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[Maths] [TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide



  1. #1
    kNz

    [Maths] [TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide


    ------

    Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

    Exercice

    1) On considère l'équation (E1) : 31x-27y=5 d'inconnue .

    a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
    b. Résoudre l'équation (E1).

    2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

    3) On considère l'équation (E2) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

    a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E2), alors : x² congru 2y² [5]
    b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
    c. Résoudre l'équation (E2).

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    kNz

    Re : [Maths][TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

    1.Résoudre dans l'équation : 2001x + 2002y = 1.

    2. Déterminer l'ensemble des couples (x,y) d'entiers naturels admettant 2001 pour somme et 2002 pour produit.

    3. On considère l'équation (E) d'inconnue, n entier naturel :

    (E) : n² - Sn + 2002 = 0, où S est un entier naturel.
    a. Peut-on déterminer S tel que 13 soit solution de (E) ? Si oui, résoudre l'équation.
    b. Déterminer toutes les valeurs possibles de S telles que (E) admette deux solutions entières.

    Est-il nécessaire de vous dire que c'est un sujet de 2001-2002 ?

    Good luck

  4. #3
    La-dodo

    Re : [Maths][TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

    Citation Envoyé par kNz Voir le message
    Bon ba je poste si tu passes par là, je commence avec un p'tit exo, j'ai un beau problème après si tu veux

    Exercice

    1) On considère l'équation (E1) : 31x-27y=5 d'inconnue .

    a. Donner, en utilisant l'algorithme d'Euclide une solution particulière.
    b. Résoudre l'équation (E1).

    2) Dans le plan muni d'un repère , on note la droite d'équation 31x-27y=5. Déterminer le nombre de points de dont les coordonnées sont des entiers naturels et dont l'abscisse est inférieure à 500.

    3) On considère l'équation (E2) : 31x²-27y²=5 d'inconnue .

    a. Montrer que, si (x,y) est solution de (E2), alors : x² congru 2y² [5]
    b. Montrer que si, x² congru 2y² [5], alors x congru 0 [5] et y congru 0 [5].
    c. Résoudre l'équation (E2).
    je me lance!

    1)31x-27y=5

    a)on calcule le PGCD de 31 et 27 avec l'algorithme d'euclide
    31=27*1+4
    27=4*6+3
    4=3*1+1
    3=1*3+0
    son PGCD est 1 ils sont donc premiers en eux.
    maintenant je remonte!
    1=4-3*1
    1=(31-27*1)-(27-4*6)
    1=(31-27*1)-(27-(31-27*1)*6)
    1=31-27*1-27+31*6-27*6=31*7+27*(-8) on multiplie le tout par 5!
    5=31(7*5)+27(-8*5)

    S0={(-8*5;7*5)}

    b)résolution:
    on a 27(-8*5)+31(7*5)=5
    et 27x+31y=5
    on dit donc 27(40-x)+31(35-y)=0
    27(40-x)=31(y-35)
    on peut donc dire 40-x=31k x=-31k+40
    et y-35=27k' y=27K'+35


    et pour le reste je ne sais pas

  5. #4
    kNz

    Re : [Maths][TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

    Salut,

    Pour la 1, tu arrives à 31*7 + 27*(-8) = 1, c'est à dire : 31*7 - 27*8 = 1, jusque là ok.
    Or l'équation diophantienne est bien 31x-27y = 1, donc reprends tes solutions, fais aussi attention à l'ordre dans lequel tu les écris, et marque directement les valeurs numériques dans S0.

    Reprends le reste en changeant ça

    A+

  6. #5
    H.Poincaré

    Re : [Maths] [TS] Arithmétique : algorithme d'Euclide

    Merci kNz pour les exos qui m'ont servi ... même si on avait une myriade d'exercices (11 pour 2 heures) avec certaines subtilités et des exercices assez peu "classique" finalement (un seul Bezout, pas d'équation diophantienne !)

    Mais n'hésite pas à continuer à poster d'autre exos d'arithmétique (et des plus difficiles encore )

    Cordialement,
    H.Poincaré

  7. A voir en vidéo sur Futura

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