Décharge de condensateurs dans plusieurs résistances

[inviteea0287bf]

Bonjour à tous,

J’espère que vous pouvez me guider dans mon problème. Dans ce schéma nous avons trois condensateurs et trois résistances. Je cherche à exprimer l’allure des courants dans les condensateurs. Sachant qu’à l’instant t=0, Vc1 = 50V, Vc2= - 15V et Vc3= -35V. C1=10µF C2=12µF et C3=15µF, les résistances R1=100 Ohm, R2=150 Ohm et R3=125 Ohm.

Ma question :
Comment les condensateurs se déchargent dans les résistances ? J’ai essayé plusieurs pistes :

Théorème de superposition
Décharge dans une résistance équivalente liée avec (R1, R2 et R3)


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[gcortex]

pourquoi pas une mise en équation avec la formule du condensateur ?
Ic = C.dUc/dt

[erff]

Salut

Ça sent le bon vieil exo de khôlle de physique en prépa

Étant donné que ton circuit ne possède pas de symétrie, il va falloir écrire le système d'équa diff et résoudre tel un gros bourrin

Si on oriente les UCj pointe de la flèche vers le haut (convention arbitraire) on a

Les lois de maille :

Les lois de kirchoff :

Le but est d'éliminer les I_Rj et de ne garder que les Ucj et leurs dérivées.

[inviteea0287bf]

Bonsoir,

Erff, je te remercie, je vais trituré tout cela, connaissant les conditions initiales.

[A voir en vidéo sur Futura]

[DAUDET78]

je vais trituré tout cela,

Putaing, si tu arrives à dépatouiller ça, tu peux être ministre de l'industrie ....... mais pas électronicien ! Je n'ai jamais eu ce problème à résoudre en 50 ans de turbin !

[BastienBastien]

Hello,

Putaing, si tu arrives à dépatouiller ça, tu peux être ministre de l'industrie ....... mais pas électronicien ! Je n'ai jamais eu ce problème à résoudre en 50 ans de turbin !

Ne manquent plus qu'une source commandée, des inductances (en plus de celles des condos), des composants actifs et non linéaires... Joking !

+

[invite6d608176]

Bonjour,

Il n'y a que 2 inconnues VC1 et VC2 puisque VC3 = - ( VC1 + VC2 ).
Une transformation triangle étoile mettra les impédances en série ce qui fera un système de 2 équations a 2 inconnues.

JP

[Fanch5629]

Bonjour.

En réaction à la remarque de jyvoipabo, j'ai envie de demander si le théorème de Kennelly est applicable aux régimes transitoires ? Si oui, où peut-on trouver la démonstration ?

Sinon, il y a un truc évident dans ce problème, c'est que les tensions aux bornes des condensateurs ne peuvent s'écrire que sous la forme:

U_ci = U_ci0 exp (-t/T_i ) , i = 1...3

Puisque U_c1+U_c2+U_c3 = 0, quelque soit t et avec la convention de signe idoine, alors T₁ = T₂ = T₃ = T

Autrement dit, tous les condos se déchargent suivant une constante de temps commune. Le problème est maintenant de trouver la méthode permettant de calculer T sans noircir x feuilles de papier.

Cordialement.

[invite29971eb1]

Je suis bien incapable de calculer quoi que ce soit là-dedans, mais y'a un truc qui me perturbe...

Si Vc1=50V, Vc2=-35V, Vc3=-15V...alors Vc2+Vc3=-50V

or Vc1=Vc2+Vc3 donc..... 50=-50

Les conditions initiales me paraissent bien bancales perso

[inviteea0287bf]

Bonjour à tous,

Désolé, les courants ic2 et ic3 doivent être inversé, pour répondre à ftorama.

J'ai utilisé le théorème de kennely mais ce la ne fait que repousser le problème. Effectivement, la somme des trois tensions est nulle.

De plus nous avons un système désequilibré, les constantes de temps ne peuvent pas être égales (T1=T2=T3=T).

Pensez-vous qu'avec Maple ou Matlab nous pourrions ouvrir ce problème?

[invite6d608176]

Rien ne dit que le résultat soit équivalent à une résistance en parallèle avec un condensateur.

En tout cas dès que l'on a deux circuits RC en série, cela ne marche pas.
E1(1-E^-t/T1) + E2(1-E^-t/T2) <> E(1-E^-t/T)
Alors avec 3 en étoile....

