Qu'est-ce qu'un nombre ?

[invite0384691e]

Bonjour,
Si on ne me le demande pas, je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me demande ce qu'est un nombre euh ... je ne le sais plus !

Bon, les nombres entiers sont directement conçus à partir de l'expérience sensible : 1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux ... ... Mais pour les nombres fractionnaires ça se complique. Si j'ai une foule de cailloux, je peux diviser cette foule de cailloux jusqu'à obtenir un caillou. Mais je ne peux pas diviser un caillou sans le détruire. Qu'est-ce que c'est un demi caillou ? Bon si j'arrive à la molécule alors je ne peux pas diviser la molécule sans changer d'espèce chimique !

Et alors là qu'est-ce que c'est un ensemble de nombres : E = {1, 2, 3, 4} qu'est-ce que ça veut dire ?

Si y'en a qui savent, ça sera pas mal ...Merci.
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[inviteb276d5b4]

Bonjour,
Si on ne me le demande pas, je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me demande ce qu'est un nombre euh ... je ne le sais plus !

bonjour

Le site de gerard Villemin: ici

[Aigoual]

Le site de gerard Villemin: ici

Pas mal, mais je ne crois pas que ce soit la réponse attendu par Titanic, qui sait de toute évidence à quoi servent les nombres.

Mais que sont-ils ?

Pour moi, je dirais qu’un nombre, c’est un identifiant dans un référentiel donné.
Un identifiant, c’est une désignation strictement unique, d’un élément précis, contenu dans ce référentiel.
Un référentiel, ce n’est ni plus ni moins qu’un ensemble structuré d’éléments de même nature.

Donc un nombre, c’est la désignation unique d’un élément d’un ensemble.

Bon. Ce n’est peut-être pas non plus la réponse attendue, mais il me semble que ça fonctionne…

Amicalement,

Aigoual.

[invité576543]

Bonjour,

Kronecker : "Dieu a inventé les nombres entiers, le reste est l'oeuvre des hommes"

La notion de nombre pose effectivement des tas de problèmes. Sur une base d'observation et de logique, les seuls nombres intuitifs sont 2, 3, 4, ... et les nombres entiers qui suivent.

Tout le reste, y compris et surtout 1 et 0, pose des problèmes...

Une fois les nombres entiers postulés (dont les postulats du 0 et du 1), le reste est une construction humaine qui se fait à partir des entiers pour tout ce qui est dénombrable, Z, Q, A. Les réels et le continu sont aussi des constructions, plus complexes (!), d'où R, C...

Ces constructions humaines servent pour les modèles de la physique, y compris les notions intuitives de mesures (du temps, des longueurs, des masses), ou sont des constructions mathématiques sans application pour l'écrasante majorité des humains...

Notons que les nombres pour les mathématiciens ne s'arrètent pas aux plus usuels. Pour bien faire, il faut inclure, entre autres:

- les nombres cardinaux, qui incluent une partie assimilable à N mais ne sont pas limités à cette partie;

- les nombres ordinaux, qui incluent une partie assimilable à N mais ne sont pas limités à cette partie;

- les nombres p-adiques;

- les quaternions et octonions;

...

Vu ainsi, le problème est vaste...

Je ne répond pas à la question, je me contente de présenter la perspective dans laquelle il me semble utile de regarder...

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0384691e]

Pas mal, mais je ne crois pas que ce soit la réponse attendu par Titanic, qui sait de toute évidence à quoi servent les nombres.

Mais que sont-ils ?

Oui, on sait en gros à quoi servent les nombres, car ils ont fait leurs preuves dans la pratique, mais que sont-ils ? Le site de villemin est intéressant en ceci qu'il rescense les différentes catégories de nombres.
Sur wikipédia on a ceci:
http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre

Les nombres seraient des entités abstraites pour modéliser, pour rendre intelligibles, des phénomènes physiques, et pouvoir agir sur eux en prédisant des occurences ultérieures...

Ces constructions humaines servent pour les modèles de la physique, y compris les notions intuitives de mesures (du temps, des longueurs, des masses), ou sont des constructions mathématiques sans application pour l'écrasante majorité des humains...

