Qu'est ce qu'un point ?

[invite4b1905cf]

Je m'efforce de clarifier des basiques fondationnels...
auriez-vous des sources d'informations qualifiées ?
des définitions à partager ?

Sujet (1) Qu'est ce qu'un point ?

Imaginons deux petites définitions dans l'espace euclidien :

Proposition A : un point est l'intersection de deux droites.

Proposition B : une droite est un ensemble réguliers et infini de points (proposition parcellaire il conviendrait de circonscrire cette "régularité" linéaire)

P(A) et P(B) produisent une définition circulaire.

Peut-on définir le point autrement que circulairement ?
Si, oui , qu'est ce qui le fonde ?
Si, non , cela signe-t-il son statut de fondation ?

Voici les définitions données données par Thierry Paul , lors du colloque sur le discret et le continu à l'ENS : 2006_03_29_paul_adsl.mp4 (Minute 23 )

1) Ce qui est sans partie.
2) Une partie de droite (ou plus précisément l intersection de deux droites)
3) “Le point apparait comme une superposition infinie de choses oscillant dans tous les sens et se reconstruisant miraculeusement en un endroit unique : c’est là que le point se fait”
-----

[invite4793db90]

Salut,

une définition rigoureuse : un point est un singleton.

Cordialement.

[invite6de5f0ac]

une définition rigoureuse : un point est un singleton.

Bonjour,

Une autre: un point est une variété analytique de dimension zéro.

Du moins j'espère...

-- françois

[invite4b1905cf]

une définition rigoureuse : un point est un singleton.
Cher oiseau_alcoolisé Vous substituez à une absence de définition une définition absente ...

pourriez vous étayer votre définition "rigoureuse" :
qu'est ce qu'un singleton ? il va de soi que votre singleton est très certainement un point si le "est" de votre proposition est une copule forte...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Un singleton est un ensemble qui contient un élément.

Je prends les devants : tu vas me demander ce qu'est un élément d'un ensemble...

Alors regarde ici.

Cordialement.

[invite4b1905cf]

Bonjour,

Une autre: un point est une variété analytique de dimension zéro.

François,

Votre réponse rejoint ma question suivante .... qu'est ce qu'une dimension ?

Nous avançons ... toute fondation est elle nécessairement construite sur des codéterminations ? - circularité - (La construction minimale fondationnelle serait alors tautologie.)


...

[invitef591ed4b]

Une note intéressante :

(Dans un espace euclidien :)
On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position.

[invite10a6d253]

Pour Rhizomatique :

Sur les fondements des mathématiques, plongez-vous par exemple dans "Naive Set Theory" de P. Halmos.
Tout y est pour répondre à l'apparent paradoxe de la poule et de l'oeuf que vous croyez mettre en avant.

[invite4b1905cf]

Un singleton est un ensemble qui contient un élément.

Je prends les devant : tu vas me demander ce qu'est un élément d'un ensemble...

Alors regarde ici.

Cordialement.

Un point est une instance de la classe singleton
& est une instance de la classe élément

Votre définition est incomplète.

si cette proposition est vraie elle n'en est pas pour autant suffisante pour définir le point. Il semble requis de convoquer tout au moins l'espace .... Et c'est là que la circularité se noue.

[invitef591ed4b]

La circularité dont tu parles Rhizomatique n'est pas vraiment liée au contexte de la définition du point.

Tu dis simplement qu'il n'est pas possible de comprendre le sens d'un mot uniquement par sa définition dans le dictionnaire, étant donné que la définition elle-même contient d'autres mots avec leurs propres définitions, etc.

[invite4b1905cf]

Pour Rhizomatique :

Sur les fondements des mathématiques, plongez-vous par exemple dans "Naive Set Theory" de P. Halmos.
Tout y est pour répondre à l'apparent paradoxe de la poule et de l'oeuf que vous croyez mettre en avant.

Hegel, Russsell et WitheHead, Wittgenstein,... nous enseignent sur ces sujets sans pour autant les épuiser.