Il faut penser à la transformée de Laplace qui est bien pratique quand on est confronté à ce genre de tracas. Alors la transformation triangle étoile marche.

JP

[erff]

Pensez-vous qu'avec Maple ou Matlab nous pourrions ouvrir ce problème?

On peut toujours, mais ici on peut le faire à la main, car ce n'est qu'une bête équa diff linéaire à résoudre, donc on sait faire.

En combinant les lois de mailles et de kirchoff (voir #3) on arrive à

Tu mets cette équation sous forme de matrice :

où est une matrice à déterminer en isolant les termes dérivés dans le système
Ensuite

[Fanch5629]

Re.

@erff : les trois équations différentielles ne sont pas indépendantes (sommer les deux premières donne la troisième, par exemple)

D'autre part, mais c'est un détail, ne pas confondre lois de Kirchoff et loi des noeuds (lois de Kirchoff = loi des mailles + lois de noeuds).

@+

[erff]

@erff : les trois équations différentielles ne sont pas indépendantes (sommer les deux premières donne la troisième, par exemple)

C'est pour cette raison que je raisonne avec des matrices (exponentielle de matrice), dés qu'on sait isoler les termes en d/dt (ce qui est ici très rapide) on sait résoudre, pas besoin de découpler les équations à la main, c'est tout l'intérêt de la méthode.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Exponen...%27une_matrice
paragraphe "Équations différentielles linéaires"

D'autre part, mais c'est un détail, ne pas confondre lois de Kirchoff et loi des noeuds (lois de Kirchoff = loi des mailles + lois de noeuds).

[Fanch5629]

Re.

@erff : exponentielle de matrice ou pas, il n'en demeure pas moins que tu n'as que deux équations différentielles indépendantes, et non trois. Pour boucler la boucle, tu dois introduire l'équation Uc1 = Uc2+Uc3, suivant tes conventions de signe. Non ?

[erff]

Je ne m'en étais pas aperçu mais tu as raison, la 3e équation que j'ai (lois de noeud) est la somme des 2 précédente, donc il y a effectivement une redondance, il faut la remplacer par Uc1=Uc2+Uc3 et appliquer la méthode ensuite.
Merci d'avoir souligné cette erreur.

[invite6d608176]

Finalement cela fait donc bien un système de 2 equa difs a 2 inconnues.
Avec Laplace et une boite d'aspirine ça devrait le faire.

JP

[Fanch5629]

Bonjour.

La solution est de la forme :

u1 = K11 e^-t/T1 + K12 e^-t/T2
u2 = K21 e^-t/T1 + K22 e^-t/T2
u3 = K31 e^-t/T1 + K32 e^-t/T2

Rien que les expressions de T1 et T2 comprennent de longues sommes de termes en RiCj et en RiCkCjCl sous radical, dont le calcul manuel est particulièrement long et repoussant, générateur d'erreurs et sans intérêt particulier, quelque soit la méthode employée.

Etonnant comme un circuit somme toute assez simple peut aboutir à des calculs aussi imbuvables !

A part la mise en application des lois de Kirchoff et la révision des méthodes de résolution des systèmes d'équations différentielles, je ne vois aucun intérêt à cet exercice, et vouloir mener les calculs à leur terme paraît bien vain.

A balancer dans un logiciel de calcul formel pour application numérique éventuelle, sans plus de réflexion, mais pour quoi faire ?

Cordialement.

[DAUDET78]

je ne vois aucun intérêt à cet exercice, et vouloir mener les calculs à leur terme paraît bien vain.

Ca rejoint parfaitement ma réponse #5 ... On est donc deux à être d'accord !

[inviteea0287bf]

La solution est de la forme :

u1 = K11 e^-t/T1 + K12 e^-t/T2
u2 = K21 e^-t/T1 + K22 e^-t/T2
u3 = K31 e^-t/T1 + K32 e^-t/T2

Rien que les expressions de T1 et T2 comprennent de longues sommes de termes en RiCj et en RiCkCjCl sous radical, dont le calcul manuel est particulièrement long et repoussant, générateur d'erreurs et sans intérêt particulier, quelque soit la méthode employée.

Etonnant comme un circuit somme toute assez simple peut aboutir à des calculs aussi imbuvables !

A part la mise en application des lois de Kirchoff et la révision des méthodes de résolution des systèmes d'équations différentielles, je ne vois aucun intérêt à cet exercice, et vouloir mener les calculs à leur terme paraît bien vain.
éflexion, mais pour quoi faire ?

