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[Maths] [TS] Exercice d'arithmétique



  1. #1
    g_h

    [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique


    ------

    Bonjour,

    Je venais apporter ma pierre à l'édifice en vous proposant un petit problème (il y a de quoi chercher quand même), qui s'adresse surtout aux terminales :
    je n'ai pas pu poster dans le forum "révisions" (même si ce problème n'est pas en rapport direct avec le programme de TS), donc je poste ici, si un modérateur veut bien déplacer le sujet, merci


    On m'a donné (en cours de spé) le problème tel quel :

    1) (piste pour la suite)
    Soient n, p, q, q' des entiers naturels
    (Je parle ici de division euclidienne)
    Démontrez que si q est le quotient de n par p, et q' le quotient de q par p, alors q' est le quotient de n par p².

    2) Comment calculer l'exposant du nombre premier p dans la décomposition en facteurs premiers du nombre n! (factorielle n) ? (avec p < n bien entendu)
    Essayez d'élaborer une fonction itérative ou récursive (la récursion rend mieux compte du problème je trouve), qui soit par exemple programmable sur une calculette, permettant de calculer la valeur de cet exposant

    3) Saurez-vous trouver une formule ( et interdits !) permettant de calculer une approximation de cet exposant ?

    -----

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  3. #2
    kron

    Re : [maths] Problème de révision

    Hehe je n'ai pas fait spé maths, mais je vais chercher, avec un peu de temps je finirai par trouver ^^
    Allé déjà on commence par potasser l'arithmétique des cours de spé...

    Kron
    Life is music !

  4. #3
    g_h

    Re : [maths] Problème de révision

    Ce n'est pas un vrai exo de spé, ici il suffit de savoir ce qu'est une division euclidienne, le reste c'est juste du raisonnement, aucun résultat de cours.

  5. #4
    g_h

    Re : [maths] Problème de révision

    Suites à des remarques de martini_bird (merci !), j'ajouterai qu'à la question 2), si vous faites une fonction il faut la faire de telle sorte que le nombre d'itérations/récursions soit le plus petit possible (il ne faut pas diviser par p tant que le reste est nul, ça serait trop facile )

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    martini_bird

    Sujet

    Bonjour,

    j'ai déplacé le fil et je reproduis le sujet ci-dessous avec une ou deux modifications:
    1- Soient n, p, q, q' des entiers naturels.
    Démontrer que si q est le quotient de la division euclidienne de n par p, et q' le quotient de q par p, alors q' est le quotient de n par p².

    2- Comment calculer l'exposant d'un nombre premier p (p<n) dans la décomposition en facteurs premiers du nombre n! (s'inspirer de la question précédente)?

    3- Rédiger un algorithme programmable sur une calculette (ou un ordinateur), permettant de calculer rapidement la valeur de cet exposant. (Question subsidiaire: combien d'opérations sont nécessaires pour un entier n donné?)

    4- Donner une formule simple permettant de calculer une approximation de cet exposant?
    Merci à g_h!
    _____________________

    Pour ceux qui sont intéressés, cette exercice peut constituer un point de départ pour démontrer un résultat de Tchebycheff sur la répartition des nombres premiers. (contactez-moi par mp )

  8. #6
    Antikhippe

    Re : Sujet

    Salut,

    Citation Envoyé par martini_bird
    1- Soient n, p, q, q' des entiers naturels.
    Démontrer que si q est le quotient de la division euclidienne de n par p, et q' le quotient de q par p, alors q' est le quotient de n par p².
    Voilà ce que j'ai trouvé pour cette question :
    avec
    avec
    donc


    On a donc q' est le quotient de n par p² à condition que
    Or je trouve :

    Où est mon erreur... ?

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  10. #7
    g_h

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Il n'y a pas d'erreur, le résultat trouvé est juste, mais il n'y a pas d'équivalence stricte entre ce dont tu es parti et ce à quoi tu arrives : tu as perdu des informations au fil de tes calculs.

    Pourquoi ? N'oublie pas que tu travaille avec des entiers naturels, ça te permet de réécrire les inégalités d'une autre façon

  11. #8
    Antikhippe

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Citation Envoyé par g_h
    N'oublie pas que tu travaille avec des entiers naturels, ça te permet de réécrire les inégalités d'une autre façon
    Hmmm... Je ne vois pas ce que ça change...

    Merci de m'aider en tout cas !

  12. #9
    matthias

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Hmmm... Je ne vois pas ce que ça change...

    Merci de m'aider en tout cas !
    Le même problème en plus simple:
    Tu prends 4 entiers naturels a,b,x,y tels que:
    a<x
    b<y
    Montrer que a+b<x+y-1

  13. #10
    Antikhippe

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Ah d'accord... c'est à cause des inégalités fortes alors... c'est ça ?