Je dirais que les nombres, quelque puisse être par ailleurs leur nature, ont fait leurs preuves en physique ...


1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux Faut voir

[matthias]

Bon, les nombres entiers sont directement conçus à partir de l'expérience sensible : 1 caillou, 2 cailloux, 3 cailloux ... ...

C'est vrai, mais il faut quand-même noter qu'en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle. Il faut donc faire abstraction de leurs différences (aucun caillou n'est semblable à un autre), tout en leur reconnaissant à chacun une existence propre (sinon on ne pourrait pas les compter).

Entiers naturels vous dites ? Pas si sûr ....

[Aigoual]

Les nombres seraient des entités abstraites pour modéliser, pour rendre intelligibles, des phénomènes physiques, et pouvoir agir sur eux en prédisant des occurrences ultérieures...

en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle.

Oui, c’est cela.
C’est pourquoi je disais que dénombrer, c’est identifier.

Identifier, c’est distinguer de manière unique.
C’est extraire l’objet de ce qui fait qu’il n’est pas distinct.
C’est l’abstraire (du latin abstrahere , détourner) du réel qui le contient

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Amicalement,

Aigoual.

[invite0384691e]

C'est vrai, mais il faut quand-même noter qu'en faisant ceci, on a déjà commencé a entrer dans l'abstraction. Pour compter les cailloux il faut passer de l'objet caillou au concept caillou, c'est à dire réunir des objets différents dans une catégorie unique purement conceptuelle. Il faut donc faire abstraction de leurs différences (aucun caillou n'est semblable à un autre), tout en leur reconnaissant à chacun une existence propre (sinon on ne pourrait pas les compter).

Entiers naturels vous dites ? Pas si sûr ....

Sauf que pour les nombres entiers et seulement pour eux, on n'est pas dans la pure abstraction comme pour les rationnels et les irrationnels. En base dix on a neuf symbôles conventionnels (1 2 3 4 5 6 7 8 9, ça s'écrit autrement en chinois ...) et avec ça on écrit tous les nombres entiers, par généralisation. Ces 9 symboles correspondent dans l'expérience sensible à 1 seul objet sur lequel on a collé l'étiquette : "1". A partir de là toute somme tombe sous le sens (de la sensibilité), à partir de là on comprend bien spontanément ce que veut dire 2=1+1;
3=2+1 =1+1+1 ...9 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1 ... donc il n'y a pas plusieurs objets sensibles qui sont pris en considération, mais un seul, après c'est la mémoire associative et consciente d'elle-même qui agit. N'importe quel nombre entier N peut s'écrire 1+1+1+1 + ... = N fois 1. Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible ...

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Il faudrait s'entendre au préalable sur ce qu'on appelle "le réel"...Les nombres sont bien réels dans l'esprit du mathématicien, mais pas dans les phénomènes physiques eux-mêmes ! L'ellipse d'une planète autour du soleil n'existe que dans l'esprit du mathématicien, après coup, quand tous les relevés des mesures ont été faits et ont été retranscrits sur une feuille de papier. Mais ce qui seul existe véritablement c'est la planète à l'endroit où elle se trouve au moment où on parle ...

[matthias]

Sauf que pour les nombres entiers et seulement pour eux, on n'est pas dans la pure abstraction comme pour les rationnels et les irrationnels.

Même si on effectue cette tâche naturellement, le simple fait de compter suppose déjà une capacité d'abstraction, puisque on identifie des objets différents comme étant de même nature.
Je ne parle même pas de nombres ici. On peut très bien compter sans utiliser de nombres, il suffit de prendre un bout de bois et de faire une encoche pour chaque objet identifié. On peut alors dire que l'ensemble des encoches est la représentation d'un nombre, mais on passe alors à un niveau supérieur d'abstraction, puisque cette fois on considère le nombre indépendament des objets comptés. Il n'est pas si évident que ça de passer de 5 vaches, 5 moutons, 5 cailloux au concept du nombre 5.
La représentation du nombre est une autre histoire.

