Approximations discrètes d'équations continues

[Archi3]

Bonjour

au cours d'une discussion quelqu'un m'a imaginé un cas où un programme informatique (forcément discretisé) pourrait donner des solutions exactes d'équations continues (genre équations aux dérivées partielles).

Je lui ai dit que c'était impossible puisqu'il y avait une infinité non dénombrables de configurations continues associées à une même initialisation (discrète) du calcul, et donc une infinité non dénombrable de solutions associées à une seule solution discrète - donc la solution discrète ne pouvait pas être "exacte".

Il a eu l'air de sous entendre que c'était complètement idiot comme argument mais n'a pas daigné expliqué pourquoi, alors qui a raison ?
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[invite5fc1946d]

Tu fais référence à quelle discussion ?

[Archi3]

Une discussion privée qui ne s'est pas tenue sur FS, ni d'ailleurs sur un forum public !!

[phys4]

Il a eu l'air de sous entendre que c'était complètement idiot comme argument mais n'a pas daigné expliqué pourquoi, alors qui a raison ?

Bonjour,
Si la solution exacte de votre équation est un rationnel, un programme fonctionnant par approximations successives peut parfaitement trouver la solution exacte.

Mais si la solution exacte est irrationnelle, il n'y arrivera pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Archi3]

Nous parlions de calculs qui ne déterminaient pas juste un "nombre" mais une fonction de l'espace et du temps, une simulation sur réseau. Une fonction continue ne peut pas prendre que des valeurs rationnelles.

[phys4]

Une fonction continue ne peut pas prendre que des valeurs rationnelles.

C'est une bonne remarque, car beaucoup de fonctions ne peuvent être définies que sur R.

Certaines fonctions peuvent être définies sur Q, ce qui ne les empêche pas d'être continues.

[albanxiii]

Une fonction continue ne peut pas prendre que des valeurs rationnelles.

Espérons que Médiat ne passe pas par ici...

[Paraboloide_Hyperbolique]

Bonjour,

Il me semble qu'il faille considérer deux aspects dans la question:

1. La discrétisation de l'équation considérée.
2. La représentation des nombres par le système informatique considéré.

1. Pour ce qui est de la discrétisation, il est parfaitement possible que la solution exacte à l'équation discrétisée S' corresponde au moins en quelques points à la solution exacte de l'équation initiale S:

The finite element solution with the use of the simplest element is piece-wise linear. More precise finite element solution can be obtained increasing the number of simple elements or with the use of elements with more complicated shape functions. It is worth noting that at nodes the finite element method provides exact values of u(just for this particular problem). Finite elements with linear shape functions produce exact nodal values if the sought solution is quadratic.Quadratic elements give exact nodal values for the cubic solution etc.

Source: http://homepages.cae.wisc.edu/~sures...s/introfem.pdf (page 8).


2. En ce qui concerne la représentation des nombres, si la solution exacte à l'équation discrétisée S' admet des valeurs rationnelles, il peut-être possible d'obtenir celles-ci de manière exacte en multi-précision.

[Archi3]

Espérons que Médiat ne passe pas par ici...

c'est vrai que c'est un peu trop simplifié : une fonction non constante continue sur IR (muni de la topologie usuelle) ne peut pas prendre que des valeurs rationnelles ça va ?
Evidemment dans la réalité des simulations physiques on n'a à faire qu'à des fonctions non constantes et réelles ...
On est d'accord que pour certains algorithmes simples et certaines initialisations simples le résultat du calcul peut etre exact, ce que je voulais dire c'est qu'a cause de la discretisation des valeurs réelles , on ne peut pas s'attendre à ce qu'on trouve génériquement la bonne solution (dans le cas d'une évolution temporelle)
C'est à dire on parle d'une distribution réelle quelconque initiale
on la discrétise d'une certaine manière
On la fait évoluer
On ne peut pas retrouver la solution "réelle" exacte à partir de la solution obtenue discrète, du fait qu'on a perdu de l'information en discréditant.
Au mieux on retrouvera la "bonne solution" discrétisée correctement mais même ça ce n'est pas toujours le cas.

[phys4]

c'est vrai que c'est un peu trop simplifié : une fonction non constante continue sur IR (muni de la topologie usuelle) ne peut pas prendre que des valeurs rationnelles ça va ?

Je pense que c'est l'erreur de base : une fonction peut être définie sur les rationnels et être continue, sans être constante, car l'ensemble des rationnels forme une corps continu.
Donc des fonctions constituées par des fractions avec des coefficients rationnels, ne donnent que des résultats rationnels.

[Archi3]

c'est pour ça que je parle d'une fonction continue sur IR . Que je sache, l'espace temps n'est pas isomorphe à IQ^4 ....

[invite452d5a24]

Bonsoir,

au cours d'une discussion quelqu'un m'a imaginé un cas où un programme informatique (forcément discretisé) pourrait donner des solutions exactes d'équations continues (genre équations aux dérivées partielles).

g'-g=0 admet une solution exacte g=exp que n'importe quelle logiciel de calcul formel peut calculer, exactement les solutions de cette équation.

ou encore l'EDP dg/dt=0 alors les solutions sont de les fonctions de la forme g(x,t)=f(x) que la plus part des logiciels de calcul formel peut calculer.

PS : dans les 2 cas le nombre de solutions est plus que dénombrable.

Bonne soirée.

[Archi3]

je ne parlais pas du cas où on connaissait une solution analytique, je parlais du cas où on faisait une résolution numérique discrétisée. si tu résous g'-g = 0 avec les mêmes méthodes que pour résoudre g'-sin(g) = 0, tu ne vas pas retrouver "exactement" l'exponentielle.

[invite9dc7b526]

un programme peut renvoyer des valeurs exactes d'une fonction réelle de la variable réelle, mais pas toutes (un nombre fini si le programme doit tourner pendant un temps fini). Pour que les valeurs soient exactes il faut qu'elles soient représentables dans la mémoire de l'ordinateur, donc en pratique qu'elles appartiennent à un certain sous-ensemble des rationnels.

[invite9dc7b526]

je m'aperçois que ce que j'ai écrit ci-dessus a l'air totalement trivial. Le point que je voulais souligner est qu'un programme peut très bien ne renvoyer que des valeurs exactes, i.e. jamais approximatives.

[Médiat]

Salut,

Espérons que Médiat ne passe pas par ici...

Raté

Rappelons qu'avec la topologie usuelle, toutes les fonctions de IN dans IN (par exemple) sont continues.
Rappelons aussi qu'en logique intuitionniste toutes les fonctions de R dans R sont continues.
(l'intuition "sans lever son crayon" en prend un sacré coup sur la tête !)

Pour la question initiale, j'ai compris qu'on disposait d'une équation (cf. le titre), auquel cas je ne vois pas pourquoi un calcul formel ne fournirait pas un résultat formel exact, par contre si on dispose d'un ensemble de points, alors les points soulevés (représentation interne, infinité des fonctions continues passant par un ensemble fini de points) sont incontournables

[invite452d5a24]

je parlais du cas où on faisait une résolution numérique discrétisée...

Cela n'empêche pas, si tu veux une réponse exacte alors tu auras comme réponse non pas un nombre mais un algo, qui te permet de calculer avec une précision arbitraire à condition de disposer d'assez d'espace mémoire et de temps.