[Maths] [L1-Prépa] Fonction croissante majorée

[Gwyddon]

Bonjour,

Voici un petit exercice sympathique pour vos neurones surchauffés

Soit f une fonction de dans dérivable sur , croissante et majorée.

A-t'on ?
-----

[Romain-des-Bois]

 Cliquez pour afficher

On aurait envie de dire que oui, mais si on pose la question, c'est que ça doit être non Il me semble avoir un contre-exemple... Un dessin irait ?

Romain

[martini_bird]

Salut,

@ Romain : tu peux poster ton dessin.
Pour renchérir sur la question de Gwyddon : sous les mêmes hypothèses, peut-on conclure que ? Est-ce qu'on a toujours ?

Cordialement.

[Romain-des-Bois]

Voilà :

EDIT : le dessin est assez clair ?

Romain

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Salut,

Le dessin prouve que tu as tout à fait compris le souci. Mais pour être vraiment rigoureux, je te demande de rédiger une démonstration complète

(car en effet le dessin n'est pas assez explicite je pense pour pouvoir constituer à lui tout seul une démonstration mathématique).

De toute façon, tu n'es pas loin d'une démonstration complète

[FonKy-]

Bonjour,
J'y ai pas encore pleinement reflechi. Mais la reponse est forcement oui ! c certain.
Par contre Martini je comprend pas bien tes questions, une limite de la borne inf/sup de f' quand x->+inf ? :X

[Gwyddon]

Bonjour,
J'y ai pas encore pleinement reflechi. Mais la reponse est forcement oui ! c certain.

Sûr ?

[Romain-des-Bois]

Bah, il me suffit de définir correctement mon contre-exemple

 Cliquez pour afficher

Soit f de R dans R définie par :
pour x <= 0, f(x) = x
pour tout n entier positif,
pour x dans [n+ 1/2 ; n+1], f(x) = 1-1/(n+2)

pour tout entier positif n,
pour x dans [n ; n+1/2], on définit f par :

f(n) = 1-1/(n+1)
f(n+1/2) = 1-1/(n+1)
entre n et n+1/2, f "va" de f(n) à f(n+1/2) de manière continue et dérivable (il faut donner une formule explicite pour ça aussi - c'est pas drôle ! )

Cette définition ne correspond pas précisément à mon dessin.

C'est un peu plus clair ?


Romain

EDIT : il est évident que je saute complètement la difficulté dans la construction du contre exemple, mais il montre que j'ai bien compris

[Gwyddon]

C'est un bon début.. Mais je veux le raisonnement poussé au bout

[Romain-des-Bois]

Tu veux que je définisse ma fonction de manière explicite entre n et n+1/2

Romain

[FonKy-]

Mais elle est pas continue ta fonction non ?

FonKy-

[Romain-des-Bois]

Bah si !

[Gwyddon]

Tu veux que je définisse ma fonction de manière explicite entre n et n+1/2

Romain

Non ça encore c'est pas le plus important, de toute façon tu vois bien qu'un raccord type exponentielle de fonction carrée inverse marche très bien.

Ce que je veux c'est que tu aboutisses à la bonne conclusion en me le démontrant explicitement, donc en raisonnant sur un f' de quelque chose

Mais elle est pas continue ta fonction non ?

FonKy-

Une fonction dérivable est nécessairement continue

[Romain-des-Bois]

Non ça encore c'est pas le plus important, de toute façon tu vois bien qu'un raccord type exponentielle de fonction carrée inverse marche très bien.

Ben oui, mais encore faut-il l'écrire avec les bonnes valeurs

Ce que je veux c'est que tu aboutisses à la bonne conclusion en me le démontrant explicitement, donc en raisonnant sur un f' de quelque chose

Ah !!! Ca me semblait évident !

Bon, ben ma fonction est continue, dérivable, croissante, et majorée par 1.
Et pourtant sa dérivée ne tend pas vers 0 d'où le contre-exemple !