A partir de là toute somme tombe sous le sens (de la sensibilité), à partir de là on comprend bien spontanément ce que veut dire 2=1+1;
3=2+1 =1+1+1 ...9 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1 ... donc il n'y a pas plusieurs objets sensibles qui sont pris en considération, mais un seul

Et ça pour toi ce n'est pas de l'abstraction pure ? Déjà on parle de nombre et qui plus est de nombre qui ne compte rien de particulier (tu ne dis pas à chaque fois un chou plus un chou égal deux choux, mais bien 1 + 1 = 2, que tu es ensuite censé pouvoir appliquer à n'importe quelle catégorie d'objets).
Tu dis aussi qu'on ne prend qu'un objet sensible en considération, mais je ne suis pas d'accord. Si j'ai un caillou (objet sensible), je ne peux en aucun cas conceptualiser quelque chose du genre: ce caillou + le même caillou ... Tu es donc bien passé au concept caillou, qui n'est plus un objet sensible.

Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible ...

Les nombres rationnels sont clairement des abstractions aussi, mais ils renvoient bien au domaine sensible. On sort de la problématique du comptage, pour passer à la problématique de la mesure. J'ai deux bouts de bois dont le premier est grand comme neuf bouts de bois identiques au deuxième mis bout à bout (moyennement clair, mais bon).

[juudku]

pour les fractions ça marche pas mal en remplaçant l'exemple du caillou par tout autre "élément" qu'on puisse séparer: une tarte, une feuille de papier ou les phases lunaires (on peut dire que des fois on ne voit que la moitié de la lune)
le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

[Aigoual]

Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible

Ho que si !
Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Il faudrait s'entendre au préalable sur ce qu'on appelle "le réel"

Fais une recherche sur FS, tu auras une pléthore de réponses.
Mais, je te l’accorde, avec également une pléthore de divergences.

Pour moi, le réel définit l’ensemble de "ce qui est", y compris ce qui le décrit.
En revanche, l’inverse n’est pas vrai : la description du réel n’est pas le réel.
En clair, le réel peut contenir ses propres représentations, mais aucune représentation ne peut contenir l’intégralité du réel.

Les nombres sont bien réels dans l'esprit du mathématicien, mais pas dans les phénomènes physiques eux-mêmes !

Exact, les nombres décrivent le réel et font donc partie du réel.
Les phénomènes physiques sont ce qu’ils sont, qu’ils soient décrits ou non, et font également partie du réel.

La représentation et l’objet de la représentation sont deux choses indépendantes.
La représentation peut s’étendre au-delà de l’existence physique de l’objet.
(c’est la cas des déduction mathématiques décrivant des domaines purement conceptuels)
Et l’objet n’a pas besoin de sa représentation pour être.
Mais tous deux (objet et représentation) font bien partie du réel.

Ce qui induit d’ailleurs que la représentation peut devenir elle-même objet de représentation (méta-représentation)
Avec possibilité de représentation de la représentation de la représentation…
… à l’infini.

Je ne suis pas un matheux, donc je n’irai pas plus loin en ce domaine, mais je sais que Gödel, pour produire son fameux théorème, a usé des métamathématiques.

Amicalement,

Aigoual.

(ps. Abstraire, c’est "détourner", parce que c’est "ab tracter", "tirer de là", "retirer", donc quelque part, déduire…)

[Aigoual]

le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Ca c’est vrai.
C’est le point unique d’origine de toutes les abstractions.

Le choix d’application du 1 est purement arbitraire.
1 être humain, ce sont des milliards de cellules.
1 cellule, ce sont des milliards de particules.

Le choix du 1, définit l’unité élémentaire de l’ensemble que je considère.
Ce choix, bien qu’arbitraire, n’est pas anodin.
Il induit toute la structure de la fraction du réel que je veux observer, excluant toutes les autres structures concurrentes.

Ce qui veut dire que, dans l’absolu de la totalité du réel, la notion du 1, bien que faisant toujours partie du réel, n’a plus aucun sens.

Amicalement,

Aigoual.

(ps. : désolé pour le doublon de l'exemple de la tarte...)

[matthias]

le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Ca c’est vrai.
C’est le point unique d’origine de toutes les abstractions.

Je n'en suis pas si sûr. L'unité ne trouve sa signification que confrontée au pluriel. C'est une fois que l'on franchi l'étape d'abstraction qui consiste à identifier deux objets différents comme appartenant à une même catégorie, que l'on peut concevoir l'unité.
Dire qu'il n'y a qu'un seul caillou, c'est avoir imaginé qu'il pouvait y en avoir plusieurs.