[/QUOTE]


Bonjour,

L'intérêt d'un tel circuit était de comprendre pourquoi, lorsque le système est équilibré ( C1=C2=C3 et R1=R2=R3) avec la somme des trois tensions nulle, les condensateurs se déchargent avec une expression simple Ucj=Ucj0*exp(-t/RjCj), comme si le condensateur se décharge dans sa propre résistance (en parallèle). En déséquilibré ce n'est pas le cas.

En posant ce problème j'ai compris que les condensateurs se déchargent dans plusieurs résistance de manière pas tout à fait simple. Au départ je pensais qu'on pouvait faire des interprétations simplificatrices, hélas non.

C'est un très bon sujet à donner aux étudiants!

Cordialement.

[Fanch5629]

Re.

@Maurice74960 :

Après quelques feuilles noircies supplémentaires, je trouve ta condition R1=R2=R3 et C1=C2=C3 trop restrictive.

En fait, il suffit que R1C1 = R2C2 = R3C3 = T pour que l'ensemble des condensateurs se décharge avec la même et unique constante de temps T.

Pour finir, on peut voir le circuit comme une mise en série de 3 cellules RC parrallèles. On doit pouvoir généraliser ce résultat, le seul intéressant, à N cellules. Mais c'est vraiment pour le fun!

@DAUDET78 :

Finalement, il n'est complètement dénué d'intérêt cet exercice, sur le plan intellectuel.

Bien cordialement.

[invite6d608176]

salut Maurice,

Est tu sur de ton résultat ?

J'aurai plutôt vu un truc du genre :
u1 =+K1 e-t/T1 + K2 e-t/T2
u2 = -K1 e-t/T1 + K3 e-t/T3
u3 = -K2 e-t/T2 - K3 e-t/T3
...parce qu'il respecte les symétries et donne un total = 0

Bah, les cellules en Pi ou en Y sont des trucs qui conduisent assez rapidement a des calculs impossibles.

J'ai quelques souvenirs d'atténuateurs en T avec des contraintes d'impédance qui donnaient des calculs de ce genre. Mais là, il y avait une application qui débouchait sur un 'Power brake' d'ampli guitare.

JP

[DAUDET78]

Voilà la simulation si vous voulez vérifier vos résultats !

- Pendant 100 mS, les tensions sont initialisées à 50V et 35V
- Toutes les résistances sont multipliées par 100 (question de simulation)

[inviteea0287bf]

Bonsoir à tous,

J'ai simulé sous Maple le système différentiel à résoudre sous les deux méthodes, je vois des différences dont je ne sais expliquer.


Cordialement.

PS:Ci joint la simulation avec les valeurs prises par DAUDET78

[DAUDET78]

Personne n'est d'accord, en particulier le croisement de V50 avec V35 (fait avec MicroCap 9 demo)

Je dis pas que mon résultat est sûr sûr, je manipule mal le simulateur. Une autre simulation serait intéressante.

[inviteea0287bf]

DAUDET78, je ne remets pas en cause vos résultats. Mais plutôt les miens

[DAUDET78]

DAUDET78, je ne remets pas en cause vos résultats. Mais plutôt les miens

Je suis prudent. Quand j'annonce quelque chose, je ne me trompe jamais (bof bof .... il y a des erreurs!).

Par contre, ma simulation, je suis un débutant et j'ai peut être fait une erreur (j'ai été obligé de multiplier par 100 les résistances, ce qui ne change rien, pour avoir une courbe exploitable)

[erff]

Bonjour,

Une autre simulation serait intéressante.

Je vous joins les résultats de simulation (avec LTspice) que j'ai obtenu... Le premier c'est avec les valeurs de l'exo, et le 2nd avec les résistances x100

[DAUDET78]

Victoire ! je suis un boulet

Des erreurs de valeurs sur C2 et C3 ............
Je trouve la même chose que Errf
et ça colle avec "résolution du système différentielle avec maple" mais pas du tout avec "l'exponentielle de matrice"

Je pense que le Smilbilik a fait un grand pas!

[inviteea0287bf]

Bonjour,

C'est ce que je présentais, j'ai du mal diagonalisé ma Matrice. Je vais recommencer, je croule sous le nombre de variable

Bref ça me soulage qu'on trouve les mêmes courbes (pour le système différentiel sous Maple)

Je vous remercie de votre aide