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Démonstration mathématiques!



  1. #1
    hekla

    Démonstration mathématiques!


    ------

    Bonjour à tous,

    J'ai un petit problème à vous soumettre.
    Je dois déterminer tous les couples (a,b,c) de réels tels que 1/4= 1/a2+1/b2+1/c2

    D'où dois je commencer?
    J'ai simplifié et j'obtiens 4(b2c2+a2b2+a2b2)= a2b2c2

    Voilà en attendant votre aide
    à bientot

    -----

  2. #2
    mach3
    Modérateur

    Re : Démonstration mathématiques!

    pars plutot ainsi:

    pose A=1/a, B=1/b, C=1/c (on va pas se compliquer avec des inverses non mais)

    ca nous donne 1/4=A²+B²+C²

    soit encore (1/2)²=A²+B²+C² ca ne te rappelle rien?

    si non, alors poursuivons un petit peu. on peut encore écrire 1/2=

    considère maintenant (A,B,C) comme un vecteur, un élément de réponse devrait t'apparaitre

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  3. #3
    hekla

    Re : Démonstration mathématiques!

    1/2 devrait être égal à la norme de ce vecteur non?

    Enfin, je ne vois pas bien où tu m'emmènes Mach3 , peux tu continuer un peu ta démarche?

    merci encore

  4. #4
    mach3
    Modérateur

    Re : Démonstration mathématiques!

    1/2 devrait être égal à la norme de ce vecteur non?
    très bien, mais on pouvait aller plus loin. essaie d'imaginer une collection de vecteur partant de l'origine de l'espace 3D et ayant la meme norme, ca ressemble à quoi?

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    mach3
    Modérateur

    Re : Démonstration mathématiques!

    une collection de vecteur partant de l'origine de l'espace 3D et ayant la meme norme
    pour etre plus clair, je parle de l'ensemble des points M tels que la norme du vecteur OM (donc la distance OM) est égale à 1/2
    Never feed the troll after midnight!

  7. #6
    hekla

    Re : Démonstration mathématiques!

    Oui j y avais pensé, on obtient une sphère.
    Mais je ne vois pas bien que faire de cette information...

  8. #7
    mach3
    Modérateur

    Re : Démonstration mathématiques!

    bien,

    donc l'ensemble des triplets (A,B,C) constitue une sphère. il y a une infinité de triplets (A,B,C) qui respectent l'équation 1/4=A²+B²+C² mais ils sont tous sur une sphère de rayon 1/2.

    revenons à (a,b,c). les triplets (a,b,c) sont tels que tout point de coordonnées (1/a,1/b,1/c) est sur une sphère de rayon 1/2.

    bon... là malaise à vrai dire, comment dans ce cas donner tous les triplets (a,b,c)...

    dis-moi, c'est un problème que tu te poses toi meme ou c'est un probleme de classe (si oui quelle classe)?

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  9. #8
    anonymus

    Re : Démonstration mathématiques!

    A mon avis, ça vient tout droit des Olympiades
    En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.

  10. #9
    danyvio

    Re : Démonstration mathématiques!

    Citation Envoyé par hekla Voir le message
    Bonjour à tous,

    Je dois déterminer tous les couples (a,b,c) de réels tels que 1/4= 1/a2+1/b2+1/c2
    Question bête : S'agit-il bien des réels ou seulement des entiers ?

  11. #10
    danyvio

    Re : Démonstration mathématiques!

    Question bête : S'agit-il bien des réels ou seulement des entiers ?

    De plus, il ne s'agit pas de couples, mais de triplets ! Tout cela pour montrer que je lis les énoncés

  12. #11
    danyvio

    Re : Démonstration mathématiques!

    Citation Envoyé par mach3 Voir le message
    pars plutot ainsi:

    pose A=1/a, B=1/b, C=1/c (on va pas se compliquer avec des inverses non mais)

    ca nous donne 1/4=A²+B²+C²

    soit encore (1/2)²=A²+B²+C² ca ne te rappelle rien?
    Comme dirait ce bon M. Pythagore, ça me rappelle surtout la dimension de la grande diagonale d'un parallélépipède rectangle, de côtés A,B,C et qui aurait pour dimension 1/2.

  13. #12
    danyvio

    Re : Démonstration mathématiques!

    Assez discuté (mais je me sens bien seul )

    Si on écrit A=1/a2 B=1/b2 C=1/c2 ce qui est permis puisque a, b et c non nuls because la position de leurs carrés respectifs aux dénominateurs, on a :

    1/4 = A+B+C avec A, B , C tous > 0

    Où trouve t-on que la somme de trois mesures est constante ? Dans la géométrie du triangle équilatéral...

    La suite au prochain numéro ?....

  14. #13
    hekla

    Re : Démonstration mathématiques!

    Et donc l'exercice est fini?
    Il suffit de dire que ces triplets (et non ces couples ), sont ceux formés par les points formant ce cercle?

    Sinon j'ai trouvé ça sur internet, c'est un test d'admission à Louis Le Grand en MPSi, pour les pays étrangers (je ne me souviens plus lequel)

    merci sinon

  15. #14
    mach3
    Modérateur

    Re : Démonstration mathématiques!

    si tu veux aller au bout, les triplets de réels (a,b,c) sont sur une hyperboloïde (généralisation de l'hyperbole du plan à l'espace). Je trouve la question posée bizarrement vu la réponse...

    m@ch3
    Never feed the troll after midnight!

  16. #15
    danyvio

    Re : Démonstration mathématiques!

    Je vois déjà deux réponses possibles :
    1) a, b, et c sont les inverses des racines carrées des mesures des côtés possibles d'un parallèlépipède rectangle de grande diagonale 1/2.
    2) Soit un triangle équilatéral de hauteur 1/2. . a,b et c sont les inverses des racines carrées de la distance de tout point strictement intérieur au triangle aux côtés.
    Il y en a peut-être d'autres.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

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