  14. #11
    g_h

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    oui, c'est ça

  15. #12
    Antikhippe

    Re : Sujet

    D'accord, merci...

    Maintenant, pour la deuxième question, je dirais qu'on élimine les restes soit :


    donc


    On a donc q' est le quotient de n par p² soit n=p²q'.

    En fait, je dirais que pour trouver l'exposant e du nombre premier p de n!, il faut diviser n! x fois jusqu'à trouver un nombre décimal. Ainsi, e=x-1.

    Je ne sais pas si c'est bien rédigé...

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  17. #13
    Antikhippe

    Re : Sujet

    Au fait, je ne sais pas ce qu'est une fonction récursive (un rapport avec la récurrence peut-être, donc f(Un)=... C'est ça qu'il faut chercher pour f ?).

    Je pense que j'ai travaillé avec une fonction itérative, plutôt...

  18. #14
    matthias

    Re : Sujet

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Au fait, je ne sais pas ce qu'est une fonction récursive (un rapport avec la récurrence peut-être, donc f(Un)=... C'est ça qu'il faut chercher pour f ?).

    Je pense que j'ai travaillé avec une fonction itérative, plutôt...
    En informatique, une fonction récursive est une fonction qui s'appelle elle-même.

  19. #15
    matthias

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Exemple classique, pour caluler n!

    factorielle(n)
    {
    si n=0, résultat = 1
    sinon résultat = n*factorielle(n-1)
    }

    Il faut surtout faire attention à avoir une condition d'arrêt.

  20. #16
    g_h

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Pourquoi "élimines" tu les restes ? Ils ne sont pas forcément nuls ! Tu peux arriver à la conclusion que q' est le quotient de n par p² sans les "éliminer"

    De plus, la première question n'est qu'un indice, il faut ensuite passer au cas général (pour tout exposant) pour trouver ce que l'on cherche.

    Sinon la méthode que tu propose marche bien, mais elle n'est pas optimale.

    Par exemple, pour trouver l'exposant de 5 dans la décomposition en facteurs premiers de 10000!, il suffit de... 5 appels récursifs à la fonction que l'on recherche.
    Pour trouver cette fonction, il faut avoir bien compris les implications de la première question.

  21. #17
    Antikhippe

    Re : Sujet

    Généralisation de la première question :

    avec
    avec

    avec

    donc
    avec

    Est-ce-que je me suis trompé dans les indices ou les exposants... ?

  22. #18
    g_h

    Re : Sujet

    C'est sûrement juste, mais ça se servira pas pour la suite (j'avoue que c'est pas évident de voir ou il faut en venir, et c'est fait pour)

    en fait, ce qui est intéressant, c'est de montrer que si q le quotient de n par pi, alors le quotient de q par p est le quotient de n par pi+1

    De là tu peux tirer quelque chose (une relation récurrente) qui t'aidera pour la suite, où il faudra calculer le quotient de n par pi+1 connaissant q... mais j'en ai peut-être trop dit

    Pour la suite, n'oublie pas qu'une factorielle est le produit de tous les entiers consécutifs de 1 à n (ça paraît évident, je sais, mais c'est capital)

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  24. #19
    matthias

    Re : Sujet

    Citation Envoyé par g_h
    C'est sûrement juste, mais ça se servira pas pour la suite (j'avoue que c'est pas évident de voir ou il faut en venir, et c'est fait pour)

    en fait, ce qui est intéressant, c'est de montrer que si q le quotient de n par pi, alors le quotient de q par p est le quotient de n par pi+1
    C'est à peu près ce qu'Antikhippe a fait. En moins clair et en plus compliqué c'est vrai.
    Juste une petite récurrence, ça passera mieux

  25. #20
    Jeanpaul

    Re : Sujet

    Citation Envoyé par Antikhippe
    Généralisation de la première question :

    avec
    avec

    avec

    donc
    avec

    Est-ce-que je me suis trompé dans les indices ou les exposants... ?
    Au lieu d'écrire que le reste est strictement inférieur au diviseur, essaie d'écrire qu'il est inférieur ou égal au diviseur - 1. Tu verras...

  26. #21
    tariq_qui

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    n=p*q+r1
    q=p*q'+r2

    n=p^2 * q' + p*r2 +r1 pour monter que q' est le quotient de n par p^2 il suffit de monter que : p*r2+r1 < p^2 .

    p > r1 et p > r2 <===> r1 < p et r2 <= p-1
    ===> p*r2+r1 < p* ( p-1) + p
    ===> p*r2+r1 < p^2 - p + p
    ===> p*r2+r1 < p^2

    d'ou q' est le quotient de n par p^2


    pour la 2 ème question j'ai pas compris la question
    si tu veux rediger la question

  27. #22
    g_h

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Pour la 2:

    Soit A = n! avec n entier naturel
    On a A = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1
    Mais A peut aussi se décomposer en facteurs premiers :

    Exemple, on pose n = 4
    A = n! = 4*3*2*1 = 24
    Et en facteurs premiers, A = 23*3

    La question est : étant donné un nombre premier p, comment trouver son exposant dans la décomposition en facteurs premiers de A = n!

