[Maths] [TS] Sommations et nombre mystère

[.:Spip:.]

Bonjour à tous.

Ledescat m'a transmit ces 3 petits exercices :


Nombre mystère

Trouver de deux manières différentes l'expression de

Sommation 1 (*)

Que vaut:




Sommation 2 (**)

Que vaut:



Merci Ledescat pour ta participation
Les autres à vous de jouer...

---- Ajout du 10/08

Suite à une très bonne participation de nos membres, d'autres questions ont été apporté au fil de la discussion. Aussi, je rajoute les intitulés pour une meilleur visibilité.

Fonky :



Ledescat :


dododo nous a aussi proposé :
Montrer que :



avec deux polynômes de même degré.


et enfin, j'ai ajouté ceci :

[/CENTER]
ou encore :



Et aussi :



----
PS : ca me fait penser à une fiche que mon prof de TS m'avait donné en vue de la prépa, houuu, si je retrouve ca demain
-----

[Gwyddon]

Hello,

Quelques petites précisions/indices

Pour le deuxième exercice, bien faire attention à la validité de ce que l'on fait.

Pour le troisième exercice, il existe une méthode qui le résout en 2,3 lignes, un peu astucieuse


Sinon pour :Spip: : le premier exercice est flou dans sa présentation. A la place d'expression, soyons clair et parlons d'écriture fractionnelle non ?

[.:Spip:.]

Hello,

Sinon pour :Spip: : le premier exercice est flou dans sa présentation. A la place d'expression, soyons clair et parlons d'écriture fractionnelle non ?

moi, je n'ai fait que recopier ce que l'on ma donné ...
mais intuitivement, je pensais a une fraction, je ne sais pas si l'on peut penser vraiment autre chose en voyant 0.153153153 ...

Le dernier, je crois qu'il est possible de le faire par une réccurence, apres avoir deviné le resultat (on regarde n=1,2 etc ...)

[Gwyddon]

moi, je n'ai fait que recopier ce que l'on ma donné ...
mais intuitivement, je pensais a une fraction, je ne sais pas si l'on peut penser vraiment autre chose en voyant 0.153153153 ...

Ma remarque est plus du pinaillage

Le dernier, je crois qu'il est possible de le faire par une réccurence, apres avoir deviné le resultat (on regarde n=1,2 etc ...)

Même pas besoin

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec053041c]

A la place d'expression, soyons clair et parlons d'écriture fractionnelle non ?

Tu as raison Gwyddon.

Pourle 2, il y a une dinstinction de cas à faire .
Pourle 3, il y a en effet une astuce qui explose l'exo en 3 lignes .

[Gwyddon]

Par contre pour le 1 je dois avouer qu'une seule méthode me vient naturellement à l'esprit

[invitec053041c]

Par contre pour le 1 je dois avouer qu'une seule méthode me vient naturellement à l'esprit

Il y en a une un peu avec les mains (quoique...) et une autre un poil plus longue.

[Romain-des-Bois]

Pour le 2 :

 Cliquez pour afficher

Si x=0, S=1 (S, c'est la somme)
Si x=1, S=n(n+1)/2

Sinon...
je vois bien une formule (assez compliquée d'ailleurs il me semble), mais comment on y arrive On peut la prouver par récurrence (encore faut-il la connaître !)

L'idée, ce doit être de diviser par x(x-1) (puisque on connait la valeur de S pour 0 et 1)

Ah, mais il faudrait connaitre S(-1)...

Tordu tout ça

Romain

[invitec053041c]

Je suis d'accord pour tes distinctions de cas.

 Cliquez pour afficher

En effet tu dois arriver à une formule assez compliquée, la récurrence marcherait sûrement, mais ça serait trop facile .
Tu devrais remarquer une forme pas très anodine .

[chr57]

Hello,

pour l'exo 3: c'est juste un coefficient binômiale "k parmi n", ou qu'est donc le C ?

Merci.

[invitec053041c]

Bonjour,

pour l'exo 3: c'est juste un coefficient binômiale "k parmi n", ou qu'est donc le C ?

Oui c'est bien k parmi n, c'est la notation (américaine je crois ) que je n'utilise jamais mais qui est la plus rapide à écrire en Latex .

Cdlt.

[.:Spip:.]

un indice pour Romain :

je ne t'oblige pas :

 Cliquez pour afficher

si tu as un k devant le x, et un exposant k-1 la bas en l'air, ca ne suggère rien ???

[Romain-des-Bois]

hé hé hé ! Trop facile Enfin, quand on a trouvé... (très bon indice François (Spip))

Romain

[Romain-des-Bois]

En y repensant, c'était vraiment trop facile Dire que j'ai cherché des trucs pas possibles !
Ca, c'est parce que j'ai passé une partie de ma nuit sur maple Pas encore très bien réveillé !

