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[Maths] [L1] Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan) [R]



  1. #1
    martini_bird

    [Maths] [L1] Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan) [R]


    ------

    Bonjour,

    pour les bacheliers de FSG, je propose un petit aperçu de la théorie des groupes que certains parmi vous verront l'année prochaine. Ce volet (il y pourra y en avoir d'autres) a pour objet de resituer des acquis de terminale (les similitudes du plan) dans le cadre de la théorie des groupes: cette dernière étant en général abordée de manière très abstraite, il est donc de la plus haute importance de disposer d'exemples concrets et nombreux.

    On ne démontrera pas de théorème important en soi. Néanmoins, la structure du groupe des isométries de l'espace porte par exemple en elle la cause profonde du paradoxe de Banach-Tarski (existence d'un sous-groupe libre de rang deux). Il y a donc un intérêt dans ces études, même s'il n'est pas directement visible.

    Enfin, les questions ne sont pas particulièrement faciles, mais l'équipe est bien entendu à disposition pour toute demande d'éclaircissement.

    On se placera dans le plan , que l'on identifiera souvent avec le plan complexe . L'espace des vecteurs du plan sera noté E.

    Rappel

    Les similitudes du plan sont les transformations du plan qui conservent les rapports de longueur. Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.

    Les similitudes du plan comprennent:
    • les translations de vecteur , notées ;
    • les rotations de centre et d'angle , notées ;
    • les homothéties de centre et de rapport , notées ;
    • les symétries d'axe , notées ;
    ainsi que toutes les compositions de ces transformations élémentaires.

    Préliminaire
    0 - Pour chaque transformation élémentaire, puis dans le cas d'une similitude quelconque, écrire la transformation du plan complexe associée. (Reprendre le cours au besoin )
    Définition

    Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition telle que:
    • i) la loi est associative: pour tout , .
    • ii) il existe un élément neutre pour : il existe un élément tel que, pour tout , .
    • iii) tout élément admet un inverse: pour tout , il existe un élément noté tel que .
    Exemple

    L'ensemble des translations du plan forme un groupe pour la composition car:
    i) étant données trois translations de vecteurs respectifs , , , on a
    ii) l'application identique est l'élément neutre de ce groupe.
    iii) étant donnée une translation , son inverse est évidemment .

    Remarque: on aurait pu passer par l'écriture complexe.
    1 - Démontrer que l'ensemble des similitudes muni de la loi de composition forme un groupe.
    2 - Démontrer que le sous-ensemble des rotations de centre donné muni de la composition est un groupe.
    On dit que le groupe des rotations de centre donné (ou le groupe des translations) est un sous-groupe du groupe des similitudes.
    3 - Trouver d'autres sous-groupes du groupe des similitudes.
    4 - Que peut-on dire dans le cas général de la composition de deux homothéties? de deux rotations?
    Ordre d'un élément

    Dans un groupe G on appelle ordre d'un élément g, le plus petit entier n strictement positif tel que gn=e. Si cet entier n'existe pas, on dit que g est d'ordre infini.
    Exemple
    Une symétrie est d'ordre deux.


    5 - Quel est l'ordre d'une rotation d'angle (n entier)? d'une homothétie? d'une translation?
    Commutativité

    Un groupe (G, ) est dit commutatif (ou abélien) si pour tout , .
    Exemple
    Le groupe des translations est abélien.

    6 - Le groupe des similitudes est-il commutatif? Et le sous-groupe des rotations de centre donné?
    Deux sous-groupes finis.
    7 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un triangle équilatéral ABC (faire le lien avec les permutations des lettres ABC).
    8 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un carré ABCD. Comparer avec le groupe de permutation des lettres ABCD.
    Isomorphismes

    Soit (G, ) et (H, ) deux groupes.
    Un isomorphisme entre G et H est une application bijective qui préserve la structure de groupe.
    Plus précisément, est un isomorphisme si:
    • i) il existe une application telle que et
    • ii) Pour tout
    G et H sont alors dits isomorphes.
    Remarque
    Une bijection met en correspondance deux ensembles G et H de la manière la plus élémentaire: à chaque élément de G correspond un seul élément de H (par ) et inversement, à chaque élément de H correspond un seul élément de G (par ). Dans le cas où G et H sont finis, ils doivent bien sûr avoir le même nombre d'éléments.

    Un isomorphisme une bijection qui en outre préserve la structure de groupe. Dans la pratique, deux groupes isomorphes sont indistinguables par leur structure: seul change la nature des éléments.

    Exemple: à toute translation est associée un unique vecteur, et réciproquement, tout vecteur définit une translation. C'est ce qui justifie que l'on identifie les translations (applications du plan sur lui-même) avec E, qui nous permet de faire des calculs!

