Raisonnement par l'absurde

[Seirios]

Bonjour à tous,

J'ai entendu dire que certains mathématiciens ne considéraient pas le raisonnement par l'absurde comme rigoureux. Quelles raisons avancent-ils pour cela ?

Phys2.
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[Médiat]

Bonjour

J'ai entendu dire que certains mathématiciens ne considéraient pas le raisonnement par l'absurde comme rigoureux. Quelles raisons avancent-ils pour cela ?

En fait la logique intuitionniste (Brouwer, Heyting, etc.) refuse le tiers exclu (ce qui a pour conséquence de refuser le raisonnemment pas l'absurde), on peut y adhérer pour des raisons philosophiques, ou simplement voir cela comme une autre façon de faire des mathématiques, Gödel, par exemple a travaillé sur la logique intuitionniste en plus de ses travaux sur la logique classique (il a mis au point une "traduction" de la logique classique vers la logique intuitionniste (dans l'autre sens, c'est trivial)).

Une bonne façon de comprendre la raison de ce choix c'est d'interpréter (j'espère que je ne choque les vrais intuitionnistes de passage, mais ce n'est pas ma spécialité), le "P est vraie" de la logique classique, comme "j'ai une démonstration de P", et on comprend bien que "je n'ai pas de démonstration de "je n'ai pas de démonstration de P"", ne veut pas dire que "j'ai une démostration de P".

Logique classique :
Logique intuitionniste :

[leg]

bonjour
est ce pour autant, qu'un raisonnement par l'absurde, a besoin d'être "rigoureux" des l'instant ou il est simple...? que la démonstration en est "simple".

[God's Breath]

En mathématiques, la validité d'un raisonnement ne se juge pas d'après sa « simplicité », critère subjectif, mais d'après sa rigueur, critère objectif.
Les démonstrations « simples », mais erronées, courent les rues.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

est ce pour autant, qu'un raisonnement par l'absurde, a besoin d'être "rigoureux" des l'instant ou il est simple...? que la démonstration en est "simple".

Oui, bien sur qu'un raisonnement par l'absurde doit être rigoureux, ni plus ni moins que n'importe que raisonnement, refuser le tiers exclu (et donc le RPA) n'est pas un problème de rigueur mathématique.

[leg]

En mathématiques, la validité d'un raisonnement ne se juge pas d'après sa « simplicité », .

très juste,
et de plus, je viens de regarder exactement la définition d'un raisonnement par l'absurde..et cela, effectivement ne correspond pas à ce que j'ai supposé..merci et bonne journée.

[Seirios]

En fait la logique intuitionniste (Brouwer, Heyting, etc.) refuse le tiers exclu (ce qui a pour conséquence de refuser le raisonnemment pas l'absurde), on peut y adhérer pour des raisons philosophiques, ou simplement voir cela comme une autre façon de faire des mathématiques, Gödel, par exemple a travaillé sur la logique intuitionniste en plus de ses travaux sur la logique classique (il a mis au point une "traduction" de la logique classique vers la logique intuitionniste (dans l'autre sens, c'est trivial)).

Une bonne façon de comprendre la raison de ce choix c'est d'interpréter (j'espère que je ne choque les vrais intuitionnistes de passage, mais ce n'est pas ma spécialité), le "P est vraie" de la logique classique, comme "j'ai une démonstration de P", et on comprend bien que "je n'ai pas de démonstration de "je n'ai pas de démonstration de P"", ne veut pas dire que "j'ai une démostration de P".

Logique classique :
Logique intuitionniste :

Je ne vois pas très ce qu'apporte cet autre point de vue ; qu'est-ce que cela change dans les mathématiques ou dans le concept même ?

[invite7863222222222]

Je ne vois pas très ce qu'apporte cet autre point de vue ; qu'est-ce que cela change dans les mathématiques ou dans le concept même ?

Personnellement, je le comprends ainsi :

Supposons qu'on ait une formule A(x) qu'on essaie de démontrer (donc par rapport à une valeur x), alors pour moi, un intuitionniste s'attend à ce que si démontre non(non(A(x))), on sache donc pour quels y, on a A(y) ou pour lesquels on a non(A(y)). Si bien qu'en principe, on ne doit pas avoir besoin de la règle non(non(A)) -> A, si on réussit à démontrer non(non(A)).

[invite7863222222222]

[le temps d'édition étant écoulé : ] pour moi les deux (logiques classique ou intuitionniste) reviennent à peu près au même sauf que je trouve l'intuitionnisme plus rigoureux, mais ce n'est que mon petit avis personnel.

