Notre logique

[Médiat]

Ces deux domaines sont indépendants dans la mesure où l'on peut définir l'un sans avoir besoin de l'autre.

Certes mais une axiomatique (c'est à dire une liste d'axiomes (qui ne sont en fait que des propositions)), sans règles d'inférence (la logique) pour en faire quelque chose, n'est qu'un tas de sable posé sur la table.
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[MaliciaR]

Pourtant quand on les met en relation et que l'on établit par exemple des théorèmes, des théories apparaissent cohérantes, ce qui indique finalement qu'il y a bien un certain niveau de dépendance entre logique et axiomatique.

Je crois pourtant qu'il y a une différence entre un théorème et un axiome...
Et ce n'est pas parce qu'une idée (ou suite d'idées) indémontrable est vraie qu'elle est logique...

Cordialement,

[Médiat]

Je crois pourtant qu'il y a une différence entre un théorème et un axiome...

Etre un axiome ou un théorème n'est pas une propriété intrinsèque des propositions.

Et ce n'est pas parce qu'une idée (ou suite d'idées) indémontrable est vraie qu'elle est logique...

Je ne comprends pas ce mélange de "démontrable", "vraie" et "logique" (ce dernier, sans doute dans le sens de valide, mais je ne suis pas sur).

[invite7863222222222]

Je crois pourtant qu'il y a une différence entre un théorème et un axiome...
Et ce n'est pas parce qu'une idée (ou suite d'idées) indémontrable est vraie qu'elle est logique...

Cordialement,

La réponse de Médiat, me semble plus abordable pour entamer un début de réflexion. J'en profite donc pour dire que c'est sans doute pourquoi, j'essaierais tout d'abord de répondre à sa remarque dès que j'ai un peu de temps, ce qui ne veut pas dire que je négligerais (loin de là), ce que tu viens de répondre.

[MaliciaR]

Etre un axiome ou un théorème n'est pas une propriété intrinsèque des propositions.

Certes, non. Je l'ai dit dans le sens où à partir du moment où on décide de considérer une proposition en tant que théorème ou en tant qu'axiome, le traitement n'est plus le même.

Je ne comprends pas ce mélange de "démontrable", "vraie" et "logique" (ce dernier, sans doute dans le sens de valide, mais je ne suis pas sur).

Oui, dans le sens de valide. Alors que vrai vient plutôt au sens de véridique.
Càd que je peux bien démontrer la véracité de quelque chose sans que ce soit valide (logique); de même, je peux très bien ne pas pouvoir démontrer la véracité de quelque chose mais que ce soit tout de même une proposition valide.
Je ne sais pas si j'arrive à me faire comprendre. C'est vrai qu'en bio, on ne s'occupe que très peu de la logique... donc, mon vocabulaire dessus est un peu rouillé

Cordialement,

[halberick]

A Baguette;

s'il vous plaît pouvez vous nous dire ce que l'on doit écrire sur ce poste pour arrêter vos sarcasmes.
J'espére puisque vous avez été prof ou êtes prof que vous n'enseignez pas de cette façon et surtout évitez de faire le professeur de Français avec moi. Voyez vous je trouvais encore jusqu'à hier intéressant d'e venir discourir sur ce forum où j'avais l'impression de pouvoir m'exprimer et échanger; mais franchement là, cela devient pratiquement insolent. relisez bien tout mes posts sauf peut être les 2 dreniers qui commençaient à montrer mon exaspération et vous verrez qu'à aucun moment je n'ai fais preuve de sarcasme comme vous le faites. Et surtout interrogez vous d'abord pourquoi on ne vous comprend pas, ce n'est pas sur le fond car je pense finalement être d'accord avec vous; il ne s'agit en fait que d'interprêtation mais sur la forme que vous mettez à vouloir absoluement écraser les personnes qui ont un avis différent de vous.

Sur ce je vous aurevoir. Sans rancune toutefois.

[invite7fc29abf]

Voici donc les quelques réponses que j'ai reçues à mon message:

Bonjour Heidegger,
En bon seigneur tout honneur, qu'en est-il de TOI ?

Avec un pseudo pareil, j'ai bien entendu une formation en philosophie dont le cursus était composé de 3 années de cours logique.

