l'infini me ronge!

[ibramaniltac]

la différence qu'il y a entre les propriétés des nombres infinis et celles des nombres finis

Qu'appelez-vous :

- un nombre fini ?

- un nombre infini ?

Le problème avec l'infini c'est que par dérobade facile on le ramène toujours en fin de compte à de l'indéfini { ce qu'on ne peut pas définir }

C'est qu'au lieu de continuer à se coltiner indéfiniment avec la nécessité de choisir entre le fini et l'infini, par dérobade facile on préfère toujours substituer l'indéfini au mystérieux "infini" qu'on est bien en peine de définir. *** Références religieuses ***


L'autre problème est qu'on confond l'infini mathématique avec l'infini ontologique. A celui qui pourrait se trouver dans les choses de la Nature au moins est-ce une hypothèse qu'on peut faire on y substitue l'infini mathématique qui nait dans les catégories de l'entendement humain.

Prenez n'importe quel nombre entier, dit "naturel" par exemple le chiffre 3.

Bon si il y a ici trois osselets tout le monde voit ou comprend ce que ça veut dire, sans explication ni définition.

Réitérez par concaténation bête ce chiffre "à l'infini" vous obtenez un nombre que vous qualifiez d'infini : 33333...3 vous voyez bien que ce nombre que vous qualifiez d'infini peut-être n'existe que dans votre esprit par généralisation et extension d'observations concrètes que vous avez fait dans le passé, par exemple quand naguère vous contempliez trois osselets.
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[Médiat]

Bonjour,

vous voyez bien que ce nombre que vous qualifiez d'infini peut-être n'existe que dans votre esprit

De même que 1 ou que 3.

Sans compter que votre définition de l'infini mathématique est largement fautive.

[karlp]

Qu'appelez-vous :

- un nombre fini ?

- un nombre infini ?

Le problème avec l'infini c'est que par dérobade facile on le ramène toujours en fin de compte à de l'indéfini { ce qu'on ne peut pas définir }

C'est qu'au lieu de continuer à se coltiner indéfiniment avec la nécessité de choisir entre le fini et l'infini, par dérobade facile on préfère toujours substituer l'indéfini au mystérieux "infini" qu'on est bien en peine de définir. *** Références religieuses ***


L'autre problème est qu'on confond l'infini mathématique avec l'infini ontologique. A celui qui pourrait se trouver dans les choses de la Nature au moins est-ce une hypothèse qu'on peut faire on y substitue l'infini mathématique qui nait dans les catégories de l'entendement humain.

Prenez n'importe quel nombre entier, dit "naturel" par exemple le chiffre 3.

Bon si il y a ici trois osselets tout le monde voit ou comprend ce que ça veut dire, sans explication ni définition.

Réitérez par concaténation bête ce chiffre "à l'infini" vous obtenez un nombre que vous qualifiez d'infini : 33333...3 vous voyez bien que ce nombre que vous qualifiez d'infini peut-être n'existe que dans votre esprit par généralisation et extension d'observations concrètes que vous avez fait dans le passé, par exemple quand naguère vous contempliez trois osselets.

Je m'aperçois que j'ai plus de facilité à me souvenir de la définition d'un cardinal infini que de celle d'un nombre fini.

Un cardinal infini est le cardinal d'un ensemble pour lequel il lexiste une bijection entre les élements de l'ensemble et l'une au moins de ses parties.

Je vais essayer de définir un nombre fini (je serai enchanté, très cher Médiat que vous e corrigiez !) : un nombre x tel qu'il existe un entier naturel strictement plus grand que x.

J'ignore qui est ce "on" qui confond l'infini mathématique avec l'infini "ontologique" (dont je me demande d'ailleurs ce qu'il désigne), mais ce n'est pas le cas ici sur ce forum.

Pour finir, je doute fort que votre 333333....33 soit un nombre infini : en l'occurence vous illustrez plutôt un nombre indéfini ?

[ibramaniltac]

... il serait salutaire de méditer sur ces deux acceptions de sens possible de l'idée d'indéfini :

1) ce qui, en soi, est indéfinissable

2) ce qu'on ne peut pas définir (ce qui échappent à l'esprit humain)

... des tas de conversations comparables pataugent dans d'interminables apories logiques parce que les intervenants n'ont pas su dès le départ ... poser les problèmes correctement ...

[Médiat]

Bonjour très cher karlp,

Je m'aperçois que j'ai plus de facilité à me souvenir de la définition d'un cardinal infini que de celle d'un nombre fini.