[invite0384691e]

pour les fractions ça marche pas mal en remplaçant l'exemple du caillou par tout autre "élément" qu'on puisse séparer: une tarte, une feuille de papier ou les phases lunaires (on peut dire que des fois on ne voit que la moitié de la lune)
le plus dur c'est bien de commencer à définir le nombre 1

Oui, dès qu'on plaque le "1" sur un objet quelqu'il soit, on conceptualise et donc on "abstrait", mais ici ce n'est pas à proprement parler "ab-straire" mais "con-struire" au sens de "façonner avec". Qu'on ait un seul objet sensible ou plusieurs, c'est toujours de la conceptualisation au sens de transcription en objets de pensée de phénomènes sensibles, et les nombres ne sentent pas le chou (cf matthias)...On établit des concordances entre la réalité sensible et celle intellectuelle, et ces concordances sont conventionnelles. Par analogie l'ellipse des planètes autour du soleil, qui est une construction a priori et a posteriori de mathématiciens, non seulement n'existe pas actuellement mais n'a jamais existé. Mais ce qui est troublant c'est que ces concordances permettent, en fin de course, de réaliser des prouesses technologiques ...

Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Euh ... 3/11; 3/5;21/17; 111/19; pi; racine carrée de pi; une demie molécule; un demi electron; un huitième de quartz ... ... ça ne me dit rien du tout !

[matthias]

3/11; 3/5;21/17; 111/19; pi; racine carrée de pi; une demie molécule; un demi electron; un huitième de quartz ... ... ça ne me dit rien du tout !

pi et racine carrée de pi ne sont pas rationnels, ce qui n'empêche d'ailleurs pas pi de se "rapporter" au sensible.
Et si j'ai 111 tartes (puisque vous avez l'air de préferer les tartes) et que je veux donner une part égale à 19 personnes, ça ne me paraît pas totalement inconcevable.
Si tu veux juste dire que ces nombres sont abstraits on est d'accord depuis le début, mais TOUS les nombres sont abstraits, et ils le sont encore plus si on veut qu'ils ne sentent plus le chou.

[invite0384691e]

Si les nombres étaient "abstraits" des objets auxquels on les fait se rapporter, alors ils seraient inhérents à la nature de ces objets et ainsi on aurait des nombres qui sentent le chou, d'autres la lavande et d'autres encore la menthe ! Le numéro qu'on peint sur une boule du loto est complètement arbitraire. C'est une con-struction, pas une ab-straction. Les nombres rationnels et irrationnels se rapportent à la réalité sensible, mais indirectement par con-struction. Seuls les nombres entiers se rapportent directement à la réalité sensible.
note : plus haut, j'ai oublié de mentionner le zéro.

C’est extraire l’objet de ce qui fait qu’il n’est pas distinct.
C’est l’abstraire (du latin abstrahere , détourner) du réel qui le contient

Le nombre est donc bien une abstraction, distincte du réel, servant à le représenter.

Je dirais plutôt ab-straire = tirer de (d'ou tracteur, tracter ...) et non pas détourner de. Mais peut-être que je confonds avec extraire

[Aigoual]

L'unité ne trouve sa signification que confrontée au pluriel.

Oui, bien sûr.
Mais impossible de concevoir le pluriel si tu n’as pas l’unité.
C’est la démarche cartésienne par excellence :
Je ne peux résoudre la complexité que si je la réduis à ses unités.
Ensuite (mais seulement ensuite) je reconstruis la complexité.

Cependant, tu as raison lorsque tu dis qu’il faut au préalable être en présence de la multitude.
Sans elle, nulle besoin de développer la démarche.

Oui, dès qu'on plaque le "1" sur un objet quelqu'il soit, on conceptualise et donc on "abstrait", mais ici ce n'est pas à proprement parler "ab-straire" mais "con-struire" au sens de "façonner avec".

Hé bien oui, c’est un peu la même remarque :
Je commence par abstraire, pour ensuite construire.

Au sens propre, c’est du boulot de maçon :
Je commence par acquérir les briques, pour ensuite construire le mur.

