vecteur, non l'introduction d'une algèbre dans la formulation...

Je n'ai pas le temps de regarder tout en détail, mais je ne suis pas sûr que ce soit ce site qui mélange tout...

En effet, peut-être mélangé-je, mais, au-delà des approximations censées être justifiée par une expérience dont il n'est pas fait mention des résultats, il y a un point qui me semble particulièrement obscure. Peut-être pourriez vous m'instruire sur là-dessus ?
C'est la formule 43.256 de la page en question.
Il y est écrit :


Je ne vois pas pourquoi la dérivée partielle par rapport à x (ou y), qui n'est censée s'appliquer qu'à la coordonnée y (ou x) du potentiel vecteur, se met soudain à s'appliquer au produit de cette coordonnée par le spineur.

Avez-vous une idée là-dessus ?

... La question de savoir si on est vraiment sûr que le formalisme Hamiltonien marche pour la description de ces phénomènes revient à se poser la question de savoir si on est vraiment sûr que l'on est capable de rouler avec un vélo.

Le fait est que l'Hamiltonien classique ne fait pas paraître le potentiel vecteur (alors qu'il paraît bien dans le Lagrangien) et qu'il a donc fallu l'y introduire par la quantité de mouvement généralisée , c'est-à-dire substituer dans l'Hamiltonien par avec

[Deedee81]

Le spin existe en tant que fait physique, indépendamment de toute formulation, connu sous le nom d'effet Zeeman, la découverte expérimentale étant antérieure à la description théorique, qui lui est ultérieure.
Pour le décrire, il aura fallu :
1/ formuler la MQ dans une algèbre particulière, l'algèbre de Pauli (ou de Dirac, c'est selon)
2/ Introduire le potentiel vecteur dans l'opérateur Hamiltonien (lequel ne mentionnait pas cette grandeur à l'origine).

La cause physique du spin est par conséquent le potentiel vecteur, non l'introduction d'une algèbre dans la formulation...

Je ne suis pas d'accord avec tout ça car le spin existe aussi pour des particules neutres (comme le neutrino) sans moment magnétique, sans effet Zeeman,...

C'est avant tout lié aux symétries par rotation. Le lien avec le potentiel vecteur ça vient APRES, pour des particules chargées (ou composites, comme le neutron). D'ailleurs, si ce lien était strict, il serait impossible d'expliquer le moment magnétique anomal.

Ca ne remet pas nécessairement en cause le reste de tes raisonnements et équations

[invite4556789]

Au fait, Merci pour le lien sur les c*Algèbres, je ne connaissais pas.

Si vous pouviez me renseigner sur les expériences qui ont montré le spin du Neutron, par exemple, je suis preneur (pour le neutrino, je doute qu'il y ait une expérimentation disponible au vu de la subtilité de cette particule).

[mach3]

Si vous pouviez me renseigner sur les expériences qui ont montré le spin du Neutron, par exemple, je suis preneur

probablement une expérience de type Stern & Gerlach...

...une rapide recherche avec "Stern Gerlach neutron" comme mots clés le confirme

m@ch3

[Deedee81]

(pour le neutrino, je doute qu'il y ait une expérimentation disponible au vu de la subtilité de cette particule).

Pour le neutrino ça doit exister puisque l'on a mesuré leur chiralité (qui est le spin projeté sur la direction) mais franchement je ne sais pas du tout comment. Dans Wikipedia ils parlent des expériences de violation CP (et ça je connaissais) mais je ne sais pas comment ça marche pour les violations C et P. En tout cas c'est de ce coté là qu'il faut chercher. Peut-être est-ce une mesure indirecte (vérification utilisation la conservation du moment angulaire sur le proton, le neutron et l'électron/positron) ?

En tout cas je doute qu'on ait vérifié qu'ils obéissaient au principe d'exclusion

[Amanuensis]

Un neutron étant formé de trois fermions, il a un nécessairement un spin non nul ! Si des expériences montraient le contraire, ça se saurait, c'est le moins qu'on puisse dire ! Cela infirmerait 100% du modèle standard, ou presque...

