Salut,
une question a ceux d'entre vous qui connaissent bien l'histoire des maths de la 2eme moitie du 19eme siecle. Riemann a t il cree une veritable rupture quand il a invente les notions de surface de Riemann et les notions qui y sont attachees : varietes topologiques, revetements, etc ? Ou ces notions etaient elles deja plus ou moins "dans l'air" dans la communaute des mathematiciens de son epoque, son genie etant de les avoir reconnues et formalisees magistralement ?
Je ne suis pas un expert en histoire des maths mais je pense que c'est vraiment un coup de génie unique lié à l'élaboration d'un point de vue très général sur les fonctions de la variable complexe, seulement caractérisées par leurs singularité et le genre de la surface de Riemann. Je déduis cela de la lecture de l'ouvrage suivant: Riemann, Topology and Physics par Michael Monastyrsky, Birkhaüser, ISBN-13 978-0-8176-4778-0. Il explique au chapitre 4 qu'en 1857 Riemann applique ses méthodes à un problème qui n'était pas encore résolu à cette époque, celui de l'inversion de Jacobi, en le réduisant à une question sur certaines fonctions définies sur des surfaces de Riemann. Weierstrass avait résolu le problème à peu près en même temps par des méthodes extrêmement fastidieuses, et avait envoyé sa solution à l'académie des sciences de Berlin. Mais après avoir lu la solution de Riemann, il a retiré sa publication et a abandonné les recherches dans ce domaine.
Riemann était un précurseur, il avait des idées profondes et originales et n'attendait pas de les avoir toutes formulées et démontrées complètement avant de les publier (la preuve du théorème d'uniformisation a été achevée par Poincaré). On ne voit ces idées, à ma connaissance, ni chez Gauss ni chez Cauchy.
Ok merci pour ta reponse. Le livre dont tu parles traite t il des aspects historiques des surfaces de Riemann, a part l'annectode de Weierstrass ?
As tu a l'esprit un autre exemple de mathematicien qui a cree une telle rupture ?
Non en fait ce livre parle surtout du rôle de la topologie en physique avec une grosse introduction historique (je suis physicien, je m'intéresse plutôt au rôle des mathématiques en physique, donc mes sources sont un peu limitées). Les idées de base, comme genre d'une surface, le groupe d'homotopie etc ont été introduites, je crois, à l'occasion de l'introduction des surfaces de Riemann, bien qu'Euler ait déjà proposé des raisonnements de cette nature dans un contexte géométrique. Mais comme je l'ai dit je ne suis pas mathématicien en encore moins historien. Donc il est probable que je n'aie pas une vue assez exacte des influences qu'a pu subir Bernhard Riemann. Monastirsky explique aussi que Riemann était un grand lecteur de textes mathématiques. Il a appris l'analyse complexe en lisant Cauchy, il a pu y puiser certaines de ses idées.
J'ai cherché ailleurs, mais je n'ai rien trouvé. Les "Eléments d'histoire des mathématiques" de Bourbaki ne parlent pas de ces notions.