à Heiddeger;
pour ma part j'ai suivi un cursus technique supérieur Bac + 2 annnée de prépa + école d'ingénieur (sup méca) terminé en 1976.
voilà mon cursus. Je ne suis nullement un logicien mais j'ai suffisamment de bagage mathématique et scinetifique pour faire la part des choses.

Merci bcp halberick,... précision, simplicité, franchise et clarté. Tout ce que j'aime.

J'aime bien l'anonymat des forums,
Le fait que certains se présentent d'emblée comme Simplicio et que d'autres jouent les Salviati est déjà une présentation suffisante du role que chacun veut se donner dans la discussion...
Et puis etre rationnel c'est aussi la capacité à savoir écouter les discours indépendemment du rang du teneur du discours.

Je suis tout à fait d'accord avec toi Matmat. Cependant, j'aurais voulu que qq'un comprenne l'intérêt de cette question en marge de sa condamnation un peu facile de l'idéal de "l'écoute rationnelle", comme tu le dis... Enfin soit, ce n'est pas bien grave.

Totalement d'accord avec MatMat.
En fait ceci est ma dernière intervention dans ce fil, assez dégoûté de l'ambiance que certains veulent y mettre.

J'espère que je n'en suis pas à l'origine...

Personnellement, ce qui m'intéresse dans cette discussion c'est la dépendance entre l'axiomatique et la logique.
Ces deux domaines sont indépendants dans la mesure où l'on peut définir l'un sans avoir besoin de l'autre.
Pourtant quand on les met en relation et que l'on établit par exemple des théorèmes, des théories apparaissent cohérantes, ce qui indique finalement qu'il y a bien un certain niveau de dépendance entre logique et axiomatique.

Voilà au moins qq'un qui précise l'angle sous lequel il entend aborder ce débat. Alléluia.

Peux-tu préciser dans quelle mesure l'axiomatique t'intéresse?
Merci

[Médiat]

Certes, non. Je l'ai dit dans le sens où à partir du moment où on décide de considérer une proposition en tant que théorème ou en tant qu'axiome, le traitement n'est plus le même.

Oui ... et non ; certes une fois que les axiomes sont définis il faut bosser un peut pour avoir des théorèmes supplémentaires (les axiomes sont des théorèmes), mais, d'une part le jeu d'axiomes est rarement unique, d'autre part, il me semble que ce qui compte c'est l'ensemble des propositions démontrables d'une théorie quelque soit le chemin de cette démonstration, les axiomes ne jouant que le rôle de famille (non unique) génératrice. L'importance du "que" de la phrase précédente est pure affaire de goût personnel.

Càd que je peux bien démontrer la véracité de quelque chose sans que ce soit valide (logique);

Tu veux dire vrai mais non démontrable ? Dans ce cas, c'est le cas de toutes les propositions indécidables d'une théorie quand on les regarde dans un modèle ; par exemple la commutativité est indécidable dans la théorie des groupes, mais vraie dans Z.

de même, je peux très bien ne pas pouvoir démontrer la véracité de quelque chose mais que ce soit tout de même une proposition valide.

Là tu voudrais dire une proposition qui serait vraie dans un modèle, indémontrée dans le modèle, mais démontrée dans la théorie ? Si j'ai bien compris, c'est une situation impossible, tout ce qui est démontrable dans une théorie est vrai, car démontré, dans tous les modèles de cette théorie.

[inviteea6fd0dc]

A Baguette;

s'il vous plaît pouvez vous nous dire ce que l'on doit écrire sur ce poste pour arrêter vos sarcasmes.
J'espére puisque vous avez été prof ou êtes prof que vous n'enseignez pas de cette façon et surtout évitez de faire le professeur de Français avec moi. Voyez vous je trouvais encore jusqu'à hier intéressant d'e venir discourir sur ce forum où j'avais l'impression de pouvoir m'exprimer et échanger; mais franchement là, cela devient pratiquement insolent. relisez bien tout mes posts sauf peut être les 2 dreniers qui commençaient à montrer mon exaspération et vous verrez qu'à aucun moment je n'ai fais preuve de sarcasme comme vous le faites. Et surtout interrogez vous d'abord pourquoi on ne vous comprend pas, ce n'est pas sur le fond car je pense finalement être d'accord avec vous; il ne s'agit en fait que d'interprêtation mais sur la forme que vous mettez à vouloir absoluement écraser les personnes qui ont un avis différent de vous.