    9 - Prouver que le groupe des translations est isomorphe au groupe des vecteurs du plan E (on pourra s'assurer préalablement que E muni de l'addition des vecteurs est bien un groupe).
    10 - A quel groupe pourrait bien être isomorphe le groupe des rotations de centre donné?
    11 - (subsidiaire) Que dire de l'ensemble des isomorphismes d'un groupe G dans un groupe H?
    _____________________________

    On peut faire remonter l'origine de la théorie des groupes au début du XIXème siècle essentiellement avec les groupes de permutations des racines de polynômes (Galois, 1832). Mais la géométrie projective (Poncelet, 1822) et les géométries non-euclidiennes (Lobatchevski) jouent également un rôle fondamentale dans son élaboration à laquelle restent attachés les noms de Jordan, Cayley, Klein ou Lie.

    Pour ce qui nous concerne, le groupe des similitudes du plan a fourni la réponse à un problème de Poncelet concernant les propriétés métriques conservées par les transformations projectives laissant invariants les points cycliques (Laguerre, 1853).

    Plus d'infos dans l'inaltérable Abrégé d'histoires des mathématiques de J. Dieudonné ou sur google.

    -----

  2. #2
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Hmm, je mets ce fil de côté pour y revenir un peu plus tard !

    Je fais quand même la question 0)

    0)

    * Translation de vecteur d'affixe




    * Rotation de centre d'affixe et d'angle




    * Homothétie de centre d'affixe et de rapport




    * Symétrie d'axe

    Je n'ai jamais vu ça en cours sous la forme générale... enfin voilà ce que je trouve avec mes souvenirs de spé maths (même si il doit y avoir plus simple)
    En ayant 2 points distincts de ayant pour affixes respectifs et


    Avec

    et


    * Pour une similitude quelconque, on a au choix :
    (similitude directe)
    (similitude indirecte)
    Avec a et b complexes


    J'espère ne pas m'être trompé... !
    Dernière modification par g_h ; 31/07/2005 à 19h46. Motif: orthographe

  3. #3
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut,

    ok bon début.

    Pour les réflexions, on peut allèger à peine les écritures en prenant un point et un vecteur directeur unitaire de . Mais celà revient au même.

    Bon courage pour la suite.

  4. #4
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Alléger ? Apparemment on peut écrire sous la forme

    C'est déjà plus facile à retenir (je ne vais pas dire que c'est plus intuitif...)

    EDIT : voire même

    étant un vecteur directeur de la droite et l'affixe d'un point quelconque de

    Non ?
    Dernière modification par g_h ; 31/07/2005 à 21h38.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    juste pour rectifier une petite bourde: je parlais de et pas de (qui n'existe pas... )

  7. #6
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    J'avais dit qu'on pouvait alléger à peine.

    Mais de toute façon, le résultat important est celui que tu as brillament indiqué:

    Citation Envoyé par g_h
    Pour une similitude quelconque, on a au choix :
    (similitude directe)
    (similitude indirecte)
    Avec a et b complexes
    Cordialement.

    EDIT: on peut aussi appeler u l'affixe d'un vecteur unitaire et l'angle pour écrire la similitude:
    Dernière modification par martini_bird ; 31/07/2005 à 21h51.

  8. #7
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de composition [...]
    Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?

    martini_bird> je ne déserte pas, la suite de l'exo je reviendrai la faire dans un peu plus d'une semaine (à moins que je ne l'emporte à la plage, lol)

    Et j'oubliais, merci pour cet exo !

  9. #8
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par g_h
    Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?
    Une loi de composition est simplement un procédé qui, partant de deux objets, en associe un troisième.

    Par exemple, l'addition est une loi de composition sur N (ou sur Z, Q, R, ...).

    Par ailleurs, la composition des similitudes du plan est une loi de composition sur l'ensemble des similitudes du plan: étant données deux similitudes f et g, on obtient la similitude fog: P → f(g(P)).

    Il y a bien entendu maints autres exemples de lois de composition (soustraction, multiplication, etc.). C'est ce concept qui est généralisé sous forme abstraite.

    Cordialement.

    PS: bonnes vacances!

    PS2: n'hésitez pas à poser des questions, car il y aura pas mal de notions nouvelles (mais pas complètement étrangères) dans la suite.
    Dernière modification par martini_bird ; 31/07/2005 à 22h12.

  10. #9
    matthias

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par g_h
    Je voulais juste savoir... qu'est-ce qui définit une "loi de composition" ?
    Tu peux voir une loi de composition interne sur un ensemble E comme une application de ExE dans E.

  11. #10
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Bon, c'est reparti :

    1)

    Déjà, il faut montrer que la loi de composition est associative pour l'ensemble des similitudes... ça paraît presque évident au vu de leur écriture complexe, mais bon :

    Soient S1, S2 et S3 des similitudes directes d'écriture complexe respectives :





    On a ainsi d'écriture complexe :



    Et pour , oh magie, on trouve exactement la même chose.

