Savoir et démonstration [mathématiques et sciences]

[Médiat]

Mediat, pourrais tu s'il te plaît m'expliquer la/les différences entre le "vrai" des math et le "vrai" hors math.

En mathématique on définit sa propre notion de "vrai" et cette notion n'est pas universelle aux mathématiques (certaines logiques utilisent une notion de vérité à deux valeurs (Vrai/Faux, ou 1/0, ou Bleu/Rouge), d'autres 3, d'autres une infinité en un ordre linéaire, mais la liste n'est pas exhaustive), et elle n'est même pas universelle à une logique (géométrie euclidienne vs géométrie sphérique en logique du premier ordre, par exemple).
Dans le monde hors maths, pour beaucoup de gens, la vérité est considérée comme universelle (quand je lache une pomme, alors que j'ai les deux pieds sur Terre, la pomme et la Terre finissent par être en contact), et même si ce point peut être polémique, le fait qu'il ne le soit pas en math est bien une différence colossale.
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[invitef591ed4b]

Pas d'accord. Pour un énoncé mathématique, il n'y a qu'une seule façon d'être "vrai", même s'il y a plusieurs façons d'être "pas vrai" (selon la logique utilisée).

Pour une théorie mathématique, le caractère "vrai" est plus proche de la cohérence que de la correspondance, à mon sens... Une théorie mathématique est vraie si elle forme un monde possible (i.e. cohérent).

[Médiat]

Pour un énoncé mathématique, il n'y a qu'une seule façon d'être "vrai", même s'il y a plusieurs façons d'être "pas vrai" (selon la logique utilisée).

Je ne comprends absolument pas ce que tu veux dire ici.

Pour une théorie mathématique, le caractère "vrai" est plus proche de la cohérence que de la correspondance, à mon sens...

Dans la mesure où je ne dis que cela depuis le début, je ne vois pas où tu n'est pas d'accord, sauf que je trouve qu'utiliser le vocabulaire vrai/faux est dangereux, puisque dans la vie courante le couple vrai/faux ne concerne pas la cohérence (consistance).

Une théorie mathématique est vraie si elle forme un monde possible (i.e. cohérent).

Là encore le vocabulaire n'est pas adpaté (et en plus il n'est pas habituel pour les théories), lorsque l'on parle de "monde possible", cela ressemble plus à un modèle qu'à une théorie ; et je ne vois pas ce que l'expression "théorie mathématique vraie" apporte par rapport à l'expression "théorie mathématique consistante", par contre je vois bien les confusions qu'elle peut entrainer, il suffit de lire ce fil (#24 par exemple).

[invitef591ed4b]

Je ne comprends absolument pas ce que tu veux dire ici.

Je veux dire que dans toute logique, bivaluée ou multivaluée, il n'y a toujours qu'une seule valeur "vrai". Les autres valeurs correspondent à ce qui n'est pas "vrai". Donc parler d'une vérité à deux valeurs, comme tu l'as fait par exemple, n'a pas de sens pour moi. C'est la logique qui est à deux valeur, pas la notion de vérité.

Ce qui précède s'applique à la vérité d'un énoncé. Il y a une autre notion de vérité, qui s'applique cette fois aux théories. Je te suis entièrement quand tu dis que cette vérité-là correspond essentiellement à la notion de cohérence. Toutefois, j'estime qu'il s'agit bien d'une notion de vérité (c.-à-d. qu'il y a un sens à parler de théorie vraie au lieu de théorie consistante). Je considère qu'une théorie est vraie si elle admet un modèle, c.-à-d. s'il existe un "monde possible" pour la théorie. Dans ce cas, cette théorie décrit ce monde possible, et est vraie au sens où elle correspond à ce monde (vérité comme correspondance). Bien sûr, tu auras senti une tendance platonicienne dans mes dires.

[Médiat]

Je veux dire que dans toute logique, bivaluée ou multivaluée, il n'y a toujours qu'une seule valeur "vrai". Les autres valeurs correspondent à ce qui n'est pas "vrai". Donc parler d'une vérité à deux valeurs, comme tu l'as fait par exemple, n'a pas de sens pour moi. C'est la logique qui est à deux valeur, pas la notion de vérité..