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?

Laissons de coté les questions de codétermination.


Avez vous une définition complète et consistante de ces deux notions (ou concepts) ?

[invitef591ed4b]

Avez vous une définition complète et consistante de ces deux notions (ou concepts) ?

Si tu acceptes qu'une définition dans un dictionnaire est satisfaisante, alors oui.

Sinon, non.

[invite4b1905cf]

Une note intéressante Dans un espace euclidien
On peut aussi dire plus simplement qu'un point ne désigne pas un objet mais un emplacement. Il n'a donc aucune dimension, longueur, largeur, épaisseur, volume ou aire. Sa seule caractéristique est sa position.

Cette définition d'un point comme un "topos" situé me semble pleine de promesses.

Elle présuppose des modalités de localisation et une dissociation des concepts d'espace réel et d'espace de situation.


... merci

[invite4793db90]

Bon, si tu acceptes qu'on puisse écrire soit , alors on peut appeler x un élément de l'ensemble X. Et en géométrie, on préfère utiliser le synonyme "point".

Elle présuppose des modalités de localisation et une dissociation des concepts d'espace réel et d'espace de situation.

C'est simplement une façon d'écrire qu'un espace euclidien est isomorphe à ...

[invite4b1905cf]

La circularité dont tu parles Rhizomatique n'est pas vraiment liée au contexte de la définition du point.

Tu dis simplement qu'il n'est pas possible de comprendre le sens d'un mot uniquement par sa définition dans le dictionnaire, étant donné que la définition elle-même contient d'autres mots avec leurs propres définitions, etc.

cf W.V.O. QUINE "le mot et la chose"

[invite10a6d253]

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?

Les notions de point et de dimension ne sont pas des "objets premiers", du moins, pas pour la grande majorité des mathématiciens en activité aujourd'hui. Comme l'a rappelé martini_bird, pour nous, on admet une seule chose : il existe des ensembles. On en connait des exemples, même si on ne sait pas les définir clairement, et on connait des règles-les axiomes de la théorie des ensembles- permettant d'en fabriquer de nouveaux à partir de ceux qu'on connait dèjà. La notion d'appartenance (d'élément et donc de point) est elle aussi indéfinie, au sens où on dit qu'un point est caractérisé par son appartenance ou non à un ensemble (en l'occurence, un singleton) et où, réciproquement, tout ensemble est défini par l'ensemble des points qui lui appartiennent.
A partir de là, on peut définir tous les objets mathématiques courants (dont les points du plan, la dimension d'un espace, etc...).
La définition même d'ensemble et de la relation d'appartenance est du ressort de la théorie axiomatique des ensembles, qui est plus le champs de compétence des logiciens que des mathématiciens.

Si vous souhaitez repenser les fondements des mathématiques modernes et notamment prendre comme point de départ les notions de point et de dimension, après tout pourquoi pas.
Mais, sachez que les mathématiques ont déjà fait l'autocritique de leurs fondements au début du siècle dernier. Ce qui ne veut pas dire, que les questions envisagées ne sont plus pertinentes. Simplement, il vous faut à mon avis commencer par une bibliographie approfondie sur le sujet, si vous souhaitez ouvrir une discussion pertinente.
Car, pour l'heure, et ne connaissant pas, à l'évidence, les fondements des mathématiques modernes, vous vous êtes, à mon avis, trompé de forum.

[Médiat]

@Rhizomatique :

De quoi voulez-vous parler ?
Du point d'Euclide et de ses camarades géomètres ?
Du point de Grothendieck et de ses copains géo-algébristes ?
Du point de Hrushovski et de ses confrères modèle-théoristes ?
ou autres, bien sur???