Sur ce je vous aurevoir. Sans rancune toutefois.

1) Halberick, si dès le moment où l'on n'est point d'accord avec les propos de l'autre on est sarcastique, la "disputatio" va devenir difficile

2) Si le fait de faire remarquer une, ou des, fautes d'orthographe t'apparaît sarcastique, mieux vaut ne pas en commettre de fautes (j'en commet aussi, me les faire remarquer permet de me corriger).

3) J'aimerais que tu me démontres en quels propos je fus insolent; j'essaie d'être simplement "logique".

4) Que TU ne me comprennes pas est possible, par contre postuler que l'ON ne me comprend pas est abusif.

Pour le reste, le problème n'est pas que tu sois ou non d'accord avec moi, et je ne désire écraser personne.

Bonne soirée

[MaliciaR]

Là tu voudrais dire une proposition qui serait vraie dans un modèle, indémontrée dans le modèle, mais démontrée dans la théorie ? Si j'ai bien compris, c'est une situation impossible, tout ce qui est démontrable dans une théorie est vrai, car démontré, dans tous les modèles de cette théorie.

Je t'avoues être un peu à court de vocabulaire là-dessus
En fait, la manière dont toi et moi considérons la démonstration n'est peut-être pas la même. Si une idée/proposition satisfait à mon modèle, mais que pratiquement je ne peux pas la démontrer pour des raisons x et y, est-ce que pour autant c'est une proposition non valide?

Attention, je pose une question totalement dénudée de tout enseignement en logique digne de ce nom... (même si au lycée on nous a bassiné pendant 4 mois avec "Bases de la logique", je suis vieille déjà et les souvenirs ne sont plus très frais ).

Cordialement,

[inviteea6fd0dc]

"de même, je peux très bien ne pas pouvoir démontrer la véracité de quelque chose mais que ce soit tout de même une proposition valide."

Là tu voudrais dire une proposition qui serait vraie dans un modèle, indémontrée dans le modèle, mais démontrée dans la théorie ? Si j'ai bien compris, c'est une situation impossible, tout ce qui est démontrable dans une théorie est vrai, car démontré, dans tous les modèles de cette théorie.

Bonsoir,

Là, je me demande si MaliciaR ne veut pas simplement dire "vrai" mais non démontrable (tant dans la théorie que dans le modèle) ... en pensant à Thalès par exemple (tout en se posant la question de ce que l'on accepte en termes de démonstrabilité !).

[invite7863222222222]

Peux-tu préciser dans quelle mesure l'axiomatique t'intéresse?

Je me demandais (finalement question assez idiote) si les propriétés des éléments considérés par une axiomatique dépendaient de la logique utilisée pour en faire la démonstration ?

Mais donc cette phrase est absurde : la logique est plutôt ce qui permet de donner le sens que l'on donne à ces propriétés.

Par exemple et plus concrètement, si 13 est premier, c'est parque j'ai réussi grâce à la logique à démontrer qu'il était premier. Impossible de dire qu'il est premier si on n'avait en fait pas sous entendu l'utilisation d'une logique.

Et là je reviens aux questions d'indécidabilité, si dans une logique et une axiomatique, une proposition est indécidable, alors qu'on sait qu'elle a une réponse et une seule, ça revient à dire que finalement, la logique utilisée n'a pas été capable d'exprimer tout le sens que peut générer l'axiomatique.

Et ça me semble avoir des impacts assez importants au niveau philosophique.

[Médiat]

Si une idée/proposition satisfait à mon modèle, mais que pratiquement je ne peux pas la démontrer pour des raisons x et y, est-ce que pour autant c'est une proposition non valide?

Si une proposition est vraie dans un modèle, cela veut dire que l'on ne peut pas démontrer son contraire dans la théorie où elle est soit vraie soit indécidable (je suppose que la proposition s'exprime dans le même langage que la théorie).

Précision : sauf avis contraire, je ne parle que de logique classique du premier ordre.