On pourrait tout aussi bien dire qu'il n'y a toujours qu'une seule valeur fausse, les autres correspondent à ce qui n'est pas "faux" ; comme c'est la logique qui définit la notion de vérité, en mathématique, je vois mal comment séparer ces deux aspects.

Ce qui précède s'applique à la vérité d'un énoncé. Il y a une autre notion de vérité, qui s'applique cette fois aux théories. Je te suis entièrement quand tu dis que cette vérité-là correspond essentiellement à la notion de cohérence. Toutefois, j'estime qu'il s'agit bien d'une notion de vérité (c.-à-d. qu'il y a un sens à parler de théorie vraie au lieu de théorie consistante). Je considère qu'une théorie est vraie si elle admet un modèle, c.-à-d. s'il existe un "monde possible" pour la théorie. Dans ce cas, cette théorie décrit ce monde possible, et est vraie au sens où elle correspond à ce monde (vérité comme correspondance). Bien sûr, tu auras senti une tendance platonicienne dans mes dires.

J'ai du mal à percevoir la nuance entre "vérité d'un énoncé" et "vérité d'une théorie", une théorie n'étant qu'un ensemble d'énoncés.

Le théorème de complétude Gödel (théorème fondamental, s'il en est) dit très exactement que pour la logique classique du premier ordre (la plus utilisée, à tel point que lorsque l'on ne précise pas, c'est de celle-la qu'il s'agit), une théorie admet un modèle (au moins) si et seulement si elle est consistante, ce qui nous renvoie au point de départ (il y a les théories consitantes (qui ont des modèles), et les théories non consistantes (qui n'ont pas de modèles)) ; ceci étant dit, je milite contre l'usage du couple vrai/faux lorsque l'on parle de théorie, pas lorsque l'on parle de modèle (cependant, pas comme toi), le danger de confusion existe aussi, mais à un autre niveau, il faudrait pour être précis, parler de "vérité dans le modèle M", et non de vérité tout court, afin de couper court à toute tentation universaliste.

[invitef591ed4b]

On pourrait tout aussi bien dire qu'il n'y a toujours qu'une seule valeur fausse, les autres correspondent à ce qui n'est pas "faux" ;

On peut le dire aussi, et c'est compatible avec l'unicité (selon moi) de la valeur "vrai". Le vrai et le faux sont uniques pour un énoncé, et il peut éventuellement prendre une 3e valeur. Mais jamais on ne dira que l'énoncé est "vrai de type 1" ou "vrai de type 2", on dit qu'il est "vrai" tout court.

comme c'est la logique qui définit la notion de vérité

Je ne suis pas d'accord avec ceci. La logique fournit un moyen d'atteindre la vérité (par le biais de la démonstration), mais ce n'est pas elle qui définit la notion de vérité qui lui est antérieure. Le choix d'une logique particulière permettra de démontrer (ou pas) la valeur de vérité d'un énoncé, mais je ne connais pas d'exemple où un énoncé est vrai dans une logique, et faux dans une autre.

Sinon, je comprends fort bien ta réticence à parler de "théorie vraie" en mathématiques, et je partage cette réticence. Toutefois, opter systématiquement pour "théorie consistante" efface, selon moi, l'aspect platonicien des maths en lequel je crois. Je trouve que la "consistance" a une connotation uniquement formaliste, alors que pour moi la consistance est bien un critère d'existence de qqch situé en-dehors du système formel.

[invitef591ed4b]

PS : J'entends : le choix d'une logique n'est pas le choix d'un ensemble d'axiomes, c'est bien le choix des valeurs de vérité et des règles d'inférence. Car il est clair que la vérité d'un énoncé dépend du choix des axiomes, c'est pour ça que je parle de mondes possibles.

[Médiat]

La logique fournit un moyen d'atteindre la vérité (par le biais de la démonstration), mais ce n'est pas elle qui définit la notion de vérité qui lui est antérieure.

Voila très exactement, le genre d'excès de vocabulaire qui renforce ma position, ta phrase, sous-entend clairement qu'il existe une vérité (platonicienne) et que la logique et les mathématiques ne font que la révéler, cette position me paraît incompatible avec le sens habituel de "vérité", et la possibilité que les mathématiques offrent d'avoir plusieurs vérités parfaitement incompatibles entre elles.

