Qu'est ce qu'un point ?

[martini_bird]

En résumé, un point ça n'existe pas en maths "pures". Ou plus exactement c'est une étiquette conventionnelle attachée (il en faut bien une) à certaines classes de symboles apparaissant dans certains systèmes formels.

Je suis tout à fait d'accord avec le fait que le point charrie avec lui un imaginaire, qui est de plus utile. Et comme tu l'as dit, un point, même dans une variété, n'est pas toujours ce qu'on imagine : un point, dans un fibré ou dans un schéma (auquel faisait référence Médiat en parlant de la théorie de Grothendieck) ressemble parfois à tout sauf ce que l'on aurait envie d'appeler un point (dans les shémas, certains points sont denses...) !

Ceci étant, je trouve qu'il y a moins d'ambiguïté avec la notion d'élément, beaucoup plus neutre du point de vue sémantique. C'est pourquoi l'étiquette "point" n'est jamais selon moi qu'une version imagée de la géométrie pour désigner un élément d'un espace/variété.

Cordialement.
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[doryphore]

Pour Euclide, c'est l'insécabilité qui caractérise le point.

[invite2ac85754]

Ceci dit, que serait un monde sans objet ?
Une pensée que de lien?

N'est il pas nécessaire d'ancrer des objets (instaurant un contexte cognitif partagé) pour construire la possibilité même de relation ?

Et pourquoi les relations elles mêmes ne seraient-elles pas des objets? Du point de vue du mathématicien (mais je ne prétends à aucune exclusivité), tout peut être objet. Par exemple Galois a fait de l'ambiguïté inhérente aux équations algébriques un objet mathématique: un groupe. Et au lieu de calculer les solutions des équations, il a trouvé beaucoup plus rigolo de calculer les ambiguïtés de ces équations. Si je décide de prendre pour objet la théorie des variétés différentielles au même titre que le nombre 1, qu'est-ce qui m'en empêche? La relation des mathématiques aux symboles, voire la réduction apparente des mathématiques à la manipulation de symboles permet de fait ce genre liberté. C'est comme si nous ne parlions pas vraiment de quelque chose.... Mais cela ne s'arrête pas là: la pratique des mathématiques ne cesse de jouer sur un mouvement de va-et-vient entre cette manipulation des symboles et l'intuition. Ce mouvement est fondé sur une pratique assez singulière: tout ce que nous affirmons peut être nié à tout moment, comme si nous ne faisions que jouer, comme si c'était "pour de faux": c'est ce que nous appelons la rigueur, laquelle agit sur nous à la fois comme une énorme contrainte, et comme une source de liberté non moins immense. Mais jamais nous ne renonçons à nos intuitions (c'est pourquoi il serait très dommage de réduire les mathématiques à une simple manipulation mécanique des symboles). Last but not least nos intuitions peuvent se contredire. Nous pouvons avoir plusieurs définitions mathématiques incompatibles entre elles correspondant à une seule intuition. Voici un exemple amusant: le cercle. Le cercle peut-être dessiné (c'est une représentation mathématique tout-à-fait rigoureuse), il peut être décrit comme le quotient du segment [0,1] par la relation 0,1, il peut être vu comme l'ensemble des solutions de l'équation x²+y²=1 (j'en passe et des meilleures). Bien. Toutes ces définitions du cercle sont assez raisonnables et semblent même désigner un unique concept. Mais il n'en est rien. Par exemple, l'équation x²+y²=1 peut avoir un sens dans beaucoup de cadres différents: on peut étudier ses solutions complexes, réelles, rationnelles, ou bien encore pire: ses solutions dans les corps finis. Et ici, les mathématiques elles mêmes nous donnent de quoi faire exploser notre intuition du cercle (voire de géométrie...).
Pour en revenir aux questions "qu'est-ce qu'un point?", ou qu'est-ce que la dimension?" etc, les bonnes réponses à ces questions ne sont peut-être pas les définitions formelles communément admises (cela sera de toutes façons trop restrictif, trop petit, trop arrêté...). Les réponses qui me paraîtraient sensées ressembleraient plutôt à: "qu'est-ce que tu entends pas point?'", qu'est-ce que tu entends par espace?".... "que désires-tu faire de telles notions?" , "quelles histoires veux-tu que nous racontions?".


