Le rôle des carrés en sciences

[JEAN28]

Pourquoi des expressions « au carré » jouent-elles un si grand rôle en physique ? Je cite, dans le désordre :

• la méthode des moindres carrés et l’écart quadratique pour estimer les erreurs d’expérimentation

• la probabilité en mécanique quantique, donnée par le carré du module d’un nombre complexe

• et par-dessus tout, le fait qu’une distance entre deux points, qu’on soit dans un espace à deux, trois ou N dimensions, soit la racine carrée d’une expression donnée ? Je m’explique : sur une ligne (espace unidimensionnel), la distance entre deux points est donnée, c’est d. Sur un plan (2D), c’est la racine carrée de la somme des carrés des composantes sur deux axes orthonormés : d = racine carrée de (x² + y²)(calcul connu de l’hypoténuse d’un triangle rectangle). Mais dans un espace à 3 dimensions, au lieu d’être la racine cubique d’une grandeur de volume, c’est encore la racine carrée de la somme, cette fois de trois expressions, projections de cette distance sur chacun des trois axes : d = racine carrée de (x² + y² + z²). Et idem si on étend ce processus à N dimensions : ce n’est pas la racine Nième d’un volume N dimensionnel, mais la racine carrée de la somme des carrés de N longueurs…Pourquoi ?

Et il y en a plein d’autres. Cela paraît peut-être idiot, mais je ne crois pas que cela le soit plus que de se demander pourquoi les constantes universelles ont les valeurs qu’elles ont et aucune autre…
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[Pierre de Québec]

Dans un autre discussion, Bardamu a proposé un lien vers un texte de Étienne Klein (un fichier PDF). Klein y aborde l'intrigante efficacité des mathématiques à bien décrire le monde réel. C'est un bon début pour la réflexion en lien avec ta question.

Tu remarquera aussi que le carré n'est pas la seule puissance à ce retrouver fréquemment dans les "bonnes" théories. Les expressions polynomiales qui approximent biens des réalités sont là comme exemple.

[bardamu]

(...)
Et il y en a plein d’autres. Cela paraît peut-être idiot, mais je ne crois pas que cela le soit plus que de se demander pourquoi les constantes universelles ont les valeurs qu’elles ont et aucune autre…

Salut,
est-ce que ta question ne concernerait pas plutôt le forum "Mathématiques" ?

Sinon, sans trop y avoir réfléchi, est-ce que dans pas mal de cas ça n'exprimerait pas le fait qu'on utilise des coordonnées cartésiennes ?
Si on fait un système d'axes perpendiculaires portant chacun les valeurs, la distance entre 2 points se fera à partir du théorème de Pythagore. Par contre, si on utilise des coordonnées polaires, un angle et une distance, on risque de voir disparaître les carrés.

Je crois que c'est pareil pour les amplitudes de probabilité en quantique qui s'établissent dans un espace de Hilbert, c'est-à-dire un espace vectoriel avec des axes orthogonaux pour chaque variable.

Mais bon, je crois qu'il vaut mieux demander aux mathématiciens.

[JEAN28]

Bonsoir,
Il est vrai que la question, en tout cas la partie qui se réfère à la distance entre deux points dans un espace à N dimensions, est plutôt un sujet de forum mathématique. Cependant, la physique avancée ne peut fonctionner qu'en utilisant des mathématiques tout aussi avancées, si bien qu'on a parfois du mal à mettre une frontière nette entre ce qui est mathématique et ce qui est physique.
La notion de "carré" est à la base un concept mathématique appliqué à des nombres. Par contre, si ces nombres sont là pour représenter une entité physique, c'est bien le phénomène physique qui "pilote" la représentation mathématique qu'on peut en faire. Et je constate alors que beaucoup de phénomènes physiques, du plus simple (comment mesurer une distance dans un espace euclidien à 3 dimensions) jusqu'au plus compliqué (par exemple, l'amplitude de probabilité en physique des particules), sont représentés correctement par des expressions au carré.
Je sais bien qu'il est sans doute assez vain de chercher une réponse argumentée à ce type de question qui n'en a sans doute pas, puisqu'elle s'apparente plus à une question philosophique qu'à une question physique : c'est comme ça parce que c'est comme ça, la nature est faite ainsi et nous ne faisons que découvrir comment elle est faite, et non pourquoi, sauf à repousser indéfiniment les pourquoi jusqu'à une limite métaphysique hors du champ de la science.
On pourrait allonger la liste des phénomènes "au carré" : la gravitation, l'attraction entre charges électriques, pour ne citer que cela, sont toutes deux des lois en 1/R². Mais plus généralement, on peut se demander pourquoi les lois de la physique ont la forme qu'elles ont, et non une autre. On rejoint peut-être là un questionnement voisin de celui qui aboutit au principe anthropique.
Je vais faire de ce pas un tour sur le lien signalé de Etienne Klein, et je reviendrai après s'il y a lieu.

[A voir en vidéo sur Futura]