Je maintiens que c'est la logique qui définit la notion de vérité d'une logique (mais ce n'est pas suffisant pour définir une logique), si ce n'était pas le cas, dire "tel énoncé a une valeur de vérité égale à 1/e" aurait du sens dans toutes les logiques, ce qui n'est pas le cas.

je ne connais pas d'exemple où un énoncé est vrai dans une logique, et faux dans une autre.

Logique classique : est un énoncé vrai.
Logique intuitionniste : est un énoncé faux.

J'ai pris un exemple avec deux logiques binaires, cela aurait été trop facile en comparant une logique binaire et une logique non binaire ...

Un autre exemple à base de "mondes possibles", mais au sens de Kripke (pas de Leibniz, je ne veux pas changer le logicien en Dieu et le mathématicien en poète ), pas au sens de simple modèle comme en logique classique : c'est de la "vérité" ou de la "fausseté" de l'énoncé p dans les différents "mondes possibles" que va dépendre la "vérité" ou la "fausseté" de tel autre énoncé ; que veut dire alors que p est vrai ou que p est faux (puisque dans ce cas, un modèle n'est pas constitué d'un monde possible, mais de l'ensemble des mondes possibles) ?

[invitef591ed4b]

ta phrase, sous-entend clairement qu'il existe une vérité (platonicienne) et que la logique et les mathématiques ne font que la révéler, cette position me paraît incompatible avec le sens habituel de "vérité", et la possibilité que les mathématiques offrent d'avoir plusieurs vérités parfaitement incompatibles entre elles.

Oui, je dis clairement que je suis à tendance platonicienne. Je ne vois pas encore clairement en quoi la vérité de certains théorèmes mathématiques (i.e. d'algèbre, géométrie, analyse, etc.) dépend du choix de la logique. Leur démontrabilité en dépend, ça oui. Par exemple, le "paradoxe" de Banach-Tarski est vrai et démontré en logique classique. Il n'est pas démontré en logique intuitionniste, mais n'y est pas faux non plus !

Logique classique : est un énoncé vrai.
Logique intuitionniste : est un énoncé faux.

J'ai ajouté mon PS précisément pour ce genre d'exemples. La terminologie que j'utilise est peut-être malheureuse donc j'en cherche une qui soit moins ambiguë et qui exprime correctement l'idée. Pour moi, cet exemple montre un énoncé qui acquiert une valeur différente selon le choix des axiomes de départ, ce que je n'ai pas désigné comme étant un choix de logique. Mais les mots que j'ai utilisés sont malheureux car on appelle ça bel et bien la logique intuitionniste

Car il me semble que la logique intuitionniste n'est pas contradictoire avec la logique classique au sens où tout théorème mathématique démontré en intuitionniste est démontré en classique (avec la même valeur), mais la réciproque n'est pas vraie. De plus, il n'y a pas de théorème mathématiques vrais classiquement et faux intuitionnistement : y a-t-il des contre-exemples ? Par théorème, j'entends un résultat mathématique non-logique, par exemple en algèbre, géométrie, analyse, etc.

c'est de la "vérité" ou de la "fausseté" de l'énoncé p dans les différents "mondes possibles" que va dépendre la "vérité" ou la "fausseté" de tel autre énoncé ; que veut dire alors que p est vrai ou que p est faux (puisque dans ce cas, un modèle n'est pas constitué d'un monde possible, mais de l'ensemble des mondes possibles) ?

Je n'ai pas bien compris la question : auras-tu un exemple pour illustrer ? Pour moi, un modèle est un monde possible et pas plusieurs. Une théorie peut admettre plusieurs modèles, ça oui.

[invitef591ed4b]

Je pourrais aussi mentionner Gödel, qui était platonicien, et qui disait que son théorème d'incomplétude jouait en faveur de cette position. En effet, quel sens peut-on donner à un énoncé vrai mais indémontrable dans un système formel, si la vérité même de cet énoncé est déterminée par ce système ? Il y a qqch qui ne va pas...

[invité576543]

Car il me semble que la logique intuitionniste n'est pas contradictoire avec la logique classique au sens où tout théorème mathématique démontré en intuitionniste est démontré en classique (avec la même valeur), mais la réciproque n'est pas vraie.

