Pourquoi invoquer toujours Gödel pour faire peur aux enfants ?

[Médiat]

C'est plus compliqué que cela, d'ailleurs on peut très bien envisager un ensemble d'axiomes récursif et de cardinal non dénombrable (et même très très grand).

Ooops, j'ai écrit un peu vite, un ensemble récursif étant un ensemble d'entiers, la phrase ci-dessus est manifestement fausse, je voulais en fait parler de théories non dénombrables et cependant "manipulables", définissables et compréhensibles, et l'exemple qui suit est correct de ce point de vue. De plus si quelqu'un exhibe un énoncé du langage considéré, il est très facile de savoir s'il s'agit d'un axiome ou non.


Par contre cela ne répond pas complètement à la question de Ising :

Mais je comprends la différence entre récursivement axiomatisable et non-récursivement axiomatisable comme analogue entre un ensemble dénombrable et non-dénombrable

Je crois que je commence à comprendre cette analogie, en effet la différence entre dénombrable et non-dénombrable est que l'on peut dire qu'il existe une bijection entre IN et un ensemble dénombrable, alors qu'il n'en existe pas entre IN et un ensemble non dénombrable.

La différence entre un ensemble dénombrable récursif et un ensemble dénombrable non récursif, c'est que dans le premier cas on peut calculer cette bijection, pas dans le deuxième, alors qu'elle existe.

[invité576543]

je voulais en fait parler de théories non dénombrables et cependant "manipulables", définissables et compréhensibles, et l'exemple qui suit est correct de ce point de vue. De plus si quelqu'un exhibe un énoncé du langage considéré, il est très facile de savoir s'il s'agit d'un axiome ou non.

Je n'arrive pas à comprendre par quelle méthode pratique je pourrais exhiber un énoncé du langage considéré en toute liberté.

Je vois bien le cas où on me décrit au préalable un sous-langage dénombrable, que j'utilise alors pour former l'énoncé. Mais cela limite fortement ma liberté sur les énoncés que je pourrais exhiber, il me semble.

Et je ne vois pas comment augmenter cette liberté.

Alors qu'avec un langage dénombrable, j'ai l'impression que je pourrais exhiber tout énoncé grammaticalement acceptable.

Si ce que j'écris au-dessus à un sens, j'aurais vu là une différence importante quand aux possibilités pour les humains de manipuler la théorie.

Cordialement,