[invite4b1905cf]

[QUOTE=edpiste;862731]

Nous devrions peut être concentrer cette discussion sur ses objets premiers ... Qu est ce qu un point .... qu est ce qu une dimension ?
/QUOTE]

Les notions de point et de dimension ne sont pas des "objets premiers", du moins, pas pour la grande majorité des mathématiciens en activité aujourd'hui. Comme l'a rappelé martini_bird, pour nous, on admet une seule chose : il existe des ensembles. On en connait des exemples, même si on ne sait pas les définir clairement, et on connait des règles-les axiomes de la théorie des ensembles- permettant d'en fabriquer de nouveaux à partir de ceux qu'on connait dèjà. La notion d'appartenance (d'élément et donc de point) est elle aussi indéfinie, au sens où on dit qu'un point est caractérisé par son appartenance ou non à un ensemble (en l'occurence, un singleton) et où, réciproquement, tout ensemble est défini par l'ensemble des points qui lui appartiennent.
A partir de là, on peut définir tous les objets mathématiques courants (dont les points du plan, la dimension d'un espace, etc...).
La définition même d'ensemble et de la relation d'appartenance est du ressort de la théorie axiomatique des ensembles, qui est plus le champs de compétence des logiciens que des mathématiciens.

Si vous souhaitez repenser les fondements des mathématiques modernes et notamment prendre comme point de départ les notions de point et de dimension, après tout pourquoi pas.
Mais, sachez que les mathématiques ont déjà fait l'autocritique de leurs fondements au début du siècle dernier. Ce qui ne veut pas dire, que les questions envisagées ne sont plus pertinentes. Simplement, il vous faut à mon avis commencer par une bibliographie approfondie sur le sujet, si vous souhaitez ouvrir une discussion pertinente.
Car, pour l'heure, et ne connaissant pas, à l'évidence, les fondements des mathématiques modernes, vous vous êtes, à mon avis, trompé de forum.

Merci d'avoir pris le temps de développer vos arguments.

Vous avez très certainement raison, ce forum n'est peut être pas tout à fait adéquat. Lequel me proposez vous en substitution ?

En mars 1997 j'ai débattu assez longuement avec René Thom de questions de figures et de postures privilégiées fondationnelles. Il est vrai que ses positions en echos avec celles de Poincaré, étaient pour le moins atypiques. Tout cela me force à l'humilité et déplace mes foyers vers des zones plus basiques.

J'ai ouvert ces discussions par :" Je m'efforce de clarifier des basiques fondationnels... " Il n'est nullement question de fondements des mathématiques.

Pour tout vous dire, j'écris sur l'identité des systèmes au monde. Je cherche ici des ouvertures et des définitions à détteritorialiser.

Vous ancrez les mathématiques dans la théorie des ensemble ou encore en logique pure (binaire, ternaire , floue, ou que sais-je... )

Mes préoccupations sont plus simples :

Qu'est qu'un point ?
Qu'est ce qu'une dimension ?
Qu'est ce qu'un espace?

J'aimerais obtenir ici une collection de définitions trans-ou pluri ou inter-disciplinaires.

Futurasciences, en ses forums, est une hétérotopie baignée d'intelligence diffuse. Pouvez vous m'aider encore à la précipiter ?

[invite4b1905cf]

@Rhizomatique :

De quoi voulez-vous parler ?
Du point d'Euclide et de ses camarades géomètres ?
Du point de Grothendieck et de ses copains géo-algébristes ?
Du point de Hrushovski et de ses confrères modèle-théoristes ?
ou autres, bien sur???

Prenons les un par un ... si possible... en collectionneurs... une micro-archologie des savoirs centrés le / les points.

[invite4793db90]

Les mathématiques sont construites sur un système d'axiomes appelé théorie des ensembles (Zermelo-Frankel). La question « qu'est-ce qu'un point ? » interroge la nature de ces axiomes, or par définition un axiome n'a pas pour vocation d'être discuté.

On peut bien entendu se demander s'il existe de "meilleurs axiomes", mais à ce jour, il me semble que la communauté mathématique se contente de la théorie ZF...