Quand au neutrino, la conservation du moment cinétique total dans les réactions + les réactions constatées conforteront son spin de fermion...

[invitef73a730a]

Si elles y sont, de manière implicite, du fait de l'algèbre employée (d'où l'anticommuntativité partielle)

J'avoue que je ne connais pas l'algèbre en question, mais je ne vois pas comment on pourrait avoir un équivalent qui traduirait l'existence du spin sans la prise en compte de quelque chose qui ferait référence à ce qui serait l'équivalent de deux composantes dans la fonction d'onde.

Donc nous sommes bien d'accord :
Le spin existe en tant que fait physique, indépendamment de toute formulation, connu sous le nom d'effet Zeeman, la découverte expérimentale étant antérieure à la description théorique, qui lui est ultérieure.
Pour le décrire, il aura fallu :
1/ formuler la MQ dans une algèbre particulière, l'algèbre de Pauli (ou de Dirac, c'est selon)
2/ Introduire le potentiel vecteur dans l'opérateur Hamiltonien (lequel ne mentionnait pas cette grandeur à l'origine).

La cause physique du spin est par conséquent le potentiel vecteur, non l'introduction d'une algèbre dans la formulation...

Pour le dernier point, je n'ai pas grand chose à ajouter que ce qu'ont dit Deedee et Amanuensis. J'ajouterai juste qu'une autre façon de savoir si les particules ont un spin 1/2 ou 0 est la statistique à laquelle ils obéissent. Pour le point 2), je ne comprends pas trop le sens de la remarque. Un Hamiltonien (ou un Lagrangien) est toujours posé à priori. On y encode les degrés de libertés du système, les interactions, et on peut se servir de quelques principes de symétrie (relativité, symétrie de jauge, etc...) pour en contraindre la forme, mais après cela, le Hamiltonien n'est jugé que sur la base de la dynamique qui en découle. Pour l'antériorité de la découverte expérimentale du spin sur sa description théorique, c'est exacte, mais cela aurait pu aussi être l'inverse (cela a par exemple été le cas pour la découverte de l'existence des antiparticules et de bon nombres de prédictions des théories quantiques). Dirac se préoccupait plus d'obtenir une équation d'onde relativiste qui soit linéaire par rapport aux dérivés partielles du premier ordre des variables spatio-temporelles que du spin, qui est venu en quelque sorte comme la cerise sur le gâteau sans rien ajouter d'ad hoc.

En effet, peut-être mélangé-je, mais, au-delà des approximations censées être justifiée par une expérience dont il n'est pas fait mention des résultats, il y a un point qui me semble particulièrement obscure. Peut-être pourriez vous m'instruire sur là-dessus ?
C'est la formule 43.256 de la page en question.
Il y est écrit :


Je ne vois pas pourquoi la dérivée partielle par rapport à x (ou y), qui n'est censée s'appliquer qu'à la coordonnée y (ou x) du potentiel vecteur, se met soudain à s'appliquer au produit de cette coordonnée par le spineur.

Avez-vous une idée là-dessus ?

Il s'agit d'opérateurs agissant par définition sur les composantes de la fonction d'onde. Cela doit sans doute être précisé dans le corps du texte que l'on ne peut pas lire.

[invite4556789]

Je trouve que ça s'éparpille un peu, là.
Sans la prise en compte du potentiel vecteur dans l'hamiltonien, le spin aurait-il pu être décrit oui ou non ?

[Deedee81]

Salut,

Je trouve que ça s'éparpille un peu, là.
Sans la prise en compte du potentiel vecteur dans l'hamiltonien, le spin aurait-il pu être décrit oui ou non ?

Oui, voir les réponses de bibi et Albanxiii dans l'autre fil sur "l'hamiltonien est-il faux"

[invite4556789]

Bizarre, je constate le contraire sur cette page, équation de Dirac généralisée (formule 43.221), puis le chapitre 6 (équation de Pauli). En effet, la procédure de calcul commence par définir la quantité de Mouvement généralisée P = mv+qA.

