Bonjour à tous,
J'ai un petit problème à vous soumettre.
Je dois déterminer tous les couples (a,b,c) de réels tels que 1/4= 1/a2+1/b2+1/c2
D'où dois je commencer?
J'ai simplifié et j'obtiens 4(b2c2+a2b2+a2b2)= a2b2c2
Voilà en attendant votre aide
à bientot
pars plutot ainsi:
pose A=1/a, B=1/b, C=1/c (on va pas se compliquer avec des inverses non mais)
ca nous donne 1/4=A²+B²+C²
soit encore (1/2)²=A²+B²+C² ca ne te rappelle rien?
si non, alors poursuivons un petit peu. on peut encore écrire 1/2=
considère maintenant (A,B,C) comme un vecteur, un élément de réponse devrait t'apparaitre
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
1/2 devrait être égal à la norme de ce vecteur non?
Enfin, je ne vois pas bien où tu m'emmènes Mach3, peux tu continuer un peu ta démarche?
merci encore
très bien, mais on pouvait aller plus loin. essaie d'imaginer une collection de vecteur partant de l'origine de l'espace 3D et ayant la meme norme, ca ressemble à quoi?1/2 devrait être égal à la norme de ce vecteur non?
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
pour etre plus clair, je parle de l'ensemble des points M tels que la norme du vecteur OM (donc la distance OM) est égale à 1/2une collection de vecteur partant de l'origine de l'espace 3D et ayant la meme norme
Never feed the troll after midnight!
Oui j y avais pensé, on obtient une sphère.
Mais je ne vois pas bien que faire de cette information...
bien,
donc l'ensemble des triplets (A,B,C) constitue une sphère. il y a une infinité de triplets (A,B,C) qui respectent l'équation 1/4=A²+B²+C² mais ils sont tous sur une sphère de rayon 1/2.
revenons à (a,b,c). les triplets (a,b,c) sont tels que tout point de coordonnées (1/a,1/b,1/c) est sur une sphère de rayon 1/2.
bon... là malaise à vrai dire, comment dans ce cas donner tous les triplets (a,b,c)...
dis-moi, c'est un problème que tu te poses toi meme ou c'est un probleme de classe (si oui quelle classe)?
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
A mon avis, ça vient tout droit des Olympiades
En Amérique, il faut d'abord avoir le sucre, ensuite on a le pouvoir et ensuite on a la femme.
Question bête : S'agit-il bien des réels ou seulement des entiers ?Envoyé par hekla
Question bête : S'agit-il bien des réels ou seulement des entiers ?
De plus, il ne s'agit pas de couples, mais de triplets
Comme dirait ce bon M. Pythagore, ça me rappelle surtout la dimension de la grande diagonale d'un parallélépipède rectangle, de côtés A,B,C et qui aurait pour dimension 1/2.
Assez discuté (mais je me sens bien seul)
Si on écrit A=1/a2 B=1/b2 C=1/c2 ce qui est permis puisque a, b et c non nuls because la position de leurs carrés respectifs aux dénominateurs, on a :
1/4 = A+B+C avec A, B , C tous > 0
Où trouve t-on que la somme de trois mesures est constante ? Dans la géométrie du triangle équilatéral...
La suite au prochain numéro ?....
Et donc l'exercice est fini?
Il suffit de dire que ces triplets (et non ces couples), sont ceux formés par les points formant ce cercle?
Sinon j'ai trouvé ça sur internet, c'est un test d'admission à Louis Le Grand en MPSi, pour les pays étrangers (je ne me souviens plus lequel)
merci sinon
si tu veux aller au bout, les triplets de réels (a,b,c) sont sur une hyperboloïde (généralisation de l'hyperbole du plan à l'espace). Je trouve la question posée bizarrement vu la réponse...
m@ch3
Never feed the troll after midnight!
Je vois déjà deux réponses possibles :
1) a, b, et c sont les inverses des racines carrées des mesures des côtés possibles d'un parallèlépipède rectangle de grande diagonale 1/2.
2) Soit un triangle équilatéral de hauteur 1/2. . a,b et c sont les inverses des racines carrées de la distance de tout point strictement intérieur au triangle aux côtés.
Il y en a peut-être d'autres.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
