Démontrer que Pi est un nombre univers

[grantstewart2]

Bon après-midi au Forum des Débats !

Est-il envisageable que quelqu'un démontre un jour que est un nombre univers
ou bien
sait-on avec certitude que cette démonstration reste à tout jamais impossible, que personne n'y arrivera ?
-----

[Tryss2]

A ma connaissance, il n'existe pas de démonstration de cette impossibilité (ce qui est équivalent à une preuve de l'indécidabilité de "pi est un nombre univers"). Donc une démonstration n'est (à ce jour) pas exclue.

[grantstewart2]

Bravo et merci pour cette réponse claire et pertinente, Tryss2 !

[Zefram Cochrane]

Bon après-midi au Forum des Débats !

Est-il envisageable que quelqu'un démontre un jour que est un nombre univers
ou bien
sait-on avec certitude que cette démonstration reste à tout jamais impossible, que personne n'y arrivera ?

Bonjour,
Qu'est ce qu'un nombre univers?

[A voir en vidéo sur Futura]

[grantstewart2]

Un nombre univers
est un réel qui contient toute suite finie d'entiers possible dans ses décimales.


Pourquoi appelle-t-on " Univers "
les nombres univers ? Quelqu'un sait-il cela ?

Cela a-t-il un rapport réel avec l'espace qui contient les objets stellaires, le cosmos, etc. ?

[obi76]

Bonjour,

Cela a-t-il un rapport réel avec l'espace qui contient les objets stellaires, le cosmos, etc. ?

aucun.

[pm42]

aucun.

En effet.

Un nombre univers est un réel qui contient toute suite finie d'entiers possible dans ses décimales.
Pourquoi appelle-t-on " Univers "

Parce que Univers n'a pas comme seule signification celle de la physique. C'est le concept de "tout ce qui existe" ou "tout ce qui est possible" : https://fr.wikipedia.org/wiki/Univers_(homonymie)

[Médiat]

Bonjour

C'est le concept de "tout ce qui existe" ou "tout ce qui est possible"

Et en particulier, "tout"* est encodé (une infinité de fois) dans un nombre univers

*) avec certaines suppositions sur ce "tout" (discret, fini)

[grantstewart2]

Okay pour la signification du mot Univers, pm42.

Loin de prétendre que je suis capable de démontrer = nombre univers,

voici une ébauche, juste un essai de démonstration :


Plus on avance dans les décimales de ,
plus les suites identiques d'entiers finies se répètent,
et ces suites qui se répètent sont de plus en plus longues & variées.

Si l'on poursuit logiquement ces répétitions,
il est obligatoire de trouver n'importe quel entier de n'importe quelle longueur.
CQFD !

Je sais que vous allez réfuter ce projet de démonstration et vous avez raison.
Je voulais juste extérioriser cette idée que j'ai en tête.

[pm42]

Je sais que vous allez réfuter ce projet de démonstration et vous avez raison.
Je voulais juste extérioriser cette idée que j'ai en tête.

Ok mais cela ne mène nul part. Il est très probable qu'il n'existe pas de démonstration avec des maths "élémentaires".
Si tu prends le grand théorème de Fermat, on a cherché pendant longtemps, atteint assez rapidement des éléments de preuve déjà très pointus et la démonstration finale est compliquée à expliquer dans son principe à quelqu'un qui n'a pas déjà un niveau élevé. Et encore plus inaccessible dans son détail.

Par contre, si tu veux lire un peu de l'accessible : http://www.lifl.fr/~jdelahay/pls/1996/036.pdf

[Médiat]

Plus on avance dans les décimales de ,
plus les suites identiques d'entiers finies se répètent,
et ces suites qui se répètent sont de plus en plus longues & variées.

Si l'on poursuit logiquement ces répétitions,
il est obligatoire de trouver n'importe quel entier de n'importe quelle longueur.
CQFD !

Vous savez que ceci n'est pas une démonstration, pour la réfuter il suffit d'appliquer votre raisonnement à un nombre univers dont on aurait remplacé tous les 9 de ses décimales par des 0qui, du coup serait loin d'être univers.

[minushabens]

comment prouve-t-on en général qu'un nombre est un nombre univers? je n'arrive pas à imaginer une démonstration, sauf pour un nombre qui serait construit spécialement pour en être un.

