[Maths] [TS] Sommations et nombre mystère

[invite4c8a24e7]

Pour la derniére somme du premier post j'ai trouvé : n . 2 ^ { n - 1}

@+ dodo
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[invite4c8a24e7]

Voica un petit exercice vraiment pas difficile pour les futurs préparationnaires :

Montrer que :



avec deux polynômes de même degré.

@+ Dodo

[invitec053041c]

Pour la derniére somme du premier post j'ai trouvé : n . 2 ^ { n - 1}

@+ dodo

Oui je suis d'accord avec toi .
Comment le montres-tu ? (mets une balise spoiler stp)


edit: Pour ton exercice

 Cliquez pour afficher

C'est assez évident, on peut faire une récurrence sur tous les polynômes de degré n...bref, plein de manières.

[invite4c8a24e7]

Dsl je vais me coucher demain je me léve a 6h00 quand je serais revenu je te ferais la démonstratio si ee n'a pas été faite. Oui tout a fait pour mon ptit exo.

@+ dodo

[invitecceb1161]

bonjour
l'idée :
on montre pour P(x)=x^n monôme
et par linéarisation avec hasles on démontre pour P(x) qcq
on pose I_n (x)=Int(x^n. e^x ,x )
D'où par IPP , I_n(x)=x^n.e^x-nI_(n-1)
D'où par réc , I_n(x)=Q(x).e^x+Cste
un exemple : http://aktaryalcin.googlepages.com/F...xpa.xx0..n.pdf

[invitec053041c]

Oui c'est vrai, on peut montrer par monômes, par polynômes de degré n entiers etc...
Essaye de te mettre au Latex si tu peux un jour , ça se lit mieux .

Cordialement.

[FonKy-]

Bon aller je vais poser une petite somme a mon tour, je veux le resultat avec la démonstration:



have fun
c'est plutot court et gentillet mais ya de quoi pas trouver je comprend

FonKy-

[invitec053041c]

Je me tais pour ta somme Fonky .

Pour les Cnk, un très bon indice :

 Cliquez pour afficher

Que pensez-vous de (1+x)^n ?

[invite2c6a0bae]

Je vous propose de montrer :

ou encore :

Et aussi :

[FonKy-]

et les miennes alors spip ?

par respect je vais chercher les tiennes

FonKy-

[invitecceb1161]

Bonjour

 Cliquez pour afficher

Avec binôme de Newton :

Soit S=sum(bin(n,2k),0<=2k<=n) et T=sum(bin(n,2k+1),0<=2k+1<=n)

Il est clair que S+T=sum(bin(n,k),k=0..n)=2^n

En plus S-T=sum(bin(n,2k)*(-1)^(2*k),0<=2k<=n)+sum(bin(n,2 k+1)*(-1)^(2*k+1),0<=2k+1<=n)

d'où S-T=sum(bin(n,k)*(-1)^k,k=0..n)=0

Pour l'autre :

on utilise la racine de l'équation 1+j+j²=0

En posant : B(b)=sum(bin(n,3k+b),0<=3k+b<= n)

Et A(a,b)=sum([(j^a)^(3k+b)]*bin(n,3*k+b),0<=3k+b<=n)

On obtient : A(a,b)=(j^(ab)).B(b)

Nous on cherche B(0)

On a les équations suivantes par binôme de Newton (grand maitre ) :

A(0,0)+A(0,1)+A(0,2)=(1+j^0)^n

A(1,0)+A(1,1)+A(1,2)=(1+j^1)^n

A(2,0)+A(2,1)+A(2,2)=(1+j^2)^n

Donc comme A(a,b)=(j^(ab)).B(b)

d'où on a :

B(0)+B(1)+B(2)=2^n

B(0)+j.B(1)+(j^2).B(2)=(1+j)^n

B(0)+(j^2).B(1)+j.B(2)=(1+j^2) ^n

D'où un système de 3 équation linéaire à 3 inconnues facile à résoudre

La méthode peut se généraliser avec des équations 1+q+q^2+...+q^m=0

ici on s'est aidé des équations : 1+q=0 et 1+q+q²=0

[invite2c6a0bae]

Bravo Yalcin, c'est bien ca.

Pour Fonky, j'ai cherché un peut le \sum k k!, mais j'ai pas trouvé le truc, et là je n'ai plus trop le temps de me replonger dedans ...

[invitec053041c]

Bravo Yalcin, c'est bien ca.

Pour Fonky, j'ai cherché un peut le \sum k k!, mais j'ai pas trouvé le truc, et là je n'ai plus trop le temps de me replonger dedans ...