    On recommence avec S1, S2 et S3 des similitudes indirectes d'écriture complexe respectives :





    a pour écriture complexe :


    Et on a évidemment la même chose pour
    => la loi est associative.

    - ELEMENT NEUTRE :
    La loi possède aussi un élément neutre, c'est l'identité du plan notée : pour toute similitude S,


    - INVERSE (je suis pas sûr de ce raisonnement, mais je serais curieux de savoir si il est bon) :

    Soient
    et

    f et g sont définies pour tout z appartenant à

    Soit .

    L'équation possède une unique solution dans : . avec a non nul (si a est nul, f n'est pas l'écriture complexe d'une similitude, peut-être aurais-je dû le préciser plus haut ?)
    Donc f est une bijection de dans
    Donc f admet une réciproque (très facile à exprimer ).
    Donc toute similitude directe admet une similitude inverse d'écriture complexe telle que (car est la fonction identité)

    De même, l'équation admet une unique solution dans : , et en appliquant le même raisonnement qu'au dessus, on peut dire que toute similitude admet une similitude inverse.

    Conclusion : l'ensemble des similitudes du plan muni de la loi de composition est un groupe.


    Là où je ne suis pas sûr de moi, c'est qu'en montrant que l'écriture complexes des similitudes indirectes possédaient une réciproque, je n'ai pas montré que la réciproque était elle aussi l'écriture complexe d'une similitude... est-ce qu'il fallait alors vraiment développer le calcul pour s'y ramener (ça marchait, mais j'avais envie d'essayer autre chose...), ou y-avait-il un autre moyen ?

  12. #11
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut,

    ok pour l'associativité et l'élément neutre: c'est en effet très simple; le plus long est d'écrire.

    Citation Envoyé par g_h
    - INVERSE (je suis pas sûr de ce raisonnement, mais je serais curieux de savoir si il est bon) :

    Soient
    et

    f et g sont définies pour tout z appartenant à

    Soit .

    L'équation possède une unique solution dans : . avec a non nul (si a est nul, f n'est pas l'écriture complexe d'une similitude, peut-être aurais-je dû le préciser plus haut ?)
    Oui, c'est de ma faute aussi de ne pas l'avoir relevé.

    Citation Envoyé par g_h
    Donc f est une bijection de dans
    Donc f admet une réciproque (très facile à exprimer ).
    Rien à dire au sujet de la rigueur.
    Simplement, exhiber la fonction réciproque démontre ipso facto le caractère bijectif de la fonction. En écrivant directement , tu t'épargnes le développement précédent.

    Citation Envoyé par g_h
    Donc toute similitude directe admet une similitude inverse d'écriture complexe telle que (car est la fonction identité)

    De même, l'équation admet une unique solution dans : , et en appliquant le même raisonnement qu'au dessus, on peut dire que toute similitude admet une similitude inverse.

    Conclusion : l'ensemble des similitudes du plan muni de la loi de composition est un groupe.
    Le lecteur comprend bien que le cas des similitudes indirectes se traite de la même manière.

    Citation Envoyé par g_h
    Là où je ne suis pas sûr de moi, c'est qu'en montrant que l'écriture complexes des similitudes indirectes possédaient une réciproque, je n'ai pas montré que la réciproque était elle aussi l'écriture complexe d'une similitude... est-ce qu'il fallait alors vraiment développer le calcul pour s'y ramener (ça marchait, mais j'avais envie d'essayer autre chose...), ou y-avait-il un autre moyen ?
    A supposer que tu n'aies pas traité le cas des similitudes directes, il aurait fallu en effet détailler pourquoi la fonction réciproque est une similitude. Dans le contexte, le plus simple reste d'écrire cette dernière explicitement.

    Cordialement.

  13. #12
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Simplement, exhiber la fonction réciproque démontre ipso facto le caractère bijectif de la fonction. En écrivant directement , tu t'épargnes le développement précédent.
    Pourquoi ? La réciproque d'une fonction seulement injective existe bien, et elle est elle aussi injective si je ne dis pas n'importe quoi... Il faut donc bien préciser qu'on est dans le cas d'une bijection... non ? Sinon je ne peux pas assurer que la réciproque de la similitude existe bien pour tout point du plan

    Citation Envoyé par martini_bird
    A supposer que tu n'aies pas traité le cas des similitudes directes, il aurait fallu en effet détailler pourquoi la fonction réciproque est une similitude.
    Ok, en fait le truc c'est que j'avais beaucoup de mal à trouver l'écriture complexe de la réciproque, donc à priori rien ne m'assurait que je retombe sur l'écriture d'une similitude indirecte ! (même si c'était "évident", mais bon, l'intuition joue parfois des tours)

    Je me rattrappe : (j'ai mis longtemps avant de réussir à trouver ça... !)

