Pourquoi Zéro est-il considéré comme un entier Naturel ?

[Médiat]

C'est à mon tour de ne pas comprendre votre question.

C'est pourtant une excellente question, surtout en tenant compte du titre du fil.
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[Les Terres Bleues]

Quel est le mot qui vous échappé ? "vu" ou "invisible" ? Et encore, si je voulais être ironique je vous demanderais la longueur d'onde de "rose invisible ".

Je rappelle donc la phrase en exergue de ma première intervention sur les licornes

Ne s’agirait-il pas plutôt d’une définition en termes de physique de l’invisibilité de la « licorne rose invisible » ?

Et j'ai l'impression que "ne pas voir l'invisible" ne peut servir en aucune façon à valider mathématiquement la notion de zéro comme entier naturel.
Après, que l'on choisisse quand même de poser cette assertion comme axiome premier ne me pose pas de problème. C'est juste une affaire de définition algébrique. Il suffit juste de ne pas l'oublier.

Quant à ironiser, vous pouvez y aller, je suis blindé.
Et, bien que je connaisse précisément la valeur de la longueur d'onde que vous semblez ignorer, je ne me risquerai pas à la fournir sur ce forum.

Cordiales salutations.

[Les Terres Bleues]

Que ceci soit votre préoccupation est parfaitement légitime, mais n'a rien à faire dans ce fil dont le titre est "Pourquoi Zéro est-il considéré comme un entier Naturel ?" et qui n'a donc rien à voir avec la conceptualisation du 0 (dont on sait qu'elle a mis un certain temps avant de devenir "naturelle").
Ouvrez un autre fil en posant clairement les définitions des concepts manipulés ("nature", "ce", "environnement", "mentalement", "représentable"), je me permets aussi de suggérer, en toute humilité, que vous pourriez englober la question du passage du Un au Multiple (de Platon à Lacan, il y a de la matière), et vous aurez un chemin conceptuel de 1 au multiple appelé "Entiers Naturels", incluant le 0 puis au Un ("l'ensemble des entiers naturels").

Effectivement, les mathématiciens comme tout un chacun disposent du droit de poser et d'utiliser des axiomes. Mais dans un forum d'épistémologie, il est tout aussi légitime de s'interroger sur le sens des actes "fondateurs" effectués.

Merci pour l'ensemble de vos propositions. Je pense que je ne vais pas les retenir dans leur totalité, mais je reste quand même fortement admiratif devant l'ampleur de votre savoir.

Mis à part le fait que vous m'avez opportunément rappelé que le zéro était considéré comme un entier naturel, par définition, je reste sur mon appréciation antérieure qui consiste à penser que toutes les conventions sont faites afin d'évoluer, et non pour constituer un corps doctrinal immuable.

Mais s'il est interdit de penser sur Futura, que nous reste-t-il donc ?

Cordiales salutations.

[Médiat]

Mais dans un forum d'épistémologie, il est tout aussi légitime de s'interroger sur le sens des actes "fondateurs" effectués.

Je ne vois pas quand je vous ai contesté ce droit, puisqu'au contraire je vous suggère d'ouvrir un autre fil sur ce sujet.

Mis à part le fait que vous m'avez opportunément rappelé que le zéro était considéré comme un entier naturel, par définition, je reste sur mon appréciation antérieure qui consiste à penser que toutes les conventions sont faites afin d'évoluer, et non pour constituer un corps doctrinal immuable.

Personne ne vous interdit de révolutionner les mathématiques (au contraire), si l'axiomatique de Peano ne vous convient pas, il vous suffit de proposer une axiomatique alternative, de démontrer une bonne partie des théorèmes connus (n'oubliez pas le Grand Théorème de Fermat) et d'expliciter les avantages que nous en tirerons tous.

Mais s'il est interdit de penser sur Futura, que nous reste-t-il donc ?

Il ne vous est pas interdit de penser, sauf si cela vous arrange, bien sûr, mais je vous suggère de ne pas mélanger les sujets, cela rend les fils difficiles à suivre (déjà qu'en général plusieurs conversations se croisent ...).

[invite4e5046fc]

mais je reste quand même fortement admiratif devant l'ampleur de votre savoir.

Il fut un bail maintenant depuis que je le suis aussi ; heureusement que j'en profite bien avant que vous.