Si la réciproque ne tient pas, c'est une forme de contradiction, non? La logique, c'est la branche s'occupant des démonstrations. Si quelque chose est démontrable dans une logique et pas dans une autre, j'appelle cela une démonstration. La contradiction porte sur "est démontrable", pas sur ce qui est ou pas démontré.

De plus, il n'y a pas de théorème mathématiques vrais classiquement et faux intuitionnistement

La démonstrabilité de tout truc démontrable dans une logique et pas dans l'autre!

: y a-t-il des contre-exemples ? Par théorème, j'entends un résultat mathématique non-logique, par exemple en algèbre, géométrie, analyse, etc.

Si tu dis "non-logique", tu sors de la démonstrabilité, suffit de changer les axiomes pour avoir des théorèmes vrai dans un cas, faux dans l'autre.


Quoi que tu fasses, tu arriveras à la conclusion que vrai/faux est affaire de convention en mathématiques.

J'ai du mal à comprendre le platonisme en maths "pures". Il me semble que c'est toujours mâtiné de physique, d'application pratique.

Les conventions que l'on "choisit" en maths sont souvent dirigées par les applications qu'on en a. Cela peut être une "justification" de ces choix, mais elle ne vient pas des "maths pures", elle vient du biais de notre statut d'êtres humains dans le monde qui est ce qu'il est.

Cordialement,

[invité576543]

En effet, quel sens peut-on donner à un énoncé vrai mais indémontrable dans un système formel, si la vérité même de cet énoncé est déterminée par ce système ? Il y a qqch qui ne va pas...

Ca c'est une bonne question. C'est la bonne question. Autrement dit, il n'y a pas de fondement aux mathématiques...

L'autre bonne question est : Pourquoi la plupart des gens s'en fichent et continuent à employer les mathématiques dans les applications pratiques?

Cordialement,

[invitef591ed4b]

Si tu dis "non-logique", tu sors de la démonstrabilité, suffit de changer les axiomes pour avoir des théorèmes vrai dans un cas, faux dans l'autre.

Non, car j'ai au préalable appelé ton exemple un changement d'axiomes, et non un changement de logique. Changer d'axiomes, c'est aller dans un autre monde possible (si c'est consistant), ce n'est pas exhiber une contradiction dans le même monde.

Je suis mathématicien, mais je n'ai aucune notion de logique (enfin, sauf les trucs de base, quoi). Les théorèmes que j'ai en tête sont donc surtout les théorèmes portant (en apparence, du moins) sur des "objets" mathématiques tels que des nombres, des formes géométriques, des structures... Ce sont ces théorèmes-là qui alimentent ma croyance en des objets mathématiques réels indépendants, et la vérité d'un théorème est le fait que ce théorème décrit un état de fait réel à propos de ces objets. Jusqu'à ce jour, je ne connais pas de tel théorème qui soit vrai dans une logique, et faux dans une autre : je cherche des contre-exemples s'il en existe.

J'ai du mal à comprendre le platonisme en maths "pures". Il me semble que c'est toujours mâtiné de physique, d'application pratique.

Ça pourrait, et le fait que je m'intéresse à la physique théorique joue certainement. Toutefois, je suis platonicien sans invoquer l'utilité des maths ailleurs ('suis pas utilitariste). Pour moi, les objets mathématiques ont une sorte de stabilité, de cohérence et de persistance qui m'apparaissent comme caractéristiques d'une "réalité indépendante".

Mais je ne nie pas que l'activité mathématique est humaine, et qu'en ce sens il y a inévitablement des conventions un peu partout. Je pense que le choix d'une logique est une question de convention, mais que ce choix n'influence pas la valeur de vérité des théorèmes : il permet seulement de les atteindre ou pas par la démonstration. La logique est le bateau du navigateur, elle décide de quelle région océanique on explore, mais pas de la nature de cette région.



Je cherche des contre-exemples à ma position.

[invité576543]

Si la réciproque ne tient pas, c'est une forme de contradiction, non? La logique, c'est la branche s'occupant des démonstrations. Si quelque chose est démontrable dans une logique et pas dans une autre, j'appelle cela une démonstration. La contradiction porte sur "est démontrable", pas sur ce qui est ou pas démontré.