Qu'on ait un seul objet sensible ou plusieurs, c'est toujours de la conceptualisation au sens de transcription en objets de pensée de phénomènes sensibles.

Oui.
Il ne faut pas tenter de cloisonner le concret et l’abstrait.
En fait, tout commence par une abstraction, y compris le sensible immédiat.
Voir une rose et la définir comme telle, c’est un processus hautement abstrait.
Simplement, ainsi que tu le fais d’ailleurs justement constater, il y a ensuite transformation (tu dis "transcription") de l’abstraction en objet sensible.

Ce nouvel objet est alors prêt pour une nouvelle abstraction, qui elle aussi sera susceptible d’être rapportée à un nouvel objet, et ainsi de suite.

Ainsi que tu le faisais remarquer plus haut, le mathématicien ne fait pas autrement.
A force de manier les inconnues, les fonctions et les équations, elles en deviennent aussi concrètes que la rose pour nous (ou la brique pour le maçon)
Il peut alors passer au niveau d’abstraction supérieur, en reproduction théoriquement sans limite, du même mécanisme de transition par la matérialisation sensible de l’objet.

D’où (si je l’ai bien compris) la remarque de Mathias :

TOUS les nombres sont abstraits, et ils le sont encore plus si on veut qu'ils ne sentent plus le chou.

Pour être à l’aise avec les nombres, il faut "qu’ils sentent le chou", ou autre chose, qu’ils aient une couleur, un poids, une forme, bref, une matière tangible, sensible, "incarnée".

C’est un mécanisme continu, partagé à l’identique par tous les hommes, y compris les non-matheux comme moi. Et c’est heureux. Cela me gênerais de penser que le matheux soit une sorte d’extra-terrestre, ou pire, le résultat d’un accident génétique incompréhensible…

Amicalement,

Aigoual.

[invite0384691e]

Mais les mathématiciens sont tout à leur aise avec des nombres qui ne sentent pas le chou.

[matthias]

Si les nombres étaient "abstraits" des objets auxquels on les fait se rapporter, alors ils seraient inhérents à la nature de ces objets et ainsi on aurait des nombres qui sentent le chou, d'autres la lavande et d'autres encore la menthe !

Justement, c'est pour cela que le nombre ne se rapportant plus à un objet (ne sentant plus le chou) nécessite un niveau d'abstraction supplémentaire.

C'est ce que j'essayais d'expliquer ici:

Il n'est pas si évident que ça de passer de 5 vaches, 5 moutons, 5 cailloux au concept du nombre 5.

Pour être à l’aise avec les nombres, il faut "qu’ils sentent le chou", ou autre chose, qu’ils aient une couleur, un poids, une forme, bref, une matière tangible, sensible, "incarnée".

Une fois le niveau d'abstraction supplémentaire effectué, alors non, on peut très bien être à l'aise avec des nombres désincarnés. La "construction" (et là je rejoins titanic, mais il a fallu beaucoup de travail et d'abstraction pour en arriver là) des entiers naturels et des autres nombres à partir des axiomes de Peano est assez édifiante à ce sujet. Il ne s'agit même plus de savoir ce que peut bien être un nombre (on ne se risque surtout pas à les définir), il s'agit seulement de savoir quels sont leurs propriétés, quels rapports ils entretiennent les uns avec les autres, comment on peut les structurer.

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

[matthias]

Voilà deux discussions qui peuvent vous intéresser, avec des nombres qui pour le coup ne sentent plus le chou du tout, surtout quand C.B. s'en mêle:
http://forums.futura-sciences.com/th...322-Peano.html
http://forums.futura-sciences.com/th...-chouette.html

[Aigoual]

Il ne s'agit même plus de savoir ce que peut bien être un nombre (on ne se risque surtout pas à les définir), il s'agit seulement de savoir quels sont leurs propriétés, quels rapports ils entretiennent les uns avec les autres, comment on peut les structurer…

… c’est à dire les manipuler comme des objets concrets, aussi facilement et avec autant d’aisance immédiate et spontanée.
Oui, c’est bien cela que j’ais voulu dire.