A1.

[invitee1c6d6b1]

Proposition à Médiat:

Quel est le titre du fil que l'on doit ouvrir pour que les logiciens puissent nous faire part de leur réflexions "extra-mathématiques" sur le zéro. Ses rapport avec l'être ou le non-être, etc...
Quelles sont les interrogations légitimes, dans quels direction devons nous orienter nos réflexions.

Merci.

[invité576543]

J'interviens tardivement dans cette discussion...

Cela fait longtemps que j'ai la même interrogation que Patrick, mais je la pousse un cran plus loin

Pour moi la notion naturelle de nombre (cardinal) commence à 2, pas à 1. Autrement dit non seulement 0 serait un concept d'une autre nature que 2, 3, 4, etc., mais aussi 1.

La raison en est que le concept naturel de nombre combine la similitude et la différence. Pour compter 2 (ou 3 ou 4) objets il faut non seulement ces objets mais une classe d'objet, quelque chose qui les rend "semblables", permuttables, comptables chacun à l'identique de l'autre. Or rien de cela n'est possible pour 1 (et encore moins pour 0).

Cela revient à mettre une sorte d'ordre dans les concepts, comme suit :

a) La distinction : percevoir le monde, l'environnement, comme composé de choses distinctes, le ciel, le sol, toi, moi, ma main droite, etc.

b) La similitude : percevoir des classes parmi les choses distinctes, rapprocher deux ou plusieurs choses distinctes et en faire une classe abstraite, déterminée par un attribut pris parmi l'infinité d'attributs qui caractérise un objet. Notion de caillou, de pomme, de main, de doigt.

c) Le décompte d'objets d'une même classe. Deux cailloux, trois pommes, deux mains, cinq doigts.

d) Le saut conceptuel à l'unité : une pomme, un caillou, tout seul, isolé. Le un sous-tend l'existence d'autres pommes, d'autres cailloux, sans laquelle la notion de classe, et donc de nombre n'a pas de sens. Un caillou, c'est ce qui reste quand on a enlevé deux cailloux à trois cailloux, mais qui reste vu comme faisant partie de deux, trois, ..., cailloux.

e) Puis un autre saut conceptuel, encore plus "bizarre". Ce qui reste quand on enlève trois cailloux de trois cailloux est naturellement rien, un rien sans unité, ni caillou, ni pomme, ni hippopotame. Le saut conceptuel du 0 nombre n'est pas tant le rien, concept plus primitif, mais la mise d'une unité à rien : 0 pomme, 0 caillou. Comme dans le cas précédent, cela sous-entend l'existence d'une classe, et la possibilité d'un "vrai" nombre : ainsi "il y a 0 allumette dans cette boîte d'allumettes" a un sens (il pourrait y avoir deux, cinq, ... allumettes), mais "il y a 0 hippopotame dans cette boîte d'allumettes" laisse en général les auditeurs perplexes ou hilares.

Cordialement,

PS: Je ne parle que de nombre cardinal ici, la notion de nombre ordinal est conceptuellement très différente (et utilise des mots distincts des cardinaux), et ne serait pas analysée pareillement.

[Médiat]

Quel est le titre du fil que l'on doit ouvrir pour que les logiciens puissent nous faire part de leur réflexions "extra-mathématiques" sur le zéro. Ses rapport avec l'être ou le non-être, etc...
Quelles sont les interrogations légitimes, dans quels direction devons nous orienter nos réflexions.

Je repose ma question : de quel droit peut-on restreindre une question aux seuls logiciens, de quel droit peut-on sommer les logiciens d'avoir un avis sur un sujet précis ?

[invitee1c6d6b1]

Je ne restreint pas la question aux logiciens, je ne les sommes pas, ce n'est pas une injonction, c'est une invitation à donner leurs impressions sur le sujet.

J'ai l'impression que vous savez des choses. Mais bon sang allez vous les dire ces choses ? Faut-il qu'on vous tire les vers du nez ?

[invite6754323456711]

J
J'ai l'impression que vous savez des choses. Mais bon sang allez vous les dire ces choses ? Faut-il qu'on vous tire les vers du nez ?

Je pense que l'on apprend plus en le découvrant par soi même avec l'aide de quelqu'un qui vous aide à vous poser les bonnes questions qu'en lisant les réponses de ceux qui l'on découvert depuis belle lurette.

