question sur un paradoxe

[Bruno0693]

Bonjour,

Dans mon devoir d'épistémologie, on nous soumet le paradoxe du menteur sous la forme de la phrase "Je mens maintenant". On montre qu'on a bien affaire à un paradoxe.

Dans la question suivante, la prof écrit :

"Considérez à présent l'énoncé indécidable : " l'énoncé codifié f n'admet ni preuve ni réfutation dans le système S" et précisez en quoi se distingue son aspect autoréférentiel de celui du paradoxe du menteur. "

J'avoue que je ne vois pas du tout ce que je pourrais bien répondre à cette question...

Est-ce que le fait que l'énoncé f soit "codifié" a une importance ?

Auriez-vous quelques pistes de réflexion pour démarrer cette question ?

Merci d'avance pour vos réponses.
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[invite6754323456711]

Bonjour,

Une preuve partielle du premier théorème d'incomplétude :

La preuve par Gödel de son premier théorème d'incomplétude utilise essentiellement deux ingrédients :

* le codage par des nombres entiers du langage et des fonctions qui permettent de le manipuler, ce que l'on appelle l'arithmétisation de la syntaxe ;

* un argument diagonal qui, en utilisant l'arithmétisation de la syntaxe, fait apparaître un énoncé similaire au paradoxe du menteur : l'énoncé de Gödel est équivalent, via codage, à un énoncé affirmant sa propre non prouvabilité dans la théorie considérée.

Mais l'énoncé de Gödel n'est pas paradoxal.
....

http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A..._de_G%C3%B6del

Patrick

[invite6eb1b431]

Bonjour,

Dans mon devoir d'épistémologie, on nous soumet le paradoxe du menteur sous la forme de la phrase "Je mens maintenant". On montre qu'on a bien affaire à un paradoxe.

Dans la question suivante, la prof écrit :

"Considérez à présent l'énoncé indécidable : " l'énoncé codifié f n'admet ni preuve ni réfutation dans le système S" et précisez en quoi se distingue son aspect autoréférentiel de celui du paradoxe du menteur. "

J'avoue que je ne vois pas du tout ce que je pourrais bien répondre à cette question...

Est-ce que le fait que l'énoncé f soit "codifié" a une importance ?

Auriez-vous quelques pistes de réflexion pour démarrer cette question ?
Merci d'avance pour vos réponses.

Dans le paradoxe du menteur : L'aspect auto-référentiel est introduit par le mot "Maintenant".
Si je mens maintenant, c'est que la phrase que je viens de dire est fausse, et donc je dis la vérité, or si je dis la vérité, c'est que la première assertion est vraie, etc...

L'auto-référence de la phrase induit un paradoxe, car la phrase se nie elle-même, à l'infini...

Dans le deuxième exemple :

"L'énoncé codifié f n'admet ni preuve ni réfutation dans le système S"
sous-entendu ( Codifié au sein de S)

La consistence/cohérence de S ne peut-être prouvé dans S.
C'est une autre manière de dire qu'un système S ne peut établir sa cohérence par auto-référence.

Le théorème d'incomplétude, dit en quelque-sorte à sa manière que l'auto-référence induit des paradoxes.

Cela signifie que l'information du système S est finie.
Idem pour la phrase "Je mens maintenant".

Cette phrase en elle-même ne contient pas l'information qui me permettrait de trancher sur la véracité ou la fausseté de l'assertion.

Un système fini d'énoncés ne peut pas dire plus...que ce qu'il peut dire.Sa capacité à prouver admet une limite. Sa quantité d'information est limitée.

Cordialement,

Korzibsk

[Médiat]

Bonjour,

Cela signifie que l'information du système S est finie.

J'aimerais bien voir la démonstration qui part du théorème d'incomplétude de Gödel pour les systèmes classique du premier ordre, récursivement axiomatisables et permettant de formaliser l'arithmétique, et qui aboutit à "l'information du système S est finie" (sans quon sache ce qu'est S d'ailleurs).

Un système fini d'énoncés ne peut pas dire plus...que ce qu'il peut dire.

J'en ai une autre : Un système infini d'énoncés ne peut pas dire plus...que ce qu'il peut dire.

Sa capacité à prouver admet une limite. Sa quantité d'information est limitée.

Deux petites questions :
Que veut dire "limite" dans cette phrase ?
Que veut dire "Quantité d'information" dans cette phrase ?

[A voir en vidéo sur Futura]