(Pour le montrer suffit de dire que pour tout n, f'(n+1/4) prend une valeur A strictement positive)

Romain

[FonKy-]

J'ai du mal a suivre je crois

pour x dans [n+ 1/2 ; n+1], f(x) = 1-1/(n+2)

puis apres tu dis

f(n+1/2) = 1-1/(n+1)

donc je vois pas comment ca peut etre continu

Une fonction dérivable est nécessairement continue

Je suis d'accord mais la elle n'est pas continue donc derivable ??? lol (mais j'ai ptet rater une etape je l'avoue
Apres romain dit

entre n et n+1/2, f "va" de f(n) à f(n+1/2) de manière continue et dérivable

or il di juste au dessus ke f(n)=f(n+1/2) il me semble, donc elle est constante, car l'une des hypothese est croissante.
Je dois faire une erreur de raisonnement dites moi =)

FonKy-

[FonKy-]

En fait je comprend pas la modelisation de ta fonction .

exponentielle de fonction carrée inverse

c'est-a-dire? du type exp(1/x²) ?

[Romain-des-Bois]

C'est juste que je me suis planté, f(n+1/2) = 1- 1/(n+2) dans tous les cas

Regarde le dessin que j'ai posté plus haut, tu comprendras !


Romain

[FonKy-]

Oki merci, la je prefere, cad que je suis sur un post de relativité a coté et je me suis laisser distraire

[FonKy-]

j'avoue que c'est pas évident en fait, mais normalement un contre exemple suffit, en l'occurence il veut que tu demontre analytiquement je crois
en fait c comme montrer que le cos n'a pas de limite :/ have fun.
Une fois je crois qu'en cours on était amener a reflechir a ta question Gwyddon , mais le prof a un peu esquiver lol, et il me semblait qu'il disait qu'en utilisant la definition sur la limite ou autre on s'en sortait.
Voila sinon j'aimerai beaucoup que vous me montriez la fin !

[invitee087c147]

Je comprend pas trop là, puisque f est croissante et majorée, lorsqu'elle atteint sa limite elle devient nécessairement constante jusqu'à l'infini, donc sa dérivée est nulle lorsque x tend vers l'infini...??

Hésitez pas à le dire si je dis des conneries (et au vu des réponses précédentes je crois que j'en dis)

[Romain-des-Bois]

Bon finallement, mon contre-exemple n'est peut-être pas si bon en fait. (c'est peut-être là où tu voulais en venir Gwyddon, non ?) J'ai dit du gros n'importe quoi quand je dis que la dérivée ne tend pas vers 0.

si sur mes intervalles [n;n+1/2], ma fonction est affine (en imaginant qu'on "lisse" autour des entiers et des demi-entiers, ma dérivée va tendre vers 0...

Mon contre exemple n'est pas bon...

Mais y a moyen de faire mieux.
Le problème de mon contre-exemple c'est que la distance entre deux segments reste toujours la même, et pourtant on monte de moins en moins (et du coup la dérivée tend vers 0, il me semble. C'est facile de le voir, la pente est comprise entre 0 et quelque chose du type 1/n sur chaque intervalle [n;n+1] )

Ce qu'il faut, c'est que la distance entre deux segments diminue elle aussi, de façon à garder la même pente pour rejoindre deux segments.

Sur [0;1], f(x) = 0
Sur [1;2] f(x) = x-1 (pente = 1)
Sur [2;3] f(x) = 1

d'où, pour la prochaine "liaison segment-segment" :

Sur [3;3+1/2] f(x) = x - A (pente = 1 également)
f(3+1/2) = 1¨+ 1/2 = 3+1/2 - A

donc A = 2

Sur [3+1/2;4] f(x) = 3/2

et on recommence :

Sur [4;4+1/4] f(x) = x - B (pente = 1)

avec f(4+1/4) = 1 + 1/2 + 1/4 = 4+1/4 - B

donc B = 1/2

Sur [4+1/4; 5], f(x) = 1+1/2+1/4

et ainsi de suite... (on peut trouver facilement une formule qui la définisse "par récurrence")

Ma fonction ainsi définie est bien croissante et majorée

Problème : elle n'est pas dérivable sur R. On peut imaginer qu'on la "lisse" autour des points à problème de façon à la rendre dérivable.

Par construction (y a rien à démontrer) la dérivée prend la valeur 1 sur chaque intervalle [n;n+1], elle ne tend donc pas vers 0.


Romain

[Romain-des-Bois]

Hésitez pas à le dire si je dis des conneries (et au vu des réponses précédentes je crois que j'en dis)

Quand on te pose une question comme ça, c'est presque toujours parce que l'intuition va te faire défaut.
Bien sûr, si tu fais un dessin, tu as l'impression que ça marche ! Et c'est là le piège. Parce que tu n'arrives pas à imaginer un contre-exemple, tu crois qu'il n'en existe pas.
Alors, tu essaies de prouver ce que tu dis, et dans ce cas, c'est pas évident, puisque c'est faux (prouver un truc faux, c'est jamais facile).