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

Oui, absolument.
C’est le cap le plus difficile, mais ça vaut largement la peine…

Justement, c'est pour cela que le nombre ne se rapportant plus à un objet (ne sentant plus le chou) nécessite un niveau d'abstraction supplémentaire.

Ici, j’ai donc fait une inversion de compréhension de tes propos, qui a du troubler Titanic.
Mais ce n’est pas grave, il me semble bien qu’on se rejoint quand même.

Amicalement,

Aigoual.

(PS. : je prends le temps de regarder tes liens, mais plus tard...
...vais me coucher, demain je travaille.)

[invite0384691e]

Mais la démarche initiale est bien une abstraction. La construction ne peut venir qu'après.

tout dépend comment tu définis les entiers naturels.
Dans l'axiomatique de Peano, on dispose d'une opération de succession (le +1) et donc on appelle 2 le successeur de 1, qui est lui-même le successeur de 0 (et il y a un axiome qui dit que 0 n'est le successeur d'aucun nombre)..

Salut !
L'axiomatique de Peano ne se préoccupe en effet pas du tout de la nature des nombres !

Ab-straire, ex-traire dérivent de la racine latine trahere traxi tractum = tirer. Ab-straire = tirer de; ex-traire = tirer hors de.
Extraire des pépins d'une orange = retirer les pépins, les séparer réellement de l'orange. Après l'opération d'extraction, on a d'un côté les pépins, de l'autre le reste de l'orange sans les pépins. Abstraire c'est pareil mais seulement par la pensée.

Pour que l'abstraction ait un sens encore faut-il que les pépins existent au préalable dans l'orange ! Abstraire des pépins d'une banane ce n'est pas abstraire, c'est faire travailler son imagination grâce à la mémoire qui conserve les images (idem un cheval avec des ailes ...).

Donc abstraire un nombre d'un objet, ça ne veut rien dire du tout. Si on numérote dix boules du loto de 0 à 9, alors si les nombres étaient inhérents aux boules alors on aurait boule n°1 + boule n° 2 = boule n° 3 ce qui est absurde !

En revanche ce qui est proprement abstrait, en tout début , c'est l'individualité par rapport à la pluralité, c'est cela qui est nombré.

Les numéros qu'on peint sur les boules du loto permettent de repérer les boules les unes par rapport aux autres, mais cela seul qui est "abstrait" parce qu'existant réellement dans l'ensemble des boules, c'est l'individualité des boules dans l'ensemble des boules.

L'ensemble des mesures de la planète qui tourne autour du soleil est un ensemble d'individualités, ordonné, nombré quand on dessine la courbe sur une feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. On spécifie par là des individualités les unes par rapport aux autres, ce sont les RELATIONS qui sont transcrites par cet artifice de pensée.

Faut voir ...

[invite0384691e]

Euh... il y a deux côtés dans les nombres : un côté dénombrement (i.e relations), et un côté quantité. 1l d'eau + 1l d'eau ça fait deux volumes d'eau et ça pèse deux fois un litre d'eau !

Citation:
Posté par titanic
Mais pour les nombres fractionnaires, 1/2;3/5;7/11 ... cela ne renvoie à rien du tout dans l'expérience sensible



Ho que si !
Je sais très bien ce qu’est un quart de tarte aux pommes…
… surtout si mon voisin à gardé les trois quart restant pour lui !

Il me semble que seuls les nombres entiers servent à quantifier. Encore une fois on peut diviser une tarte en cinq, à vue de nez ou avec un instrument très perfectionné, mais dans les mains on aura toujours des nombres entiers de morçeaux de gâteau. Même si on broie le gâteau, on aura des millions de morçeaux de gâteau donc des nombres entiers de morceaux de gateau (sauf si on passe au dessous du niveau moléculaire mais alors ce ne sera plus du gâteau).

Pour quantifier, n'y a-t-il besoin en définitive que de nombres entiers ? Que veut dire 1 dixième de litre d'eau ? En fin de course, ne ramène-t-on pas tout à l'unité pour quantifier ? Les nombres irrationnels et rationnels servent-ils à quantifier ?
Bonne journée.

[matthias]

Il me semble que seuls les nombres entiers servent à quantifier.

Dit comme ça non, certainement pas. Ou alors les physiciens ont un sérieux problème. Mesurer une longueur, un volume, etc, c'est quantifier.