  14. #13
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    En fait je viens de me rendre compte que je viens de passer 15 minutes à montrer que , en passant par l'écriture complexe de Im(z) et de Re(z)... on va dire que c'est les vacances... !

  15. #14
    Romain-des-Bois

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par g_h
    En fait je viens de me rendre compte que je viens de passer 15 minutes à montrer que , en passant par l'écriture complexe de Im(z) et de Re(z)... on va dire que c'est les vacances... !
    C'est vrai que 1/4 d'heure pour ça, c'est ...

    mais bravo pour le reste ! t'as l'air bien motivé !

    et Matthias et Martini aussi !

    Bravo

    Romain

    PS : j'suis en vacances (moi ) et j'attends la rentrée pour bosser... , même si je buche la théorie des groupes etc ... dans un bouquin de sup.
    PPS : y en a qui sont dingues (oops ), on bosse au lieu de nous reposer avant la longue année qui nous attend en maths sup.

  16. #15
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut,

    Citation Envoyé par g_h
    Pourquoi ? La réciproque d'une fonction seulement injective existe bien, et elle est elle aussi injective si je ne dis pas n'importe quoi... Il faut donc bien préciser qu'on est dans le cas d'une bijection... non ? Sinon je ne peux pas assurer que la réciproque de la similitude existe bien pour tout point du plan
    Pour être précis, une fonction injective f : E → F est en fait une bijection de E sur f(E): à ce titre la fonction g : E → f(E) admet une fonction réciproque.

    Sinon, étant donnée une fonction f, si l'on peut exhiber la fonction réciproque (qui permet de "revenir en arrière"), c'est que f est une bijection.

    Rigoureusement, on démontre que si f : E → F et qu'il existe g : F → E telles que fog=idF, alors f est surjective. De même s'il existe g : F → E telles que gof=idE, alors f est injective.
    La fonction réciproque de f étant par définition la fontion g vérifiant ces deux conditions, on en déduit donc que f (et g) est une bijection. (c'est un bon exercice de démontrer les deux propositions ci-dessus.)

    Citation Envoyé par g_h
    Ok, en fait le truc c'est que j'avais beaucoup de mal à trouver l'écriture complexe de la réciproque, donc à priori rien ne m'assurait que je retombe sur l'écriture d'une similitude indirecte ! (même si c'était "évident", mais bon, l'intuition joue parfois des tours)

    Je me rattrappe : (j'ai mis longtemps avant de réussir à trouver ça... !)
    OK ou encore:

    Cordialement.

  17. #16
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Bon allez :

    2) Une rotation est une similitude directe (avec une écriture complexe de la forme )

    * L'associativité est donc déjà démontrée.
    * L' élément neutre, puisque l'on est toujours dans le domaine des transformations du plan, c'est l'identité du plan, c'est à dire ici l'ensemble des rotations d'angle
    * Tout rotation admet d'angle admet un inverse : les rotations de même centre et d'angle

    => on a bien un groupe

    3) Comme autres sous-groupes :

    similitudes directes
    similitudes indirectes
    homothéties
    isométries
    symétries axiales
    déplacements et antidéplacements

    et peut-etre d'autres, mais je ne les ai pas vues en cours

    4) Heu, que les angles s'additionnent et que les rapports se multiplient entre eux ? (se prouve facilement avec l'écriture complexe)
    A part ça...

    5) Une rotation d'angle avec n entier est d'ordre n, puisque les angles s'ajoutent et qu'une rotation d'angle est l'identité

    L'identité du plan est une homothetie de rapport 1.
    Puisque les rapports se multiplient, on a donc au choix :
    rapport 1 : ordre 1
    rapport -1 : ordre 2
    sinon, ordre infini

    Pour les translations, pour un vecteur nul c'est d'ordre 1, d'ordre infini sinon

    La suite au prochain épisode, en espérant ne pas avoir fait d'erreurs... !

  18. #17
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Saut,

    Citation Envoyé par g_h
    Bon allez :

    2) Une rotation est une similitude directe (avec une écriture complexe de la forme )

    * L'associativité est donc déjà démontrée.
    * L' élément neutre, puisque l'on est toujours dans le domaine des transformations du plan, c'est l'identité du plan, c'est à dire ici l'ensemble des rotations d'angle
    * Tout rotation admet d'angle admet un inverse : les rotations de même centre et d'angle

    => on a bien un groupe
    OK.

    Citation Envoyé par g_h
    3) Comme autres sous-groupes :

    similitudes directes
    similitudes indirectes
    homothéties
    isométries
    symétries axiales
    déplacements et antidéplacements

    et peut-etre d'autres, mais je ne les ai pas vues en cours
    Il est temps de préciser un peu la définition d'un groupe que j'ai donnée: par loi de composition générale sur un ensemble E, il faut comprendre une application E x E → F qui associe un élément de F à tout couple (x, y) de E. Lorsque F=E, on dit qu'il s'agit d'une loi de composition interne.