[Médiat]

pour moi les deux (logiques classique ou intuitionniste) reviennent à peu près au même

Oui, puisque l'on a une traduction de l'une vers l'autre et vice versa (à condition de garder le "à peu près").

sauf que je trouve l'intuitionnisme plus rigoureux, mais ce n'est que mon petit avis personnel.

Cela n'a rien à voir avec la rigueur, c'est une question d'axiomes de la logique utilisée qui ne sont pas identiques.

Pour donner un exemple hyper usuel :
Pour démontrer qu'il existe x, et y deux irrationnels tels que x^y est rationnel, en logique classique, il me suffit de dire :

Soit est rationnel, et donc répondent à la question ;
Soit est irrationnel, et alors, comme répondent à la question.

Pour moi, il n'y a aucun manque de rigueur dans cette démonstration, mais elle ne satisfait pas aux axiomes de la logique intuituionniste, car j'ai utilisé le tiers exclu, et un intuitionniste ne se satisfait pas de savoir que l'un des deux est vrai, il lui faut savoir lequel des deux est vrai.

[ericcc]

Et d'ailleurs comment fait on pour montrer que rac(2) est irrationnel en logique intuitionniste ?

[God's Breath]

Le problème a déjà été abordé.

On part de , on construit , puis ; on sait donc ce que veut dire .

On veut prouver (définition d'être irrationnel...), c'est-à-dire, par définition intuitionniste de la négation, , où désigne la contradiction.

Il n'y a pas de raisonnement par l'absurde.

[pelkin]

Exact.

Mais parfois, juste des raisonnements absurdes.

[Médiat]

Je ne vois pas très ce qu'apporte cet autre point de vue ; qu'est-ce que cela change dans les mathématiques ou dans le concept même ?

Je viens de me rendre compte que je n'ai pas répondu à cette question, et je ne vais pas y répondre, ici, mais je peux expliquer pourquoi je n'y réponds pas :

J'imagine (mais je laisse les mathématiciens concernés infirmer ou confirmer) que pour un platonicien, être ou ne pas être intuitionniste a du sens, cela permet de baliser les chemins autorisés et les chemins interdits vers la réalité mathématique.

Pour un formaliste (comme moi), être ou ne pas être intuitionniste n'a pas de sens (mais on peut faire le choix de l'une ou l'autre logique pour diverses raisons, ou ne pas faire de choix), démontrer un résultat en utilisant la logique intuitionniste ou la logique classique reste un résultat démontré (dans un certain cadre logique) ; bien sur, le résultat démontré en logique intuitionniste est ipso facto démontré en logique classique, donc ce résultat est plus "large", mais peut-être à un prix beaucoup plus élevé (cf. mon exemple avec x^y).

[leg]

bonjour
mais y'a-t'il des démonstrations "impossibles" en logique intuitionniste, et qui ne peuvent être démontrée que par l'absurde?
et, en démontrant cette question, cela éviterait de se formaliser avec l'une ou l'autre non ?

[Médiat]

bonjour,

mais y'a-t'il des démonstrations "impossibles" en logique intuitionniste, et qui ne peuvent être démontrée que par l'absurde?
et, en démontrant cette question, cela éviterait de se formaliser avec l'une ou l'autre non ?

Tout théorème, et toute démonstration de logique classique se retrouve en logique intuitionniste, c'est justement ce que la "traduction" de Gödel démontre, mais attention, le théorème intuitionniste obtenu peut ne pas être identique au théorème classique (présence de formules du genre à la place de ).

[invite7863222222222]

(définition d'être irrationnel...)

Ne peut-on pas définir un nombre irrationnel autrement qu'en disant qu'il n'est pas rationnel ?

L'existence des nombres irrationnels peut elle être un axiome ?

[God's Breath]

J'ai toujours vu construire les rationnels à partir des entiers, puis les réels à partir des rationnels, et on appelle irrationnels les nombres qui ont servi à compléter les rationnels : « être irrationnel » est par définition « ne pas être rationnel ».

On pourrait bien évidemment envisager une définition ex nihilo des irrationnels, sans référence aux rationnels auxquels on les réunirait pour obtenir les nombres réels. On démontrerait ensuite que ces nombres réels ont toutes les propriétés que l'on attend décemment d'eux ; je n'ai jamais vu une telle construction.

Si l'on ne parvient pas à prouver l'existence des nombres irrationnels, on peut bien évidemment ajouter cette existence à la théorie ambiante en tant qu'axiome. Cela ne règlera pas le problème de la formulation de la propriété « être irrationnel ».