Mais voyons donc si cette quantité de mouvement généralisée peut s'avérer utile dans un cas simple, classique.

Prenons l'exemple du Rayon de Larmor, lorsque une particule chargée se met en rotation dans un champ magnétique.
Les équations du mouvement sont :



Soient les coordonnées du mouvement :
d'où et ,
d'où et ,


Je suppose qu'il existe un potentiel vecteur de la forme :
, d'où
, d'où


On a alors :


En identifiant , on peut donc réécrire les équation du mouvement ainsi :



Ce qui peut donc se mettre sous forme vectorielle :

ET permet de définir une quantité de mouvement généralisée : telle que

D'autre part, puisque le rayon , et ,on a en valeur absolue mais la vitesse et le potentiel vecteur sont à chaque instant en sens contraire.

La pulsation de gyration, elle, est

Supposons maintenant que cette pulsation de gyration soit celle qui entre en ligne de compte dans la dualité onde-corpuscule.
on a, par cette dualité,

Nous voilà bien ennuyés ici, puisque notre quantité de mouvement généralisée est toujours nulle, l'inertie mécanique étant idéalement compensée par l'inertie électromagnétique, ce qui entraine le mouvement de gyration...

Supposons donc que la quantité de mouvement constatée par la dualité onde/corpuscule soit, pour des raisons pratiques liés aux mesures, la quantité de mouvement inertielle : mv.

Nous avons donc :
, c'est à dire que
et en réarrangeant les termes

Or, nous savons, dans notre hypothèse, que , ou, dit autrement, que .
Donc :

Par conséquent, toute particule à l'équilibre est dans un mouvement de gyration qui ne dépend ni de sa vitesse, ni du potentiel vecteur, ni de sa charge.

on a
Pour l'électron, le rayon de gyration est de .
Pour le proton, le rayon de gyration est de

Conclusion : il me semble en effet que la quantité de mouvement généralisée peut mener à des développements intéressants.

[invitef73a730a]

Bizarre, je constate le contraire sur cette page, équation de Dirac généralisée (formule 43.221), puis le chapitre 6 (équation de Pauli). En effet, la procédure de calcul commence par définir la quantité de Mouvement généralisée P = mv+qA.

Bonjour,
nous ne constatons pas les même choses alors . L'équation de Dirac en l'absence de potentiel vecteur contient déjà le spin dans les matrices de Dirac. Plus généralement les quatre composantes de la fonction d'onde de Dirac correspondent à un double dédoublement des états correspondant à l'existence du spin (deux états) et des antiparticules (deux états).

Mais voyons donc si cette quantité de mouvement généralisée peut s'avérer utile dans un cas simple, classique

Prenons l'exemple du Rayon de Larmor, lorsque une particule chargée se met en rotation dans un champ magnétique.
Les équations du mouvement sont :



Soient les coordonnées du mouvement :
d'où et ,
d'où et ,


Je suppose qu'il existe un potentiel vecteur de la forme :
, d'où
, d'où


On a alors :


En identifiant , on peut donc réécrire les équation du mouvement ainsi :



Ce qui peut donc se mettre sous forme vectorielle :

Reprenons. En utilisant la jauge la plus simple, je peux très facilement montrer (en utilisant B=rot A et le théorème de Stokes) qu'on a ||B||=2||A(R)||/R. Notez-bien que c'est une relation entre la norme du vecteur potentiel le long de l'orbite et le champ magnétique. Autrement dit, Ax et Ay varie en fonction de l'espace (par exemple, il est maximum au point de l'orbite (x=0 ; y= R) et égale à 0 au point (x=R ; y=0) mais pas en fonction du temps, exactement l'inverse de ce que vous avez supposez. Seul ||A(R)|| ne varie pas le long de l'orbite. Vous pouvez toujours me dire que vous pouvez faire une transformation de jauge pour avoir le potentiel vecteur qui vous arrange, mais 1) cela me parait difficile de montrer qu'une telle transformation puisse être compatible avec vos suppositions (*) 2) de toute manière, par invariance de jauge, vous ne trouverez aucun phénomène de plus que je ne puisse déjà trouver en utilisant ma propre jauge.