C'est normal : http://forums.futura-sciences.com/ep...e-linfini.html

[invite51d17075]

...
... des tas de conversations comparables pataugent dans d'interminables apories logiques parce que les intervenants n'ont pas su dès le départ ... poser les problèmes correctement ...

bonjour ,
de qui ( intervenants ! ) et à quoi fais tu allusion ??
On croirait entendre la divine parole d'un grand chef sioux.
Mais que celui ci nous éclaire sur la manière de "poser le problème correctement"

Ps :
Tes définitions ne sont pas forcement les seules possibles.
Et personnellement aucune des deux ne me satisfait.

D’autre part, d’un point de vue mathématique, ces propositions sont très réductrices.
La topologie par exemple ( au sens large ) peut réserver de belles surprises.

[inviteaf48d29f]

Un cardinal infini est le cardinal d'un ensemble pour lequel il lexiste une bijection entre les élements de l'ensemble et l'une au moins de ses parties.

Je vais essayer de définir un nombre fini

Votre définition d'un cardinal infini peut servir par sa négation à définir un cardinal fini en disant qu'un ensemble est de cardinal fini s'il n'est en bijection avec aucune de ses parties strictes. Bon c'est vrai, mais dans le genre pas pratique comme définition on fait difficilement pire.

Sinon la définition des entiers se fait par les axiomes de Peano, qui suppose l'existence d'un entier 0 et d'une fonction successeur* et du principe de récurrence. Ceci permet de construire tous les entiers par récurrence, chacun d'entre eux étant fini.

*La fonction successeur étant supposée injective définie pour tout entier et tels que 0 n'est le successeur d'aucun entier.

[karlp]

Bonjour très cher karlp,

C'est normal : http://forums.futura-sciences.com/ep...e-linfini.html

J'irai voir ça d'un peu plus près ! Merci !!

[karlp]

Votre définition d'un cardinal infini peut servir par sa négation à définir un cardinal fini en disant qu'un ensemble est de cardinal fini s'il n'est en bijection avec aucune de ses parties strictes. Bon c'est vrai, mais dans le genre pas pratique comme définition on fait difficilement pire.

Sinon la définition des entiers se fait par les axiomes de Peano, qui suppose l'existence d'un entier 0 et d'une fonction successeur* et du principe de récurrence. Ceci permet de construire tous les entiers par récurrence, chacun d'entre eux étant fini.

*La fonction successeur étant supposée injective définie pour tout entier et tels que 0 n'est le successeur d'aucun entier.

Merci à vous s321

Je connaissais un peu l'axiomatique de Peano qui, sauf erreur, s'inspire directement de la construction des ordinaux par Cantor d'un côté et Frege de l'autre (que je connais un peu mieux). J'irai néanmoins jeter un oeil à sa définition de la fonction "successeur" : celle de Frege est extrêmement "lourde"

[Médiat]

Je connaissais un peu l'axiomatique de Peano qui, sauf erreur, s'inspire directement de la construction des ordinaux par Cantor d'un côté et Frege de l'autre

Ne pas oublier Dedekind.

[ibramaniltac]

Dites il serait aussi salutaire de voir un peu ce qu'on entend quand on dit qu'un nombre "existe dans la Nature" ...

Bon j'ai tapé sur trois cailloux tout à l'heure maintenant je vois donc en gros à quoi renvo(ie) (yait) de concret dans la Nature le nombre 3, en quoi on peut dire que le nombre 3 existe dans la Nature.

Bon mais 333 ... 3 non là je n'ai jamais cogné contre 333 ... 3 cailloux ni tout à l'heure ni jamais dans le passé dans l'avenir probablement jamais non plus me cognerai sur euh ... 333 ...3 cailloux.

La question est donc de savoir par quel decret décide-t-on choisit-on postule-t-on que le nombre 33...3 que les arithméticiens ont fabriqué par concaténation bête autant que dite "infinie" du chiffre 3 "existe dans la Nature" ou renvoie à quelque chose de concret dans la Nature à quelque moment t que ce soit.

Si je note t0 le temps dit "de Planck" alors je crois me souvenir que dans l'intervalle de temps t + t0 les choses changent ce qui est la marque du fini dans l'infini {nous vivons dans le fini, pensons dans l'infini}

[Médiat]

Dites il serait aussi salutaire de voir un peu ce qu'on entend quand on dit qu'un nombre "existe dans la Nature" ...

