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[Maths] [1èreS] Centre de gravité d'un tétraèdre



  1. #1
    martini_bird

    [Maths] [1èreS] Centre de gravité d'un tétraèdre


    ------

    Soit ABCD un tétraèdre, I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des arêtes [BC], [CD], [DB], [AB], [AC], [AD] et G1, G2, G3, G4 les centres de gravité des triangles BCD, CDA, DAB et ABC.

    Première partie

    L'objet de cette partie est de démontrer que les droites (AG1), (BG2), (CG3) et (DG4) sont concourantes.

    1. Démontrer que l'intersection des plans contenant A et chacune des médianes du triangle BCD est la droite (AG1).

    2. Montrer que les droites (AG1) et (BG2) sont sécantes en un point P.

    3. Montrer que . En déduire l'expression de en fonction de .

    4. Démontrer que les droites (AG1) et (CG3) sont sécantes en un point Q puis démontrer que P et Q sont confondus.

    5. En déduire que dans le tétraèdre ABCD, les quatre droites joignant un sommet avec le centre de gravité de la face opposée à ce sommet sont concourantes en P.


    Seconde partie

    On démontre dans cette partie (moins guidée) que les droites (IN), (JL) et (MK) sont concourantes en P.

    1. Etablir la relation .

    2. Démontrer que P est le mileu du segment [JL].

    3. Conclure.

    Troisième partie

    Cette dernière partie montre que P n'est autre que le centre de gravité (isobarycentre) du tétraèdre.

    Soit G l'isobarycentre de ABCD, i.e. le point tel que


    1. Démontrer que les points A, G, G1 sont alignés (on pourra montrer que ).

    2. Prouver que G=P.

    -----
    Dernière modification par martini_bird ; 16/03/2006 à 20h00.
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  3. #2
    kNz

    Re : [maths][1°S]Centre de gravité d'un tétraèdre

    Citation Envoyé par martini_bird
    1. Démontrer que l'intersection des plans contenant A et chacune des médianes du triangle BCD est la droite (AG1).
    Je crois comprendre ce qui est demandé mais je ne comprend pas tout à fait la question

    Citation Envoyé par martini_bird
    3. Montrer que . En déduire l'expression de en fonction de .
    Ce ne serait pas plutôt :



    J'ai commencé l'exo, je ne l'ai pas fini, je posterais sûrement ce week end.

    Cordialement.

  4. #3
    martini_bird

    Re : [maths][1°S]Centre de gravité d'un tétraèdre

    Citation Envoyé par kNz
    Je crois comprendre ce qui est demandé mais je ne comprend pas tout à fait la question
    Il y a trois plans P1, P2 et P3 qui contiennent tous le point A mais chacun une des médianes du triangle BCD (par exemple P1 contient A et le médiane issue de B, P2 contient A et la médiane issue de C, etc.). Il faut prouver que ces trois plans se coupent selon la droite (AG1).

    Ce ne serait pas plutôt :

    Oui merci : je corrige de ce pas.

    Cordialement.

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