En guise de transversalité:
Pour ceux qui veulent aller voir un endroit où philosophie et mathématiques se rencontrent de manière assez féconde (et qui lisent l'anglais), je recommande ce lien
http://golem.ph.utexas.edu/category/

[invité576543]

Ceci étant, je trouve qu'il y a moins d'ambiguïté avec la notion d'élément, beaucoup plus neutre du point de vue sémantique. C'est pourquoi l'étiquette "point" n'est jamais selon moi qu'une version imagée de la géométrie pour désigner un élément d'un espace/variété.

Je pense que nous sommes d'accord. Le mot "point" est utilisé d'une manière plus étroite que le mot "élément". Un point en maths c'est un élément, mais le plus souvent dans un ensemble muni d'une topologie non discrète. Mais il n'y a rien de formel là-dedans, juste une constatation sur l'usage du mot...

Cordialement,

[martini_bird]

Je pense que nous sommes d'accord.

Oui, en effet.

[leg]

Pour Euclide, c'est l'insécabilité qui caractérise le point.

Et pour moi, un point c'est tout.

[shokin]

Et pour moi, un point c'est tout.

J'hésitais à le dire, mais, en tant que modérateur, je me suis abstenu.

Un point n'est-il pas l'intersection entre deux droites sécantes ? (c'est du moins ce que j'avais appris)

Shokin

[martini_bird]

Un point n'est-il pas l'intersection entre deux droites sécantes ? (c'est du moins ce que j'avais appris)

Et si tu lisais le fil depuis le (tout) début ?

[Médiat]

En mathématiques les objets n'existent pas en soi, seules comptent les propriétés de ces objets, il existe donc autant de définition du point qu'il peut exister de théories dans lesquelles il peut être intéressant pour l'intiution de nommer les éléments "points".
Il n'y a pas beaucoup de similitudes entre le point d'Euclide, quasiment physique, et les points d'un pseudo plan (théorie qui s'intéresse à des problèmes de stabilité des théories formelles et est donc totalement abstraite).

Cordialement

Médiat

[bardamu]

mmmm... soit .... Giordano Bruno, n'est jamais bien loin, des liables aux lieurs en passant par les liés. Je vais lancer un autre fil ...

Qu'est ce qu'un lien ?
Qu'est ce qu'une relation ?
Qu'est ce qu'un ensemble ?
Qu'est ce qu'une théorie ?

La question "qu'est ce" est elle toujours impropre ?

Salut,
le sujet est passé du forum de Math à celui d'épistémologie et il reste à voir si on y fera mieux...
On peut éventuellement chercher un point commun au divers énoncés issus des divers cadres de conception.

On a vu que le point était pris en théorie des ensembles sous la forme du singleton, Doryphore rappelle que le point pour Euclide est l'insécable, Martini_Bird parle de points "denses" en théorie des schémas et peut-être qu'au final cela rejoint l'idée d'atome, logique et/ou physique.
Dans cette hypothèse, le point serait une notion de base des conceptions atomistes, discrètes.

Mmy faisait remarquer qu'on constituait des lignes à partir de point, puis des plans à partir de ligne etc., mais on pourrait se demander si on ne passe pas là à une autre conception. Chaque point est lié à un autre par une relation infinitésimale (différentielle ?) qui ne se constitue donc pas par le point puisqu'elle les relie.
On serait là dans ce qui est toujours entre 2 points, le continu.

Continu/discret est-il la distinction permettant de caractériser le point et le non-point ?

[Médiat]

Je n'ai pas eu le temps de modifier mon message précédent :


Il est d'ailleurs amusant (je trouve) de constater que pour le langage naturel c'est plutôt le contraire : il est impossible de donner une définition d'un objet aussi terre-à-terre qu'une table par ses propriétés, et pourtant nous ne nous trompons jamais (ou presque) lorsque l'on en voit une... ( Ludwig Wittgenstein a parlé de cela)

[martini_bird]

Salut,

juste une précision :

Martini_Bird parle de points "denses" en théorie des schémas

La « densité » ici est une notion mathématique. Je m'explique, mais c'est difficile de ne pas rentrer dans le jargon mathématique : en topologie les notions de base sont celles d'ouverts et de fermés. Le plus petit fermé contenant un ensemble s'appelle l'adhérence de cet ensemble. Une partie dont l'adhérence est l'espace en entier est dit dense dans cet espace (exemple : les rationnels sur la droite réelle).

Or les points sont fermés dans tous les espaces séparés, mais la topologie de Zarisiki des schémas n'est pas séparée, si bien que des points sont ouverts et même denses.

Il n'y a donc pas de lien avec l'atomisme, au contraire, puisque d'un point dense (un point générique), on peut retrouver tout l'espace en prenant son adhérence.