Facile : cela ne veut rien dire, un nombre est un concept, pas un objet.

Bon j'ai tapé sur trois cailloux tout à l'heure maintenant je vois donc en gros à quoi renvo(ie) (yait) de concret dans la Nature le nombre 3, en quoi on peut dire que le nombre 3 existe dans la Nature.

Non, ce qui existe c'est 3 cailloux.

Bon mais 333 ... 3

L'écriture 333 ... 3 n'a pas de sens

le nombre 33...3 que les arithméticiens ont fabriqué

Non, les arithméticiens n'ont jamais fabriqué un tel "nombre".

[karlp]

Envoyé par ibramaniltac
Dites il serait aussi salutaire de voir un peu ce qu'on entend quand on dit qu'un nombre "existe dans la Nature" ...

Facile : cela ne veut rien dire, un nombre est un concept, pas un objet.

Si on en croit Frege, c'est même un concept de "deuxième degré": il ne s'applique pas aux choses elles mêmes, mais aux concepts qui subsument ces choses.
Il donne l'exemple :Les " Lunes de Vénus" : le nombre zéro ne s'attribue pas à l'objet, puisqu'il n'y en a pas, mais au concept de "lunes de Vénus".

A vrai dire je ne connais pas grand' monde qui prétende que les nombres existent dans la nature: peut-être quelque empiriste ?

[Médiat]

A vrai dire je ne connais pas grand' monde qui prétende que les nombres existent dans la nature: peut-être quelque empiriste ?

Des platoniciens fanatiques

[inviteea028771]

Des platoniciens fanatiques

Il en reste encore? *retourne préparer des buchers*

[invitea4732f50]

Bonsoir,

Et si l'infini n'était qu'une illusion ? La topologie, telle que la sphère de Rieman, peut nous donner un aperçu du phénomène. On peut représenter en terme finis, des processus qui se produisent à l'infini.
Ce n'est qu'une question de point de vue, relative à la manière dont nous projetons les points d'une sphère sur un plan. L'infini apparaît alors comme un artefact, du à l'angle de projection.

Imaginons que nous vivions dans un univers plat de taille infinie, représenté par un plan s’étendant à l’infini. Ce plan, diagramme d’espace-temps infini qui décrit tous les événements de l’espace-temps à une date donnée, peut être mis en correspondance avec une sphère de taille finie, la sphère de Riemann, par une projection stéréographique.
Comme le montre le schéma ci-dessus, si l’on prend une sphère avec une droite partant de son pôle nord et coupant sa surface en un point, on obtient une projection liant ce point avec un autre du plan. Remarquablement, les points situés à l’infini sont tous reliés à un seul, celui du pôle nord. Des figures géométriques tracées à la surface de la sphère se retrouveront sur le plan mais elles seront déformées. Plus exactement, seuls les angles seront conservés, pas les distances. C’est précisément ce qu’on entend par « transformation conforme ».
C’est ainsi qu’un petit cercle au voisinage du pôle nord deviendra un grand cercle sur le plan à grande distance, s'il est centré sur ce pôle (autrement, on obtiendra une ellipse). On peut aussi considérer une sphère tangente en son pôle sud au plan précédent et faire une projection analogue, comme sur la vidéo présentée ci-dessous.
Imaginons maintenant que le plan soit en expansion. Tous les petits cercles initiaux tracés sur lui vont grandir et leurs points vont se retrouver à l’infini. Ils vont donc correspondre à des petits cycles se rapprochant du pôle nord sur la sphère. Il s’agit là d’une simple astuce mathématique pour représenter de façon finie des processus qui se passent à l’infini. Comme les points sur la sphère n’ont rien de particulier, on peut sans problème connecter l’état final d’expansion infinie avec un autre état initial.

Autrement dit, ce qui parait infini dans un espace de dimension (n), peut devenir fini, dans un espace de dimension (n+1).

http://www.futura-sciences.com/magaz...fossile-26213/

Autrement dit, la question de savoir si l'univers est fini, ou infini, pourrait bien être qu'une question de point de vue, de représentation.

Cordialement,

[invitea4732f50]

http://www.cheloniophilie.com/Symbole/

L'infini, comme biais de représentation est une idée intéressante.
Par exemple à une époque où l'on pensait que le monde était plat, on imaginait quelque support se trouvant en dessous de ce monde plat. On craignait aussi lors de navigation
de tomber dans les limbes en s'approchant trop prés du bord.
Le support lui même devait être aussi étayé, et ainsi de suite. Voilà le début d'une récurrence pointant vers l'infini, et signant un biais de représentation.
La troisième dimension a résolu ce paradoxe.