    Exemple: la multiplication est une loi de composition interne (lci) sur R.
    La soustraction est une loi de composition sur N mais n'est pas une lci.

    Dans la définition, on entend bien évidemment que la loi de composition doit être interne. Celà peut paraître anodin, mais l'est beaucoup moins lorsque l'on parle de sous-groupes.

    Question: parmi les ensembles que tu as cités, lesquels sont bien des sous-groupes?

    Par ailleurs, il y en a que tu pouvais déjà éliminer: par exemple, est-ce que l'élément neutre appartient à l'ensemble des similitudes indirectes?

    Citation Envoyé par g_h
    4) Heu, que les angles s'additionnent et que les rapports se multiplient entre eux ? (se prouve facilement avec l'écriture complexe)
    A part ça...
    Même lorsque les centres sont distincts? (essais et constructions sur le papier hautement recommandées )

    Citation Envoyé par g_h
    5) Une rotation d'angle avec n entier est d'ordre n, puisque les angles s'ajoutent et qu'une rotation d'angle est l'identité

    L'identité du plan est une homothetie de rapport 1.
    Puisque les rapports se multiplient, on a donc au choix :
    rapport 1 : ordre 1
    rapport -1 : ordre 2
    sinon, ordre infini

    Pour les translations, pour un vecteur nul c'est d'ordre 1, d'ordre infini sinon
    C'est ça, mais j'attends les démonstration.

    Cordialement.

  19. #18
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Dans la définition, on entend bien évidemment que la loi de composition doit être interne. Celà peut paraître anodin, mais l'est beaucoup moins lorsque l'on parle de sous-groupes.
    Aerf, oui, en effet, c'est un détail qui a son importance, je l'avais zappé... !

    Citation Envoyé par martini_bird
    Question: parmi les ensembles que tu as cités, lesquels sont bien des sous-groupes?
    Ca change la donne !
    Oublions les similitudes indirectes (la composée de 2 similitudes indirectes est une similitude directe).
    Oublions donc de même les symétries axiales et les antidéplacements...
    Par contre, je peux garder les isométries, la loi de composition est bien interne.

    Donc il reste, en plus des rotations et des translations :
    les similitudes directes
    les homothéties (possède un élément neutre : rapport 1 et un inverse : homothétie de même centre de de rapport inverse)
    les isométries (cas particuler des similitudes de rapport 1 donc l'élément neutre et l'inverse se déduit directement de 1), les rapports se multipliant on reste dans les isométries avec la loi de composition)
    les déplacements (idem)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Par ailleurs, il y en a que tu pouvais déjà éliminer: par exemple, est-ce que l'élément neutre appartient à l'ensemble des similitudes indirectes?
    Erf, non ! Si j'avais le courage je pourrais essayer de refaire la démonstration (programme de TS) que toute similitude indirecte possédant au moins 2 points invariants est une symétrie axiale.
    Puisque l'identité n'est pas une symétrie axiale mais qu'elle a au moins 2 points invariants, on en déduit par contraposée qu'elle ne fait pas partie de l'ensemble des similitudes indirectes, donc pour que ça soit un groupe, je pouvais toujours courir

    Citation Envoyé par martini_bird
    Même lorsque les centres sont distincts? (essais et constructions sur le papier hautement recommandées )
    Huhu, j'ai dit une grosse bourde !
    Mais je ne vois vraiment pas ce qu'il y a à dire de particulier... !

    Citation Envoyé par martini_bird
    C'est ça, mais j'attends les démonstration.
    Oui, il en manque un bout

    Pour la rotation d'angle , d'écriture complexe z -> az + b (a différent de 0 et de 1, et de module 1), la "composée k-ème" (je ne sais pas comment ça s'apelle ) a pour écriture complexe :



    L'angle de cette rotation rotation, vaut donc arg(ak), soit k*arg(a) (modulo 2 pi)
    Ici, arg(a) =
    Donc, pour que la "composée k-ième" soit l'identité du plan, il faut et il suffit que :
    en divisant par et en multipliant par n

    Une composée d'ordre négatif n'ayant pas de sens, on prend donc pour avoir k le plus petit possible, et il s'ensuit que k = n.

    Donc une rotation d'angle est d'ordre n.

    Fin de la question 5 plus tard, là c'est dodo ! (j'espere pas de trop grosse bourde cette fois... juste la question 4 qui me chiffone... !)
    Dernière modification par g_h ; 16/08/2005 à 01h17.

  20. #19
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par g_h
    Aerf, oui, en effet, c'est un détail qui a son importance, je l'avais zappé... !