[Universus]

Salut,

Dans mon premier cours d'analyse, nous avons défini les nombres réels selon une approche axiomatique (due en premier à Hilbert paraît-il), soit que est (l'unique) corps totalement ordonné satisfait ce que nous avions appelé le principe de complétude, soit l'existence pour tout sous-ensemble de d'un supremum (éventuellement infini) élément de . Pour les besoins de notre cours, cette approche s'avérait suffisante. Néanmoins, comme mon professeur actuel nous le répète, rien n'indique a priori qu'un tel ensemble existe. Néanmoins, c'est le principe de complétude qui distingue les réels des rationnels, puisqu'il existe des ensembles de rationnels majorés n'ayant pas de supremum rationnel (l'ensemble des rationnels dont le carré est inférieur à 2 par exemple).

Bref, cela permet implicitement de poser l'existence des irrationnels sans démontrer leur existence.

[God's Breath]

Il n'en reste pas moins que cela définit les irrationnels en tant que « n'étant pas rationnels ».
Je n'ai jamais vu une définition qui définissent les irrationnels ex abrupto sans référence aux rationnels.

[Universus]

Oui, mais nous ne n'obtenons pas les irrationnels en tentant de remplir les ''trous'' entre rationnels comme on fait par des méthodes constructives, mais on pose bien implicitement leur existence par un axiome (c'est comme ça que j'ai compris la question de jreeman). Par ailleurs, par étymologie même, 'irrationnel' est 'non rationnel' alors je ne vois pas comment on pourrait répondre à la question autrement.

[invite7863222222222]

(c'est comme ça que j'ai compris la question de jreeman).

Je voulais simplement savoir si on ne pouvait pas définir les irrationnels autrement qu'en disant que ce sont des éléments d'un ensemble qui n'appartiennent pas à tel autre ensemble.

Ca me semble justifié comme question. Même si par définition les irrationnels sont les non rationnels, cela n'empêche pas qu'on puisse se demander si on peut les construire sans faire d'opposition aux rationnels parmi les réels.

C'est peu être platonicien comme position car cela suppose que la notion d'irrationnels dépassent la simple définition formelle et peut avoir un sens défini par une meilleure approche, ce qui n'est pas du tout garanti, effectivement.

[God's Breath]

mais on pose bien implicitement leur existence par un axiome

Non, on pose l'existence des nombres réels. On s'aperçoit que parmi les réels il y a les rationnels, et les autres sont naturellement appelés irrationnels.

Ce que je demande, c'est une définition axiomatique d'objets, que l'on appelerait (par une sorte de prescience) les irrationnels. Ensuite, en les réunissant aux rationnels, on obtiendrait des objets dont on prouverait qu'ils satisfont les axiomes de Hilbert pour les nombres réels. C'st la seule méthode qui permettrait de définir les irrationels sans référence aux réels, et le problème de l'irrationnalité de poserait un problème intuitionniste. Il faudrait alors prouver que ce nombre satisfait la définition directe des irrationnels ; prouver qu'il n'est pas rationnel serait insuffisant.

Pour être plus formaliste :
– méthode classique : on définit la relation , puis la relation , et on définit les irrationnels par la conjonction de et ;
– méthode envisageable, mais que je n'ai jamais vue : on définit la relation , puis on définit la relation , lue « x est irrationnel », et enfin on définit les réels par la disjonction de et de .

Petite précision : en logique intuitionniste (et avec la méthode classique), on définit « être rationnel » puis « être réel », puis « être irrationnel » comme étant « ne pas être rationnel » ; cela peut choquer certains, et c'est peut-être la source de leur difficultés à saisir pleinement le problème qui se pose, mais il peut se faire que certains réels ne soient ni rationnels, ni irrationnels. La logique intuitionniste, qui postule la non-contradiction, fait que l'intersection de l'ensemble des rationnels et de celui des irrationnels est vide, mais, comme le tiers exclu n'est pas admis, on ne peut pas prouver que la réunion des rationnels et des irrationnels est l'ensemble des réels. C'est bien pour cela que le raisonnement évoqué par Médiat – que je salue au passage, et qui pourra peut-être expliquer tout ceci plus clairement que moi – concernant une disjonction des cas sur , ne fonctionne pas en logique intuitionniste.

