Bonjour,
pour les bacheliers de FSG, je propose un petit aperçu de la théorie des groupes que certains parmi vous verront l'année prochaine.Ce volet (il y pourra y en avoir d'autres) a pour objet de resituer des acquis de terminale (les similitudes du plan) dans le cadre de la théorie des groupes: cette dernière étant en général abordée de manière très abstraite, il est donc de la plus haute importance de disposer d'exemples concrets et nombreux.
On ne démontrera pas de théorème important en soi. Néanmoins, la structure du groupe des isométries de l'espace porte par exemple en elle la cause profonde du paradoxe de Banach-Tarski (existence d'un sous-groupe libre de rang deux). Il y a donc un intérêt dans ces études, même s'il n'est pas directement visible.
Enfin, les questions ne sont pas particulièrement faciles, mais l'équipe est bien entendu à disposition pour toute demande d'éclaircissement.
On se placera dans le plan, que l'on identifiera souvent avec le plan complexe
. L'espace des vecteurs du plan sera noté E.
Rappel
Les similitudes du plan sont les transformations du plan qui conservent les rapports de longueur. Une isométrie est une transformation qui conserve les longueurs.
Les similitudes du plan comprennent:ainsi que toutes les compositions de ces transformations élémentaires.
- les translations de vecteur
, notées
;
- les rotations de centre
et d'angle
, notées
;
- les homothéties de centre
et de rapport
, notées
;
- les symétries d'axe
, notées
;
Préliminaire
0 - Pour chaque transformation élémentaire, puis dans le cas d'une similitude quelconque, écrire la transformationDéfinitiondu plan complexe associée. (Reprendre le cours au besoin
)
Un groupe G est un ensemble muni d'une loi de compositiontelle que:
- i) la loi
est associative: pour tout
,
.
- ii) il existe un élément neutre pour
: il existe un élément
tel que, pour tout
,
.
- iii) tout élément admet un inverse: pour tout
, il existe un élément noté
tel que
.
Exemple
L'ensemble des translations du plan forme un groupe pour la composition car:
i) étant données trois translations de vecteurs respectifs,
,
, on a
ii) l'application identique est l'élément neutre de ce groupe.
iii) étant donnée une translation, son inverse est évidemment
.
Remarque: on aurait pu passer par l'écriture complexe.1 - Démontrer que l'ensemble des similitudes muni de la loi de compositionforme un groupe.
2 - Démontrer que le sous-ensemble des rotations de centre donné muni de la composition est un groupe.On dit que le groupe des rotations de centre donné (ou le groupe des translations) est un sous-groupe du groupe des similitudes.
3 - Trouver d'autres sous-groupes du groupe des similitudes.4 - Que peut-on dire dans le cas général de la composition de deux homothéties? de deux rotations?Ordre d'un élément
Dans un groupe G on appelle ordre d'un élément g, le plus petit entier n strictement positif tel que gn=e. Si cet entier n'existe pas, on dit que g est d'ordre infini.
ExempleCommutativité
Une symétrie est d'ordre deux.
5 - Quel est l'ordre d'une rotation d'angle(n entier)? d'une homothétie? d'une translation?
Un groupe (G,) est dit commutatif (ou abélien) si pour tout
,
.
Exemple
Le groupe des translations est abélien.
6 - Le groupe des similitudes est-il commutatif? Et le sous-groupe des rotations de centre donné?Deux sous-groupes finis.
7 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un triangle équilatéral ABC (faire le lien avec les permutations des lettres ABC).8 - Trouver toutes les similitudes qui laisse globalement invariant un carré ABCD. Comparer avec le groupe de permutation des lettres ABCD.Isomorphismes
Soit (G,) et (H,
) deux groupes.
Un isomorphisme entre G et H est une applicationbijective qui préserve la structure de groupe.
Plus précisément,est un isomorphisme si:
G et H sont alors dits isomorphes.
- i) il existe une application
telle que
et
- ii) Pour tout
Remarque
Une bijection met en correspondance deux ensembles G et H de la manière la plus élémentaire: à chaque élément de G correspond un seul élément de H (par) et inversement, à chaque élément de H correspond un seul élément de G (par
). Dans le cas où G et H sont finis, ils doivent bien sûr avoir le même nombre d'éléments.
Un isomorphisme une bijection qui en outre préserve la structure de groupe. Dans la pratique, deux groupes isomorphes sont indistinguables par leur structure: seul change la nature des éléments.
Exemple: à toute translation est associée un unique vecteur, et réciproquement, tout vecteur définit une translation. C'est ce qui justifie que l'on identifie les translations (applications du plan sur lui-même) avec E, qui nous permet de faire des calculs!
9 - Prouver que le groupe des translations est isomorphe au groupe des vecteurs du plan E (on pourra s'assurer préalablement que E muni de l'addition des vecteurs est bien un groupe).10 - A quel groupe pourrait bien être isomorphe le groupe des rotations de centre donné?11 - (subsidiaire) Que dire de l'ensemble des isomorphismes d'un groupe G dans un groupe H?_____________________________
On peut faire remonter l'origine de la théorie des groupes au début du XIXème siècle essentiellement avec les groupes de permutations des racines de polynômes (Galois, 1832). Mais la géométrie projective (Poncelet, 1822) et les géométries non-euclidiennes (Lobatchevski) jouent également un rôle fondamentale dans son élaboration à laquelle restent attachés les noms de Jordan, Cayley, Klein ou Lie.
Pour ce qui nous concerne, le groupe des similitudes du plan a fourni la réponse à un problème de Poncelet concernant les propriétés métriques conservées par les transformations projectives laissant invariants les points cycliques (Laguerre, 1853).
Plus d'infos dans l'inaltérable Abrégé d'histoires des mathématiques de J. Dieudonné ou sur google.![]()
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