A moins que vous ne décidiez de changer de définition pour le potentiel vecteur et de remettre en cause l'invariance de jauge. Dans ce cas là, on serait dans une situation assez étrange dans laquelle vous inventeriez un nouveau potentiel vecteur que personne n'a jamais vu afin d'expliquer un nouveau phénomène que personne n'a jamais vu (le fait que toute particule à l'équilibre est dans un mouvement de gyration qui ne dépend ni de sa vitesse, ni du potentiel vecteur, ni de sa charge). Je suis assez libéral en matière d'épistémologie mais tout de même !

Plus généralement, l'équation classique du mouvement d'une particule dans un potentiel vecteur est connu et n'est pas celle que vous écrivez. L'équation du mouvement en question est :
d(mv)/dt=qv^rot (A) qui découle directement de l'expression de la force de Lorentz et de la définition du potentiel vecteur.

(*) On peut même montrer l'inverse : au bout d'un temps pi/w, toutes les valeurs de Ax le long de l'orbite seraient inversées alors que toutes les valeurs de Ay seraient les mêmes si bien que la circulation du potentiel vecteur aurait changé, et selon B=rot A, le champ magnétique aurait également changé et ne serait en conséquence pas constant, contrairement à ce que l'on suppose dans le problème).

[invite4556789]

Je ne comprend pas trop la remarque,
j'ai bien ||A(R)|| qui est constant car A² = (B/R)²[cos²(wt) +sin²(wt)] = (B/R)², B étant constant dans l'expérience.
Mais si vous voulez introduire un facteur 1/2, pourquoi pas ? Je n'y vois pas d'inconvénient.

Par contre, il est vrai, à propos du potentiel vecteur, que sa direction (bref : sa phase) varie dans le temps, de manière à rester toujours alignés, mais en sens opposé, à la vitesse : j'évalue en effet le potentiel vecteur le long du chemin de la particule. C'est conséquence directe de l'expérience qui montre une orbite circulaire. Tout se passe donc comme si la direction et le sens du potentiel vecteur se réglait en réaction à la quantité de mouvement, mais pas son module. Si la réaction n'est pas suffisante, la particule s'échappe.

C'est pour cela, dans ce cas, dans le plan perpendiculaire au champ magnétique, c'est-à-dire le plan où circule le potentiel vecteur, que l'on peut écrire l'impulsion généralisée.

Mais je viens de m'apercevoir d'une petite erreur dans mon expression : J'ai oublié le mot rayon.
Toute particule à l'équilibre est dans un mouvement de gyration dont le rayon ne dépend ni de sa vitesse, ni du potentiel vecteur, ni de sa charge

D'autre part, ne trouvez-vous pas formidable que les rayons de gyration ainsi exprimés, dans la partie hypothèse sur la dualité onde/corpuscule, soient fonction de la longueur d'onde de compton ?

Ne trouvez-vous pas non plus extraordinaire les valeurs de ce rayon de gyration ?
Pour l'électron, il s'agit de 0,11 micromètre, ce qui est de l'ordre de la longueur d'onde de la première série de Lyman pour l'atome d'hydrogène (répartie entre 0,9 et 0,12 micromètres).
Pour le proton, il s'agit de 0,00625 nanomètres, ce qui correspond à la limites des longueurs d'onde du rayon gamma, justement impliqué dans les interactions nucléaires...

D'autant que nous avons en plus l'explication de la petitesse du proton, de même que de la difficulté à localiser l'électron.

Un corpuscule qui spirale, que voilà donc une intéressante résolution de la dualité onde/corpuscule !

[invite4556789]

Ah si je vois votre problème, c'est dans la Force de Lorentz...