Cordialement

[invite51d17075]

........

J’abonde très volontiers.
Je suis moi-même assez fasciné par les trésors de représentation qu’offre la topologie.
( je crois d’ailleurs l’avoir déjà mentionné )

@ Ibramaniltac :
Toute représentation mathématique est construction humaine ( concept ).
Il n’y a pas plus d’ontologie dans certains concepts que d’autres.
( personellement, ça me rendrait assez schizophrène .. )
Mais ( rappel ) dans vos écritures, les …. Sont assez peu mathématiques quand même.( euphémisme )
On peut y voir une certaine « poésie » mais sans plus.

Alors un peu de légèreté dans ce sens :
« l’infini me ronge » , j’adore le titre.
On dirait du Baschung dans le texte.

A propos, je croyais que le « disque monde » était une invention de Terry Prachett.
( indispensable dans toute bonne bibliothèque comme du haut médoc dans une bonne cave )

Cordialement.

[invite179e6258]

Ce n'est qu'une question de point de vue, relative à la manière dont nous projetons les points d'une sphère sur un plan. L'infini apparaît alors comme un artefact, du à l'angle de projection.

Autrement dit, la question de savoir si l'univers est fini, ou infini, pourrait bien être qu'une question de point de vue, de représentation.

une fois de plus apparaît la confusion entre les notions de cardinal fini/infini et d'espace (ou de variété) borné(e)/non borné(e).

[invite51d17075]

Certes !
Mais cette confusion est intrinsèquement incluse dans la discussion même du fil.
( en tout cas pour une bonne part )

Cdt.

[Médiat]

( indispensable ... comme du haut médoc dans une bonne cave )

Ah non, il vaut mieux y mettre du vin .

[Médiat]

une fois de plus apparaît la confusion entre les notions de cardinal fini/infini et d'espace (ou de variété) borné(e)/non borné(e).

Absolument, ce qui renvoie aux notions d'infinis actuels et potentiels

[invitea4732f50]

Certes !
Mais cette confusion est intrinsèquement incluse dans la discussion même du fil.
( en tout cas pour une bonne part )
Cdt.

En effet,
Il m'a semblé que la question de départ, se referrait non pas à l'infini mathématique, mais à la notion d'infini appliquée à notre univers physique.
Et dans ce cas, les ressources de la topologie et des dimensions supplémentaires, montrent qu'il n'est pas nécessaire d'avoir un univers de taille infini,
pour qu'il puisse exister une infinité d'univers possibles. Une hyper-sphère à 10 dimensions, permet l'existence de toutes les histoires possibles, de tous les univers possibles.
Ce qui parait infini dans un espace de dimension (n), peut devenir fini, dans un espace de dimension (n+1).

Je ne me suis pas réferré a l'infini au sens de "cardinal d'un ensemble".

Cordialement,

[ibramaniltac]

Les mathématiciens font tendre des courbes indéfiniment vers des asumptotes en usant du même stratagème que pour le nombre 333...3, par concaténation-réitération indéfinie (qu'ils nomment "infinie) de nombres comme s'enfilent des perles sur un collier. En base 2 ou autre où les chiffres de base sont moins nombreux qu'en base 10 la logique est la même. Hélas dans la réalité ou la vraie vie si fine que soit la pointe du stylo à un moment donné courbe et asymptote forcément se rejoignent !

Dans l'ensemble des nombres dits "réels" le nombre qui précède immédiatement celui moins dit "réel" 3,3333 n'est pas défini, n'existe pas (dans la pensée des mathématiciens).

Pour palier à cet indéfini il est aisé au mathématicien de convoquer quelque obscur "infini" en concaténant-réitérant "à l'infini" mais qu'est-ce que ça veut dire "à l'infini", le chiffre 9 => 3,3332999999999 ... fera l'affaire comme précédant immédiat de 3,3333 dans l'ensemble des nombres dits "réels" : là encore se fait nommer "infini" ce qui en réalité est de l'indéfini.

N'importe qui ayant un peu de bon sens et de jugeotte comprend sans peine la part d'artifice qu'il y a dans le langage mathématique, est amené à soupçonner fortement que le langage mathématique n'est qu'un outil commode pour agir sur les phénomènes de la Nature (comme le font les physiciens en approximant car la Nature est discrète, non continue), que dans tous les cas la Nature n'est pas écrite en langage mathématique.