 Cliquez pour afficher

Il ne faut pas oublier que k=k+0

Sinon, spip, à quelle(s) somme(s) a répondu yalcin ?
Que reste-t-il à trouver ?

[FonKy-]

 Cliquez pour afficher

Il ne faut pas oublier que k=k+0

Sinon, spip, à quelle(s) somme(s) a répondu yalcin ?
Que reste-t-il à trouver ?

+1

yalcin si tu pouvait faire l'effort d'écrire en latex ca serait vraiment cool merci

FonKy-

[invite2c6a0bae]

Suite a l'indice je dis "saloperie", j'y pense quand il faut pas, et je n'y pense pas quand il le faut : a mort l'algebre .


et moi qui cherchait de ces trucs


bref : plus rien a trouvé de mon post lol, les deux premeires sont liés :

 Cliquez pour afficher

en gros, en sommant les deux on a 2^n et la différence donne =0 donc ok

l'autre, est plus technique, je me souviens que je me suis arraché les cheveux quand mon prof de TS (que je salue) m'a donné ca, personne n'avait trouvé dans les deux classes de TS, et il m'a donné son manuscrit que je mets en piece jointe (toujours pris avec mon APN avec une lumiere jaune qui ne m'a pas facilité la tache).

[invitecceb1161]

à vrai dire la méthode de ton prof est la méthode que j'ai indiquée ,c'est classique une fois qu'on connaît la méthode
je pense que la réponse que j'ai écrite est plus claire au niveau d'écriture indicée
en prépas sup , on voit cette méthode
en TS aussi on peut voir ,c'est simple comme méthode

 Cliquez pour afficher

pour la somme : sum(k.k!,k=0..n)

l'astuce connue depuis TS ou 1èreS : k=(k+1)-1

d'où k.k!=(k+1)!-k!

donc sum(k.k!,k=0..n)=(n+1)!-0!=(n+1)!-1

voilà téléscopage classique

[invitec053041c]

Pourrais-tu utiliser la balise spoiler s'il te plaît, pour laisser chercher les éventuelles personnes arrivant sur ce fil, et éviter que tes réponses ne sautent à leurs yeux et rendent l'exercice aussi inutile pour eux que s'il n'avait pas été posé.
Merci.

l'astuce connue depuis TS ou 1èreS : k=(k+1)-1

Je ne connaissais pas ce genre d'astuces en terminale, encore moins en 1ère...

[invite2c6a0bae]

à vrai dire la méthode de ton prof est la méthode que j'ai indiquée ,c'est classique une fois qu'on connaît la méthode
je pense que la réponse que j'ai écrite est plus claire au niveau d'écriture indicée
en prépas sup , on voit cette méthode
en TS aussi on peut voir ,c'est simple comme méthode

pour la somme : sum(k.k!,k=0..n)

Oui, c'est la meme méthode, je l'ai mise parce que tu n'as pas utilisé de Latex du tout avec des notations assez chargées, don cela offre une autre version

le +1-1, oué, je l'ai utilisé peut etre 2 fois en TS, et on me l'a vraiment montré en prépa. Avant ce n'etait pas automatique, c'était dans le cadre d'exo de recherche pour s'amuser avec le prof. Je suis d'accord avec Ledescat

[invitec053041c]

Voici une somme de mon crû, que l'on peut qualifier de somme barbapapa ou somme mousse à raser :
Que vaut:

[inviteb11a0797]

A la magie des maths ! Si compliqué au premier abord et dès qu'on réécrit un peu ça passe tout seul !
Après calcul, je trouve :

 Cliquez pour afficher

ben 1^n ou plus communément apelé 1 lol

Mais il y a quand même quelque chose que je ne comprends pas :

Voici une somme de mon crû, que l'on peut qualifier de somme barbapapa ou somme mousse à raser :

Pourquoi barbapapa ou mousse à raser ? lol

[invite0207283b]

Par ce que ça paraît volumineux, alors qu'en fait il n'y a que très peu de matière?


Le_Ced, tu pourrais montrer un peu tes calculs s'il te plait

Ils m'interessent :P

[invite2c6a0bae]

 Cliquez pour afficher

On commence par rentrer le petit monde



on remarque un coeff bononial, et une simplification de puissance e je rentre le -1^n



On reconnait (a+b)^n
ce qui donne apres simplification 1^n sommé sur k, donc 1^n

Voila

François

[invitec053041c]

Bien joué à Le_ced et Spip, c'est en effet une drôle de manière d'appeler ce nombre . En khôlle j'avais eu 3 fois pire,il fallait faire un décallement sur la somme,r emarque des identités remarquables etc...dommage que je ne l'aie plus.