Typo : lire contradiction à la place de démonstration en rouge.

Cdlt,

[invité576543]

Non, car j'ai au préalable appelé ton exemple un changement d'axiomes, et non un changement de logique. Changer d'axiomes, c'est aller dans un autre monde possible (si c'est consistant), ce n'est pas exhiber une contradiction dans le même monde.

Le point était que la logique elle-même (la théorisation de la démonstration et la démonstrabilité) fait partie des maths et est donc basée sur des axiomes. Changer de logique c'est aussi changer d'axiomes.

Le découpage entre maths et "méta-maths" (= logique) est fallacieux. Tout va ensemble (on parle de cohérence), on ne peut pas prendre l'un d'une manière et l'autre d'une autre.

Cordialement,

[Médiat]

Je ne vais pas répondre à tous tes points Michel l'ayant fait pour un certain nombre d'entre eux ; néanmoins :

Il n'est pas démontré en logique intuitionniste, mais n'y est pas faux non plus !

Comment compares-tu la vérité ou la fausseté pour des logiques ayant définit la vérité de façons différentes (logique classique et logique floue, par exemple) ?

Pour moi, cet exemple montre un énoncé qui acquiert une valeur différente selon le choix des axiomes de départ, ce que je n'ai pas désigné comme étant un choix de logique. Mais les mots que j'ai utilisés sont malheureux car on appelle ça bel et bien la logique intuitionniste

Parque la logique intuitionniste est bien une logique, il n'y a rien de malheureux à la baptiser ainsi, l'exemple que j'ai pris n'est pas un axiome d'une théorie à l'intérieur d'une logique, mais un axiome de la logique classique qui ne l'est pas en logique intuitionniste.

Je n'ai pas bien compris la question : auras-tu un exemple pour illustrer ? Pour moi, un modèle est un monde possible et pas plusieurs. Une théorie peut admettre plusieurs modèles, ça oui.

Les logiques modales utilisent les "mondes possibles de Kripke", par exemple on doit pouvoir développer une logique où un énoncé serait déclaré vrai (je suis bien obligé de définir ce qu'est la vérité dans ma logique) si je peux exhiber une famille de modèles (à la mode Kripke, avec quelques conditions, donc) s'il est vrai (et là dans le sens habituel de la logique du 1er ordre) dans "presque tous" les modèles de la famille.

En effet, quel sens peut-on donner à un énoncé vrai mais indémontrable dans un système formel, si la vérité même de cet énoncé est déterminée par ce système ? Il y a qqch qui ne va pas...

Oui, il y a quelque chose qui ne va pas : le vocabulaire (peut-être pas uniquement, mais je ne veux pas te faire un procès d'intention), je vais donc commencer par reformuler la phrase précédente, dans le cas un peu particulier de l'arithmétique de Peano, mais comme tu parlais du théorème d'incomplétude de Gödel, cela ne me paraît pas hors sujet :
"Il existe des énoncés indécidables qui sont vrais dans le modèle standard", et avec cette formulation, je ne vois pas ce qui ne va pas. Il va de soi que pour une théorie incomplète (logique classique du premier ordre) qui ne soit pas AP, je n'aurais pas pu écrire exactement la même chose (à cause de l'appel à la notion de modèle standard), mais seulement "Il existe des énoncés indécidables qui sont vrais dans un modèle particulier 'et faux dans d'autres".
Avec ces deux façons de dire les choses (et surtout la deuxième), il devrait t'apparaître que "la vérité même de cet énoncé est déterminée par le sytème formel", n'est pas acceptable (si c'était déterminé par le système formel, ce serait vrai dans tous les modèles (à nouveau le théorème de complétude de Gödel)).

Cet exemple montre une fois de plus les raisons de ma méfiance vis à vis de ce vocabulaire (vrai/faux).

[invitef591ed4b]

Le découpage entre maths et "méta-maths" (= logique) est fallacieux. Tout va ensemble (on parle de cohérence), on ne peut pas prendre l'un d'une manière et l'autre d'une autre.