    Ca change la donne !
    Oublions les similitudes indirectes (la composée de 2 similitudes indirectes est une similitude directe).
    Oublions donc de même les symétries axiales et les antidéplacements...
    Par contre, je peux garder les isométries, la loi de composition est bien interne.

    Donc il reste, en plus des rotations et des translations :
    les similitudes directes
    les homothéties (possède un élément neutre : rapport 1 et un inverse : homothétie de même centre de de rapport inverse)
    les isométries (cas particuler des similitudes de rapport 1 donc l'élément neutre et l'inverse se déduit directement de 1), les rapports se multipliant on reste dans les isométries avec la loi de composition)
    les déplacements (idem)
    Est-ce que la composée de deux similitudes directes (resp. homothéties, isométries) est encore une similitude directe (resp. homothétie, isométrie)? C'est essentiel pour avoir un sous-groupe (cette propriété s'appelle la stabilité pour la loi de composition): voir plus bas.

    Citation Envoyé par g_h
    Erf, non ! Si j'avais le courage je pourrais essayer de refaire la démonstration (programme de TS) que toute similitude indirecte possédant au moins 2 points invariants est une symétrie axiale.
    Puisque l'identité n'est pas une symétrie axiale mais qu'elle a au moins 2 points invariants, on en déduit par contraposée qu'elle ne fait pas partie de l'ensemble des similitudes indirectes, donc pour que ça soit un groupe, je pouvais toujours courir
    Il y a plus simple: une similitude indirecte change l'orientation des angles. Or ce n'est évidemment pas le cas de l'identité.


    Citation Envoyé par g_h
    Huhu, j'ai dit une grosse bourde !
    Mais je ne vois vraiment pas ce qu'il y a à dire de particulier... !
    Et bien précisément que la composée de deux homothéties n'est pas nécessairement une homothétie (pareil pour les rotations): comme l'ensemble des homothéties n'est pas stable pour la composition, il ne forme pas un sous-groupe.

    Cette question tient aussi de rappel, car le fait que la composée de deux homothéties ou de deux rotations peut être une translation tend à s'évaporer pendant les vacances.

    Citation Envoyé par g_h
    Oui, il en manque un bout

    Pour la rotation d'angle , d'écriture complexe z -> az + b (a différent de 0 et de 1, et de module 1), la "composée k-ème" (je ne sais pas comment ça s'apelle ) a pour écriture complexe :



    L'angle de cette rotation rotation, vaut donc arg(ak), soit k*arg(a) (modulo 2 pi)
    Ici, arg(a) =
    Donc, pour que la "composée k-ième" soit l'identité du plan, il faut et il suffit que :
    en divisant par et en multipliant par n

    Une composée d'ordre négatif n'ayant pas de sens, on prend donc pour avoir k le plus petit possible, et il s'ensuit que k = n.

    Donc une rotation d'angle est d'ordre n.
    OK. Le point essentiel à ne pas omettre est bien de prendre k le plus petit possible.

    Pour la rédaction de la démonstration, tu aurais aussi pu choisir le centre de la rotation comme origine du repère de sorte qu'elle s'écrive .

    Cordialement.
    Dernière modification par martini_bird ; 16/08/2005 à 02h12.

  21. #20
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Il y a plus simple: une similitude indirecte change l'orientation des angles. Or ce n'est évidemment pas le cas de l'identité.
    Lol, oui en effet, pas besoin d'aller chercher trop loin !


    Citation Envoyé par martini_bird
    Et bien précisément que la composée de deux homothéties n'est pas nécessairement une homothétie (pareil pour les rotations): comme l'ensemble des homothéties n'est pas stable pour la composition, il ne forme pas un sous-groupe.

    Cette question tient aussi de rappel, car le fait que la composée de deux homothéties ou de deux rotations peut être une translation tend à s'évaporer pendant les vacances.
    Le pire c'est que j'étais sûr du contraire... je n'ai même pas cherché de ce côté !
    Bon, pour ma défense je dirais que l'on a baclé cette partie du programme (le prof n'aimait que l'arithmétique, ça se ressentait un peu dans les cours... et en feignant que je suis, je n'ai pas trop cherché à le finir )

    Citation Envoyé par martini_bird
    Pour la rédaction de la démonstration, tu aurais aussi pu choisir le centre de la rotation comme origine du repère de sorte qu'elle s'écrive
    Hmm, en effet ça simplifie aussi !

    Comme quoi un bon coup d'antirouille pendant les vacances ne fait pas de mal !


    Suite et fin de la question 5)

    Soit une homothétie H d'écriture complexe (on se ramène a une homothétie à l'origine du repère, que l'on peut composer avec 2 translations pour obtenir une homothétie de centre quelconque, comme pour les rotations)

    Hn a donc pour écriture complexe
    L'identité est une homothétie quelconque de rapport 1.
    Donc Hn est l'identité ssi
    ce qui implique que .
    Donc puisque :


    On prend n le plus petit possible, donc n = 2 dans le premier cas et n = 1 dans le second.