Par ce que ça paraît volumineux, alors qu'en fait il n'y a que très peu de matière?

Oui c'est ça .

[invite3179bf00]

Nombre mystère

Trouver de deux manières différentes l'expression de

Réponse Nombre mystère
Parce que 153 est le « nombre répétitif dans l’expression » la valeur donnée est (si je lui donne le nom n) n=(n*1000-n)/999. Cela donne n =(153,153153153153… - 0,153153153153…)/999 soit n=153/999 puisque les valeurs après les virgules s’annulent entre elles.

Sommation 1 (*)

Que vaut:



Réponse Sommation 1 (*)
Soit la fonction f(x)=x^k. Sa dérivée est f^' (x)=kx^(k-1)
De suite ∑_(k=1)^n▒〖f^' (x)=[∑_(k=1)^n▒〖f(x)〗]^' 〗. Or ∑_(k=1)^n▒〖f(x)〗 est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison x et de 1er terme 1. Ainsi ∑_(k=1)^n▒〖f(x)〗=(1-x^n)/(1-x). A tous de faire la dérivée pour trouver l’expression.
Sommation 2 (**)

Que vaut:



Réponse Sommation 2 (**)
Partant du fait que (a+b)^n= ∑_(k=0)^n▒〖C_n^k*a^k*b^(n-k) 〗 , en remplaçant a et b respectivement par x et 1, nous avons la fonction f(x)=〖(x+1)〗^n=∑_(k=0)^n▒〖C_n^ k*x^k 〗 dont la dérivée est f^' (x)=〖n(x+1)〗^(n-1)=∑_(k=0)^n▒〖〖k*C〗_n^k*x^(k-1) 〗. Or ∑_(k=0)^n▒〖〖k*C〗_n^k*x^(k-1) 〗=∑_(k=1)^n▒〖〖k*C〗_n^k*x ^(k-1) 〗 puisque pour k = 0, la valeur est nulle.
Certains observateurs attentifs remarquerons déjà que la valeur recherchée est f^' (1) soit 〖n*2〗^(n-1).

[invite3179bf00]

Nombre mystère

Trouver de deux manières différentes l'expression de

Réponse Nombre mystère
Parce que 153 est le « nombre répétitif dans l’expression » la valeur donnée est (si je lui donne le nom n) . Cela donne n =(153,153153153153… - 0,153153153153…)/999 soit puisque les valeurs après les virgules s’annulent entre elles.

Sommation 1 (*)

Que vaut:



Réponse Sommation 1 (*)
Soit la fonction . Sa dérivée est
De suite . Or est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de raison x et de 1er terme 1. Ainsi . A tous de faire la dérivée pour trouver l’expression.
Sommation 2 (**)

Que vaut:



Réponse Sommation 2 (**)
Partant du fait que , en remplaçant a et b respectivement par x et 1, nous avons la fonction dont la dérivée est . Or puisque pour k = 0, la valeur est nulle.
Certains observateurs attentifs remarquerons déjà que la valeur recherchée est soit .

[invitec053041c]

C'est ça témoin,même si un peu brouillon...mais l'utilisation des balises spoiler (et latex si possible ) n'aurait pas été superflux,cf mon post #77.

Cdlt.

[inviteb11a0797]

A moi aussi, je me souviens de quelques galères sur des kholles du style à l'entrée en sup mais j'étais jeune et impressionnable LOL
Par contre pour les futurs préparationnaires ou tout autre personnes qui souhaitent s'orienter vers les maths du supérieur, il me semble judicieu de préciser que les calculs ce n'est pas ce qu'on rencontre le plus ! Il y a surtout de la réflexion, en tout cas à partir de mi-sup et spé MP.
Je dis sa pour les fénéant comme moi qui dès qu'ils voient un calcul se mette à soupirer et à faire des erreurs de calcul ! lol

[invite0207283b]

Spip :

 Cliquez pour afficher

J'avais la simplification de et le coeff binomial.

Par contre, quand tu dis je rentre le [tex](-1)^n[/text], que veux-tu dire ?

[invite2c6a0bae]

j'ai fait une coquille en fait(copier coller ...), a lavant dernière ligne il faut lire :

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j'ai rentré dans

 Cliquez pour afficher

(1-sqrt{2})^{k}

voila

François

[invite0207283b]

 Cliquez pour afficher

Oki, j'avais pas pensé au binôme de Newton, merci Spip !