[Maths] [L1-L2] Applications linéaires

[doryphore]

Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et F un -espace vectoriel.

Soient . Montrer les inégalités


Soient telles que et est inversible.
Montrer que
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[Bloud]

Salut !
Je tente la première question :
Prouvons que est un sev de .
Par définition, ce sont deux .
Il suffit donc de montrer que :

Comme et , on a :

Ainsi : . est donc bien un sev de
Par conséquent :

Or

donc
.

De là on déduit que :



Il est clair que . En effet :

En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
On a par conséquent :
[TEX]rg f \leqslant rg(f+g) + rg g \leftrightarrow rg f - rg g \leqslant rg(f+g)/TEX]
On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :

[Bloud]

Désolé j'ai dû faire des erreurs, je corrige le message

[Bloud]

Salut !
Je tente la première question :
Prouvons que est un sev de .
Par définition, ce sont deux .
Il suffit donc de montrer que :

Comme et , on a :

Ainsi : . est donc bien un sev de
Par conséquent :

Or

donc
.

De là on déduit que :



Il est clair que . En effet :

En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
On a par conséquent :

On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :

[Bloud]

Salut !
Je tente la première question :
Prouvons que est un sev de .
Par définition, ce sont deux .
Il suffit donc de montrer que :

Comme et , on a :

Ainsi : . est donc bien un sev de
Par conséquent :

Or

donc
.

De là on déduit que :



Il est clair que . En effet :

En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
On a par conséquent :

On montre de la même façon que :
.
Finalement, on peut conclure que :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bloud]

Désolé pour mes posts ratés, mais c'est la première fois que j'utilise latex sur le forum!

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[matthias]

Ca m'a l'air bon.

[Bloud]

Me revoilà pour le deuxième exercice :

Montrons d'abord qu'une et une seule des deux applications est forcément constamment nulle. Pour cela raisonnons par l'absurde :

- d'abord le cas trivial où les deux applications sont nulles : ceci est impossible dans la mesure où est inversible

- ensuite, supposons et non constamment nulles. Remarquons qu'alors les deux applications s'annulent plus d'une fois () mais qu'elles ne s'annulent jamais en même temps (excepté en ) : dans le cas contraire, on aurait } "> ce qui est impliquerait que n'est pas injective mais c'est impossible car est inversible.
Par conséquent il existe tel que :
.
Mais alors, on a :
.
Ceci est absurde car . On en conclut que l'on ne peut pas avoir et non constamment nulles.
Ainsi, on a soit soit constamment nulle.

Quitte à changer le rôle de et de , on peut maintenant supposer que .
Dès lors, on a : . On peut même écrire que : .
Or est inversible donc c'est une bijection. On en déduit que donc que .
Comme est une bijection, on a :
d'où
Ainsi :
Q.E.D.

[Bloud]

Petite erreur à la ligne 9 : il faut lire que le noyau de l'application linéaire est différent de l'ensemble {}.

[matthias]

.

Tu es en train de multiplier des vecteurs là ?

Pour des endomorphismes, la composition est souvent notée multiplicativement. Ici fg désigne donc fog ...

[Bloud]

Au temps pour moi. C'est une erreur bête! C'est à cause de l'habitude de travailler dans . Je vais me repencher sur le problème.