    Conclusion : une homothétie de rapport -1 est d'ordre 2, une homothétie de rapport 1 est d'ordre 1. Toutes les autres homothéties sont d'ordre infini.


    Soit T une translation d'écriture complexe où t est l'affixe du vecteur de la translation.
    Tn a pour écriture complexe
    Or, l'identité du plan a pour écriture complexe
    Donc :

    Or, puisque n est différent de 0, Donc :

    Il n'y a donc pas de condition sur n si t = 0, puisque n est un entier naturel strictement positif, on peut choisir n = 1.

    Donc une translation de vecteur nul est d'ordre 1. Toute autre translation est d'ordre infini.

    Voilà, la suite plus tard !

    Et merci pour ta patience martini_bird !

  22. #21
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut,

    je suis d'accord avec ce que tu as écrit.

    Citation Envoyé par g_h
    Donc puisque :
    Du point de vue de la rédaction, j'aurais plutôt écrit:

    Un peu de français ne fait jamais de mal.

    Sinon, pour récapituler, on a comme sous-groupes du groupe des similitudes:
    • Les similitudes directes.
    • Les translations.
    • Les isométries.
    • Les rotations de centre donné.
    • Les homothéties de centre donné.

    Mais il y en a beaucoup d'autres (en fait une infinité)...

    En revanche les similitudes indirectes, les rotations, les homothéties ne sont pas des sous-groupes car ce ne sont pas des ensembles stables pour la composition.

    Cordialement.

  23. #22
    [KR]

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Bonjour,
    Tout d'abord merci à l'auteur pour son exercice fort intéressant(j'avais déja eu l'occasion de m'approcher des groupes lors des TPE pour des cristaux organiques).
    Je n'aurais cependant pas le courage de taper la solution(stt si on veut être rigoureux)
    Je peux par contre indiquer les méthodes de résolution.
    Première remarque pour la question 4) il n'existe pas de sous groupes des homothéties ou des rotations il faut qu'elles aient le même centre(voir avec l'écriture complexe et un dessin)
    Pour la 5) rotation : on applique n fois à un point la rotation r d'angle 2pi/n il revient à sa position d'origine(identité), l'ordre est donc n
    homothétie: je ne peux pas l'écrire en caractères normaux: méthode on pose une relation vraie pour tout point M on compose n fois de suite et on n'a pas l'identité, elle n'a pas d'ordre,pareil pour les translations.
    pour la 6) similitudes: procéder par contre exemples pour montrer que le groupe n'est pas commutatif
    rotation: utiliser les écritures complexes

    7)j'en compte 6
    8) j'en compte 8
    9)a chaque translation on fait correspondre un unique vecteur (bijection.....)
    le reste je l'ai pas encore fait (je m'y met aujourd'hui)

  24. #23
    [KR]

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    10) [0,2pi] pour les rotations

  25. #24
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut,

    Citation Envoyé par [KR]
    Première remarque pour la question 4) il n'existe pas de sous groupes des homothéties ou des rotations il faut qu'elles aient le même centre(voir avec l'écriture complexe et un dessin)
    La phrase est maladroite: il vaudrait mieux dire que l'ensemble de toutes les homothéties (ou de toutes les rotations) ne forme pas un groupe pour la loi de composition.

    Citation Envoyé par [KR]
    Pour la 5) rotation : on applique n fois à un point la rotation r d'angle 2pi/n il revient à sa position d'origine(identité), l'ordre est donc n
    Il manque quelque chose: si on compose 2n fois la même rotation, on obtient également l'identité. L'ordre de cette rotation n'est pourtant pas 2n...

    Citation Envoyé par [KR]
    homothétie: je ne peux pas l'écrire en caractères normaux: méthode on pose une relation vraie pour tout point M on compose n fois de suite et on n'a pas l'identité, elle n'a pas d'ordre,pareil pour les translations.
    Désolé, mais je n'ai pas compris.

    Citation Envoyé par [KR]
    pour la 6) similitudes: procéder par contre exemples pour montrer que le groupe n'est pas commutatif
    Quelqu'un pour exhiber un tel contre-exemple?

    Citation Envoyé par [KR]
    rotation: utiliser les écritures complexes
    Un peu succinct comme réponse.

    Citation Envoyé par [KR]
    7)j'en compte 6
    8) j'en compte 8
    C'est bien celà.

    Citation Envoyé par [KR]
    9)a chaque translation on fait correspondre un unique vecteur (bijection.....)
    Quelle est l'isomorphisme en question?

    Cordialement.