[Médiat]

Et là je reviens aux questions d'indécidabilité, si dans pour une logique et une axiomatique, une proposition est indécidable, alors qu'on sait qu'elle a une réponse et une seule, ça revient à dire que finalement, la logique utilisée n'a pas été capable d'exprimer une partie du sens que peut générer l'axiomatique.

Non, l'indécidabilité d'une proposition ne fait qu'exprimer l'incomplétude de l'axiomatique dans la logique choisie.
Je ne comprends pas la partie en gras.

[invite7863222222222]

dans la logique choisie.

A-t-on vraiment le choix ? Je n'ai pas l'impression mais peut-être que je me trompe.

[inviteea6fd0dc]

A-t-on vraiment le choix ? Je n'ai pas l'impression mais peut-être que je me trompe.

Le sens que Mediat veut donner est : dans le sens de la logique que l'on décide d'appliquer; à partir du moment où cette décision est prise, on se plie aux règles d'inférences de CETTE logique si l'on veut rester cohérent.

[Petithassane]

Bonsoir.
Vous nous dites que la logique formelle ne s'occupe que de vérifier la validité des manipulations des propositions sans se soucier de la sémantique de ces propositions. Et que c'est sur cela que repose la démonstration par l'absurde. Exemple:
si A=>B=>C et C est une contradiction alors A et/ou B sont fausses.
Autrement dit la logique formelle est aveugle en terme de sémantique.

Descendons d'un étage avec la logique formelle. Soit :
A = (a=>b)
B = (b=>non a)
C = (a=>non a)
si A=>B et B=>C alors A=>C; C étant une contradiction logique alors A et/ou B sont fausses.
Remarquons qu'ici la logique formelle peut "pénétrer" à l'intérieur des propositions A et B. On quitte la cécité en faisant un pas vers la sémantique.
Qu'est ce que c'est que cet "a" qui implique un "b" qui implique un "non a" ? La logique formelle interdit à "a" d' impliquer un "b" qui implique un "non a" .
Comment savoir si c'est A ou B qui est faux ?

Il me semble que A et B sont liées par la logique formelle de l'étage inférieur et que ce lien est peut être sémantique.
Non ?

[invite7863222222222]

Le sens que Mediat veut donner est : dans le sens de la logique que l'on décide d'appliquer; à partir du moment où cette décision est prise, on se plie aux règles d'inférences de CETTE logique si l'on veut rester cohérent.

Je pense que nous sommes d'accord et que j'ai mal compris ce qu'a voulu dire Médiat effectivement.

Pour expliquer ce à quoi j'ai pensé en lisant la réponse c'est, pour une axiomatique donnée, le choix parmi beaucoup de logiques n'ayant vraiment aucuns points communs entre elles alors qu'en relisant il est assez évident qu'il s'agissait sans doute d'un choix parmi des logiques différant par l'acceptation ou non de certains principes mais ayant tout de même un socle commun.

Désolé pour cette disgression, donc :

Je ne comprends pas la partie en gras.

C'est vrai que je n'ai pas suffisamment précisé.

J'en avais déjà parlé dans une autre discussion et j'avais en tête, par exemple, cette question de l'existence ou non de solution à certaines équations diophantiennes, cette question possède bien une réponse : soit une solution existe, soit une solution n'existe pas à une équation, non ?

[MaliciaR]

Bonsoir,

Là, je me demande si MaliciaR ne veut pas simplement dire "vrai" mais non démontrable (tant dans la théorie que dans le modèle) ... en pensant à Thalès par exemple (tout en se posant la question de ce que l'on accepte en termes de démonstrabilité !).

Peux-tu approfondir? Je n'ai pas envie de me perdre dans les différents termes en pensant comprendre l'image... Merci

Et là je reviens aux questions d'indécidabilité, si dans une logique et une axiomatique, une proposition est indécidable, alors qu'on sait qu'elle a une réponse et une seule, ça revient à dire que finalement, la logique utilisée n'a pas été capable d'exprimer tout le sens que peut générer l'axiomatique.

Comment ça, une réponse et une seule?

Si une proposition est vraie dans un modèle, cela veut dire que l'on ne peut pas démontrer son contraire dans la théorie où elle est soit vraie soit indécidable (je suppose que la proposition s'exprime dans le même langage que la théorie).