Je fais une grande différence entre des axiomes tels que le tiers exclus et les axiomes de la théorie des groupes, par exemple. Refuser un axiome dans la théorie des groupes, ce n'est pas changer de logique, alors que refuser le tiers exclus, c'est changer de logique (et passer en intuitionniste).

Il me semble quand-même que cette différence de "nature" entre les axiomes logiques et les autres a du sens...

Les logiques modales utilisent les "mondes possibles de Kripke", par exemple on doit pouvoir développer une logique où un énoncé serait déclaré vrai (je suis bien obligé de définir ce qu'est la vérité dans ma logique) si je peux exhiber une famille de modèles (à la mode Kripke, avec quelques conditions, donc) s'il est vrai (et là dans le sens habituel de la logique du 1er ordre) dans "presque tous" les modèles de la famille.

D'accord. Et donc, quelle était ta question à ce sujet (que je n'ai tjs pas comprise, même en la relisant sous cette lumière) ?



Merci pour vos réponses, je les lis et y réfléchis. Mais je manque cruellement d'exemples, quand-même. Est-il possible de trouver une logique dans laquelle le théorème "Il existe des triplets d'entiers (a,b,c) satisfaisant a²+b²=c²" est faux dans l'arithmétique de Peano, par exemple ? Je ne demande pas de me citer un système formel précis, seulement à savoir si c'est possible ou pas.

[invite21f77fce]

bonsoir,

je suis cette discussion; vous parlez de logique modale, classique, intuitionniste ...
Avez vous des liens intéressants qui parlent de ces logiques ?

merci

[Médiat]

Est-il possible de trouver une logique dans laquelle le théorème "Il existe des triplets d'entiers (a,b,c) satisfaisant a²+b²=c²" est faux dans l'arithmétique de Peano, par exemple ?

Juste avant de lire ceci, je croyais avoir trouver ce qui nous différencie :
Pour toi un théorème est vrai s'il est vrai dans un modèle particulier (d'autant plus si ce modèle est "standard"), alors que justement, je trouve dangereux de dire, qu'un théorème est vrai alors qu'il peut être faux dans certains modèles (tout cela pour une même théorie dans la même logique). Par exemple, si je dis "la conjecture de Golbach est vraie", je suppose que tu entends "la conjecture de Golbach est vraie dans IN" (le modèle standard), alors que moi j'entends "la conjecture de Golbach est vrais dans AP", donc dans tous ses modèles" ; c'est sans doute.ce qui fait la différence entre un mathématicien et un logicien (ne cherche pas de hiérarchie, je n'en mets pas).

Mais ta dernière intervention me dérange, car, pour moi, lorsqu'on dit "arithmétique de Peano", on veut dire axiome de Peano pour la logique classique du premier ordre, le cadre est précis, pour avoir une idée de l'arithmétique en logique intuitionniste, il faut regarder du côté de l'arithméique de Hayting et non plus de Peano.

Pour l'exemple sur les modèles de Kripke, je voulais donner un exemple où la notion de vérité pour une logique donnée devient très éloignée de la notion de vérité "habituelle", d'où, je me répète, ma méfiance vis à vis de ce vocabulaire.

[Médiat]

bonsoir,

je suis cette discussion; vous parlez de logique modale, classique, intuitionniste ...
Avez vous des liens intéressants qui parlent de ces logiques ?

merci

Pour une première approche :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_math%C3%A9matique
http://fr.wikipedia.org/wiki/Calcul_des_pr%C3%A9dicats
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_intuitionniste
http://fr.wikipedia.org/wiki/Logique_modale

Bon courage et amuse-toi bien ...

[invitef591ed4b]

Pour l'exemple sur les modèles de Kripke, je voulais donner un exemple où la notion de vérité pour une logique donnée devient très éloignée de la notion de vérité "habituelle", d'où, je me répète, ma méfiance vis à vis de ce vocabulaire.

Je comprends l'exemple et l'apprécie. Je n'ai côtoyé la logique modale que dans le cadre de la philosophie (sémantique des mondes possibles de Lewis), pas dans les maths. D'ailleurs, je me demande ce qu'on est capable de faire en maths avec la logique modale...

De plus, ma vision des maths et de leurs fondements est influencée par le point de vue de la théorie des catégories qui, je pense, a une façade plus compatible avec le platonisme que la logique et les systèmes formels.