Alors, il faut chercher un contre-exemple. Imaginer un truc auquel on ne pense pas de suite.

En tous cas, mon deuxième contre-exemple marche bien (en admettant le lissage). Ce théorème n'en est donc pas un (je pense que si c'était vrai, ce serait au programme de TS, non ?)



Romain

[Romain-des-Bois]

Ci joint le dessin correspondant au contre-exemple 2 (dessin qui risque d'être moche - je suis obligé de réduire pour que ça rentre...)

[invitee087c147]

Mais si il existe un contre exemple c'est qu'il existe une contre démonstration pour certains cas généralisés (genre pour telle fonction qui a telle propriété ça ne marche pas)... J'aime pas trop les démonstrations par contre-exemple on reste un peu sur sa faim

[Romain-des-Bois]

Mais si il existe un contre exemple c'est qu'il existe une contre démonstration pour certains cas généralisés (genre pour telle fonction qui a telle propriété ça ne marche pas)... J'aime pas trop les démonstrations par contre-exemple on reste un peu sur sa faim

Je comprend pas trop ce que tu veux dire. Donne un exemple

Si la propriété est vraie, on peut la démontrer.

Si elle est fausse, on ne peut pas il suffit de trouver un cas où la propriété ne marche pas.

Si tu me demandes de trouver où ça coince dans la preuve qu'on essaierait de faire pour montrer que c'est vrai, ça ne constituera pas une preuve que la chose est fausse.

On peut aussi renforcer les hypothèses pour que la propriété soit vraie. Mais ça ne constituera pas non plus une preuve qu'avec des hypothèses moins fortes ce sera faux.

La démonstration par contre-exemple est fondamentale en maths, et je ne trouve pas qu'on reste sur sa faim ! Bien au contraire. Intuitivement, on dirait que la propriété est vraie. Pourtant, on trouve (on construit) un cas où elle est fausse. C'est quand même fort !


Romain

[invitee087c147]

Oui enfin pour moi si il y a un contre exemple dans ce cas là c'est qu'on peut démontrer (sans contre exemple) que ce que j'ai dit est faux pour certains cas, on étend en quelque sorte la propriété aux cas particuliers (même moi j'ai du mal à comprendre ce que je dis, c'est ptete parce que je dis n'importe quoi sans m'en rendre compte héhé )
Moi j'aime pas trop le contre exemple parce que on démontre que la propriété est fausse mais on sait pas trop pourquoi fondamentalement, on a juste trouvé un exemple où ca marche pas...

[Romain-des-Bois]

Moi j'aime pas trop le contre exemple parce que on démontre que la propriété est fausse mais on sait pas trop pourquoi fondamentalement, on a juste trouvé un exemple où ca marche pas...

Je comprends à peu près ce que tu veux dire. Tu voudrais savoir quelles hypothèses il manque pour que ça marche ?
Ici, si, on comprend pourquoi ça ne marche pas puisqu'on a donné un contre-exemple. Je veux dire par là, que si tu construis toi-même le contre-exemple, si tu y penses tout seul, c'est que tu as compris le souci. Si tu vois le contre-exemple et que tu dis : OK, ça marche pas. Effectivement, peut-être tu n'as pas bien compris le truc.

Mais c'est le cas dans toutes les preuves. Quand tu sais faire la preuve seul, c'est que tu as compris son mécanisme. Si tu lis une preuve et que tu dis OK, ça marche, tu n'as pas forcément compris (en général, quand on se contente de lire, on ne comprend pas en profondeur).


Romain

[invitee087c147]

T'as sûrement raison faut déjà que je comprenne ton contre exemple

[Romain-des-Bois]

en fait c comme montrer que le cos n'a pas de limite

Bah, cos(2kPi) = 1 et cos(2(k+1)Pi) = -1, et paf (je comprends pas où est le problème...)


@Jeremiah : si t'as des questions...


Romain

[FonKy-]

Je suis d'accord romain, mais tu ne le démontre pas rigoureusement cad analytiquement.
Je vais etudier ton 2nd contre exmple

FonKy-