Cordialement.

Wikipedia :
Ouvert
Séparé

[BrainMan]

Bonsoir,

Donc je propose l'approche suivante: un point est une notion appartenant d'abord à la physique, c'est une notion intuitive commune, semble-t-il, à tous les modèles du monde dans les cerveaux humain. C'est une notion topologique, liée aux positions ou aux relations positionnelles d'objets, de signes, de n'importe quoi que l'on organise dans la notion tout aussi intuitive d'espace. Le point est la plus petite chose à laquelle on attribue, dans nos modèles du monde, une position.

mmy, tu m'as oté les mots de la bouche
Le point resulte de notre capacité à compter, le primate ayant des doigts et de ce fait cela nous permet d'en abstraire la notion d'unicité spatiale.

[bardamu]

(...)
Or les points sont fermés dans tous les espaces séparés, mais la topologie de Zarisiki des schémas n'est pas séparée, si bien que des points sont ouverts et même denses.

Il n'y a donc pas de lien avec l'atomisme, au contraire, puisque d'un point dense (un point générique), on peut retrouver tout l'espace en prenant son adhérence.

Cordialement.

Wikipedia :
Ouvert
Séparé

Oups... j'avais peut-être plutôt un truc genre "compact" à l'esprit, ( je parierais que compact et dense n'ont rien à voir en math, va comprendre... )

Au-delà du vocabulaire, mon raisonnement est le suivant :
si le point est un élément quelconque d'un espace (= un élément quelconque d'un ensemble), je relierais ça à un atomisme logique, une décomposition des propositions en "faits" élémentaires.
J'appellerais ça une logique du discret, pour autant que les éléments sont séparables.
A l'inverse, j'appellerais une logique du continu, des principes où les éléments ne sont pas séparables, où ils sont toujours pris dans un voisinage.

J'aurais tendance à relier la notion de "point en lui-même" à cette séparabilité, une autonomie du point, mais peut-être qu'en fait, on le relierait plutôt aujourd'hui à sa nature d'élement de quelque chose. Ce pourrait être le passage du point-atome antique, d'Euclide, au point-élément de la théorie des ensembles.

Le "point en lui-même", serait alors éventuellement représenté en topologie par le point isolé.

[Médiat]

Histoire d’ajouter à la confusion (en ce qu’elle est source de créativité et non de nihilisme), et pour recentrer la discussion sur les mathématiques (ce fil est issu du forum « mathématiques du supérieur »), je rappelle qu’un pseudo plan contient des lignes et des points, mais que les points n’appartiennent pas (au sens ensembliste) aux lignes…

Je réitère donc mon credo : il n'y a pas de définition mathématique du point, mais des théories dont les éléments des modèles sont appelés "points" pour une seule raison : stimuler l'intuition (au risque de brider l'inventivité) !

[invitefa5fd80c]

Au pif comme ça, on entend habituellement par "point" un objet sans structure interne. Un objet sans structure interne est un ensemble sans élément. On pourrait donc dire que le point est un ensemble vide.

[Médiat]

On pourrait donc dire que le point est un ensemble vide.

Donc il n'y aurait qu'un seul point ?

[invitefa5fd80c]

Donc il n'y aurait qu'un seul point ?

J'avais acheté le premier volume de Bourbaki sur la théorie des ensembles il y a une trentaine d'années. J'avais lu les deux premiers chapitres et il me semble qu'ils construisaient des ensembles à X éléments en se servant uniquement de l'ensemble vide. Mais c'est loin tout ça et je ne suis pas matématicien. Peut-être un mathématicien pourrait nous renseigner là-dessus.

[Médiat]

Il est effectivement possible de créer une classe d'ensembles (appelés ensembles purs) à partir de l'ensemble vide, il n'empèche que ce dernier est unique.

[invité576543]

il me semble qu'ils construisaient des ensembles à X éléments en se servant uniquement de l'ensemble vide. Mais c'est loin tout ça et je ne suis pas matématicien. Peut-être un mathématicien pourrait nous renseigner là-dessus.

C'est assez classique. Et à mon sens assez trompeur, parce que l'on ne se sert pas "uniquement" de l'ensemble vide, mais aussi des axiomes constructifs de la théorie des ensembles. Mais ça rentre déformé dans le "folklore" scientifique. Ca pourrait être l'objet d'un autre fil, cela n'a aucun rapport avec la notion de point.

Cdlt,

[invitefa5fd80c]

cela n'a aucun rapport avec la notion de point.