Ceci étant admis, la notion d'espace, de dimension, et toutes les autres notions se construisent relativement simplement : un espace est un ensemble muni de certaines propriétés, la dimension est un invariant qui caractérise cet espace.

Cordialement.

[invite4b1905cf]

Les mathématiques sont construites sur un système d'axiomes appelé théorie des ensembles (Zermelo-Frankel). La question « qu'est-ce qu'un point ? » interroge la nature de ces axiomes, or par définition un axiome n'a pas pour vocation d'être discuté..

Une réponse naïve et sincère : Pourquoi la question "qu'est ce qu'un point?" interrogerait elle la nature de ces axiomes ?

[invite4793db90]

Une réponse naïve et sincère : Pourquoi la question "qu'est ce qu'un point?" interrogerait elle la nature de ces axiomes ?

Paraphrasé, la question s'écrit : « qu'est-ce qu'un élément d'un ensemble ? »

Or la théorie ne le dit pas et pour cause : les mathématiques ne s'intéressent jamais qu'aux relations entre les élements et non à leur nature.

Cordialement.

[Médiat]

Or la théorie ne le dit pas et pour cause : les mathématiques ne s'intéressent jamais qu'aux relations entre les élements et non à leur nature.

Ce qui peut encore se dire :

Un point est un élément d'un modèle d'une théorie dont les éléments sont appelés points.

On peut remplacer point par sous-bock ou table-à-langer sans rien perdre (sauf peut-être en intuition).

[invite4b1905cf]

Ce qui peut encore se dire :

Un point est un élément d'un modèle d'une théorie dont les éléments sont appelés points.

On peut remplacer point par sous-bock ou table-à-langer sans rien perdre (sauf peut-être en intuition).

mmmm... soit .... Giordano Bruno, n'est jamais bien loin, des liables aux lieurs en passant par les liés. Je vais lancer un autre fil ...

Qu'est ce qu'un lien ?
Qu'est ce qu'une relation ?
Qu'est ce qu'un ensemble ?
Qu'est ce qu'une théorie ?

La question "qu'est ce" est elle toujours impropre ?

[invite4b1905cf]

Paraphrasé, la question s'écrit : « qu'est-ce qu'un élément d'un ensemble ? »

Or la théorie ne le dit pas et pour cause : les mathématiques ne s'intéressent jamais qu'aux relations entre les élements et non à leur nature.

Cordialement.

Peut-on concevoir une relation sans objet de la relation ?

[invite10a6d253]

Peut-on concevoir une relation sans objet de la relation ?

Perso, ça ne m'empêche pas de dormir.
(peut-on concevoir une différence de température sans connaître la température ? Oui, ça s'appelle avoir froid)

Laissons Platon se reposer en paix

[invite79d10163]

A mon avis, cela n'avance pas à grand chose de savoir ce qu'est un point. la question est mal posé. On ne peut définir un objet sans faire appel à d'autres objets. Posé de telles questions n'apportent rien à la compréhension de ces sujets.

[invite4b1905cf]

Perso, ça ne m'empêche pas de dormir.
(peut-on concevoir une différence de température sans connaître la température ? Oui, ça s'appelle avoir froid)

Laissons Platon se reposer en paix

Ajajajaj tout à fait amusant !!!!

Ceci dit, que serait un monde sans objet ?
Une pensée que de lien?

N'est il pas nécessaire d'ancrer des objets (instaurant un contexte cognitif partagé) pour construire la possibilité même de relation ?

[invité576543]

Bonsoir,

Pour faire un peu de polémique (mais ça peut servir les buts de Rhizomatique, j'imagine), un point n'est pas une notion mathématique, mais une notion physique.

Si on parlait seulement de mathématique, on pourrait l'appeler n'importe quoi, comme par exemple un "réel", et faire une théorie qui va avec. Dans le plan projectif par exemple, on peut permuter les étiquettes "point" et "droite" sans changer quoi que ce soit. A ce sens, en maths, une droite peut être un point.