[pm42]

comment prouve-t-on en général qu'un nombre est un nombre univers? je n'arrive pas à imaginer une démonstration, sauf pour un nombre qui serait construit spécialement pour en être un.

En montrant que c'est un nombre normal par exemple.

[Médiat]

Quelques éléments de réponse : http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc...=rep1&type=pdf

[minushabens]

merci, je vais essayer de lire ça. C'est un domaine de la théorie des nombres que je ne connais pas du tout.

[shub22]

Comment démontre-t-on que la suite des puissances de 2 est un nombre univers ? Ça ne paraît pas évident dit comme ça
.............................. ..............
L'exemple du singe qui tape au hasard est pas très bien choisi dans cet article de "pour la Science" pour leur démonstration car le singe est doué d'un système nerveux relié à des sens.
Il se produit dans le cerveau consciemment ou non des préférences, des sortes de réflexe ou des mécanismes, des habitudes conscientes ou non qui fait que tout être doué d'un système nerveux ne se comportera JAMAIS de façon totalement aléatoire face à une machine qui lui offre une multitude de choix apparemment équivalents et dont il ne comprend pas a priori a signification.
Ce serait une sorte de preuve du test de Türing mais à l'envers: et ça perso j'y crois pas...

Comme si nous êtres humains étions confrontés à une machine à écrire extraterrestre avec des signes que nous ne connaissons pas du tout à assembler, ou à choisir comme le singe sur son clavier et dont nous ne connaitrions pas la signification...
Au bout d'un moment une séquence de répétition se mettra en place, consciemment ou non.
Face à l'inconnu comme le singe devant une machine à écrire, l'être doué d'un système nerveux recherchera des régularités ce qui est la base de la formation et invention du langage.
C'est mon avis en tout cas

[Médiat]

Comment démontre-t-on que la suite des puissances de 2 est un nombre univers ? Ça ne paraît pas évident dit comme ça

Pas si compliqué, si on essaye de montrer que si n est un entier, il existe une puissance de 2 qui commence par cet entier.

[andretou]

Les propriétés du nombre univers permettent-elles d'affirmer que, pour un nombre univers donné, il existe un rang N à partir duquel on retrouve exactement toutes les décimales de ce nombre ?
Autrement dit, un nombre univers se contient-il lui-même ?
Autrement dit, peut-on retrouver dans ?
Si oui, alors serait périodique, donc rationnel ! Or il est démontré que n'est pas un nombre rationnel.
Donc si est un nombre univers, alors c'est un nombre univers qui contient tout sauf !

[pm42]

Lire la définition d'un nombre univers, c'est à dire la 1ère ligne de Wikipedia permet de savoir immédiatement pourquoi cette question n'a aucun sens.
La même information est donnée dans le fil très tôt par grantstewart2.

[andretou]

Raisonnons alors en termes de suites finies.
Soient d₁, d₂, d₃,... , d_n les décimales de aux rangs 1, 2, 3,... , n
Ainsi, d₁=1, d₂=4, d₃=1, d₄=5, etc...
Si est un nombre univers, alors la probabilité qu'il existe un entier N tel qu'à partir du rang N on retrouve la séquence des N-1 décimales précédentes de d₁ à d_N-1 n'est pas nulle.
A partir du rang N on aurait ainsi : d_N=d₁, d_N+1=d₂, d_N+2=d₃, ..., d_N+N-2=d_N-1

De la même manière on peut à nouveau considérer que si est un nombre univers, alors la probabilité qu'il existe un entier N₂ supérieur à 2N tel qu'à partir du rang N₂ on retrouve la séquence des N₂-1 décimales précédentes de d₁ à d_N2-1 n'est pas nulle...
Et en reproduisant ce raisonnement, on peut affirmer que la probabilité qu'il existe un suite infinie d'entiers N tels qu'à partir du rang N on retrouve la séquence intégrale des N-1 décimales précédentes n'est pas nulle !
Conclusion : les décimales de se répètent indéfiniment à des échelles de plus en plus grandes !

[obi76]

Puisque visiblement vous ne lisez pas les liens que l'on vous fourni... Je vais le faire pour vous.