Patrick

[stefjm]

Pour moi la notion naturelle de nombre (cardinal) commence à 2, pas à 1. Autrement dit non seulement 0 serait un concept d'une autre nature que 2, 3, 4, etc., mais aussi 1.

Pour moi, Il me semble que pour être naturel, le nombre doit également pouvoir servir de base de comptage.
C'est clairement le cas de 2 et des suivants.
L'unité n'est pas terrible en tant que base de comptage car la compression obtenue est nulle.
Quant-à utiliser le zéro comme base de comptage...

J'intuite que c'est lié à ce que dit Michel concernant les classes d'objets.
Si on n'a pas au moins deux symboles différents, c'est difficile de compter.

[stefjm]

Il y a aussi l'absence de logarithme pour 0, le logarithme nul de 1 (pas de compression) et les logarithmes intéressants à partir de 2. (avec l'optimum à e, entre 2 et 3)

[invite6754323456711]

Bonsoir,

Les cellules vivantes ne sont elle pas capable de se reproduire elle-même. Donc pour répondre à Michel pourquoi la notion naturelle de nombre (cardinal) ne pourrait commencer par Un (qui peut être réplicable) ?

Patrick

[invité576543]

Si on n'a pas au moins deux symboles différents, c'est difficile de compter.

Plus généralement, on ne peut pas construire de langage avec moins de deux symboles. Même une écriture comme 1 11 111 1111 etc. demande deux symboles, le 1 et l'espace, une terminaison. Le code Morse utilise trois symboles et non 2 : long, bref et espace.

Au passage, tu a employé une redondance très courant, et très révélateur : "deux symboles différents", à comparer avec l'oxymore "deux symboles identiques". Le "deux" indique une différence, car comment compter "deux" s'il n'y a pas une différence? Et comment compter deux symboles s'il n'y a pas une similarité permettant de donner l'attribut "symbole" aux deux choses différentes? En précisant "différent", tu as mis l'accent sur la différence pourtant déjà incluse dans "deux", parce qu'on peut mettre l'accent sur la similarité en précisant "identiques".

"deux objets différents" est pour moi la base de toute notion de comptage, et il n'y a pas moyen de faire la même chose avec un : "un objet différent" ou "un objet identique" n'ont aucun sens, alors que l'expression en a avec n'importe quel nombre à partir de deux.

Cordialement,

[invite6754323456711]

Plus généralement, on ne peut pas construire de langage avec moins de deux symboles. Même une écriture comme 1 11 111 1111 etc. demande deux symboles, le 1 et l'espace, une terminaison.

Oui, le problème semble donc syntaxique. Maintenant les symboles peuvent avoir des sens différents. Par exemple avec l'alphabet {1, -->}. --> étant l'opérateur de recopie. On peut construire un graphe :

une branche de l'arbre : 1-->1-->1-->...

les 1 ne se produisant qu'une seule fois
1 : 1
2 : 1-->1
3 : 1-->1-->1

Je peux compter (maintenant je ne sais pas revenir en arrière)

La multitude de la nature c'est construite comment ? Partant de {} ?


Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,


Dans l'arithmétique de Peano quel est le sens porté par la fonction successeur ? Un ordre : le plus grand élément immédiat, Une appartenance, Une inclusion ...;

Donc "naturellement" le premier élément ne peut être que zéro (signifiant pas d'élément ?) ? le premier au sens plus grand (appartenance, inclusion ..) immédiat de zéro étant "l'existence" d'un élément ?

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,


Dans l'arithmétique de Peano quel est le sens porté par la fonction successeur ? Un ordre : le plus grand élément immédiat, Une appartenance, Une inclusion ...;

Donc "naturellement" le premier élément ne peut être que zéro (signifiant pas d'élément ?) ? le premier au sens plus grand (appartenance, inclusion ..) immédiat de zéro étant "l'existence" d'un élément ?

Patrick

Précision pour le modèle entier naturel

Patrick

[invite6754323456711]

Bonjour,

J'en arrive à une conclusion semblable à celle de Michel

Pour moi la notion naturelle de nombre (cardinal) commence à 2, pas à 1. Autrement dit non seulement 0 serait un concept d'une autre nature que 2, 3, 4, etc., mais aussi 1.