[Médiat]

Bonjour,

Vous devriez éviter de parler de mathématique, ce que vous supposez que font les mathématiciens est, encore une fois, totalement ridicule !

[invitea4732f50]

N'importe qui ayant un peu de bon sens et de jugeotte comprend sans peine la part d'artifice qu'il y a dans le langage mathématique, est amené à soupçonner fortement que le langage mathématique n'est qu'un outil commode pour agir sur les phénomènes de la Nature (comme le font les physiciens en approximant car la Nature est discrète, non continue), que dans tous les cas la Nature n'est pas écrite en langage mathématique.

La nature pourrait être discrète tout en étant de nature mathématique. Le fait qu'elle ne soit pas continue ne prouve rien, si ce n'est que les mathématiques permettent de concevoir des objets qui n'existent pas dans la nature.

Cordialement,

[ibramaniltac]

Je pense néanmoins que dans R\{1} si je fais lim (x+1)/(x-1) = 1 quand x tend vers +OO je suis en droit de poser deux petites questions :

1) comment fait-on "tendre x vers l'infini" par quel(s) critères passe-t-on dans l'idée des mathématiciens d'un nombre "réel" à quelque autre pour "faire tendre x vers l'OO" ?

2) ici je vois quelque amalgame entre le fini et l'infini, par confusion-collusion du clair in-défini avec quelque obscur "in-fini".



... simple question de vocabulaire direz-vous hélas les mots ont un sens ou des sens précis :

- In-défini : ce qui n'est pas défini ou ce qu'on ne peut pas définir.

- In-fini : qu'est-ce que ça veut dire "in-fini" allez savoir ...

C'est pas un reproche qu'on peut faire aux mathématiciens.

Le réflexe qui consiste à parler de quelque obscur "infini" en lieu et place du clair indéfini est vieux comme le monde, n'est pas l'apanage des mathématiciens : tout le monde y a recours dans tous les domaines même celui du religieux.

Peut-être est-ce un effet de l'âge mais en vieillissant je vois de moins en moins la nécessité qu'il peut y avoir pour quiconque de sombrer dans l'extrême naïveté qui consiste à s'imaginer que "la Nature est écrite en langage mathématique".

[invitedd63ac7a]

comment fait-on "tendre x vers l'infini" par quel(s) critères passe-t-on dans l'idée des mathématiciens d'un nombre "réel" à quelque autre pour "faire tendre x vers l'OO" ?

Par une définition qui ne fait aucunement intervenir l'infini et qui dit
Pour tout réel a donné, si il existe un réel A tel que pour A<x alors 1-a<f(x)<1+a alors on dira que la limite de f(x) quand x tend vers +infini est 1. L'expression en italique ne fait que traduire, par une approximation de langage, de façon concise et commode la définition exacte précédente. On peut traduire cette définition de façon toute littéraire (et assez approximative) lorsque x devient de plus en plus grand alors f(x) se rapproche de plus en plus de 1.

[ibramaniltac]

... bigre !

Euh il reste que ça n'explique pas tellement comment "x devient de plus en plus grand".

La question qui se pose est de savoir comment x, élément quelconque de R, "devient de plus en plus grand" !

Dans N pas de problèmes pour savoir comment un entier n devient de plus en plus grand (ou de plus en plus petit) car il y a une sorte de "continuité naturelle" entre les entiers : n+1 est l'entier immédiatement plus grand que n.

Hélas dans R rien ne va plus comment savoir comment un réel "devient de plus en plus grand" ?

Une des raisons est sans doute que R est un ensemble artificiel ou construit ou fabriqué alors que N est "naturel" ... jusqu'à une certain point car il faudrait définir sa propre infinité (cardinal "infini" ou nombre "infini" d'éléments)

Chaque nombre bizarrement dit "réel" semblant vouloir recèler en fait quelque obscur "in-fini" qu'il serait salutaire de songer à définir ...

[invite51d17075]

« confusion », « stratagème », « obscur »….
Ce sont là vos mots pour qualifier la démarche mathématique.
Etant sur un forum scientifique, il est peu probable que vos arguments aient beaucoup d’échos.
D’autant que vous dites absolument n’importe quoi en parlant mathématique quand vous essayer de l’interpréter.
IL est donc illusoire de chercher à « corriger » chaque phrase.

Ps, au cas ou : l’infini ne fait pas parti des nombres réels…….