  26. #25
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par [KR]
    10) [0,2pi] pour les rotations
    [0, 2] est un ensemble. Pour avoir un groupe, il faudrait une loi de composition sur cet ensemble...

  27. #26
    [KR]

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Merci des réponses (y a t-il comme promis d’autres exos du même style ?)
    5/ Je proteste 2n ne convient pas car l’ordre est le plus petit entier n tel que ….. or 2n est supérieur à n donc l’ordre est n et pas 2n.
    6/Contre-exemple pour les similitudes :s1 d’écriture complexe z’=2z+2 et s2 d’écriture complexe z’=3z+6, il y en a d’autres bien sur.
    Pour les rotations il suffit d’écrire les écritures complexes de deux rotations(cas général) et de les composer r1rondr2 et r2rondr1.
    10/Effectivement j’entendais [o ;2pi] avec une congruence de (2pi) doté d’une loi de composition additive. Ceci dit il est plus simple de dire que le groupe des rotations de centre donné est isomorphe au groupe des nombres complexes de module 1 dotés d’une loi interne multiplicative(ce qui revient à faire des sommes d’arguments).

  28. #27
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Salut et désolé pour le retard.

    Citation Envoyé par [KR]
    Merci des réponses (y a t-il comme promis d’autres exos du même style ?)
    Oui. Pour ma part, je vais laisser passer la rentrée (je n'aurai pas de connexion pendant quelques temps). Mais dès que je reviens, je proposerai un sujet (peut-être sur les groupes de permutations, ou bien sur les groupes de nombres ).

    Citation Envoyé par [KR]
    5/ Je proteste 2n ne convient pas car l’ordre est le plus petit entier n tel que ….. or 2n est supérieur à n donc l’ordre est n et pas 2n.
    Il fallait donc bien préciser que n est le plus petit entier qui convient. Cette remarque peut paraître anodine, mais c'est une omission classique.

    Citation Envoyé par [KR]
    6/Contre-exemple pour les similitudes :s1 d’écriture complexe z’=2z+2 et s2 d’écriture complexe z’=3z+6, il y en a d’autres bien sur.
    OK.

    Citation Envoyé par [KR]
    Pour les rotations il suffit d’écrire les écritures complexes de deux rotations(cas général) et de les composer r1rondr2 et r2rondr1.
    Et surtout de démontrer l'égalité lorsque et ont même centre, mais j'imagine bien que c'est ce que tu avais en tête.

    Citation Envoyé par [KR]
    10/Effectivement j’entendais [o ;2pi] avec une congruence de (2pi) doté d’une loi de composition additive. Ceci dit il est plus simple de dire que le groupe des rotations de centre donné est isomorphe au groupe des nombres complexes de module 1 dotés d’une loi interne multiplicative(ce qui revient à faire des sommes d’arguments).
    Exactement. D'ailleurs le groupe des nombres complexes de module 1 muni de la loi d'addition des arguments (noté ) est isomorphe au groupe des réels modulo 2 muni de l'addition modulo 2.

    Question: écrire cet isomorphisme.

    Cordialement.

  29. #28
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par martini_bird
    Exactement. D'ailleurs le groupe des nombres complexes de module 1 muni de la loi d'addition des arguments (noté ) est isomorphe au groupe des réels modulo 2 muni de l'addition modulo 2.

    Question: écrire cet isomorphisme.
    ?
    Et pour l'isomorphisme "réciproque", non ?

    Les compositions de ces 2 isomorphismes sont bien l'identité dans les 2 groupes, et respectent bien l'autre propriété des isomorphismes


    Pour la 11), je dirais en cherchant très tordu, que l'ensemble des isomorphismes de G dans H, muni de la loi de composition interne de G, est un groupe isomorphe à l'ensemble des isomorphismes de H dans G, muni de la loi de composition interne de H, d'après les propriétés des isomorphismes (...mais j'ai peur de raconter des bêtises )

    Ou alors il faut chercher ailleurs ?

  30. #29
    g_h

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Oups, petit mélange, je reprends :

    Pour la 11), je dirais en cherchant très tordu, que l'ensemble des isomorphismes de G dans H, muni de la loi de composition interne de H, est un groupe isomorphe à l'ensemble des isomorphismes de H dans G, muni de la loi de composition interne de G

  31. #30
    martini_bird

    Re : [M][L1]Invitation à la théorie des groupes I (Similitudes du plan)

    Citation Envoyé par g_h
    ?
    Et pour l'isomorphisme "réciproque", non ?
    C'est pas mal: il faudrait simplement ajouter que tu choisis l'argument dans [0, 2[ (pour faire vraiment rigoureux, il faudrait parler de classes d'équivalence, mais ce n'est pas encore le moment).
    Dernière modification par martini_bird ; 29/08/2005 à 01h04. Motif: Orthographe

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