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[Maths] [L1-L2] Applications linéaires



  1. #1
    doryphore

    [Maths] [L1-L2] Applications linéaires

    Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et F un -espace vectoriel.

    Soient . Montrer les inégalités


    Soient telles que et est inversible.
    Montrer que

    -----

    "Plus les choses changent et plus elles restent les mêmes..." Snake Plisskein

  2. Publicité
  3. #2
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Salut !
    Je tente la première question :
    Prouvons que est un sev de .
    Par définition, ce sont deux .
    Il suffit donc de montrer que :

    Comme et , on a :

    Ainsi : . est donc bien un sev de
    Par conséquent :

    Or

    donc
    .

    De là on déduit que :



    Il est clair que . En effet :

    En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
    On a par conséquent :
    [TEX]rg f \leqslant rg(f+g) + rg g \leftrightarrow rg f - rg g \leqslant rg(f+g)/TEX]
    On montre de la même façon que :
    .
    Finalement, on peut conclure que :
    I was born intelligent...education ruined me!

  4. #3
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Désolé j'ai dû faire des erreurs, je corrige le message
    I was born intelligent...education ruined me!

  5. #4
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Salut !
    Je tente la première question :
    Prouvons que est un sev de .
    Par définition, ce sont deux .
    Il suffit donc de montrer que :

    Comme et , on a :

    Ainsi : . est donc bien un sev de
    Par conséquent :

    Or

    donc
    .

    De là on déduit que :



    Il est clair que . En effet :

    En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
    On a par conséquent :

    On montre de la même façon que :
    .
    Finalement, on peut conclure que :
    Dernière modification par Bloud ; 06/02/2006 à 12h19.
    I was born intelligent...education ruined me!

  6. #5
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Salut !
    Je tente la première question :
    Prouvons que est un sev de .
    Par définition, ce sont deux .
    Il suffit donc de montrer que :

    Comme et , on a :

    Ainsi : . est donc bien un sev de
    Par conséquent :

    Or

    donc
    .

    De là on déduit que :



    Il est clair que . En effet :

    En posant , on a donc i.e . On montre de la même manière que . On en conclut que et donc que .
    On a par conséquent :

    On montre de la même façon que :
    .
    Finalement, on peut conclure que :
    Dernière modification par Bloud ; 06/02/2006 à 12h28.
    I was born intelligent...education ruined me!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Désolé pour mes posts ratés, mais c'est la première fois que j'utilise latex sur le forum!
    I was born intelligent...education ruined me!

  9. Publicité
  10. #7
    matthias

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Ca m'a l'air bon.

  11. #8
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Me revoilà pour le deuxième exercice :

    Montrons d'abord qu'une et une seule des deux applications est forcément constamment nulle. Pour cela raisonnons par l'absurde :

    - d'abord le cas trivial où les deux applications sont nulles : ceci est impossible dans la mesure où est inversible

    - ensuite, supposons et non constamment nulles. Remarquons qu'alors les deux applications s'annulent plus d'une fois () mais qu'elles ne s'annulent jamais en même temps (excepté en ) : dans le cas contraire, on aurait } "> ce qui est impliquerait que n'est pas injective mais c'est impossible car est inversible.
    Par conséquent il existe tel que :
    .
    Mais alors, on a :
    .
    Ceci est absurde car . On en conclut que l'on ne peut pas avoir et non constamment nulles.
    Ainsi, on a soit soit constamment nulle.

    Quitte à changer le rôle de et de , on peut maintenant supposer que .
    Dès lors, on a : . On peut même écrire que : .
    Or est inversible donc c'est une bijection. On en déduit que donc que .
    Comme est une bijection, on a :
    d'où
    Ainsi :
    Q.E.D.
    Dernière modification par Bloud ; 14/02/2006 à 08h24.
    I was born intelligent...education ruined me!

  12. #9
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Petite erreur à la ligne 9 : il faut lire que le noyau de l'application linéaire est différent de l'ensemble {}.
    I was born intelligent...education ruined me!

  13. #10
    matthias

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Citation Envoyé par Bloud
    .
    Tu es en train de multiplier des vecteurs là ?

    Pour des endomorphismes, la composition est souvent notée multiplicativement. Ici fg désigne donc fog ...

  14. #11
    Bloud

    Re : [Maths] [L1-2] Applications linéaires

    Au temps pour moi. C'est une erreur bête! C'est à cause de l'habitude de travailler dans . Je vais me repencher sur le problème.
    I was born intelligent...education ruined me!

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