Première ligne (! ! ! !) :

Un nombre univers est un nombre réel dans lequel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie

Sérieusement... vous vous moquez du monde (pour rester poli)...

[andretou]

Puisque visiblement vous ne lisez pas les liens que l'on vous fourni... Je vais le faire pour vous.

Première ligne (! ! ! !) :



Sérieusement... vous vous moquez du monde (pour rester poli)...

Bonjour Obi
Est-il donc faux de considérer qu'un nombre univers soit un ensemble infini de suites de longueurs finies comme je l'ai fait ?

[pm42]

Est-il donc faux de considérer qu'un nombre univers soit un ensemble infini de suites de longueurs finies comme je l'ai fait ?

Oui : tout le raisonnement est faux parce que tu n'utilises pas la définition d'un nombre univers, que tu introduis des probabilités qui n'ont rien à y faire.

[grantstewart2]

Cher andretou,
je trouve que tu as élaboré une très intéressante tentative de démontrer que est un nombre univers.
Dans ton esprit, as-tu bel et bien prouvé que est un nombre univers ?

[andretou]

Bonjour Grantstewart2
Je n'ai hélas rien démontré, j'ai seulement conjecturé que si est un nombre univers, alors ses décimales sont périodiques à très grande échelle (en fait il serait sans doute plus juste de dire que la probabilité que ses décimales soient périodiques à très grande échelle n'est pas nulle)...
La démonstration que est un nombre univers reste à établir.
Wikipedia ne cite que 2 nombres univers : le nombre de Champernowne (0,12345678910111213...) et la suite des puissances de 2 : 0,1248163264128256...
Bien à toi

[obi76]

Je n'ai hélas rien démontré, j'ai seulement conjecturé que si est un nombre univers, alors ses décimales sont périodiques à très grande échelle (en fait il serait sans doute plus juste de dire que la probabilité que ses décimales soient périodiques à très grande échelle n'est pas nulle)...

Non, votre conjecture est fausse. Si les décimales sont périodiques, alors c'est un nombre rationnel, et il a été démontré (pas conjecturé) que ce n'est pas le cas.
Et de plus, si les décimales sont périodiques, alors ce ne peut pas être un nombre Univers.

Deux erreurs majeures et invalidant totalement ce que vous dites.

[andretou]

Non, votre conjecture est fausse. Si les décimales sont périodiques, alors c'est un nombre rationnel, et il a été démontré (pas conjecturé) que ce n'est pas le cas.
Et de plus, si les décimales sont périodiques, alors ce ne peut pas être un nombre Univers.

Deux erreurs majeures et invalidant totalement ce que vous dites.

Bonjour Obi76
Attention, je ne dis pas que les décimales de peuvent être périodiques (j'ai même rappelé plus haut que que cela n'est pas possible puisque n'est pas un nombre rationnel), je dis que les décimales de pourraient être périodiques A DES ECHELLES DE PLUS EN PLUS GRANDES.
Démonstration :
Supposons que les décimales de jusqu'à un certain rang N (très grand) soient les suivantes : 3,14159...3579
Alors si est un nombre univers, il n'est pas impossible qu'à partir du rang N+1 (et jusqu'au rang 2N) on trouve à nouveau exactement la même suite de décimales, de sorte que : = 3,14159...357914159...3579
Un tel doublon a une faible probabilité de survenir, mais elle n'est pas nulle. Et rien n'interdit qu'un nouveau doublon plus grand encore puisse survenir bien au delà du rang 2N avec une probabilité encore plus faible, et ainsi de suite indéfiniment avec chaque fois une probabilité de plus en plus faible mais non nulle !

[ansset]

je dis que les décimales de pourraient être périodiques A DES ECHELLES DE PLUS EN PLUS GRANDES.

en substance, la "démo" revient à dire que pi POURRAIT être un nb univers, car la probabilité qu'il le soit n'est pas nulle, si j'ai compris !
d'autant que c'est très très bien expliqué. ( *)
mais je te remercie pour l'info.

(*) au passage on peut faire le même "raisonnement" pour tout irrationnel .

[ansset]

ps : il n'y a pas de notion de périodicité dans les nb univers.

[Médiat]

...

Ben oui, si c'est un nombre univers, la démonstration est triviale (ce n'est, en tout état de cause, pas une notion de périodicité )