L'ensemble vide et le point sont deux objets irréductibles. C'est même là leur propriété la plus importante (à moins que tu n'en trouves une autre). Il y a donc un certain rapport et même un rapport certain entre les deux.

Amicalement

[invité576543]

L'ensemble vide et le point sont deux objets irréductibles. C'est même là leur propriété la plus importante (à moins que tu n'en trouves une autre). Il y a donc un certain rapport et même un rapport certain entre les deux.

Amicalement

Certes pour le certain rapport. Mais on se trouve dans deux "niveaux conceptuels" bien différents. L'ensemble vide est une notion parmi les plus fondamentales des maths actuelles, c'est une notion par elle-même. Alors que la notion de point est utilisée dans des théories moins fondamentales, et n'est qu'une étiquette particulière pour le concept d'élément, pour certains ensembles. Le rapport est bien limité.

Cordialement,

[bardamu]

Histoire d’ajouter à la confusion (en ce qu’elle est source de créativité et non de nihilisme), et pour recentrer la discussion sur les mathématiques (ce fil est issu du forum « mathématiques du supérieur »), je rappelle qu’un pseudo plan contient des lignes et des points, mais que les points n’appartiennent pas (au sens ensembliste) aux lignes…

Je réitère donc mon credo : il n'y a pas de définition mathématique du point, mais des théories dont les éléments des modèles sont appelés "points" pour une seule raison : stimuler l'intuition (au risque de brider l'inventivité) !

Salut,
en complément, une petite réflexion (sans doute un brouillon) qui peut être intéressante : http://www.math.jussieu.fr/~kantor/Le_point.pdf
Extrait :

Qu’est ce qu’un point ?
Ces questions simples ont suscité des débats philosophiques, puis scientifiques (en mathématique et en physique ) depuis des siècles Euclide s’est posé la question de construire la géométrie, et il commence avec le point : Un point est ce qui n’a aucune partie.
Le point est donc la partie insécable, l’atome de l’espace.
Mais comment refaire l’espace avec lui ?

Note 1:
C’est déja la question que se pose Leibniz avec les monades même étymologie ),et c’est ”l’opération de l’âme qui perçoit ”(1712)qui joue ce rôle pour lui . L’un des aspects de ce débat sera l’opposition continu/discontinu.

Remarquons aussi que le mot grec utlisé par Euclide est semion, le point est un signe, porteur de sens (voir par. III).

Y- a t-il un autre point aujourd’hui, avec lequel reconstruire l’espace différemment ?
Sur plusieurs exemples tirés de la géométrie algébrique et de la géométrie non-commutative, nous évoquerons de nouvelles articulations mathématiques entre les points et les espaces qu’ils constituent.

Souvent dans la recherche actuelle les mathématiciens se passent des points .

A noter, que pour dire "point" les Eléments utilisent le terme "semion", signe, alors qu'il y avait aussi "stigme" (qu'utilise Aristote, sauf erreur), piqûre, équivalent du "punctus" latin qui a donné "point".

Au passage, la distinction d'Aristote entre le point et la monade :

Ce qui est indivisible par rapport à la quantité , et en tant que quantité, [25] ce qui est absolument indivisible et n'a pas de position, se nomme monade. Ce qui l'est dans tous les sens, mais a une position, est un point. Ce qui n'est divisible que dans un sens est une ligne. Ce qui peut être divisé en deux sens est un plan. Ce qui peut l'être de tous les côtés, et dans trois sens, sous le rapport de la [30] quantité, est un corps. Et, si l'on prend l'ordre inverse, ce qui peut être divisé en trois sens de tous les côtés est un corps ; ce qui peut être divisé en deux sens est un plan ; ce qui ne peut l'être qu'en un seul est une ligne; ce qu'on ne peut dans aucun sens diviser sous le rapport de la quantité est un point et une monade : sans position, c'est la monade; avec position, c'est le point.

http://remacle.org/bloodwolf/philoso...hysique5fr.htm

Au lieu que le point ne construise la ligne puis le plan etc., un ordre du zéro à l'infini, on a plutôt l'impression qu'il s'agit des manières de diviser un plein.

[doryphore]

Certes pour le certain rapport. Mais on se trouve dans deux "niveaux conceptuels" bien différents. L'ensemble vide est une notion parmi les plus fondamentales des maths actuelles, c'est une notion par elle-même. Alors que la notion de point est utilisée dans des théories moins fondamentales, et n'est qu'une étiquette particulière pour le concept d'élément, pour certains ensembles. Le rapport est bien limité.