Précision : sauf avis contraire, je ne parle que de logique classique du premier ordre.

Donc, tu admets que le fait que quelque proposition a atteint les limites de démontrabilité permises par le modèle qui la contient est le contraire de démontrabilité? (Je ne suis pas sûre de me comprendre non plus )

Et si une proposition est indécidable, est-elle invalide pour autant? Si j'ai un modèle qui tient avec cette proposition, mais par exemple je n'ai pas les conditions matérielles pour la démontrer?
Cordialement,

[MaliciaR]

Descendons d'un étage avec la logique formelle. Soit :
A = (a=>b)
B = (b=>non a)
C = (a=>non a)
si A=>B et B=>C alors A=>C; C étant une contradiction logique alors A et/ou B sont fausses.
Remarquons qu'ici la logique formelle peut "pénétrer" à l'intérieur des propositions A et B. On quitte la cécité en faisant un pas vers la sémantique.
Qu'est ce que c'est que cet "a" qui implique un "b" qui implique un "non a" ? La logique formelle interdit à "a" d' impliquer un "b" qui implique un "non a" .
Comment savoir si c'est A ou B qui est faux ?

Il me semble que A et B sont liées par la logique formelle de l'étage inférieur et que ce lien est peut être sémantique.
Non ?

Ce que je ne comprends pas ici c'est pourquoi on doit chercher quelle est la signification sémantique de A et de "non a". Càd que je peux admettre que tes propositions sont vraies, sans pour autant mettre des mots précis sous A, "non a", etc. Donc, où est le sémantique ici? Je veux dire, s'il est posé dès le départ que je dois vérifier A=>C en posant les liens entre les différentes composantes de mon raisonnement comme c'est fait ci-dessus, dois-je m'encombrer de donner un mot précis à chaque terme? Est-ce que je cherche à expliciter un lien logique entre des termes quelconques ou je cherche à établir un lien précis entre des mots donnés?

Et de quelle cécité s'agit-il?

Cordialement,

[invite7863222222222]

Comment ça, une réponse et une seule?

Je veux dire une équation admet une solution ou pas.

L'existence de solution à une équation diophantienne est indécidable dans l'axiomatique de Peano, mais c'est un problème (je crois) que l'on peut résoudre dans l'axiomatique de Zermelo Frankel.

J'ai du mal à bien saisir comment c'est possible, et je pense que ca m'aiderait sans doute de savoir concrètement ce que l'axiomatique de Zermelo Frankel a de plus que Peano pour toujours permettre de savoir si une équation diophantienne à une solution ou pas.

[invite7863222222222]

Autrement dit la logique formelle est aveugle en terme de sémantique.

Je pense qu'il faut nuancer cela.

Utiliser des signes, sans qu'un sens ne soit à l'origine de leurs expressions, est tout simplement impossible.

[jamajeff]

Je pense qu'il faut nuancer cela.

Utiliser des signes, sans qu'un sens ne soit à l'origine de leurs expressions, est tout simplement impossible.

Bonjour

Nous pouvons meme aller plus loin en disant que le signe et ce qu'il signifie sont nécessairement cooriginaires. Quand au sens de la logique, il est communicationnel. Cela fournit un contexte constitué d'un ensemble de règles d'articulation et de postulats qui ne peuvent être démontrés mais seulement montrés. Le but est de mettre un groupe de personnes d'accord.

Il y a donc nécessairement une sémantique logique, même si celle-ci est définie et justifiée de l'intérieur des règles du jeu logique. On peut la remettre en question lorsqu'on sort de ce contexte et qu'on fait référence à un autre contexte. Ainsi, dans l'exemple cité ci dessus:

A = (a=>b)
B = (b=>non a)
C = (a=>non a)
...

La validité de l'énoncé ci dessus passe nécessairement par le fait d'accepter que A = (a=>b), et ainsi de suite... Ainsi nous définissons le contexte sémantique et syntaxique de ces énoncés. Que cet "A" ne réfère pas à des pommes ou des poires ne permet pas de déduire qu'il n'y a pas de sémantique.
La logique est une forme de langage posée dans la langage. Il y a donc nécessairement une sémantique.