En fait, et c'est un résultat des formes différentielles, A est un potentiel vecteur et non un potentiel scalaire, ce qui implique que sa différentielle dA n'est pas son gradient, mais son rotationnel : dA = rot A ds (et non... grad A.ds).
Je peux donc écrire sûrement : m dv/dt=q (ds/dt) x (dA/ds).

Après, il faut que je regarde dans les résultats sur les abscisses curvilignes pour voir si je peux passer rigoureusement de (ds/dt)x(dA/ds ) à dA/dt. C'est un peu compliqué parce qu'il faut passer par les formes différentielles et non pas par les vecteurs.

En tout cas, merci pour cette très bonne remarque.

[invite635fc15a]

Oui d'ailleurs "l'éther" revient en quelque sorte en force en relativité générale puisque ce qui vibre dans une onde gravitationnelle est l'espace-temps lui-même

[invite4556789]

Pour ma remarque explicitant que , on peut se référer à la page Dérivée extérieure de Wikipédia. (En effet A est de "genre" ).

[invite4556789]

J'ai trouvé, au sujet de la force de Lorentz...
On a , impulsion de mouvement généralisée.
Donc

C'est-à-dire :


Et donc, puisque ds/dt = v : , Force de Lorentz.

Bref, votre argument ne tient pas.

[invitef73a730a]

En fait, et c'est un résultat des formes différentielles, A est un potentiel vecteur et non un potentiel scalaire, ce qui implique que sa différentielle dA n'est pas son gradient, mais son rotationnel : dA = rot A ds (et non... grad A.ds).

Je ne comprend pas trop la remarque,
j'ai bien ||A(R)|| qui est constant car A² = (B/R)²[cos²(wt) +sin²(wt)] = (B/R)², B étant constant dans l'expérience.

Non, mes remarques n'étaient pas sur ces points, mais sur le fait que vos expressions de Ax, Ay et B sont incompatibles avec le fait que par définition, B=rot A. Une façon de le voir est que, d'après celle-ci et le théorème de Stockes, le flux du champ magnétique à travers la surface qu'entoure l'orbite est égale à la circulation du potentiel vecteur le long de cette orbite. Or, pour chaque instant, cette circulation est nulle de toute évidence étant donné qu'en tout point de l'orbite, le potentiel vecteur est le même (un champ de vecteur homogène le long d'une boucle fermée a par définition une circulation nulle sur cette boucle). La conséquence de ceci est que - contrairement à ce que j'ai dit tout à l'heure dans l'astérisques en allant trop vite - le flux du champ magnétique est nul à chaque instant. Donc, à moins d'avoir un champ magnétique inhomogène et extrêmement compliqué à l'intérieur de l'orbite, l'expression de votre potentiel vecteur n'est pas compatible avec la présence du champ magnétique.

Une autre façon de voir qu'il y a un truc qui cloche : toujours par définition, le champ électrique E est donné par E=-grad V -dA/dt, (où V est le potentiel scalaire), si bien qu'avec un potentiel vecteur qui dépend du temps, il doit nécessairement y avoir un champ électrique, et l'électron subirait donc ipso facto une force supplémentaire qui le ferait bien sûr dériver de son orbite stable (à moins bien sûr qu'il y ait un potentiel scalaire tel que grad V compense exactement dA/dt, mais dans ce cas il faut revoir toutes les données du problème).

En réalité, l'équation dmv/dt =-qdA/dt n'est rien d'autre que l'équation d'un électron dans un champ électrique oscillant en l'absence de potentiel scalaire (*). Bien entendu, cela veut dire qu'en aucun cas cela peut être l'équation d'un électron dans un champ magnétique. Bref, quelque soit la manière dont on le tourne, votre raisonnement n'est pas cohérent avec les lois connus de l'électromagnétisme. Après, comme je l'ai dit tout à l'heure, vous êtes libres d'inventer une nouvelle théorie pour expliquer des phénomènes dont personne n'a jamais entendu parlé.