[thepasboss]

Une petite question, ne pourrait on pas faire une définition immonde des irrationnels comme étant des couples, à savoir (n,u) où n est un entier relatif et u une suite de {0,1,...,9} qui n'admette pas de "cycle" à partir d'un certain rang ? (en gros n symboliserait la "partie entière d'un irrationnel, et la suite son développement décimal, même si a priori il y aurait des conditions à rajouter sur la suite ou un quotientage par une relation d'équivalence bien choisie pour éviter qu'il y ai des éléments en trop) Et ensuite faire la réunion de ce bazar avec Q ? (mais je n'ose imaginer l'horreur de la construction)
Ou alors y'a t'il encore une subtile utilisation du tiers exclu que je ne distingue pas ?

[Médiat]

Bonjour God's Breath,

Salut à toi et ravi de te retrouver sur un tel sujet.

Si l'on ne parvient pas à prouver l'existence des nombres irrationnels

Non, on pose l'existence des nombres réels.
[...]

Pour être plus formaliste

Ne force pas ta nature .

Sinon, toute mauvaise blague à part, je suis comme toi,et n'est jamais vu une définition axiomatique des irrationnels, par contre, il me semble que l'on peut en donner une définition plus générale, ne faisant appel ni à ni à , en distinguant dans un corps quelconque les éléments qui sont et ceux qui ne sont pas dans son sous-corps premier (mais c'est toujours une définition du genre "qui ne sont pas")

Une petite remarque qui peut (pas sur) expliquer que les irrationnels ne se laissent pas maîtriser facilement : il n'existe pas de théorie du premier ordre dont (muni des opérations et relation d'ordre habituelles) soit le seul modèle de cardinal (contrairement à , qui est le seul corps algébriquement clos de caractéristique 0 de cardinal ).

[...]Médiat [...] qui pourra peut-être expliquer tout ceci plus clairement que moi

Merci de ta confiance (et de ton salut), malheureusement, la logique intuitionniste n'est pas ma spécialité ...

[invité576543]

il n'existe pas de théorie du premier ordre dont (muni des opérations et relation d'ordre habituelles) soit le seul modèle de cardinal (contrairement à , qui est le seul corps algébriquement clos de caractéristique 0 de cardinal ).

Qu'est ce qui empêche de définir axiomatiquement comme un sous-corps particulier (conditions à trouver) de ?

(Je ne doute pas qu'il y ait quelque chose, je me demande juste qu'est-ce que c'est?)

Cordialement,

[God's Breath]

Une petite question, ne pourrait on pas faire une définition immonde des irrationnels comme étant des couples, à savoir (n,u) où n est un entier relatif et u une suite de {0,1,...,9} qui n'admette pas de "cycle" à partir d'un certain rang ?

C'est effectivement un départ envisageable pour définir les irrationnels, mais je ne sais pas si c'est praticable, et j'avoue avoir la flemme de me pencher dessus.
Avec une telle définition, prouver que 2 est irrationnel, ce sera prouver l'existence d'un couple (n,u), où ... (cf. définition), dont le carré soit 2.
Cela veut dire que l'on aura défini une multiplication des irrationnels. Comme les opérations sur les nombres décimaux se font en partant « de la dernière décimale », je vois mal comment on définira une telle opération sur une suite illimitée de décimales. D'autre part, en logique intuitionniste, il sera difficile de prouver que la suite n'est pas périodique à partir d'un certain rang.

[Médiat]

Qu'est ce qui empêche de définir axiomatiquement comme un sous-corps particulier (conditions à trouver) de ?

Je ne sais pas, mais la démonstration de ce que j'ai affirmé dans mon message précédent se trouve : Théorème 9.

[invité576543]

Je ne sais pas, mais la démonstration de ce que j'ai affirmé dans mon message précédent se trouve : Théorème 9.

Oui, je vois bien. Je crois que mon blocage reste sur la notion de "propriété du premier ordre". Je n'ai pas "les mécanismes intuitifs" permettant de saisir "être archimédien n'est pas du premier ordre" (cela ne m'empêche pas de l'admettre parce qu'on me le dit!).

Cordialement,

[invité576543]

Une autre question (toujours un peu hors sujet...).

Est-ce que les problèmes cités entre rationnels et irrationnels s'appliquent aussi entre algébriques et non-algébriques?

Ne peut-on définir la notion de polynôme minimal de Q[X] d'un nombre réel quelconque, et définir les non-algébriques (transcendants) par la nullité de leur polynôme minimal? Est-ce que cela change quelque chose vis-à-vis de la logique intuitionniste, en comparaison avec le cas rationnel/irrationnel?

Cordialement,