Pour quantifier, n'y a-t-il besoin en définitive que de nombres entiers ?

Seulement dans la mesure où on peut reconstruire les autres nombres à partir des entiers, mais pas de manière simple loin de là, à moins de se limiter aux rationnels (mais va quantifier le périmètre d'un cercle de rayon 1 unité de longueur avec des rationnels ....).

[invite0384691e]

C'est-à-dire que si on ramène tout corps à son unité indivisible qu'est sa molécule, il suffit de connaître la masse et le volume de ladite molécule pour en déduire la masse et le volume de l'objet, en nombres entiers de la masse ou du volume de cette unité indivisible.

Pour n'importe quelle quantité d'eau (pure) par exemple, on peut toujours (théoriquement) se ramener à la molécule d'eau H2O. Si on a des corps composés, il suffit d'additionner les valeurs respectives des différents composants...Mais il faut compter soigneusement, une à une, toutes les molécules en présence ...

Cela dit, on se représente bien ce qu'est 1/2 litre de lait ou d'eau, mais le "1/2" c'est en quelque sorte une "formule" comparable à n(n+1)/2 pour la somme des n premiers entiers. C'est un artifice de pensée con-struit par l'intelligence humaine pour simplifier les choses, et parvenir par ce biais rapidement à des résultats impossibles à obtenir "à la main".

Voir en chimie les règles de trois qu'on fait incessamment en utilisant le volume molaire ou/et le nombre d'Avogadro : on a là des calculs tout à fait exacts, grâce à des outils mathématiques performants. Mais ce ne sont que des outils, seuls sont véritables les nombres entiers (c'est pour cela qu'on les appelle "naturels" d'ailleurs ) ...

Bonne soirée.

[matthias]

J'abandonne.

[invité576543]

Bonjour,

ab-straire, c'est séparer (tirer à soi en arrachant)

Abstraire au sens philo, c'est séparer ce qui est pertinent et ce qui n'est pas pertinent. (Et garder ce qui est pertinent.)

Il me semble que les nombres entiers 2 et ensuite, correspondent à une construction et une abstraction simultanée. J'explique. Un nombre entier est essentiellement une classe, c'est à dire une propriété commune à plusieurs choses. Le processus mental demande à la fois:

- d'attribuer une propriété par abstraction: 5 choux, j'enlève la notion de chou, et il me reste 5;

- de construire une relation entre 5 choux, 5 moutons et 5 pierres, pour reconnaître la propriété obtenue par abstraction comme la même.

Il me semble qu'on ne peut pas faire l'un sans l'autre, ou l'un avant l'autre. Si on n'avait de dénombrables que des choux, on s'arrèterait à des nombres qui sentent le choux. Si on était incapable d'abstraire la notion de choux dans cinq choux, pas de notion de nombre.

Un parallèle peut être fait avec les symétries. La notion de symétrie miroir est aussi une abstraction (la forme) et une construction (différents objets présentent la même symétrie).

Les nombres gardent leurs deux aspects. Une propriété "être divisible par 2" est une propriété de 6 moutons, 6 chèvres ou 6 choux, mais comme on la corrèle avec le nombre, par abstraction elle devient une propriété du nombre. On peut ensuite construire des propriétés du nombre n en tant qu'abstraction, propriétés qui se vérifient alors comme propriétés de n objets, quel que soit le type d'objet.

L'apprentissage très tôt de l'arithmétique brouille, à mon avis, pas mal l'intuition "naturelle". C'est visible dans au moins deux cas, le 0-nombre, et la distinction cardinal/ordinal.

L'abstraction/construction ci-dessus est celle du cardinal. Elle a donné deux, trois, quatre, cinq, ... Il y a une autre abstraction/construction de nombres, celle des ordinaux, qui a donné prime/primaire/premier, second/seconde/secondaire, tiers/tierce, quart/quarte, quint/quinte, ... qui ont été remplacés ensuite dans le langage, par influence des cardinaux et mélange conceptuel qui n'existait pas avant, par deuxième, troisième, quatrième, cinquième, ... (Les anciens termes perdurent dans tiers-état (troisième état), tiers-monde et quart-monde, tiers exclu, Charles Quint, des prénoms comme Quentin (le cinquième), Sixte ou Octave.)