Dans le mot "point" il y a autre chose que des maths. Clairement dans les réponses dans cette discussion, la notion de variété est immédiate, le point dans l'espace ou sur le feuille de papier semble sauter aux yeux. Mais si on parle d'un point dans l'espace des phases, il y a aura moins de réactions immédiates. Et pourtant, vu des maths cela ne devrait poser aucun problème.

Donc je propose l'approche suivante: un point est une notion appartenant d'abord à la physique, c'est une notion intuitive commune, semble-t-il, à tous les modèles du monde dans les cerveaux humain. C'est une notion topologique, liée aux positions ou aux relations positionnelles d'objets, de signes, de n'importe quoi que l'on organise dans la notion tout aussi intuitive d'espace. Le point est la plus petite chose à laquelle on attribue, dans nos modèles du monde, une position.

A partir du point, se dérive une notion topologique, toujours intuitive et physique, d'environnement de ce point, d'autres points infinitésimalement proches du premier. Tous les points de l'espace sont perçus comme ayant des environnements similaires (difféomorphes). En limitant l'environnement des points, on en arrive à organiser l'espace en plans, et les plans en lignes, choses que les mathématiques (on y arrive) ont formalisées en variétés de dimension croissante, et l'examen intuitif de notre monde indique que l'espace est du 4ème type, dans l'ordre point, ligne, plan, espace, ce qui amène à lui attribuer la dimension 3, simple rang dans cette série (n'oublions pas que le premier ordinal est 0).

Ca c'est de la "physique intuitive". Pas besoin de poser des "qu'est-ce" dans ces domaines. Soit on partage cette même "physique intuitive" (et un même langage!) et ce que j'écris est compris et il n'y a pas besoin de définitions, soit on ne partage pas cette physique intuitive, et alors toute recherche de définition est désespérée (et ces mêmes phrases sont a priori même pas comprises!). On part donc de la première hypothèse, le lecteur partage la "physique intuitive" en question, et tant pis pour les autres, pour les non lecteurs (évidemment) et même si par hasard cela existe pour les lecteurs qui comprendrait cette prose sans partager la physique intuitive en question.

Ensuite, les maths. Les maths sont des systèmes formels, qui existent à partir d'un simple alphabet fini de symboles, et de chaînes de symboles que l'on classe par des traitements symboliques.

Les maths exhibent des systèmes formels particuliers, systèmes d'axiomes et de théorèmes, qui ont le bon goût de coller très bien aux propriétés des points physiques sus-décrits. Le miracle est que ces systèmes formels, avec lesquels il est facile (!) de faire joujou, permettent de sortir des propriétés nouvelles (au sens où elles n'avaient pas été constatées a priori) qui, confrontées aux points et espaces physiques, marchent très bien. Ce qui amène la physique à emprunter ces systèmes formels mathématiques pour faire des prédictions sur la réalité, in fine pour fournir des outils de compréhension, explication, ou simplement de maîtrise de la réalité, de permettre aux humains, êtres agissant, de prendre des décisions avec efficacité, celle-ci étant mesurer par le fait que les buts fixés à l'avance sont atteints ou pas.

En résumé, un point ça n'existe pas en maths "pures". Ou plus exactement c'est une étiquette conventionnelle attachée (il en faut bien une) à certaines classes de symboles apparaissant dans certains systèmes formels. Toute autre étiquette ne changerait rien à l'affaire. Par contre, si on prend ces systèmes formels comme modèles d'une réalité physique, le mot "point" est utilisé plus particulièrement dans le cadre des modèles relatifs aux concepts intuitifs d'espace, de position, d'environnement, ainsi que dans les généralisations (les maths sont friantes de généralisation), dans des systèmes formels ayant des propriétés similaires. Un point est plus précisément le concept atomique pour la notion de position, une variété d'ordre minimum, d'ordre 0...

Ouf...

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Peut-on concevoir une relation sans objet de la relation ?

Oui, ça s'appelle une relation formelle. Les mathématiques sont formelles par excellence.