    Exemple pour A = 4!, l'exposant du nombre premier 2 dans la décomposition de A est 3 (23*3 )

    Il faut donc trouver une méthode pour tout nombre premier p et pour tout naturel n, en utilisant impérativement le résultat de la question 1) (interdiction de faire des divisions du nombre A = n!, ce n'est pas du tout efficace)

  28. #23
    XV de France

    Post Re : [maths] Problème de révision

    Citation Envoyé par g_h
    1) (piste pour la suite)
    Soient n, p, q, q' des entiers naturels
    (Je parle ici de division euclidienne)
    Démontrez que si q est le quotient de n par p, et q' le quotient de q par p, alors q' est le quotient de n par p².
    J'ai fait ma terminale S spé Bio (et non maths) en 2003-2004, et venant d'une année de médecine (sans un seul cours de maths) pour me réorienter vers la physique (je ne vais pas non plus vous raconter ma vie... lol), j'ai tenté de résoudre cet exo ou du moins une partie pour me redonner confiance.
    Résultat, il me semble avoir trouver assez rapidement la solution du 1. :
    q=n/p _ q'=q/p

    => q' = (n/p)/p = n/p2

    Par contre pour la suite, vocabulaire inconnu...

  29. #24
    Ravaner

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Exact !! A quand la suite ?

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  31. #25
    XV de France

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Citation Envoyé par Ravaner
    Exact !! A quand la suite ?
    Si ce message est pour moi, je vais répondre:
    pour la question 2:
    n! = 1*2*...*n (si je me souviens bien)
    q = n/p => n = qp

    => n! = 1*2*...*p*...*q*...*qp
    et aprés je donne ma langue au chat, ne sachant pas si je suis sur la bonne voie et n'ayant pas étudié ce qu'est une fonction itérative ou récursive (qui doit faire partie du programme de spé je pense).

  32. #26
    g_h

    Re : [maths] Problème de révision

    Citation Envoyé par XV de France
    Résultat, il me semble avoir trouver assez rapidement la solution du 1. :
    q=n/p _ q'=q/p

    => q' = (n/p)/p = n/p2
    Faux, on parle ici de division euclidienne, et la bonne réponse a été donnée plus haut !

    Citation Envoyé par XV de France
    Si ce message est pour moi, je vais répondre:
    pour la question 2:
    n! = 1*2*...*n (si je me souviens bien)
    q = n/p => n = qp
    Même remarque, pas de division dans , car n n'est pas divisible par n'importe quoi.

    Pour la suite, il faut remarquer que n! = 1*2*3*...*p*...*2p*...*kp*...* (n-1)*n

  33. #27
    XV de France

    Red face Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Dsl
    Il me semblait bien qu'il y avait quelque chose qui clochait...
    C'est entièrement du programme de spé alors...
    Les divisions euclidiennes, je les ai pas vues.
    Y a encore plus de pains sur la planche que prévu.

    Je vais regarder tous les messages alors...

  34. #28
    XV de France

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Pour g_h:
    En regardant la première réponse proposée pour la question 1., j'ai essayé de comprendre la division euclidienne.
    Si mon analyse est correcte une division euclidienne ne se traduit en écriture mathématique par une division mais plutôt par une multiplication:
    du genre a est le quotient de la division euclidienne de b par c; avec a, b et c entiers naturels (ce qui semble être toujours le cas, au moins des entiers, dans les divisions euclidiennes), alors:
    b = ca + r avec 0 r c

    Est-ce bien celà???
    Merci de m'éclairer

  35. #29
    g_h

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Citation Envoyé par XV de France
    du genre a est le quotient de la division euclidienne de b par c; avec a, b et c entiers naturels (ce qui semble être toujours le cas, au moins des entiers, dans les divisions euclidiennes), alors:
    b = ca + r avec 0 r c

    Est-ce bien celà???
    Merci de m'éclairer

    Tu peux très bien raisonner dans , et pas seulement dans pour la division euclidienne.

    Sinon je suis d'accord, si ce n'est que c'est plutôt plutôt que

  36. #30
    XV de France

    Re : [Maths] [TS] Exercice d'arithmétique

    Citation Envoyé par g_h
    Sinon je suis d'accord, si ce n'est que c'est plutôt plutôt que
    Donc, si j'ai bien compris les divisions euclidiennes sont définies dans l'ensemble Z, et 0 r < c

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