D'ailleurs : Pub : pour ceux qui s'y connaissent un peu en maple, y a un petit truc que j'arrive pas à faire... cf forum maths du supérieur



Romain

[invitec053041c]

En y repensant, c'était vraiment trop facile Dire que j'ai cherché des trucs pas possibles !

Oui, quand on voit le truc ça va tout seul. Pour le 3ème c'est pareil, ça va même plus vite que le second si on ruse .

[.:Spip:.]

la seul chose que ej vois,mais je n'ai pas testé c'est :

 Cliquez pour afficher

calculer la somme des k/n C_n^k et tenter de se ramener a la somme jusqua n-1 des coeff binomiaux, ce qui vaut 2^(n-1)

je ne sais pas si c'est ca votre surper truc, en tout cas, mon prof de TS me l'avait donner, et il me semble que c'etait une récurrence, mais forte ... (à confimer)

François

[invitec053041c]

 Cliquez pour afficher

Le k au sol ne vient pas de nulle part .

Après cela ressemble un peu à la manière dont on montre:

[invitec053041c]

Quelqu'un pour donner juste le résultat du II ?

[FonKy-]

Quelqu'un pour donner juste le résultat du II ?

Si moi t'as pas de chance je revise les series entières en ce moment

 Cliquez pour afficher

=>

que l'on primitive


sur ]-1;1[ !!!

que l'on dérive ensuite

d'où:

[chr57]

salut,

alors, pour la 1 (je pense que c'est la méthode dont Ledescat parlait, "avec les mains" ) :

 Cliquez pour afficher

soit = 0,153153153...

On voit que les 3 chiffres 1,3 et 5 reviennent périodiquement dans les décimales (c'est peut-être mal dit ).

Posons la somme suivante:




On remarque plusieurs sommes de suites géométriques et on obtient:



Et

d'où

En factorisant par et en simplifiant:

Merci de vos commentaires.

[FonKy-]

Merci de vos commentaires.

Compètement nulle ta méthode..



je plaisante, c'est tres tres bien =)

[chr57]

Compètement nulle ta méthode..



je plaisante, c'est tres tres bien =)

Merci .

J'attendais des commentaires parce que j'étais pas sûr que ça soit top rigoureux.

Bon, je vais chercher l'autre méthode.

[invitec053041c]

Fonky:

 Cliquez pour afficher

Je ne suis pas d'accord avec toi. Pour x=5 et n=3 on trouve quelque chose de négatif .
Tu te compliques la vie! Pourquoi intégrer ??

[invitec053041c]

Ta méthode est très bien chr57 !
D'ailleurs ça n'est pas celle avec les mains, c'est la méthode "longue" que tu as utilisée .

 Cliquez pour afficher

Tu as eu raison d'introduire une suite et d'en chercher la limite.
On pouvait condenser, mais c'est très bien.

[invitec053041c]

Au passage chr57, quand je parle de compacter :

 Cliquez pour afficher

Et ça vient tout seul avec la somme géométrique (j'ai utilisé une somme infinie, si tu préfères tu mets lim n->infini c'est pareil)

[FonKy-]

Fonky:

 Cliquez pour afficher

Je ne suis pas d'accord avec toi. Pour x=5 et n=3 on trouve quelque chose de négatif .
Tu te compliques la vie! Pourquoi intégrer ??

 Cliquez pour afficher

j'integre pour reconaitre qqch qu'on connait, sinon j'ai fait une petit erreur de signe à la fin, je t'explique je me suis enrvé avec maple pq il voulait pas me factoriser en x. (Pourtant j'avais fait assume(n,natural) mais me mettait alors des x^n~+1 à la place , je sais pas ce que ca veut dire, si tu as la solution) donc je l'ai fait rapidement de tete, la premiere égalité etant cele qu'il ma sorti et pour la facto je me suis vautrer .
A ton calcul je trouve 586

Et la reponse est

En fait j'ai fait par rapport a ce que j'avais en tete

Cordialement, FonKy-

[invitec053041c]

Je ne suis toujours pas d'accord avec ton résultat Fonky .
Pour n=3 et x=5, on doit trouver 1+2*5+3*5²=86
Ta formule donne 8751/16 .

François

[FonKy-]

Je ne suis toujours pas d'accord avec ton résultat Fonky .
Pour n=3 et x=5, on doit trouver 1+2*5+3*5²=86
Ta formule donne 8751/16 .

François

oui j'ai fait le boulet sur mon décalage d'indice, ca devient n-1 en haut de mon .Excuse moi je fais ca plutot rapidement et j'ai pas trop vérifier :s

FonKy-

[invitec053041c]

Lol Fonky, tu n'as pas dormi?
Je ne suis toujours pas d'accord...
Revois du début et je t'assure qu'il ne faut pas primitiver quoi que ce soit.

[FonKy-]

Voici la nouvelle reponse alors
et c'est encore plus simple en fait :s

 Cliquez pour afficher

=>

que l'on primitive


sur ]-1;1[ !!!

que l'on dérive ensuite

d'où:

FonKy-

Et la c'est bon !!