Bonjour,
Je me suis proposé de résoudre le problème n°4 donné par Christophe Bertault cette année à ses élèves de la classe prépa MPSI. Je suis arrivé à résoudre toutes les questions de ce problème sauf la dernière question, la conclusion : e est un irrationnel.
Pour cela, j'ai élaboré naturellement un raisonnement que je voudrais vous soumettre afin de vous demander s'il est logique et correct, et surtout comment cela s'appelle en Logique :
Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde, ou plutôt d'une chaîne de n (un entier) raisonnements qui ont des invariants, les propositions que j'utilise, et qui conduisent chaque fois à une contradiction. Je le résume :
Dans les questions précédentes on montre que e (constante d'Euler) s'écrit comme une somme finie de n rationnels et je suppose que e est un rationnel afin de prouver qu'il est un irrationnel en trouvant une contradiction.
Soient p0 et q0 deux entiers naturels non nuls tels que q0 est inférieur ou égal à n.
Comme e est un rationnel par hypothèse, on peut l'écrire comme le quotient p0/q0. Or cela signifie que p0 = e x q0. En analysant ce produit, qui est une somme de n-1 rationnels et le quotient q0/n!, on peut voir que :
- si p0 est un entier, alors il a une part décimale. Donc ce n'est pas en entier. Il y a contradiction. Cela prouve mon résultat : e est un irrationnel.
Mais :
- si p0 n'est pas un entier, alors il n'y pas de contradiction, mais je poursuis mon raisonnement en disant que c'est un rationnel, donc s'écrit p1/q1 et je procède à la même analyse.
Ainsi, J'ai mon raisonnement qui consiste en n sous-raisonnements, et je tombe, j'imagine, sur une dernière proposition qui montre que le nombre pn n'est pas un entier donc que e est un irrationnel...
Bref ce n'est pas très clair dans mon esprit, et j'aimerais bien avoir une explications sur ce genre de procédé de réflexion.
Merci d'avance pour tout aide !
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