Cordialement,

Tout à fait d'accord.
C'est vrai que l'utilisation du mot "point" est privilégiée quand on se construit une représentation visuelle de l'ensemble considéré.
Mais c'est bien une restriction qui n'a aucun fondement mathématique et qui est apparu de par le fait que dans l'histoire de la construction des mathématiques, les chercheurs ont utilisé des supports visuels.
Si aujourd'hui on déclare que l'utilisation du mot "point" n'est plus acceptée en mathématique, il n'y aura aucun impact sur la mathématique, on se privera seulement d'un synonyme occasionnel du mot "élément".
Le mot élément est une généralisation du mot "point" qui doit être apparu quand les chercheurs ont découvert des ensembles d'une nature tout à fait différente des ensembles géométriques.

[martini_bird]

Salut,

Histoire d’ajouter à la confusion (...), je rappelle qu’un pseudo plan contient des lignes et des points, mais que les points n’appartiennent pas (au sens ensembliste) aux lignes…

Ah ?

Tu pourrais m'aiguiller au sujet de cette notion de pseudo-plan que je ne connais pas, stp ?

Merci.

[Médiat]

Bonsoir,

Un pseudo plan est constitué de deux ensembles L et P et d'une relation d'incidence I PxL tels que
est infini
est infini
est fini
est fini

Autrement dit :
il y a un nombre infini de points dans une droite, un nombre infini de droites passant par un point, par deux points distincts passent un nombre fini de droites, l'intersection de deux droites contient un nombre fini de points. Je crois que c'est Lachlan qui a introduit cette notion lors de la recherche de théories -catégorique et stable (ou -stable, je ne sais plus).

Si tu veux en savoir plus cherche sur le net Lachlan qui a posé le problème et Hrushovski qui l'a résolu.

[invitefa5fd80c]

Certes pour le certain rapport. Mais on se trouve dans deux "niveaux conceptuels" bien différents. L'ensemble vide est une notion parmi les plus fondamentales des maths actuelles, c'est une notion par elle-même. Alors que la notion de point est utilisée dans des théories moins fondamentales, et n'est qu'une étiquette particulière pour le concept d'élément, pour certains ensembles. Le rapport est bien limité.

Cordialement,

Salut

N'étant pas mathématicien, je veux bien te croire sur parole. Mais j'aimerais aussi comprendre.

Prenons un quelconque point P. Est-ce qu'il y a un objet mathématique, appelons-le x, dont on peut dire : ?

Amicalement

[Médiat]

Prenons un quelconque point P. Est-ce qu'il y a un objet mathématique, appelons-le x, dont on peut dire : ?

Un subpoint !
Qu'est-ce que c'est un subpoint ? Ce que tu veux ! Il suffit d'écrire les axiomes d'une théorie utilisant le symbole et avec un prédicat unaire permettant de distinguer une partie des éléments du modèle et que l'on décide d'appeler subpoints, et un autre prédicat pour définir les points.
Bien sur je caricature, mais les mathématiques ne reposent pas (ne reposent plus) sur le "réel"... tu as toute liberté pour inventer les théories que tu veux.

C'est à dire que, du point de vue du mathématicien, pour que je donne une définition du point, il faudrait que tu me précises de quoi tu parles (c'est à dire que tu m'en donnes la définition, d'une certaine façon), par exemple pour la théorie des pseudo-plans (cf. supra), un point est un élément x qui vérifie P(x)

En passant, si tu veux rapprocher ensembles et "points", ce qui s'en approche le plus est le singleton, insécable lui aussi, comme le disait martini_bird, pas l'ensemble vide.

[martini_bird]

Salut,

Si tu veux en savoir plus cherche sur le net Lachlan qui a posé le problème et Hrushovski qui l'a résolu.

Je ne connaissais pas du tout la théorie des modèles, et c'est un peu un nouveau monde qui s'ouvre à moi. J'ai trouvé ce mémoire, que je trouve un peu aride en première lecture, mais la bibliographie me servira de point de départ quand j'aurai un peu de temps. Il me semble avoir compris néanmoins que la géométrie et la théorie des modèles ne sont pas étrangers, via la théorie des groupes.

Merci !

[Médiat]

Bonjour martini_bird,
le mémoire que tu cites n'est pas à proprement parlé didactique (la stabilité est un sujet pointu), à l'opposé celui-ci : http://math.univ-angers.fr/~darniere/ThMod.html est peut-être un peu trop vulgarisateur, mais pour une première approche, c'est bien fait.