Le successeur semble être défini à partir de l'opération d'addition :

en posant a + 0 = a et a + s(b) = s(a + b) pour tout a et b
s(0) = 1, s(b) = s(b + 0) = b + s(0) = b + 1. Le successeur de b est simplement b + 1

0 est posé être un entier naturel par définition mais 1 doit l'être aussi.

car 1 + 0 = 1, 0 étant l'élément neutre. Il faut donc que aussi que 1 existe par définition.

0 et 1 sont donc des entiers naturels non construit contrairement à 2,3,4

2 = 1 + 1

Patrick

[Médiat]

Le successeur semble être défini à partir de l'opération d'addition :

Faux, c'est l'addition qui est définie en terme de la fonction successeur.

0 est posé être un entier naturel par définition mais 1 doit l'être aussi.

Inutile, cf. supra.

car 1 + 0 = 1, 0 étant l'élément neutre. Il faut donc que aussi que 1 existe par définition.

Quel rapport entre l'élément neutre et l'existence, par définition, de 1 ?

0 et 1 sont donc des entiers naturels non construit contrairement à 2,3,4

Faux : 1 = s(0)

2 = 1 + 1

Ce n'est pas la définition ; par définition 2 = s(s(0)).

Je ne suis pas intervenu sur ce fil car il ne parlait pas de mathématiques, et que je ne suis pas modérateur, ni censeur, mais là tu invoques l'arithmétique de Peano, merci de respecter son axiomatique : le seul symbole de constante dans cette axiomatique est 0.

[invité576543]

J'espère qu'il est clair qu'il ne s'agit nullement de mettre en question les bases de l'arithmétique ou de changer la notion mathématique de "entier naturel".

C'est plutôt une réflexion sur le processus mental qui amène au concept de nombre entier.

Si on regarde côté mathématique, la notion d'entier naturel commençant à 0 fait sens de par sa relation avec le concept de cardinal, et la nécessité d'avoir l'ensemble vide dans les ensembles, nécessité qui provient (par exemple, ce n'est pas le seul) du désagrément que serait une opération "intersection" qui ne serait pas une opération toujours définie.

L'inclusion du 0 et du 1 est obligatoire pour de telles raisons de "fermeture", ce qui sont des raisons d'une autre nature que le processus mental de décompte, qui se satisfait très bien de parler de "rien" plutôt que de compter quelque chose pour 0, ou d'utiliser l'article défini (e.g., la Terre) plutôt que de compter pour 1 quelque chose de non décomptable (par opposition à l'article indéfini qui véhicule l'idée de "un parmi un certain nombre).

Cordialement,

PS : Croisement avec Médiat, mais si on regarde bien les deux messages sont plutôt synergiques.

[Médiat]

J'espère qu'il est clair qu'il ne s'agit nullement de mettre en question les bases de l'arithmétique ou de changer la notion mathématique de "entier naturel".

Une précision : si je ne suis pas intervenu après ton message #37, c'est justement que j'ai bien compris que, pour toi, ce n'était pas une remise en cause de l'arithmétique mais un point de vue conceptuel (j'ai juste regretté que tu utilises le mot "cardinal" qui est très typé mathématique alors que le mot "nombre" était plus neutre ; j'ai néanmoins jugé que cela ne valait pas une intervention).

Et je suis bien d'accord sur l'aspect synergique de nos deux interventions.

[invite6754323456711]

Faux, c'est l'addition qui est définie en terme de la fonction successeur.

OK. Quel est alors la sémentique de la fonction successeur dans le modèle "entier naturel" ?

Quel rapport entre l'élément neutre et l'existence, par définition, de 1 ?

Cela n'a plus de sens si l'addition est construite à partir du successeur et non l'inverse.
Maintenant pourquoi j'ai écrit cela : si cela avait été l'inverse (Le successeur de b est simplement b + 1 "wiki") alors neutre + 1 = 1 on ne crée/construit pas un nouveau élément 1

....

Patrick

[invite6754323456711]

J'espère qu'il est clair qu'il ne s'agit nullement de mettre en question les bases de l'arithmétique ou de changer la notion mathématique de "entier naturel".