Le 0-nombre est une construction, un cardinal qui a) ne correspond à rien et b) correspond à rien. N'ayant pas de sens, n'étant pas attribuable à quoi que ce soit de concret, il n'apparaît que tardivement d'abord comme signe nécessaire dans l'écriture positionnelle (d'où son nom, zéro est "chiffre", via zefiro, en italien), il est appris maintenant très tôt comme nombre par l'apprentissage de l'arithmétique, en contradiction non perçue avec l'intuition. Sans éducation "arithmétique", donner un nombre à rien n'a pas de sens, le processus abstraction/construction décrit au début étant impossible.

De manière intéressante, le mélange entre 0 et ordinaux est une source de confusion bien montrée dans les langages informatiques, ou dans les ascenseurs! Le premier entier est 0 selon la vision moderne, alors que le premier entier était 1 selon la vision ancienne. Noter 0 le premier élément d'une suite, 1 le deuxième, 2 le troisième, est ce qui est le plus cohérent d'un point de vue "arithmétique construite", mais choque l'intuition (via le vocabulaire). Du coup certains langages informatiques démarrent les indices de tableau à 0, d'autres à 1. De même les ascenseurs en France démarre à 0 (ou plus couramment note RDC) le point le plus bas, et 1 le premier étage; d'autres pays note 1 le RDC, et 2 le premier étage...

J'ai omis le cardinal 1, dont le statut est intermédiaire, et qui a fasciné les philosophes médiévaux. Il est construit par nécessité une fois qu'on a les nombres 2, 3, 4, ... Son nom (un, unus) sert d'article, avec la nuance "quelconque", et d'opposition au pluriel (à ce qui a un nombre!). Comme construction, il ne peut pas procéder de la même manière que 2, 3 ou les autres nombres, parce que abstraire "chou" de un chou, il ne reste rien. Le concept de cardinal 1 découle des cardinaux supérieurs, pas d'une propriété commune de tout ce qui est seul, car chaque chose est seule: la propriété commune est triviale, sans intérêt. L'isolement se dénote par les mots "seul", "seul" opposé à plusieurs, ou "singulier", le singulier contre le pluriel. 1 contre tous les autres nombres...

Cordialement,

[invite0384691e]

Bonjour,

Il semble qu'un nombre qui dénombre et qui situe les objets les uns par rapport aux autres dans l'espace et dans le temps (boules du loto), ça se conçoit aisément. Mais un nombre qui quantifie , c'est plus difficile à comprendre . J'ai beau avoir des nombres entiers de volumes ou de masses indivisibles (i.e moléculaires), si les volumes et les masses indivisibles sont des fractions de l'unité de mesure choisie (en l'occurence le kg et le m^3), alors on aura des nombres rationnels ou irrationnels en fin de course ...Et ça se complique avec des corps composés (ce qui est le cas généralement)

Autre remarque :abstraction n'est pas déduction. L'ellipse de la planète qui tourne autour du soleil est une déduction, pas une abstraction. Elle n'existe que dans l'esprit du mathématicien et dans la courbe dessinée sur une feuille de papier ou sur l'écran d'un ordinateur. Mais elle n'existe pas actuellement, et elle n'a jamais existé dans le passé. Cette déduction débouche sur une "réalité" qui n'existe pas !

Comme disait Augustin (à propos du temps) : "si on ne me le demande pas je crois savoir ce qu'est un nombre. Si on me le demande, je ne le sais plus." ...

[invité576543]

Une citation, en entracte à cette belle discussion...


"Le physicien traite les problème du véhicule à une roue (la brouette), à deux roues (tilbury ou bicyclette), à trois, à quatre roues.
Le mathématicien traite le problème général du véhicule à n roues, n étant entier ou fractionnaire, positif ou négatif, réel ou imaginaire."

(Bouasse cité par Duffieux, Dissertations pour Monique)

[invite529f39dc]

Définition claire, concise, explicite :

Un nombre, c'est une quantité.
A ne pas confondre avec un chiffre : un chiffre est un symbole qui sert à écrire les nombres.


Ayoub.