[Médiat]

Donc, tu admets que le fait que quelque proposition a atteint les limites de démontrabilité permises par le modèle qui la contient est le contraire de démontrabilité? (Je ne suis pas sûre de me comprendre non plus )

Le premier qui comprend préviens l'autre ?

Et si une proposition est indécidable, est-elle invalide pour autant?

Il me semblait avoir répondu...
Une proposition indécidable dans une théorie n'est pas (comme il est trop souvent dit) que proposition que l'on ne sait pas démontrer (ce qui peut être lié aux capacités des mathématiciens) dans cette théorie, mais une proposition qui est consistante avec cette théorie et dont la négation est consistante avec cette théorie.

La partie en gras est fondamentale, une proposition ne peut pas être indécidable autrement que par rapport à une théorie.

[Médiat]

J'en avais déjà parlé dans une autre discussion et j'avais en tête, par exemple, cette question de l'existence ou non de solution à certaines équations diophantiennes, cette question possède bien une réponse : soit une solution existe, soit une solution n'existe pas à une équation, non ?

C'est la différence entre la théorie (arithmétique de Peano qui est incomplète comme chacun sait depuis Gödel) et un modèle (dont la théorie est complète).

[Médiat]

si A=>B et B=>C alors A=>C; C étant une contradiction logique alors A et/ou B sont fausses.

Non, c'est peut-être A=> B et/ou B=>C qui sont fausses

[Médiat]

Utiliser des signes, sans qu'un sens ne soit à l'origine de leurs expressions, est tout simplement impossible.

Si je fais de la logique pure, je peux écrire [(A => B) ^ (B => C)] => (A => C) et démontrer que cette proposition est "vraie" sans me préoccuper de la signification des signes
Si je constate que C est une proposition "fausse", soit A, B et C sont des propositions purement logique (du genre a => non a, qui d'ailleurs n'est pas un tautologie, mais peut néanmoins être vraie, si a est faux, pour être précis), par exemple, si C = (a ^ non a) qui est tautologiquement faux, il suffit de remplacer A, B et C par leur expressions, d'appliquer les différentes règles du calcul des propositions et chercher l'erreur sans faire de sémantique à aucun moment.

Mais si je constate que C est fausse sémantiquement, c'est dans la sémantique que je dois chercher l'erreur, tout cela me paraît "logique".

[invite7863222222222]

Mais si je constate que C est fausse sémantiquement, c'est dans la sémantique que je dois chercher l'erreur, tout cela me paraît "logique".

Tout ne parait pas obligatoirement logique pour tout le monde : si on choisit d'utiliser la logique indépendemment de la sémantique effectivement mais est-on vraiment obligé de faire de la logique ainsi ?

Pour ouvrir le débat, ne peut-on pas "garder en tête", le sens à qui était à l'origine de la définition de ces signes et de ces règles d'inférence lors de leur utilisation même ?

[invite6b1a864b]

Le premier qui comprend préviens l'autre ?

Il me semblait avoir répondu...
Une proposition indécidable dans une théorie n'est pas (comme il est trop souvent dit) que proposition que l'on ne sait pas démontrer (ce qui peut être lié aux capacités des mathématiciens) dans cette théorie, mais une proposition qui est consistante avec cette théorie et dont la négation est consistante avec cette théorie.

La partie en gras est fondamentale, une proposition ne peut pas être indécidable autrement que par rapport à une théorie.

ça me fait poser une question :
Pour moi, les propositions qui traite du rapport entre théorie et réalité ne sont pas "dans" la théorie. Mais existe t'il une possibilité d'avoir une axiomatique paradoxale, sans passer par les phrases du "ceci est vrai/faux", et donc sans passer par des phrases parlant de l'appartenance à la théorie ou du rapport à la réalité de la théorie.. ?

[Médiat]

Mais existe t'il une possibilité d'avoir une axiomatique paradoxale, sans passer par les phrases du "ceci est vrai/faux", et donc sans passer par des phrases parlant de l'appartenance à la théorie ou du rapport à la réalité de la théorie.. ?

Si l'axiomatique contient l'axiome p et l'axiome non p, la théorie est inconsistante (plutôt que paradoxale).