La difficile question du sens mathématique.

[karlp]

C'est bien le cas, mais avec les acceptions "internes aux mathématiques" de "syntaxique" et de "sémantique" .

Pour éviter tout confusion, la formulation mathématique, me semble la meilleure (logique du 1er ordre) :
La formule est déductible de (syntaxique) si et seulement si tout modèle de est aussi modèle de (sémantique).

Je commence à y voir un peu plus clair (enfin je crois).
Ma question est alors la suivante : lorsqu'on dit que la théorie des modèles est entièrement syntaxique , faut-il entendre le mot "syntaxique" dans son acception externe ? (je crois que oui et c'est là où je coince :je dois chercher quel sens précis donner à "syntaxique" dans son acception externe)
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[Médiat]

La théorie des modèles est la sémantique du discours formel, c'est à dire qu'elle traite des "objets" qui ont les propriétés définies dans la théorie (syntaxique), mais, bien sûr, ces objets sont des objets du discours formel, donc sont purement syntaxiques.

J'ai mis en gras les expressions "internes" et en italique les expressions "externes".

Il n'y a rien dans ce qui précède qui fasse référence à une position philosophique (platonicien/formaliste), la seule différence que je peux voir, c'est que ce que j'ai appelé "discours formel" ci-dessus, le formaliste l'appelerait "mathématique" et le platonicien "formalisation des mathématiques".

La distinction que je fais entre interne et externe est banale, elle est du même ordre que si je dis que je suis grand, sauf dans une équipe de basket, ou plus mathématiquement, du même ordre que : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2287137

[karlp]

1) La théorie des modèles est la sémantique du discours formel, c'est à dire qu'elle traite des "objets" qui ont les propriétés définies dans la théorie (syntaxique), mais, bien sûr, ces objets sont des objets du discours formel, donc sont purement syntaxiques.

J'ai mis en gras les expressions "internes" et en italique les expressions "externes".

Il n'y a rien dans ce qui précède qui fasse référence à une position philosophique (platonicien/formaliste), la seule différence que je peux voir, c'est que ce que j'ai appelé "discours formel" ci-dessus, le formaliste l'appelerait "mathématique" et le platonicien "formalisation des mathématiques".

2) La distinction que je fais entre interne et externe est banale, elle est du même ordre que si je dis que je suis grand, sauf dans une équipe de basket, ou plus mathématiquement, du même ordre que : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post2287137

1) Tout est parfaitement clair
2) Dès que le temps me sera donné j'irai avec plaisir me rincer les neurones et nettoyer mon vocabulaire avec cette discussion !

[Médiat]

Il faut quand meme remarquer qu'une partie du boulot de mathématicien consiste à evaluer la portée et la profondeur des idées des autres (je pense au reviewing ou aux comités de selections pour les postes). Dans ce contexte il me semble interessant d'analyser les mechanismes qui amènent a considerer qu'un enoncé a du sens ou non, de la profondeur ou non.

Bonjour,

Juste une précision : un spécialiste de la théorie des nombres ne se prononcera pas sur un théorème concernant l'omega-stabilité des pseudos-plans, et donc l'appréciation de la profondeur, par exemple, est liée à celui qui apprécie, il ne pourrait donc exister que des solutions locales (même si les définitions sont globales, et je suppose que c'est ce dernier aspect qui vous intéresse).

Deux exemples pour essayer d'être clair :

1. Je ne suis absolument pas intéressé par le GTF (néanmoins fasciné par son histoire), mais je peux parfaitement concevoir qu'un théoricen des nombres le trouve fondamental pour différentes raisons, liées à son domaine d'étude.
2. Je suis très attaché aux théorèmes de Gödel (complétude et incomplétude), qui sont fondamentaux dans mon domaine, mais si Gödel avait démontré que AP était complétable, même sans fournir cette complétion, j'aurais accordé le même statut aux théorèmes d'incomplétude (la question est finalement plus importante que la réponse), alors que pour le théorème de complétude, c'est nettement plus nuancé (la théorie des modèles (mon coeur de domaine) n'aurait pas eu autant d'intérêt, sans le théorème de complétude).

[PlaneteF]

(...) j'aurais accordé le même statut aux théorèmes d'incomplétude (la question est finalement plus importante que la réponse), alors que pour le théorème de complétude, c'est nettement plus nuancé (...)

Bonjour Médiat,

C'est p'têt moi ... mais je n'ai pas saisi ce que tu voulais signifier en citation : Le même statut que quoi, et quel statut ? ... Plus nuancé par rapport à quoi ? (en fait je n'ai pas saisi l'articulation de ce paragraphe)

Cordialement

[Médiat]

Bonjour PlaneteF

Désolé, c'est ce qui arrive quand on murit une réflexion, mais qu'on la dépose sur le clavier sans avoir de temps

Je voulais dire que le théorème d'incomplétude aurait été tout aussi fondamental si la conclusion avait été contraire (c'est ce que je voulais dire en disant que la question était plus importante que la réponse).

Par contre pour le théorème de complétude, la réponse est fondamentale ; ce théorème n'existe pas pour la logique du 2nd ordre ...

[PlaneteF]

Je voulais dire que le théorème d'incomplétude aurait été tout aussi fondamental si la conclusion avait été contraire (c'est ce que je voulais dire en disant que la question était plus importante que la réponse).

Par contre pour le théorème de complétude, la réponse est fondamentale ; ce théorème n'existe pas pour la logique du 2nd ordre ...

Ah OK, ... A un moment donné j'ai même presque cru que tu étais passé du côté obscur de la complétude

Cdt