(*)La force de Lorentz que j'ai écrit tout à l'heure correspondait à un électron dans un champ magnétique. L'équation complète (dans un champ électromagnétique quelconque) étant :
d(mv)/dt = q(v^rot A -grad V- dA/dt). )

Mais si vous voulez introduire un facteur 1/2, pourquoi pas ? Je n'y vois pas d'inconvénient.

Ce n'est pas "si je veux", c'est une conséquence directe de la définition B=rot (A) pour ce problème particulier et dans le cas où B est homogène à l'intérieur du cercle que décrit l'orbite. Dans le cas contraire, un rapport aussi simple ne peut pas être obtenu entre le potentiel vecteur et le champ magnétique.

D'autre part, ne trouvez-vous pas formidable que les rayons de gyration ainsi exprimés, dans la partie hypothèse sur la dualité onde/corpuscule, soient fonction de la longueur d'onde de compton ?

Non, pas vraiment. Il est évident que si, par des suppositions fausses, vous éliminez toutes les données relatives au problème particulier (le rayon ne dépendant plus ni de la vitesse, ni du potentiel vecteur), il ne va vous restez que les constantes pour exprimer votre rayon, et par analyse dimensionnel, cela ne peut tomber que sur la longueur d'onde de Compton.

Ne trouvez-vous pas non plus extraordinaire les valeurs de ce rayon de gyration ?
Pour l'électron, il s'agit de 0,11 micromètre, ce qui est de l'ordre de la longueur d'onde de la première série de Lyman pour l'atome d'hydrogène (répartie entre 0,9 et 0,12 micromètres).

Cela ne me surprendrait pas non plus vu la largesse de ces plages (à l'échelle atomique, 0,3 micromètre c'est énorme ! Et puis de toute manière, la série de Lyman n'a rien de particulier ; il n'y a bien d'autres de séries !), mais en fait, il me semble que vous vous êtres trompez puisque la longueur d'onde Compton de l'électron est de 2.426310238×10-12 m.

Un corpuscule qui spirale, que voilà donc une intéressante résolution de la dualité onde/corpuscule !

Je ne vois pas comment cela permettrait de rendre compte du spectre de l'atome d'hydrogène, des phénomènes d'interférences, du principe d'exclusion de Pauli, des liaisons moléculaires et métalliques, bref, de tout ce que fait la mécanique quantique de manière infiniment plus cohérente, simple et précise.

J'ai trouvé, au sujet de la force de Lorentz...

Bref, votre argument ne tient pas.

Tout ce développement n'est pas du tout correct. Où avez-vous vu que dA=rot A ^ ds ?
On a dA=dA/dx . dx+ dA/dy . dy + dA/dz . dz + dA/dt. dt (dA/dt : lire "dérivée partielle par rapport à t").
De plus, attention de ne pas confondre les dx qui sont des intervalles quelconques de l'espace dans lequel le champ est défini et ds qui représente ici un déplacement de l'électron.

[invite4556789]

Tout ce développement n'est pas du tout correct. Où avez-vous vu que dA=rot A ^ ds ?
On a dA=dA/dx . dx+ dA/dy . dy + dA/dz . dz + dA/dt. dt (dA/dt : lire "dérivée partielle par rapport à t").
De plus, attention de ne pas confondre les dx qui sont des intervalles quelconques de l'espace dans lequel le champ est défini et ds qui représente ici un déplacement de l'électron.

C'est juste que vous n'avez pas les connaissances nécessaires. En plus, vous n'avez pas visionné mes liens, comme cette page sur la dérivée extérieure, ni ceux que j'ai fournis au sujet des formes différentielles. Les champs de l'électromagnétisme ne sont pas des vecteurs, ils n'en ont pas les symétries.
Le potentiel vecteur, malgré son nom, dénote une potentielle rotation.
Forme 1-différentielle
->
->

Le potentiel scalaire, malgré son nom, dénote une potentielle translation
Forme 0 différentielle
->
->