Il s'agit juste de chercher à comprendre le sens Epistémologique de la construction des entiers naturels et pourquoi 0 comme premier élément plutôt que 1


Patrick

[stefjm]

Je ne suis pas intervenu sur ce fil car il ne parlait pas de mathématiques, et que je ne suis pas modérateur, ni censeur, mais là tu invoques l'arithmétique de Peano, merci de respecter son axiomatique : le seul symbole de constante dans cette axiomatique est 0.

M'enfin!
On ne doit pas avoir la même notion de "intervenir" ou de "fil".
#38
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2301354
#34
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2300312
#31
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2300240
#30
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2300234
#29
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2300215
#25
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299920
#21
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299809
#19
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299755
#17
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299719
#16
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299709
#14
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299693
#10
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299612
#8
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299529
#4
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299376
#2
http://forums.futura-sciences.com/ep...ml#post2299303

[invité576543]

j'ai juste regretté que tu utilises le mot "cardinal" qui est très typé mathématique

HS : L'opposition entre nombre cardinal et nombre ordinal, ainsi que ces termes, précède d'au moins près de deux siècles la théorie des ensembles. On pourrait aussi regretter que les mathématiques ont typé (et kidnappé ) ces termes! Je n'ai pas d'autres termes à ma disposition que ceux-ci, établis par l'usage depuis 1680 d'après A.Rey (dictionnaire historique de la langue française).

Cordialement,

[Médiat]

OK. Quel est alors la sémentique de la fonction successeur dans le modèle "entier naturel" ?

Que tu comprennes le modèle standard par l'interprétation de la fonction successeur comme l'addition de 1, cela ne fait que montrer que ce modèle avec son addition t'est plus naturel que la théorie axiomatique, en aucun cas cela ne montre que, dans AP l'addition prime sur la fonction successeur (attention, je ne dis pas que l'addition est définissable uniquement avec la fonction successeur (cf. les modèles non standards)).
Je pourrais aussi dire que le successeur de n est le plus petit des éléments plus grands que n.
En prenant un autre modèle, par exemple les mots sur l'alphabet {a}, le successeur se définit très bien sans avoir besoin de connaître l'addition des mots.
En fait, tu as cette impression parce que tu connais IN, et donc son addition, sa multiplication, sa relation d'ordre (que j'ai utilisée ci-dessus), il n'en reste pas moins que l'élément fondateur est la fonction successeur.

[stefjm]

Pour moi la notion naturelle de nombre (cardinal) commence à 2, pas à 1. Autrement dit non seulement 0 serait un concept d'une autre nature que 2, 3, 4, etc., mais aussi 1.

Si on remonte le temps un peu plus loin, on peut aussi virer le 2 de la collection des nombres.

http://mathematiques.fauriel.org/doc-mots.html

Pour Pythagore, Un (ou monade) n'était ni pair ni impair, mais impair-pair, car un n'était pas un nombre, mais le principe du nombre : il ne pouvait pas être d'une espèce particulière. Deux (ou dyade) n'était pas non plus un nombre, et n'était pas pair : peut-on séparer un couple? Les nombres ne commençaient donc qu'à Trois, et le premier nombre pair était Quatre. Ce n'est que par la suite que Deux fut considéré comme un nombre pair, par exception, puis Un comme un nombre (Archytas de Tarente). Tout cela est parfaitement logique : Adam était-il masculin avant la création d'Ève ?

[inviteb9a48a73]

Pourquoi Zéro est-il considéré comme un entier Naturel ?
Par convention mathématique. Rien de plus.


Si je comprends le fond de ta pensée, tu te dis que le temps et la matière sont des grandeurs discontinues pour lesquelles la notion de zéro n'a pas de sens, et tu ne comprends donc pas pourquoi nos mathématiques lui en donnent un, en tant qu'entier naturel.

Cela provient de nos croyances (religieuses ?) de ce que "ce qui n'est pas" est le complémentaire de "ce qui est". Et à vrai dire, nous nous accomodons bien de cette notion dans toutes nos expériences de la vie quotidienne.
Toutefois, en philosophie boudhique par exemple, un phénomène peut à la fois "être et non être" ou "ni être ni non être", ce que nos mathématiques n'arrivent pas encore à formaliser.
Mais parions qu'un jour nos mathémathiques bivalentes deviendront tétravalentes, et qu'ainsi le zéro sera remplacé.